山西省太原市第三十六中学2020年高三数学理模拟试卷含解析

山西省太原市第三十六中学2020年高三数学理模拟试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 正方体中，、分别是棱和上的点，，
，那么正方体的过、、的截面图形是
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
参考答案：
C
2. 如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面
的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数
的图象大致是
参考答案：
B
3. 假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
4. 展开式中的常数项为（）
A．-8 B．-12 C．-20 D．20
参考答案：
C
试题分析：∵，∴，
令，即，∴常数项为.
考点：二项式定理.
5. 已知函数f（x）=﹣，若对任意的x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2时，[|f（x1）|﹣|f （x2）|]（x1﹣x2）＞0，则实数a的取值范围为（）
A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣e2，e2]
参考答案：
B
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】由题意可知函数y=丨f（x）丨单调递增，分类讨论，根据函数的性质及对勾函数的性质，即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：由任意的x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，由[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0，
则函数y=丨f（x）丨单调递增，
当a≥0，f（x）在[1，2]上是增函数，则f（1）≥0，解得：0≤a≤，
当a＜0时，丨f（x）丨=f（x），令=﹣，
解得：x=ln，
由对勾函数的单调递增区间为[ln，+∞），
故ln≤1，解得：﹣≤a＜0，
综上可知：a的取值范围为[﹣，]，
故选B．
【点评】本题考查函数的综合应用，考查对数函数的运算，对勾函数的性质，考查分类讨论思想，属于中档题．
6. 设表示两条直线，表示两个平面，则下列命题是真命题的是
（）
A．若，∥，则∥B．若
C．若∥，，则D．若
参考答案：
D
略
7. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影外部（曲线C为正态分布
的密度曲线）的点的个数的估计值为（）
A．3413 B．1193 C．2718 D．6587
附：若,则，
参考答案：
D
【知识点】正态分布几何概型
【试题解析】由题知：阴影的面积为
所以落入阴影的点的个数为：个，
所以落入阴影外部的点的个数的估计值为：10000-3413=6587个。

故答案为：D
8. 集合具有性质“若，则”，就称集合是伙伴关系的集合，集合
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为（）
A. 3
B. 7
C. 15
D. 31
参考答案：
C
9. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为A．2x+y-3=0 B．2x-y-3=0 C．4x-y-
3=0 D．4x+y-3=0
参考答案：
A
10. 已知函数f（x）=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[1，2]，则f（﹣1）的取值范围是（）
A．，3] B．，6] C．[3，12] D．，12]
参考答案：
C
【考点】简单线性规划；函数在某点取得极值的条件．
【专题】计算题；压轴题；数形结合．
【分析】根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；利用参数表示出f（﹣1）的值域，设z=2b﹣c，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过可行域内的点A时，从而得到
z=x+3y的最大值即可．
【解答】解：f'（x）=3x2+4bx+c，（2分）
依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，
且x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[1，2]
等价于f'（﹣2）≥0，f'（﹣1）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．
由此得b，c满足的约束条件为（4分）
满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）
由题设知f（﹣1）=2b﹣c，
由z=2b﹣c，
将z的值转化为直线z=2b﹣c在y轴上的截距，
当直线z=2b﹣c经过点（0，﹣3）时，z最小，
最小值为：3．
当直线z=2b﹣c经过点C（0，﹣12）时，z最大，
最大值为：12．
故选C．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是_________．
参考答案：
50
略
12. 已知集合U = {(x，y)| x?R, y ?R}, M = {(x，y) | |x | + | y | < a }，
P = {(x，y)| y = f (x ) }，现给出下列函数：①y = a x , ② y = log a x , ③y = sin(x + a),
④y = cos a x，若0 < a < 1时，恒有P∩C U M = P，则f (x)可以取的函数有
参考答案：
①②④.
13. 设函数的定义域分别为，且。

若对于任意，都有
，则称函数为在上的一个延拓函数。

设，为
在R上的一个延拓函数，且是奇函数，则
=
参考答案：
当时，；当时；∴。

14. 已知集合A＝－2，3，4－4，集合B＝3，．若B A，则实数＝．
参考答案：
2
略
15. 当点到直线的距离最大值时，的值为__________．
参考答案：
直线可化为，
由点斜式方程可知直线恒过定点，且斜率为，
结合图象可知当与直线垂直时，点到直线距离最大，
此时，，
解得：．
16. 已知函数是偶函数，直线y=t与函数f(x)的图像自左至右依次交于四个不同点A,B,C,D若，则实数的t值为________．
参考答案：
17. 过圆内一点作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB =CD，则四边形ACBD的面积为．
参考答案：
19
根据题意画出上图，连接，过作，，为的中点，
为的中点，又，，∴四边形为正方形，
由圆的方程得到圆心，半径，
【点睛】
本题的关键点有以下：
1.利用数形结合法作辅助线构造正方形；
2.利用勾股定理求解.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在中，角、、的对边分别为、、，。

⑴求角的值；
⑵若，，求的面积。

参考答案：
解：⑴。

⑵由。

略
19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，
AB=2，PC=PD=，E为PA中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．
【分析】（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF，推导出EF∥PC．由此能证明PC∥平面BED．
（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．推导出PO⊥CD，取AB中点G，连结OG，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．利用向量法能求出在棱PC
上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=
【解答】（共14分）
证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．
因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．
在△PAC中，由已知E为PA中点，
所以EF∥PC．
又EF?平面BFD，PC?平面BFD，
所以PC∥平面BED．…
（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．
因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，
所以PO⊥CD．
又因为平面PCD⊥平面ABCD，
PO?平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．
取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，
所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…
如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．
=（﹣1，2，0），=（0，1，﹣1）．
设平面PAC的法向量为=（x，y，z），
则，令z=1，得=（2，1，1）．
平面PCD的法向量为=（1，0，0）．
设的夹角为α，所以cosα==．
由图可知二面角A﹣PC﹣D为锐角，
所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…
（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．
因此点M（0，λ，1﹣λ），=（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），=（﹣1，2，0）．由，得1+2（λ﹣1）=0，解得．
因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．
此时，=．…
20. （本小题满分12分）
一台仪器每启动一次都随机地出现一个位的二进制数，
其中的各位数字中，出现的概率为，出现的概率为
．例如：，其中．记,当启动仪器一次时 (Ⅰ)求的概率； (Ⅱ)求的概率分布列及
参考答案：
解（Ⅰ）
（Ⅱ）
令
21. （本小题满分12分）
已知向量：
，
函数，若相邻两对称轴间的距离为
（Ⅰ）求的值，并求的最大值及相应x的集合；（Ⅱ）在△ABC中，分别是A，B，C所对的边，△ABC的面积，求边的长.参考答案：
解：（Ⅰ）
………………3分
又题意可得………………4分当=1时，有最大值为2，
………………6分
（Ⅱ）……7分
…………………8分
…………………9分由余弦定理得：a2=16+25－2×4×5cos=21 …………12分
略
22. （12分）设是椭圆上的两点，已知
，若，椭圆的离心率，短轴长为2，为坐标原点
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由
参考答案：
解析：（Ⅰ）
椭圆方程为
（Ⅱ）（1）当直线AB斜率不存在时，即，由得
，又在椭圆上，所以
，所以三角形的面积为定值。

（2）当当直线AB斜率存在时，设AB的方程为
，得到
，代入整理得：
所以三角形的面积为定值。