求二次函数的解析式专项练习60题(有答案)

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求二次函数解析式专项练习60题（有答案)
１．已知二次函数图象的顶点坐标是(1,﹣4)，且与y轴交于点(0,﹣3)，求此二次函数的解析式．
2．已知二次函数y=x２＋bｘ+c的图象经过点Ａ(﹣1,1２），B(2，﹣3).
(1)求这个二次函数的解析式.
(２)求这个图象的顶点坐标及与ｘ轴的交点坐标．
3.在平面直角坐标系ｘOy中，直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线ｌ与二次函数y=x2+bx+２图象的一个交点为（m,3),试求二次函数的解析式.
4.已知抛物线ｙ=ax２+bｘ＋c与抛物线形状相同,顶点坐标为（﹣2，4)，求ａ,b，c的值.
５．已知二次函数y=aｘ２＋bx＋ｃ,其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：
（1）求这个二次函数的解析式;
（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标．
x …﹣2 0 ２…
y …﹣１１１１…
6.已知抛物线y=x2+(m+1)x+ｍ,根据下列条件分别求m的值.
(1）若抛物线过原点；
（２)若抛物线的顶点在ｘ轴上；
(3）若抛物线的对称轴为x=2．
7.已知抛物线经过两点Ａ（1,０）、Ｂ(0，3)，且对称轴是直线x=２,求其解析式.
8．二次函数y=ax2+ｂｘ＋c(ａ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题:
（1)写出y>０时,x的取值范围_＿__＿__＿_ ；
(２）写出y随x的增大而减小的自变量ｘ的取值范围_＿＿__＿__＿；
(3)求函数y=ax2+bx＋ｃ的表达式.
９.已知二次函数y=x2+bx+ｃ的图象经过点A(﹣2，5），B（1，﹣4）.
（1）求这个二次函数解析式；
(2）求这个图象的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标；
（３)画出这个函数的图象.
1０．已知:抛物线经过点Ａ(﹣1,7)、Ｂ（2,１)和点C(０，1).
(1)求这条抛物线的解析式;
（2)求该抛物线的顶点坐标.
１1．若二次函数y＝ａx2+ｂｘ+c的图象与y轴交于点Ａ（0,3),且经过B(1,0)、C（2,﹣1）两点,求此二次函数的解析式．
12.二次函数y=x2＋ｂx+ｃ的图象过Ａ(2，3)和Ｂ(﹣1，0)两点，求此二次函数的解析式．
13.已知：一抛物线y=aｘ2+ｂx﹣2（a≠０）经过点(3，4)和点（﹣1,0）求该抛物线的解析式，并用配方法求它的对称轴.
１4．二次函数y=2ｘ2＋bx＋c的图象经过点(０，﹣6)、(３,0），求这个二次函数的解析式,并用配方法求它的图象的顶点坐标．
１5．如图,抛物线y＝﹣x２+5x+m经过点A(1，０）,与ｙ轴交于点B，
（1)求m的值;
（2)若抛物线与x轴的另一交点为C，求△ＣAB的面积；
（3）P是ｙ轴正半轴上一点，且△PAＢ是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.
16．如图，抛物线ｙ=﹣ｘ2+ｂｘ+c与ｘ轴的两个交点分别为Ａ(１，0）,B(3,0).
(1）求这条抛物线对应函数的表达式;
（2)若Ｐ点在该抛物线上,求当△PAB的面积为8时，点P的坐标．
１７.已知二次函数的图象经过点（0,﹣１)、（1，﹣3）、（﹣1，3）,求这个二次函数的解析式.并用配方法求出图象的顶点坐标．
18.已知:二次函数的顶点为A(﹣１,4）,且过点B（２，﹣5），求该二次函数的解析式.
19.已知一个二次函数y=x２＋bx＋c的图象经过(1,2)、（﹣1，6）,求这个函数的解析式．
２0．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（2,０）、B（0，﹣6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求该二次函数图象与ｘ轴的另一个交点.
21.已知抛物线最大值为3,其对称轴为直线ｘ=﹣1,且过点（1,﹣5）,求其解析式.
22.已知二次函数图象顶点坐标为（﹣２,3），且过点（1,0),求此二次函数解析式．
２3．已知抛物线y=﹣x2＋bｘ+c,它与x轴的两个交点分别为（﹣1，０），(3,0)，求此抛物线的解析式.
24．一个二次函数的图象经过点（0，0）,（﹣1,﹣１），(１,9）三点,求这个函数的关系式．
25．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点Ａ(２,﹣３)，B（１,﹣４)．
（1)求这个函数的解析式;
(２)求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
2６.已知二次函数ｙ=ax２+bx﹣3的图象经过点A(2,﹣3）,B(﹣1,0）．求二次函数的解析式．
27．已知二次函数y＝ａx2+ｂx+c,当ｘ=0时，函数值为5,当x＝﹣１或﹣5时,函数值都为0，求这个二次函数的解析式．
2８．已知抛物线的图象经过点A（１,0),顶点P的坐标是.
