八年级初二数学下学期勾股定理单元 期末复习测试综合卷检测试卷

一、选择题
1．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F 是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=︒BEC ，1FG =，则2AB 为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2．“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以ABC 的三条边为边向外作正方形，连结EB ，CM ，DG ，CM 分别与AB ，BE 相交于点P ，Q ．若30ABE ∠=︒，则DG QM 的值为（ ）
A ．3
B ．5
C ．45
D ．31-
3．如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AC =2AB ,点D 是AC 的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE 如图放置,连接BE ,EC .下列判
断:①△ABE ≌△DCE ;②BE =EC ;③BE ⊥EC ;④EC =3DE .其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．如图，在等边△ABC 中，AB ＝15，BD ＝6，BE ＝3，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 右侧按如图方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点
F 运动的路径长是（ ）
A ．8
B ．10
C ．43
D ．12 5．如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 于O ，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝5，则AD 的长为（ ）
A ．1
B ．32
C ．4
D ．23 6．如图所示，在
中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．4
B ．5
C ．7
D ．6
7．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）
A ．A
B 的中点
B ．B
C 的中点 C ．AC 的中点
D ．C ∠的平分线与AB 的交点
8．如图，已知AB 是线段MN 上的两点，MN ＝12，MA ＝3，MB ＞3，以A 为中心顺时针旋转点M ，以点B 为中心顺时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，当△ABC 为直角三角形时AB 的长是（ ）
A ．3
B ．5
C ．4或5
D ．3或51
9．如图，在矩形ABCD 中，BC=6，CD=3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C '处，B C '交AD 于点E ，则线段DE 的长为（ ）
A ．3
B ．154
C ．5
D ．152
10．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
二、填空题
11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S 1+S 2+S 3=10，则S2的值是_________．
12．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________ 13．如图，ACB △和ECD 都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ABC 的顶点A 在ECD 的斜边上．若3AE =7AD =AC 的长为_________
14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，矩形内一动点P 使得S △PAD ＝13
S 矩形ABCD ，则点P 到点A 、D 的距离之和PA +PD 的最小值为_____．
15．如图，在ABC 中，D 是BC 边中点，106AB AC ==，，4=AD ，则BC 的长是_____________．
16．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果AB ＝13，EF ＝7，那么AH 等于_____．
17．在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，且a +b =35，c =5，则ab 的值为______．
18．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________
19．如图，长方形ABCD 中，∠A =∠ABC =∠BCD =∠D =90°，AB =CD =6，AD =BC =10，点E 为射线AD 上的一个动点，若△ABE 与△A ′BE 关于直线BE 对称，当△A ′BC 为直角三角形时，AE 的长为______．
20．如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm 、30cm 、60cm ，一只蚂蚁从点A 处沿着纸箱的表面爬到点B 处.蚂蚁爬行的最短路程为_______cm.
三、解答题
21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F ．
()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；
()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：12
BE CF AB +=．
()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．
22．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．
（1）求BF 的长；
（2）求CE 的长．
23．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．
(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；
(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；
(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)
24．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .
（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.
①试证明ABD ∆是直角三角形；
②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）
（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请
写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.
25．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .
（1）求证:CED ADB ∠=∠；
（2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .
26．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.
(1)求证: AD=BE.
(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.
(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).
27．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD : AD : CD ＝2 : 3 : 4，
（1）试说明△ABC 是等腰三角形；
（2）已知S △ABC ＝40cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以每秒1cm 速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M 运动的时间为t （秒），
①若△DMN 的边与BC 平行，求t 的值；
②若点E 是边AC 的中点，问在点M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．
图1 图2 备用图
28．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 满足6m -＋（n ﹣12）2＝0．
（1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；
（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标；
（3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．
29．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .
（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .
①求证：BE EF =;
②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.
