陕西文科普通高等学校招生全国统一考试(高考数学试卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
文科数学（必修+选修Ⅰ）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）． 1．sin330︒等于（ B ）
A ．
B ．12
-
C ．
12
D 2．已知全集{12345}U =，，，，，集合{1,3}A =，{3,4,5}B =，则集合()U A B =I ð（ D ） A ．{3} B ．{4,5}
C ．{3,4,5}
D ．{1245}，，，
3．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ C ） A ．30 B ．25 C ．20 D ．15 4．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ B ） A ．64
B ．100
C ．110
D ．120
50y m -+=与圆22
220x y x +--=相切，则实数m 等于（ A ）
A 或
B ．或
C ．-
D ．-6．“1a =”是“对任意的正数x ，21a
x x
+≥”的（ A ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 7．已知函数3
()2x f x +=，1
()f
x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则
11()()f m f n --+的值为（ D ）
A ．10
B ．4
C ．1
D ．2-
8．长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为1的球面上,其中
1::AB AD AA =,则两,A B 点的球面距离为( C )
A ．
4
π
B ．
3
π C ．
2
π D ．
23
π 9．双曲线22221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30
o
的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A
B
C
D
．
3
10．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈I ，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ D ） A ．m n θϕ>>， B ．m n θϕ><， C ．m n θϕ<<，
D ．m n θϕ<>，
11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(2)f -等于（ A ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输
信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，
例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ C ） A ．11010 B ．01100 C ．10111 D ．00011
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）． 13．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，
，若120c b B =
==o ，则
a
14．7
2(1)x
-的展开式中
21
x
的系数为 84 ．(用数字作答) 15．关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：
①若g g a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60o
．
其中真命题的序号为 ② ．（写出所有真命题的序号）
16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 96 种．（用数字作答）．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）
A B a
b
l α
β
已知函数()2sin
cos 442
x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 17．解：（Ⅰ）()f x
Q sin
22x x =+π2sin 23x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
． ()f x ∴的最小正周期2π
4π12
T =
=． 当πsin 123x ⎛⎫+=-
⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
时，()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．
Q ()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫
-=-== ⎪⎝⎭．
∴函数()g x 是偶函数．
18．（本小题满分12分）
一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.
（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率； （Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．
解：（Ⅰ）从袋中依次摸出2个球共有2
9A 种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有2
2
34A A 种结果，则所求概率
22
3411
291341()6986
A A P P A ===⨯=或． （Ⅱ）第一次摸出红球的概率为1
2
19A A ，第二次摸出红球的概率为11722
9
A A A ，第三次摸出红球的
概率为2172
3
9A A A ，则摸球次数不超过3次的概率为 11211
7272221239997
12
A A A A A P A A A =++=．
19．（本小题满分12分）
三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=o
，
1A A ⊥平面ABC ，13A A =，1122AB AC A C ===，D 为BC 中点．
（Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小．
A 1
A C 1
B 1
B
D C
20．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的首项12
3
a =
，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．
（Ⅰ）证明：数列1
{
1}n
a -是等比数列； （Ⅱ）数列{
}n
n
a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）Q 121
n n n a a a +=
+，∴ 111
111222n n n n a a a a ++==+⋅， ∴
11111(1)2n n a a +-=-，又12
3
a =，∴11112a -=， ∴数列1{
1}n a -是以为12首项，1
2
为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知
1111111222n n n a -+-=⋅=，即1112
n n a =+，∴2n n n n
n a =+． 设23123222n T =
+++…2n n
+， ① 则23112222n T =++…1122n n n n
+-++，② 由①-②得
2111222n T =++ (111)
11(1)
1122112222212
n n n n n n n n n +++-+-=-=---， ∴11222n n n n T -=--．又123+++ (1)
2
n n n ++=．
∴数列{}n n
a 的前n 项和 22(1)4222222
n n n n n n n n n S +++++=-+
==． 21．（本小题满分12分）
已知抛物线C ：2
2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．
（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；
（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =u u u r u u u r
g ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由． 解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，
，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，
由韦达定理得122
k
x x +=
，121x x =-， ∴1224N M x x k
x x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．
设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭， 将2
2y x =代入上式得22
2048
mk k x mx -+-=， Q 直线l 与抛物线C 相切，
22
22282()04
8mk k m m mk k m k ⎛⎫
∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．
即l AB ∥．
（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =u u u r u u u r
g ，则NA NB ⊥，又M Q 是AB 的中点，
1
||||2
MN AB ∴=
． 由（Ⅰ）知121212111
()(22)[()4]222
M y y y kx kx k x x =+=+++=++
2
2142224
k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．
MN ⊥Q x 轴，22216
||||2488
M N k k k MN y y +∴=-=+-=
．
又12||||AB x x =-=
==．
2168k +∴=，解得2k =±．
即存在2k =±，使0NA NB =u u u r u u u r
g ．
解法二：（Ⅰ）如图，设2
2
1122(2)(2)A x x B x x ，
，，，把2y kx =+代入2
2y x =得 2220x kx --=．由韦达定理得121212
k
x x x x +==-，．
∴1224N M x x k
x x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．22y x =Q ，4y x '∴=，
∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44
k
k ⨯
=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =u u u r u u u r
g ．
由（Ⅰ）知2222
1122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，，，，则 22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r g
222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦g
()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤⎡⎤
=-++++++⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦g
22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫⎡⎤
=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦g
22313164k k ⎛⎫⎛⎫
=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
0=，
21016k --<Q ，23
304k ∴-+=，解得2k =±．
即存在2k =±，使0NA NB =u u u r u u u r
g ．
22．本小题满分14分）
设函数3
2
2
2
()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠．
（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时，记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的值域；
（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）Q 2
2
()323()()3
a
f x x ax a x x a '=+-=-+，又0a >，
∴ 当3a x a x <->
或时，()0f x '>；当3
a
a x -<<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,)a -∞-和(,)3a +∞内是增函数，在(,)3
a
a -内是减函数．
（Ⅱ）由题意知 3222
121x ax a x ax x +-+=-+，
即2
2
[(2)]0x x a --=恰有一根（含重根）．∴ 2
2a -≤0
，即≤a
，
又0a ≠，∴
[a ∈U ．
当0a >时，()g x 才存在最小值，
∴a ∈．Q 2
11()()g x a x a a a
=-+-
， ∴
1
(),h a a a a
=-∈． ∴()h a
的值域为(,12-∞-． （Ⅲ）当0a >时，()f x 在(,)a -∞-和(,)3a
+∞内是增函数，()g x 在1(,)a
+∞内是增函数．
由题意得031a a a a a ⎧
⎪>⎪
⎪
≥⎨⎪
⎪≥⎪⎩
，解得a ≥1；
当0a <时，()f x 在(,)3a -∞和(,)a -+∞内是增函数，()g x 在1(,)a
-∞内是增函数．
由题意得02312a a
a a a
⎧
⎪<⎪⎪
+≤
⎨⎪⎪
+≤⎪⎩
，解得a ≤3-； 综上可知，实数a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞U ．。