高考数学二轮复习2.3函数与方程、函数模型的应用专题能力训练

专题能力训练5 函数与方程、函数模型的应用
(时间:60分钟满分:100分)
一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.已知a是函数f(x)=2x-lo x的零点,若0<x0<a,则f(x0)的值满足()
A.f(x0)=0
B.f(x0)<0
C.f(x0)>0
D.f(x0)的符号不确定
2.(2015浙江绍兴质检,文2)某快递公司快递一件物品的收费规定:物品不超过5千克,每件收费12元,超过5千克且不超过10千克,则超出部分每千克加收1.2元;……现某人快递一件8千克物品需要的费用为()
A.9.6元
B.12元
C.15.6元
D.21.6元
3.(2014浙江嘉兴测试(一))已知函数f(x)=-cos x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
4.(2014浙江台州期末质量评估)设函数f(x)=e x-1+4x-4,g(x)=ln x-.若f(x1)=g(x2)=0,则()
A.0<g(x1)<f(x2)
B.g(x1)<0<f(x2)
C.f(x2)<0<g(x1)
D.f(x2)<g(x1)<0
5.已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)-bf(x)+c=0(b,c∈R)有8个不同的实数根,则b+c的取值范围为()
A.(-∞,3)
B.(0,3]
C.[0,3]
D.(0,3)
6.已知函数f(x)=(k∈R),若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是()
A.k≤2
B.-1<k<0
C.-2≤k<-1
D.k≤-2
7.(2015浙江第一次五校联考,理10)已知函数f(x)=则关于x的方程f=a的实根个数不可能
．．．为()
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
8.若函数f(x)=log2(x+1)-1的零点是抛物线x=ay2的焦点的横坐标,则a=.
9.已知函数f(x)=若f(0)=-2,f(-1)=1,则函数g(x)=f(x)+x的零点个数为.
10.某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y(km)与刹车时的速度x(km/h)的关系可以用y=ax2来描述,已知这种型号的汽车在速度为60 km/h时,紧急刹车后滑行的距离为b(km).一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b(km),则这辆车的行驶速度为km/h.
11.(2015浙江衢州五校联考,文17)已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,那么在区间[-1,3]内,关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R,且k≠-1)有4个不同的根,则k的取值范围是.
三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
12.(本小题满分14分)甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每一小时可获得的利润是100元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
13.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x2+(x-1)|x-a|.
(1)若a=-1,解方程f(x)=1.
(2)若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.
(3)是否存在实数a,使不等式f(x)≥2x-3对一切实数x∈R恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
14.(本小题满分16分)已知a∈R,函数f(x)=x2-a|x-1|.
(1)当a=1时,求函数f(x)的最小值;
(2)讨论y=f(x)的图象与y=|x-a|的图象的公共点个数.
参考答案
专题能力训练5函数与方程、函数模型的应用
1.B解析:分别作出y=2x与y=lo x的图象如图,当0<x0<a时,y=2x的图象在y=lo x图象的下方,所以f(x0)<0.故选B.
2.C解析:由已知该快递应分段计费,其中5千克计费12元,超出的3千克计费3×1.2=
3.6(元),所以收费15.6元,故选C.
3.C解析:函数f(x)=-cos x的零点个数为-cos x=0⇒=cos x的根的个数,即函数h(x)=与
g(x)=cos x的图象的交点个数.如图所示,在区间[0,2π]上交点个数为3,故选C.
4.B解析:利用数形结合求解.由f(x1)=0得x1是函数f(x)=e x-1+4x-4的零点.又f(0)=e-1-
4<0,f(1)=1>0,所以x1∈(0,1),g(x1)=ln x1-<0.同理g(1)=-1<0,g(2)=ln 2-=ln-ln>0,所以x2∈(1,2),则f(x2)=+4(x2-1)>0,所以g(x1)<0<f(x2),故选B.
5.D解析:令f(x)=m,方程f2(x)-bf(x)+c=0有8个不同的实根,等价于方程m2-bm+c=0在(0,1]上有2个不等的实根,即画出可行域如图,结合图形可知0<b+c<3,故选D.
6.D解析:由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=-k≥0,
所以k≤0,作出函数y=|f(x)|的图象,
要使y=-k与函数y=|f(x)|有三个交点,则有-k≥2,即k≤-2,选D.
7.A解析:如下图所示,画出函数f(x)以及g(x)=x+-2的图象,从而可知,当a<0时,方程f(x)=a有一正根,
∴方程f=a有两个根,当a=0时,方程f(x)=a有一正根,一个根为0,
∴f=a有三个根;当0<a<1时,方程f(x)=a有两个正根,一个大于-4的负根,
∴f=a有四个根;当a=1时,方程f(x)=a有一个负根-4,三个正根,
∴f=a有七个根;当1<a<2时,方程f(x)=a有三个正根,一个小于-4的负根,
∴f=a有八个根;当a=2时,方程f(x)=a有两个正根,一个小于-4的负根,
∴f=a有六个根;当a>2时,方程f(x)=a有一个正根一个小于-4的负根,
∴f=a有四个根,
∴f=a根的个数可能为2,3,4,6,7,8,故选A.
