浙江七彩阳光高考联盟2023-2024学年高二上学期返校联考数学试题及参考答案

绝密★考试结束前
高二数学学科 试题
考生须知：
1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。

4.考试结束后，只需上交答题卷。

选择题部分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）
1.已知集合{π}A x x =<，{}
2,B y y =>则集合A B = ( )
A .∅
B .π2(，)
C .,2∞(-)
D .π∞(-，)
2.“α为三角形的一个内角”是“α为第一、二象限角”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件
D .既不充分又不必要条件
3.右图是H 城市某路段监测到的上午007：至008：通过该路段的所有汽车的时速频率分布直方图,若汽车通过该路段的时速大于等于70则属于违章行驶，已知时速在[
)60,50的汽车的频数是30，则本次统计中违章行驶的汽车有（ ）辆 A .10 B .20
C .30
D .40
4.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点1,0A 同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以
4
rad s π
的速度爬行，黑蚂蚁以
12
rad s π
的速度爬行，则2秒钟后，
两只蚂蚁之间的直线距离为（ ）
A .1
B
C .
3
π
D .
6
π
5.已知a b ，是实数，且满足0a b >>，则（ ） A.ln()ln()a b a b −>+ B.3a b a b π−−<
C.2a b
b a +<
<
< D.11a b a b
−
<−
1cm 第3题图
6.若对任意实数a ，b 规定||
(,)2
a b a b F a b +−−=，则函数2(3,2)F x x −的最大值为（ ）
A .1
B .2
C .3
D .4
7.设x R ∈，若函数()f x 为单调函数，且对任意实数x ，都有(()2)1x f f x −=，则(2)f −的值等于（ ） A .1
2
−
B .1
4
−
C .
1
2
D .
14
8.已知长方体1111ABCD A B C D −中3AB =，4AD =，15AA =，用过该长方体体对角线1AC 的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（ ）
A .
B C . D
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.设a b c 、、是三条不同的直线，αβγ、、是三个不同平面，则下列命题不正确的有（ ）
A .若a c b a ⊥⊥⊥,,αα，则 b c ⊥
B .若a c b a //,//,//αα，则b c //
C .若αβγβα⊥⊥⊥a ,,，则γ⊥a
D .若αβγβα//,//,//a ，则γ//a
10.某体育老师对甲乙两名队员进行了5次射击测试，统计了甲和乙的射击成绩，甲的成绩分别为{9,10,5,7,10}环；乙的成绩分别为{7,8,8,9,9}环，则下列说法正确的是（ ） A .平均来说甲乙射击技术差不多 B .甲的射击技术比乙更稳定 C .甲成绩的中位数比乙高；
D .甲的40百分位数比乙的高
11.设)0(,cos sin 3)(>+=ωωωx x x f ，则（ ） A .)(x f 的值域与ω的值有关
B .当3=ω时，)(x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈9,0πx 上单调递增 C .若9
π
=
x 是它的一条对称轴，则3=ω
D .若2
3
=
ω，则)92(π+=x f y 为偶函数 12.函数2
()()
ax b
f x x c +=
+，（,,a b c 是实数且a ＞0，b ＜0，c ＜0），则()f x 的图象可能是（ ）
A .
B .
C .
D .
非选择题部分
三、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知复数z 满足i i 23z +=，则复数z 的虚部为____________；
14.若从集合{}5,43,2,1，中任取3个元素组成该集合的一个子集，那么取得的子集中，满足3个元素中恰好含有2个连续整数的概率等于 ； 15.已知实数2
1
<
x ，2>y 且3=−+xy y x ，则y x −的取值范围为 。

16.O 为ABC △的外心，且2340OA OB OC ++=，则ABC ∆的内角C 的余弦值为 。

四、解答题（本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.一组学生参加了一次考试，他们的分数分布如下：80 85 90 75 88 92 78 82 85 90。