30．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四
组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…
（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
结合等边三角形得性质易证△ABE≌△CAD，可得∠FBG＝30°，BF＝2FG＝2，再求解∠ABE ＝15°，进而两次利用勾股定理可求解．
【详解】
∵△ABC为等边三角形
∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝AC，CD＝AE
∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠ABE=∠CAD
∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAF＝∠BAC＝60°，
∵BG⊥AD，
∴∠BGF＝90°，
∴∠FBG＝30°，
∵FG＝1，
∴BF＝2FG＝2，
∵∠BEC＝75°，∠BAE＝60°，
∴∠ABE＝∠BEC﹣∠BAE＝15°，
∴∠ABG＝45°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∴=
AB2=AG2+BG22)2=6．
故选C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，证明△ABG为等腰直
角三角形是解题关键．
2．D
解析：D
【分析】
先用已知条件利用SAS 的三角形全等的判定定理证出△EAB ≌△CAM ，之后利用全等三角形的性质定理分别可得30EBA CMA ==︒∠∠，60BPQ APM ==︒∠∠，12PQ PB =，然后设1AP =，继而可分别求出2PM =
，12
PQ =
，所以32QM QP PM =+=
；易证Rt △ACB ≌Rt △DCG （HL
），从而得DG AB ==然后代入所求数据即可得
DG QM
的值． 【详解】 解：∵在△EAB 和△CAM 中 ，
AE AC EAB CAM AB AM =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∠∠，
∴△EAB ≌△CAM （SAS ），
∴30EBA CMA ==︒∠∠，
∴60BPQ APM ==︒∠∠,
∴90BQP ∠=︒,
12
PQ PB =, 设1AP =
，则AM =2PM
=
，1PB =
，12PQ =，
∴2QM QP PM =+=+=； ∵ 在Rt △ACB 和Rt △DCG 中，
CG BC AC CD
=⎧⎨=⎩， Rt △ACB ≌Rt △DCG （HL ），
∴DG AB ==
∴1DG GM
==． 故选D ．
本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理等知识．
3．C
解析：C
【分析】
根据AC=2AB ，点D 是AC 的中点求出AB=CD ，再根据△ADE 是等腰直角三角形求出AE=DE ，并求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCE 全等，从而判断出①小题正确；根据全等三角形对应边相等可得BE=EC ，从而判断出②小题正确；根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠DEC ，然后推出∠BEC=∠AED ，从而判断出③小题正确；
倍，用DE 表示出AD ，然后得到AB 、AC ，再根据勾股定理用DE 与EC 表示出BC ，整理即可得解，从而判断出④小题错误．
【详解】
解：∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点，
∴CD=12
AC=AB ， ∵△ADE 是等腰直角三角形，
∴AE=DE ，
∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°-45°=135°，
∴∠BAE=∠CDE ，
在△ABE 和△DCE 中，
AB CD BAE CDE AE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△DCE （SAS ），故①小题正确；
∴BE=EC ，∠AEB=∠DEC ，故②小题正确；
∵∠AEB+∠BED=90°，
∴∠DEC+∠BED=90°，
∴BE ⊥EC ，故③小题正确；
∵△ADE 是等腰直角三角形，
∴
DE ，
∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点，
∴
DE ，
DE ，
在Rt △ABC 中，BC 2=AB 2+AC 2=
DE ）2+（
DE ）2=10DE 2，
∵BE=EC ，BE ⊥EC ，
∴BC 2=BE 2+EC 2=2EC 2，
∴2EC 2=10DE 2，
解得
，故④小题错误，
综上所述，判断正确的有①②③共3个．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确识图，根据△ADE是等腰直角三角形推出AE=DE，∠BAE=∠CDE=135°是解题的关键，也是解决本题的突破口．4．D
解析：D
【分析】
首先利用等边三角形的性质和含30°直角三角形的运用，判定△DPE≌△FDH，
△DF2Q≌△ADE，然后利用全等三角形的性质，得出点F运动的路径长.
