高考数学总复习第二章第8课时对数函数课时闯关(含解析)新人教版

一、选择题
1．当 0<a <1 时，函数① y ＝a | x|
a
在区间 ( －∞，0 ) 上的单一性为 ( )
与函数② y ＝ log | x | A ．都是增函数 B ．都是减函数 C ．①是增函数，②是减函数
D ．①是减函数，②是增函数
| x | 为减函数，
分析：选 A. ①②均为偶函数，且
0< <1， >0 时， y ＝ y ＝ log a | x
| 为减函
ax
a
数，∴当 x <0 时，①②均是增函数．
2．(2010 ·高考天津卷 ) 设 a ＝ log 54， b ＝ (log 53) 2， c ＝ log 45，则 ( )
A ． a <c <b
B ． b <c <a
C ． a <b <c
D ． b <a <c g 5 3) 2
<log 53， ＝ log 45>1，故
分析：选 D. ＝log 54<1， log 53<log 54<1， ＝ (lo
< < .
a
b
c
b a c
3．(2011 ·高考重庆卷 ) 设
＝log
1
1
，＝ log
1
2
4 ，， 的大小关系是 ( )
3
2
， ＝ log 3
，则
a
b
33 c
3
a b c
A ． a <b <c
B ． c <b <a
C ． b <a <c
D ． b <c <a
4
1
3
1 2 3
1
分析：选 B. c ＝log 33＝ log
4，又 2<3<4且函数 f (
x ) ＝ log x 在其定义域上为减函数，
3
3
所以 log
1
1
1
2
13
> > .
>l og
>log ，即
3
2
33 34
a b c
a
b
1 1
4．(2010 ·高考辽宁卷 ) 设 2 ＝ 5 ＝ m ，且 a ＋ b ＝ 2，则 m ＝(
)
A. 10 B ． 10
C ． 20
D ． 100
分析：选 A. 由 2a ＝5b ＝ 得
a ＝log 2
， ＝ log 5 ，
m
m b
m
1 1
∴ a ＋b ＝ log m 2＋ log m 5＝ log m 10.
1 1
m 2
∵ a ＋b ＝ 2，∴ log 10＝ 2，∴ m ＝ 10， m ＝ 10.
5．设函数 f ( x ) 定义在实数集上， f (2 － x ) ＝ f ( x ) ，且当 x ≥1时，f ( x ) ＝ln x ，则有 (
)
A ． f 1 )< f (2)< f 1
( ( )
3 2 1
1 B ． f ( 2)< f (2)< f ( 3)
1
1 C ． f ( 2)< f ( 3)< f (2)
1 1
D ． f (2)< f ( 2)< f ( 3)
分析：选 C.由 f (2 －x ) ＝ f ( x ) ，得 x ＝ 1 是函数 f ( x ) 的一条对称轴，又
x ≥1时， f ( x )
＝ln x 单一递加，
1
1
∴ x <1 时，函数单一递减．∴ f ( 2)< f ( 3)< f (2) ． 二、填空题
3 3 6．已知 f ( x ) ＝ |log 2x | ，则 f ( 8) ＋ f ( 2) ＝ ________.
3 3 3 3
分析： f ( 8) ＋ f ( 2) ＝ |log 28| ＋ |log 22 | ＝3－ log 23＋log 23－ 1＝ 2.
答案： 2
7．若 x log 32＝ 1，则 4x ＋ 4－
x ＝ ________.
分析：由已知得： x ＝
1 ＝ log 23.
log 3 2
x
－ x
＝ 4
log23
－ log23
∴ 4 ＋ 4 ＋ 4
＝ (2 log23 ) 2＋ (2 log23 ) － 2
＝ 32＋ 3－2＝ 82
. 9
82
答案： 9
3x ＋
1
， x ≤0，
8．(2012 ·东营质检 ) 已知函数 f ( x ) ＝ log 2 ， >0，
则使函数 f ( x ) 的图象位于直线
x
x
y ＝ 1 上方的 x 的取值范围是 ________．
分析：当 x ≤0时， 3 x ＋ 1
x ＋ 1>0，∴－ 1<x ≤0；
>1?