（Ⅰ）随机选择一个学生，他得到85分的概率是多少？ （Ⅱ）这组学生中，得分超过80分的概率是多少？
（Ⅲ）选择两个学生，他们的分数都在80分以上的概率是多少（学生得分相互不影响）？
18.若平面上的三个力1
F ，
2
F ，
3F 作用于一点，且处于平衡状态。

已知11N
F =，
2F =，
1F 与2F 的夹角为90︒。

（Ⅰ）求3F 的大小；
（Ⅱ）求1F 在3F 上的投影向量（用3F 表示）。

19.在正三棱台111ABC A B C −中，已知112,1AB A B ==。

（Ⅰ）若三棱台的高h =
，求棱台111ABC A B C −的体积； （Ⅱ）若球O 与正三棱台111ABC A B C −内切（与棱台各面都相切），求球O 的表面积。

20.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b =
，a c +=
（Ⅰ）求角B ；
（Ⅱ）求AC 边上中线BD 长的取值范围。

21.如图，三棱锥V ABC −中，VA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥。

（Ⅰ）求证：BC CV ⊥；
（Ⅱ）若点D 在棱VB 上，满足=AD CD ，且有BC VA =，求二面角D AC V −−的正弦值。

22.已知函数()21f x x x a =−−+，2
()1
x a
g x x −=−，m R ∈，且函数()f x 有三个零点。

（Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）若对任意的1[,2]x m m ∈+，总存在23,22
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使得12()()f x g x <成立，求实数m 的取
值范围。

第21题图
高二数学学科 参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）
1. B
2. D
3. B 解析：由直方图的数据可知，总车辆数为100，故违章汽车为20辆。

4. A
5. C
6. B 解析：因为23,(,3)
(1,)
()2,[3,1]
x x f x x x ⎧−∈−∞−+∞=⎨
∈−⎩由函数图像可得，当1x =时，()f x 有最大值2。

7. D 解析：对任意的1x ，2x ，总有11(()2)1x
f f x −=且22(()2)1x
f f x −=； ∴1212(()2)(()2)x
x
f f x f f x −=−，又∵函数()f x 为单调函数， ∴1212()2()2x
x
f x f x −=−，∴1212()()22x x
f x f x −=− ∴设()2x f x m =+（其中
m 为常数），
∴(()2)(22)()2x x x m f f x f m f m m −=−+==+，
∴0()2120m f m m =+==+，∴0m =，∴()2x f x =，∴1
(2)4
f −=
，选D 。

8. C 解析：如图，易知截面1AFC G 为平行四边形,过点F 作1FE AC ⊥,垂足为E ，则截面面积
1S AC FE =⨯，
因为1AC =所以只要FE 最小，而当FE 分别为异面直线1AC 和1BB ;1AC 和BC ;
1AC 和CD 的公垂线时,FE 最小.分别求得距离为
125，，故FE min =512，故
1AFC G S =,又由特殊截面1125ACC A S =,11ABC D S =,11AB C D S =，比较所得
1min AFC G S S ==
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题所给的四个选项中，有多项符合
题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. BCD 10. AC
11. BD
解析： 因为)6sin(2)(π
ω+=x x f ，所以)(x f 的值域[]2,2−，与ω的值无关，A 错误；当3=ω时，
因为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+
=9,0),63sin(2)(ππ
x x x f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+2,663πππx ，故B 正确； 因为)6sin(2)(πω+=x x f ，
由题意
Z k k ∈+=
+
,2
6
9
ππ
π
ωπ
,当0=k 时，3m in =ω，C 错误；因为)6sin(2)(π
ω+=x x f ，由题意3
2
ω=
，23()2cos 92x f x π+=，D 正确。