8. 解析:令f(x)=log2(x+1)-1=0,得函数f(x)的零点为x=1,于是抛物线x=ay2的焦点的坐标是(1,0),因为x=ay2可化为y2=x,
所以解得a=.
9.3解析:依题意得由此解得b=-4,c=-2.
由g(x)=0得f(x)+x=0,该方程等价于①或②
解①得x=2,解②得x=-1或x=-2.
因此,函数g(x)=f(x)+x的零点个数为3.
10.60解析:由题意,得a×602=b,解得a=,
所以y=x2,因为y=3b,
所以x2=3b,
解得x=-60(舍去)或x=60,所以这辆车的行驶速度是60 km/h.
11. 解析:令y=kx+k+1,则有y-1=k(x+1),即直线y=kx+k+1恒过M(-1,1).根据题意,如图,可知当直线y=kx+k+1介于直线MA与MB之间时,y=f(x)与y=kx+k+1有4个不同的交点.又因为=-,所以-<k<0.
12.解:(1)生产该产品2小时的利润为
100×2=200.
由题意,200≥3 000,
解得x≤-或x≥3.
又1≤x≤10,所以3≤x≤10.
(2)生产900千克该产品,所用的时间是小时,获得利润为100=90 000,1≤x≤10.
记f(x)=-+5,1≤x≤10,
则f(x)=-3+5,当且仅当x=6时取到最大值.
最大利润为90 000×=457 500元.
因此甲厂应以6千克/时的速度生产,可获得最大利润为457 500元.
13.解:(1)当a=-1时,f(x)=x2+(x-1)|x+1|,故有f(x)=
当x≥-1时,由f(x)=1,有2x2-1=1,解得x=1或x=-1;当x<-1时,f(x)=1恒成立,
∴方程f(x)=1的解集为{x|x≤-1,或x=1}.
(2)f(x)=
若f(x)在R上单调递增,
则有解得a≥.
∴当a≥时,f(x)在R上单调递增.
(3)设g(x)=f(x)-(2x-3),
则g(x)=
不等式f(x)≥2x-3对一切实数x∈R恒成立,等价于不等式g(x)≥0对一切实数x∈R恒成立.
①若a>1,则1-a<0,即<0,取x0=,此时x0∈(-∞,a),g(x0)=g=(a-1)·-a+3=1-a<0,
即对任意的a>1,总能找到x0=,使得g(x0)<0,
∴不存在a>1,使得g(x)≥0恒成立.
②若a=1,g(x)=g(x)的值域为[2,+∞),所以g(x)≥0恒成立.
③若a<1,
当x∈(-∞,a)时,g(x)单调递减,其值域为(a2-2a+3,+∞),
由于a2-2a+3=(a-1)2+2≥2,所以g(x)≥0成立.
当x∈[a,+∞)时,由a<1,知a<,g(x)在x=处取最小值,
令g=a+3-≥0,得-3≤a≤5.
又a<1,所以-3≤a<1.综上,a∈[-3,1].
14.解:(1)f(x)=
故f(x)min=f=-.
(2)设g(x)=|x-a|,h(x)=f(x)-g(x)=x2-a|x-1|-|x-a|,
①当a>1时,h(x)=
当x≥a时,h(a)=a>0,对称轴x=<a,无零点.
当1≤x<a时,x1=0(舍去),x2=a-1,
所以(ⅰ)当a≥2时,一个零点;(ⅱ)当1<a<2时,无零点.
当x<1时,Δ=a2+10a+1>0,对称轴x=<1,h(1)=2-a,
所以(ⅰ)当a≥2时,一个零点;(ⅱ)当1<a<2时,两个零点.
综上所述,当a>1时,h(x)有两个零点,
即y=f(x)的图象与y=g(x)=|x-a|的图象的公共点有2个.
②当a=1时,x=-1±,即y=f(x)的图象与y=g(x)=|x-a|的图象的公共点有2个.
③当a<1时,h(x)=
当x≥1时,对称轴x=<1,h(1)=a,
所以①当a≤0时,一个零点;②当0<a<1时,无零点.
当a≤x<1时,x1=0(舍去),x2=1-a,
所以①当a≤时,一个零点;②当<a<1时,无零点.
当x<a时,Δ=a2+10a+1,对称轴x=-,h(a)=a(2a-1),
所以①当a≤-时,对称轴x=-≥a,h(a)=a(2a-1)>0,无零点;
②-<a<-5+2时,Δ=a2+10a+1<0,无零点;
③a=-5+2时,x=2-<a=-5+2,一个零点;
④-5+2<a<0或<a<1时,Δ=a2+10a+1>0,对称轴x=-<a,h(a)=a(2a-1)>0,两个零点;
⑤0≤a≤时,h(a)=a(2a-1)≤0,一个零点.
综上①a<-5+2或a>0时,函数y=f(x)与y=g(x)的图象的公共点有2个;
②a=-5+2或a=0时,函数y=f(x)与y=g(x)的图象的公共点有3个;
③-5+2<a<0时,函数y=f(x)与y=g(x)的图象的公共点有4个.。