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
过D点作DE′⊥AB，过点F作FH⊥BC于H，如图所示：
则BE′=1
2
BD=3，
∴点E′与点E重合，
∴∠BDE=30°，DE3BE3，∵△DPF为等边三角形，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠EDP+∠HDF=90°
∵∠HDF+∠DFH=90°，
∴∠EDP=∠DFH，
在△DPE和△FDH中，
90
PED DHF
EDP DFH
DP FD
︒⎧∠=∠=
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△DPE≌△FDH（AAS），
∴FH=DE3
∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为3当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，
当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则四边形DF1F2Q是矩形，∵∠BDE=30°，∠ADF2=60°，
∴∠ADE+∠F2DQ=180°﹣30°﹣60°=90°，
∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠F2DQ=∠DAE，
在△DF2Q和△ADE中，
2
2
2
F QD DEA90
F DQ DAE
DF AD
︒⎧∠=∠=
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△DF2Q≌△ADE（AAS），
∴DQ=AE=AB﹣BE=15﹣3=12，
∴F1F2=DQ=12，
∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为12，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是作好辅助线. 5．B
解析：B
【分析】
设OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，根据勾股定理求出a2+b2＝AB2＝9，c2+b2＝BC2＝16，c2+d2＝CD2＝25，即可证得a2+d2＝18，由此得到答案.
【详解】
设OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，
由勾股定理得，a2+b2＝AB2＝9，c2+b2＝BC2＝16，c2+d2＝CD2＝25，
则a2+b2+c2+b2+c2+d2＝50，
∴a2+d2+2（b2+c2）＝50，
∴a2+d2＝50﹣16×2＝18，
∴AD＝221832
a d
+==，
故选：B．
【点睛】
此题考查勾股定理的运用，根据题中的已知条件得到直角三角形，再利用勾股定理求出未知的边长，解题中注意直角边与斜边.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
先利用勾股定理计算BC的长度，然后阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+-以AC为直径的半圆面积.
【详解】
解：在中
∵，,
∴,
∴BC=3,
∴阴影部分的面积=以AB 为直径的半圆面积+以BC 为直径的半圆面积+
-以AC 为直径的半圆面积
=6.故选D. 【点睛】
本题考查扇形面积的计算和勾股定理.在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部分的面积. 7．A
解析：A
【分析】
先计算AB 2=2890000，BC 2=640000，AC 2=2250000，可得BC 2+AC 2=AB 2，那么△ABC 是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P 点的位置．
【详解】
解：如图
∵AB 2=2890000，BC 2=640000，AC 2=2250000
∴BC 2+AC 2=AB 2，
∴△ABC 是直角三角形，
∴活动中心P 应在斜边AB 的中点．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC 是直角三角形．
8．C
解析：C
【分析】
设AB ＝x ，则BC ＝9－x ，根据三角形两边之和大于第三边，得到x 的取值范围，再利用分类讨论思想，根据勾股定理列方程，计算解答．
【详解】
解：∵在△ABC 中，AC ＝AM ＝3，
设AB ＝x ，BC ＝9－x ，
由三角形两边之和大于第三边得：
3939x x x x +-⎧⎨+-⎩
＞＞， 解得3＜x ＜6，
①AC 为斜边，则32＝x 2＋（9－x ）2，即x 2－9x ＋36＝0，方程无解，即AC 为斜边不成立，
②若AB 为斜边，则x 2＝（9－x ）2＋32，解得x ＝5，满足3＜x ＜6，
③若BC 为斜边，则（9－x ）2＝32＋x 2，解得x ＝4，满足3＜x ＜6，
∴x ＝5或x ＝4；
故选C ．
【点睛】
本题考查三角形的三边关系，勾股定理等，分类讨论和方程思想是解答的关键．
9．B
解析：B
【分析】
首先根据题意得到BE=DE ，然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程，解方程即可解决问题．
【详解】
解：设ED=x ，则AE=6-x ，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴AD ∥BC ，
∴∠EDB=∠DBC ；
由题意得：∠EBD=∠DBC ，
∴∠EDB=∠EBD ，
∴EB=ED=x ；
由勾股定理得：
BE 2=AB 2+AE 2，
即x 2=9+（6-x ）2，
解得：x=
154， ∴ED=154
． 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
10．B
解析：B
【分析】
已知AD 为CF 边上的高，要求AFC △的面积，求得FC 即可，求证AFD CFB '△≌△，得B F DF '=，设DF x =，则在Rt AFD △中，根据勾股定理求x ，于是得到CF CD DF =-，即可得到答案．
【详解】
解：由翻折变换的性质可知，AFD CFB '△≌△，
'DF B F ∴=，
设DF x =，则8AF CF x ==-，
在Rt AFD △中，222AF DF AD =+，即222
(8)4x x -=+，
解得：3x =，
835CF CD FD ∴=-=-=， 1102AFC S AF BC ∴=⋅⋅=△． 故选：B ．
【点睛】
本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到
AFD CFB '△≌△是解题的关键．
二、填空题
11．
103