故选B ,D 12. BCD
解析:由a ＞0，b ＜0，c ＜0，当0x <时，函数值恒小于零，无负零点，故排除A 。

当b ac =，如1,0a b c ==<时，1
()()
f x x c =
+，故D 有可能。

当0b ac −>，如1,2,1b a c =−==−时 可以是B ;当0b ac −<时，如2,1,1b a c =−==−时可以是C
非选择题部分
三、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分） 13.3−
14. 解析： 从{}5,43,2,1，中任取3个元素形成的子集共有10个。

其中6个子集中恰好含有两个连续
整数.故概率为
5
3。

15. 解析：3x y xy +−=，1
21−−
=∴y x ，1
2x <
，2
1121<−−=∴y x ，52<<∴y 原式=)]1(1
2
[121−+−−=−−−
y y y y ，结合对勾函数图像得：
)29,22[)1(12∈−+−y y ]22,2
9
(−−∈−∴y x
16. 解析O 为ABC ∆ 的外心，又由234OA OB OC +=−，
平方可得:222412916OA OA OB OB OC +•+= 不妨设1OA OB OC ===，则
1
cos 4
OA OB AOB ⋅=
=∠由2AOB C ∠= ，或()2AOB C π∠=−，又由2340OA OB OC ++= 可得点O 在 ABC ∆的内部,即ABC ∆为锐角三角形
故2AOB C ∠=，故cos C =
四、解答题（本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解：
（1）得到85分的学生有2人，所以概率为
2
10，即概率为15
；-----3分 （2）得分超过80分的学生有7人，所以概率为
7
10
；-----6分 （3）分数都在80分以上的学生有7人（得分为85、90、88、92、82、85、90），
所以概率为767
10915
⋅= -----10分 18. 解：
（1）因为11N F =，2F =，1F
与2F 的夹角为90︒， 所以12||2F F +=，-------2分
又3120F F F ++=，所以3||2F =；-------6分 （2）因为1F 在3F 上的投影向量是3
1133||cos ,||
F F F F F <>⋅
，-------8分 又132,3
F F π
<>=
，-------10分 所以3
1133||cos ,||
F F F F F <>⋅
-------11分 31
4
F =−-------12分
19. 解：
（1
）因为
11()3
V h S S =++-------2分
1334=
⋅
12
=
-------6分 （2）把棱台补成正棱柱，设球的半径为r ，-------8分
通过计算可得球O
的半径6
r =
，-------10分 （因为是正三棱台的内切球，上下底面的切点为正三角形的中心OO 1，所以2R=h=OO
13=
，
得球O
的半径6
r =
）-------10分
所以223
S ππ==. -------12分
20. 解：
（1） 由2b =
，a c +=222a c b ac +=+ ---2分
所以2221cos 22
a c
b B a
c +−==，从而3B π
= -------4分
（2）解法1：如图所示，
()
()2
2222cos BD a c ac B π=+−− ----6分
所以()2
2
2
22cos BD a c ac B =++
22a c ac =++()()2
222sin sin sin sin R A C A C =++ ----8分
161cos 21cos 2sin sin 322A C A C −−⎛⎫
=
++ ⎪⎝⎭
21cos 2161cos 223sin sin 3223A A A A ππ⎛⎫⎛⎫
−− ⎪ ⎪−⎛⎫⎝⎭ ⎪=++− ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
1652cos 2343A π⎛⎫⎛⎫=
+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，又因为20,3A π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
----10分 所以()(]2
24,12BD ∈
，即(
BD ∈ ----12分
解法2：由向量平行四边形法则()2
2
2
2
22()BD b a c +=+ ---6分
所以()2
2
2
2
22()BD a c b =+−222()4a c =+−
因为()()22222
2sin sin a c R A C +=+21cos 2161cos 23322A A π⎛⎫
⎛⎫−− ⎪ ⎪−⎝⎭ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭
----8分 1621cos 233A π⎛⎫⎛⎫=
+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭又因为20,3A π
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭ 22(4,8]a c +∈
----10分 所以()(]2
24,12BD ∈
，即(
BD ∈----12分
解法3：
因为2222cos AC a c ac B =+−，
所以224a c ac =+−20ac ac ac ≥−=> - ---6分 又因为()2
2
2
2BD a c ac =++，所以40ac ≥>， ----8分
所以()(]2
24,12BD ∈
，即(
BD ∈ ----11分
当且仅当2a c ==
----12分
解法4：
如图所示，3
B π
=
，2b =，故ABC △有外接圆O - ---6分
CD BD OD OB <≤+ ---10分
所以1BD <≤ ----12分
21. 解：
（1）因为VA ⊥平面ABC ，所以VA BC ⊥ ……2分
又BC AC ⊥，VA AC A ⋂= 所以BC ⊥平面VAC
所以BC VC ⊥ ……4分
（2）解法1：作DE //VA 交AB 于点E ，则DE ⊥平面ABC ，
作EF ⊥AC ，垂足为F ，连结DF ，则AC DF ⊥， 所以DFE ∠就是二面角−−D AC B 的平面角，……6分
显然二面角D AC V −−与二面角−−D AC B 互余 ……8分 因为AD CD =,AC DF ⊥, 所以点F 是AC 的中点.
因为AC BC ⊥,EF //BC .所以点E 是AB 的中点. 又DE //PA ，所以点D 是VB 的中点. 在Rt DFE ∆中，tan 1DE VA
DFE EF BC
∠===，……10分
所以sin 2
DOG ∠=
，即二面角D AC V −−的正弦值也是2.……12分 解法2：作,DH BC DH VAC DH AC ∴⊥∴⊥，
面，作D F ⊥AC ，垂足为F ， ，,VC D VB HF AC F H ⊥∴为中点，为中点，为中点……6分
所以H DF ∠就是二面角V D AC −−的平面角，……8分 1111RT ,,2222
DFH DH BC FH VA ====
H tan H 1
H D BC
DF F VA
∠===
二面角D AC V −−.……12分
解法3：以CA,CB 为X ，Y 轴，过点C 平行于AV 的直线为Z 轴建系，
VA=BC=1CA=, C(000,(,0,0),(0,1,0),(,0,1)D(x,y,z)a A a B V a 设，，，），，……6分
1111D VB ,D 222222a a AD CD x y z =∴=∴==∴，，在直线上，，（，， ）
……8分 平面V AC 的法向量为n =（0，1，0）平面DAC 的法向量为m =（0，1，-1）……10分
n m 2cos cos n m n m 2θ⋅==
=，
二面角D AC V −−.……12分
22. 解： （1）设2
2222,2(1)1,2()2=2,2(1)1,2x x x x x h x x x x x x x x ⎧⎧−+<−−+<⎪⎪=−=⎨⎨−≥−−≥⎪⎪⎩⎩……………2分 ()f x 有三个零点，即()f x m =−有三个不同的交点，如图
所示…………………3分
则011a <−<，即12a << ………………4分
（2）∵对任意的1[,2]x m m ∈+，总存在23,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使得12()()f x g x <成立 ∴max max ()()f x g x <…………………………………………………………6分
∵221111()1121111
x a x a a a g x x x x x x x −−−+−−===++=−++−−−−, ∵函数()f x 有三个零点，由12a <<，110a −<−<，
∴()g x 在3,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上递增，…………………………8分 ∴max ()4g x a =−………………………………………………………………8分 ①若21m +<，即1m <−，则2max ()(2)21f x f m m m a =+=−−−+ ∴2214m m a a −−+−<
−，∴m R ∈，故1m <−…………………9分
②若121m ≤+≤11m −≤≤，则max ()(1)2f
x f a ==− ∴24a a −<−恒成立，∴11m −≤≤………………………………10分
③若21m +>，即1m >
，则2max ()(2)21f x f m m m a =+=++−
∴2214m m a a ++−<−，∴31m −<<11m <<…………11分 所以，综上可得：1m < ……………………………………………………12分。