当 x >0 时， log 2x >1? x >2，∴ x >2.
综上所述， x 的取值范围为－ 1<x ≤0或 x >2. 答案： { x | － 1<x ≤0或 x >2} 三、解答题 9．计算
2
1
(1)|1 ＋ lg0.001|
＋ lg
－ 4lg3 ＋4＋ lg6 －lg0.02 ；
3
1－ log 63
2
＋log 62·log 618
(2)
.
log 6 4
解： (1) 原式＝ |1 － 3| ＋ |lg3 － 2| ＋ lg300 ＝ 2＋ 2－ lg3 ＋ lg3 ＋ 2＝ 6.
2
6
1－ 2log 63＋
log 63
＋ log 63·log 6
6×3
(2) 原式＝
log 64
1－ 2log 63＋ log 63
2＋
1－log 63
1＋ log 63
＝
log 6
4
1－ 2log 63＋ log 63
2
＋ 1－ log 63
2
＝
log 6
4
2 1－log 63
log 66－ log 63 log 62
＝
＝ log 2 ＝ ＝1.
2log 2
log 6
2
6
6
x － 1
( a >1 且 a ≠1) 的图象对于直线 y ＝ x － 1 对称，
10．已知函数 y ＝ f ( x ) 的图象与函数 y ＝a 而且 y ＝ f ( x ) 在区间 [3 ，＋∞ ) 上总有 f ( x )>1.
(1) 求函数 y ＝ f ( x ) 的分析式；
(2) 务实数 a 的取值范围．
解： (1) 设点 ( x ， y ) 是函数 y ＝ f ( x ) 的图象上的任 一点，且点 ( x ， y ) 对于直线 y ＝x － 1 的
对称点为 ( x 0， y 0) ，则点 ( x 0， y 0) 是函数 y ＝ a x －
1 图象上的点．
y ＋ y 0 x ＋x 0
2 ＝
2 －1，
x ＝ y ＋ 1，
∴
解得
y － y 0
y 0＝ x － 1.
－
＝－ 1，
x
∵ y 0＝ ax 0－1，∴ x －1＝ a y ，∴ y ＝ f ( x ) ＝ log a ( x － 1) ．
(2) ∵ y ＝ f ( x ) 在区间 [3 ，＋∞ ) 上总有 f ( x )>1 ，且对随意 x ≥3，有 x －1≥2， ∴当 a >1 时，有 log a ( x －1) ≥log a 2， ∴ log a 2>1，解得 a <2. ∴ 1<a <2.
当 0<a <1 时，有 log a ( x －1) ≤log a 2，
∴不切合题意，
∴知足题意的 a 的取值范围是{ a|1< a<2}．
42．
11． ( 研究选做 ) 已知函数f ( x) ＝ log ( ax＋ 2x＋3)
(1)若 f (1)＝1，求 f ( x)的单调区间；
(2)能否存在实数 a，使 f ( x)的最小值为0？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由．
解： (1) ∵f (1) ＝ 1，
∴log 4( a＋ 5) ＝ 1，所以a＋5＝ 4，a＝－ 1，
这时 f ( x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－ x2＋2x＋3>0，得－1<x<3，函数定义域为( － 1,3) ．
令 g( x)＝－ x2＋2x＋3.
则 g( x)在(－∞，1)上递加，在(1，＋∞)上递减，
又 y＝log4x 在(0，＋∞)上递加，
所以 f ( x)的单一递加区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．
(2)假定存在实数 a 使 f ( x)的最小值为0，
则 h( x)＝ ax2＋2x＋3应有最小值1，
a>0，
1
所以应有 12a－4解得 a＝.
4a＝ 1，2
1
故存在实数a＝2使 f ( x)的最小值等于0.。