． 【解析】 试题解析：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， ∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=10， ∴得出S 1=8y+x ，S 2=4y+x ，S 3=x ，
∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=10，故3x+12y=10，
x+4y=103
， 所以S 2=x+4y=
103． 考点：勾股定理的证明．
12．310或10
【详解】
分两种情况：
（1）顶角是钝角时，如图1所示：
在Rt △ACO 中，由勾股定理，得AO 2=AC 2-OC 2=52-32=16，
∴AO=4，
OB=AB+AO=5+4=9，
在Rt △BCO 中，由勾股定理，得BC 2=OB 2+OC 2=92+32=90，
∴
BC=310； （
2）顶角是锐角时，如图2所示：
在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2=AC 2-DC 2=52-32=16，
∴AD=4，
DB=AB-AD=5-4=1．
在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC 2=DB 2+DC 2=12+32=10，
∴BC=10 ；
综上可知，这个等腰三角形的底的长度为310或10．
【点睛】
本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键． 13．5
【分析】
由题意可知，AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，求出∠ACE ＝
∠BCD 可证△ACE ≌△BCD ，可得AE ＝BD ＝3，∠ADB ＝90°，由勾股定理求出AB 即可得到AC 的长．
【详解】
解：如图所示，连接BD ，
∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，
∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，
且∠ACE ＝∠BCD ＝90°-∠ACD ，
在ACE 和BCD 中，
AC=BC ACE=BCD CE=CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ACE ≌△BCD （SAS ），
∴AE ＝BD 3E ＝∠BDC ＝45°，
∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝45°+45°＝90°，∴AB＝22
AD+BD=7+3=10，
∵AB=2BC，
∴BC＝
2
×AB=5
2
，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．82
【分析】
根据S△PAD＝1
3
S矩形ABCD，得出动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，作A关
于直线l的对称点E，连接DE，BE，则DE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE中，由勾股定理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值．
【详解】
设△PAD中AD边上的高是h．
∵S△PAD＝1
3
S矩形ABCD，
∴1
2
AD•h＝
1
3
AD•AB，
∴h＝2
3
AB＝4，
∴动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，DE，则DE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE＝4+4＝8，
DE2222
8882
AE AD
++=
即PA+PD的最小值为2．
故答案2．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间
线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．
15．413
【分析】
延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，结合D 是中点证得△ADC ≌△EDB ，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E ＝90°，再利用勾股定理求得BD 长进而转化为BC 长即可．
【详解】
解：如图，延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，连接BE ，
∵D 是BC 边中点，
∴BD ＝CD ，
又∵DE ＝AD ，∠ADC ＝∠EDB ， ∴△ADC ≌△EDB （SAS ）， ∴BE ＝AC ＝6，
又∵AB ＝10，
∴AE 2＋BE 2＝AB 2，
∴∠E ＝90°，
∴在Rt △BED 中，222264213BD BE DE =++=，
∴BC ＝2BD ＝13
故答案为：13
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．
16．【分析】
根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可．
【详解】
∵AB ＝13，EF ＝7，
∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，
∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即141202
ab ⨯
=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，
∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289，
∴a +b ＝17，
∵a ﹣b ＝7，
解得：a ＝12，b ＝5，
∴AE＝12，DE＝5，
∴AH＝12﹣7＝5．
故答案为：5．
【点睛】
此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．17．10
【分析】
先根据勾股定理得出a2+b2＝c2，利用完全平方公式得到（a+b）2﹣2ab＝c2，再将a+b＝35，c＝5代入即可求出ab的值．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，
∴a2+b2＝c2，
∴（a+b）2﹣2ab＝c2，
∵a+b＝35，c＝5，
∴（35）2﹣2ab＝52，
∴ab＝10．
故答案为10．
【点睛】
本题考查勾股定理以及完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键.
18．
【解析】
【分析】
延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.
【详解】
如图，延长AD、BC相交于E，
∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,
∴∠E=30°
∴AE=2AB，CE=2CD
∵AB=3，AD=4,
∴AE=6, DE=2
设CD=x,则CE=2x，DE=x
即x=2
x=
即CD=
故答案为：
【点睛】 本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE 和直角△CDE ，是解题的关键．
19．2或18
【分析】
分两种情况:点E 在AD 线段上,点E 为AD 延长线上的一点,进一步分析探讨得出答案即可.
【详解】 解：①如图
点E 在AD 线段上，△ABE 与△A ′B E 关于直线BE 对称，
∴△A ′BE ≌△ABE,
∴∠B A′E=∠A=90o ,AB=A ′B
∠B A′C =90o ,∴E 、A',C 三点共线,
在△ECD 与△CB A′中，{CD A B
D BA C DEC ECB
='∠=∠'∠=∠,
∴△ECD ≌△CB A′,
∴CE=BC=10,
在RT △CB A′中，A′C=22BC BA -'=22106-=8,
∴AE= A′E=CE - A′C=10-8=2;
②如图
点E 为AD 延长线上,由题意得：
∠A"BC+∠A"CB=∠DCE+∠A"CB=90o
∴∠A"BC=∠DCE,
在△A"BC与△DCE中，
"=
{"
"
A CDE CD A B
A BC DCE ∠∠
=
∠=∠
∴△A"BC≌△DCE,DE= A"C,
在RT△ A"BC中，A"C=2
2 "
BC BA
-=22
106
-=8,
∴AE=AD+DE=AD+ A"C=10+8=18;
综上所知,AE=2或18.
故答案为:2或18.
【点睛】
此题考查翻折的性质,三角形全等的判定与性质,勾股定理,掌握翻折的性质,分类探讨的思想方法是解决问题的关键.
20．100
【解析】
蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线：
第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是90cm和50cm，
则所走的最短线段AB==10cm；
第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是110cm 和30cm ，
所以走的最短线段AB==10cm ；
第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是80cm 和60cm ，
所以走的最短线段AB=
=100cm ； 三种情况比较而言，第三种情况最短．
故答案为100cm ．
点睛：本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨． 三、解答题
21．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）(23y x =
【分析】
（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED ＝90°，进而可得∠BDE =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；
（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ，可得EM ＝FN ，再根据线段的和差即可推出结论；
（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM ＝DN ＝FN ＝EM ，然后根据线段的和差关系可得BE +CF ＝2DM ，BE ﹣CF ＝2BM ，在Rt △BMD 中，根据
30°角的直角三角形的性质可得DM＝3BM，进而可得BE+CF＝3（BE﹣CF），代入x、y后整理即得结果．
【详解】
解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4．
∵点D是线段BC的中点，
∴BD＝DC＝1
2
BC＝2．
∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，
∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，
∴BE＝1
2
BD＝1；
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．
∵∠A＝60°，
∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．
∵∠EDF＝120°，
∴∠MDE＝∠NDF．
在△MBD和△NCD中，
∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，
∴△MBD≌△NCD（AAS），
∴BM＝CN，DM＝DN．
在△EMD和△FND中，
∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，
∴△EMD≌△FND（ASA），
∴EM＝FN，
∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝1
2
BC＝
1
2
AB；
（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法可得：BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN ．
∵DN ＝FN ，
∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，
∴BE +CF ＝BM +EM +FN －CN ＝NF +EM ＝2DM =x +y ，
BE ﹣CF ＝BM +EM ﹣（FN －CN ）＝BM +NC ＝2BM =x －y ，
在Rt △BMD 中，∵∠BDM =30°，∴BD =2BM ，
∴DM ＝22=3BD BM BM -，
∴()3x y x y +=-，整理，得()
23y x =-．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
22．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．
【分析】
（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；
（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠B=90°，且AD=BC=10，
又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，
∴AF=AD=10，
又∵AB=8，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：2222
BF=AF-AB=10-8=6，
故BF的长为6．
（2）设CE=x ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x，
又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的，
∴FE=DE=8-x，
由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：222
CF+CE=EF，
∴222
4+x=(8-x)，解得：x=3，
故CE的长为3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．
23．（1）∠CBD=20°；（2）AD=
1
6
4
；(3) △BCD的周长为m+2
【分析】
（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；
（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；
（3）根据三角形ACB的面积可得1
1 2
AC CB m
=+，
进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．
【详解】
（1）
∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，
∴∠1=∠A=35°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，
∴∠2=55°-35°=20°，
即∠CBD=20°；
（2）∵把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合，
∴AD=DB ，
设CD=x ，则AD=BD=8-x ，
在Rt △CDB 中，CD 2+CB 2=BD 2，
x 2+62=（8-x ）2，
解得：x=
74， AD=8-74=164； （3）∵△ABC 的面积为m+1， ∴
12
AC •BC=m+1， ∴AC •BC=2m+2， ∵在Rt △CAB 中，CA 2+CB 2=BA 2，
∴CA 2+CB 2+2AC •BC=BA 2+2AC •BC ，
∴（CA+BC ）2=m 2+4m+4=（m+2）2，
∴CA+CB=m+2，
∵AD=DB ，
∴CD+DB+BC=m+2．
即△BCD 的周长为m+2．
【点睛】
此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．
24．（1）①详见解析；（2）222
CD n =+-（1n >）；（2）
AD BD -=，理由详见解析.
【分析】
（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；
②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.
（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.
【详解】
（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++
()()22
222211n n n =++=+ 又∵()2
221AB n =+
∴222AD BD AB +=
∴△ABD 是直角三角形
②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，
∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°
∴∠3=∠4
由①知△ABD 是直角三角形
∴1290∠+∠=︒
又∵290E ∠+∠=︒
∴∠1=∠E
在ACD ∆和BCE ∆中，
A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACD ≌△BCE
∴CD CE =，AD BE =
∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+-
又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD =
+=
∴22CD =222222
n n =+-（1n >） （2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=
，
理由如下：
如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，
∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5
∴∠ACD=∠BCF
∵BD ⊥AD
∴∠ADB=90°
∴∠6+∠7=90°
∵∠ACB=90°
∴∠9=∠8=90°
又∵∠6=∠8
∴∠7=∠9
ACD ∆和BCF ∆中
97AC BC
ACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ACD ≌△BCF
∴CD=CF ，AD=BF
又∵∠DCF=90°
∴由勾股定理得DF ==
又DF=BF-BD=AD-BD
∴AD BD -=
【点睛】
本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.
25．（1）见解析；（2
）BC =.
【分析】
（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.
（2）连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．
【详解】
（1）证明：∵AB AD =，=60A ∠︒，
∴△ABD 是等边三角形.
∴60ADB ∠=︒.
∵CE ∥AB ，
∴60CED A ∠=∠=︒.
∴CED ADB ∠=∠.
（2）解：连接AC 交BD 于点O ，
∵AB AD =，BC DC =，
∴AC 垂直平分BD .
∴30BAO DAO ∠=∠=︒.
∵△ABD 是等边三角形，8AB =
∴8AD BD AB ===，
∴4BO OD ==.
∵CE ∥AB ，
∴ACE BAO ∠=∠.
∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.
∵60CED ADB ∠=∠=︒.
∴60EFD ∠=︒.
∴△EDF 是等边三角形.
∴2EF DF DE ===,
∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.
在Rt △COF 中， ∴2223OC CF OF =-=.
在Rt △BOC 中， ∴22224(23)27BC BO OC =
+=+= 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
26．（1）见解析；（2）26；（3）
33a +3 【分析】
（1）由∠ACB=∠DCE 可得出∠ACD=∠BCE ，再利用SAS 判定△ACD ≌△BCE ，即可得到AD=BE ；
（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=12
DE ，同（1）可证△ACD ≌△BCE ，得到AD=BE ，然后可求AE 的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB 的长；
（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出
，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt △BEN 中即可求出BE ，由于BE=AD ，所以利用AE=AD+DE 即可得出答案.
【详解】
证明：（1）∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE
在△ACD 和△BCE 中，
AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ACD ≌△BCE （SAS ）
∴AD=BE
（2）∵∠DCE=90°，CD=CE ，
∴△DCE 为等腰直角三角形，
∵CM ⊥DE ，
∴CM 平分DE ，即M 为DE 的中点
∴CM=12
DE ， ∴DE=2CM=14，
∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE
在△ACD 和△BCE 中，
AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ACD ≌△BCE （SAS ）
∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE
∴AE=AD+DE=24
如图，设AE ，BC 交于点H ，
在△ACH和△BEH中，
∠CAH+∠ACH=∠EBH+∠BEH，而∠CAH=∠EBH，
∴∠BEH=∠ACH=90°，
∴△ABE为直角三角形
由勾股定理得2222
AB=AE BE=2410=26
++
（3）由（1）（2）可得△ACD≌△BCE，
∴∠DAC=∠EBC，
∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=120°
∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，
∵CM⊥DE，
∴∠CMD=90°，DM=EM，
∴CD=CE=2CM，3CM
∴33
∵∠BEN=∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠EBC+∠CBA=∠BAE+∠DAC+∠CBA=30°+30°=60°，∴∠NBE=30°，
∴BE=2EN，3EN
∵BN=a
∴23
=AD
∴23
23
+b
【点睛】
本题考查全等三角形的旋转模型，掌握此模型的特点得到全等三角形是关键，其中还需要用到等腰三角形三线合一与30度所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本知识点是关键.
27．（1）见详解；（2）①t值为：10
3
s或6s；②t值为：4.5或5或
49
12
．
【分析】
（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分别得出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，在Rt△ACD中，AC=5x，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，
∴S△ABC=1
2
×5x×4x=40cm2，而x＞0，
∴x=2cm，
则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AB=AC=10cm．由运动知，AM=10-2t，AN=t，
①当MN∥BC时，AM=AN，
即10-2t=t，
∴
10
3
t ；
当DN∥BC时，AD=AN，∴6=t，
得：t=6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为10
3
s或6s．
②存在，理由：
Ⅰ、当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；Ⅱ、当t=2时，点M运动到点D，不构成三角形
Ⅲ、当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．∵点E是边AC的中点，
∴DE=1
2
AC=5
当DE=DM，则2t-4=5，
∴t=4.5s；
当ED=EM，则点M运动到点A，∴t=5s；
当MD=ME=2t-4，
如图，过点E作EF垂直AB于F，
∵ED=EA，
∴DF=AF=1
2
AD=3，
在Rt△AEF中，EF=4；
∵BM=2t，BF=BD+DF=4+3=7，
∴FM=2t-7
在Rt△EFM中，（2t-4）2-（2t-7）2=42，
∴t=49 12
．
综上所述，符合要求的t值为4.5或5或49 12
．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．
28．（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，
0）；（3）点P的坐标（
14
3
-，
64
3
）
【分析】
（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；
（2）画出图象，由CD⊥AB知1
AB CD
k k=-可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；
（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.
【详解】
解：（1n﹣12）2＝0，
∴m＝6，n＝12，
∴A（6，0），B（0，12），
设直线AB解析式为y＝kx＋b，
则有
12
60
b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
2
12
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，
∵直线AB过点C（a，a），
∴a＝－2a＋12，∴a＝4，
∴点C坐标（4，4）．
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，
设直线CD解析式为y＝
1
2
x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，
∴直线CD解析式为y＝1
2
x＋2，
∴点D坐标（－4，0）．
（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，图2
∵直线EC解析式为y＝3
2
x－2，直线CF解析式为y＝－
2
3
x＋
20
3
，
∵3
2
×（－
2
3
）＝－1，
∴直线CE⊥CF，
∵EC＝13CF＝13
∴EC＝CF，
∴△FCE是等腰直角三角形，
∴∠FEC＝45°，
∵直线FE解析式为y＝－5x－2，
由
212
52
y x
y x
=-+
⎧
⎨
=--
⎩
解得
14
3
64
3
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，。