(l)求抛物线的解析式；
(2）求此抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积.
２９．如图为抛物线y=﹣x2+bx+c的一部分,它经过A(﹣１,0）,Ｂ（0,3)两点.
(1）求抛物线的解析式；
(2)将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移１个单位,求平移后的抛物线的解析式.
30．已知二次函数y=﹣x２+bx+c的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为（﹣１，0），与ｙ轴的交点坐标为（0,３)．
（１）试求二次函数的解析式;
(2)求y的最大值;
（3）写出当ｙ＞0时，x的取值范围.
31．已知某二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线y=x＋1上，并且图象经过点（２，1），求二次函数的解析式．３2．抛物线y=﹣ｘ２+bx+ｃ的对称轴是x=l，它与x轴有两个交点，其中的一个为（3，０)，求此抛物线的解析式.
33．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3)，且顶点坐标为（﹣1,﹣４）.
（1）求该二次函数的解析式；
(2）设该二次函数的图象与ｘ轴的交点为A、B，与ｙ轴的交点为C，求△ABＣ的面积．
34．如图,直线y=ｘ+ｍ和抛物线y＝x２+ｂｘ+c都经过点A(2，0),B(５，３)．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式ax2+bx+c≤x+ｍ的解集(直接写出答案)；
(3）若抛物线与y轴交于C,求△ＡBＣ的面积．
35．二次函数的图象经过点(１，2)和(0,﹣1）且对称轴为ｘ=2，求二次函数解析式.
36．如图所示,二次函数y=﹣x２+bx+c的图象经过坐标原点O和A(４，0).
（1)求出此二次函数的解析式；
（2）若该图象的最高点为B,试求出△AＢＯ的面积；
（3）当1<x＜4时,y的取值范围是____＿____ ．
3７．已知：一个二次函数的图象经过(﹣1,10),(1,4）,（2,7）三点．
(1)求出这个二次函数解析式;
(２）利用配方法,把它化成ｙ=a（x+h)２+k的形式,并写出顶点坐标和y随ｘ变化情况．
38.已知抛物线ｙ=x2﹣2(k﹣2）x+1经过点A(﹣１,２)
(1）求此抛物线的解析式；
(2）求此抛物线的顶点坐标与对称轴．
39.根据条件求下列抛物线的解析式：
(1）二次函数的图象经过(0，1)，（２，1）和(3，4）;
(2）抛物线的顶点坐标是（﹣2,１）,且经过点(1,﹣2）．
40.已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,﹣2）且与ｙ轴交于（0，)
（1）求函数的解析式;
（２)当x为何值时,ｙ随x增大而增大.
41．已知二次函数的图象经过点(0,﹣2)，且当ｘ=1时函数有最小值﹣３．
（1)求这个二次函数的解析式;
(2)如果点（﹣2，y1),（1，ｙ2）和（3，y3)都在该函数图象上,试比较y1,y2，y3的大小.
4２．已知二次函数y=x2+bｘ＋c的图象经过点(０,3）、（4,3)
（1）求二次函数的解析式,并在给定的坐标系中画出该函数的图象(不用列表）；
（2)直接写出x２+bx＋ｃ＞3的解集.
43.不论m取任何实数，ｙ关于x的二次函数y=x２+2mｘ+m2＋2m﹣１的图象的顶点都在一条直线上，求这条直线的函数解析式．
44.抛物线ｙ=ax2+bx+c过点A（﹣2,１），B(2,3），且与ｙ轴负半轴交于点C，S△ABＣ=12，求其解析式.
45．直线ｙ＝kx+b过x轴上的A(2，0)点,且与抛物线y=ax２相交于B、Ｃ两点,已知B点坐标为（1,1),求直线和抛物线所表示的函数解析式,并在同一坐标系中画出它们的图象．
46．已知二次函数y=x２+ｂx＋c的图象经过点P（2，7）、Q（０，﹣5)．
（1)试确定b、c的值;
（2）若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点（其中点A在点Ｂ的左侧),试求△PＡB的面积．
４7．抛物线y=ａｘ2﹣3ａx+b经过A（﹣1，0），C（3,﹣２）两点．
（１）求此抛物线的解析式;
（２)求出这个二次函数的对称轴和顶点坐标.
4８．已知二次函数ｙ=ｘ2+bx+ｃ的图象经过点A(０,4），且对称轴是直线x=﹣2，求这个二次函数的表达式.
４9.已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(﹣４，３），且图象过点（ｌ,﹣2)．
(1）求这个二次函数的关系式;
（２）写出它的开口方向、对称轴．
５0．如图，A(﹣1,０)、B(2，﹣３)两点在一次函数y1＝﹣x＋ｍ与二次函数y2=ａx２+ｂx﹣3的图象上.
（1）求m的值和二次函数的解析式.
（2)二次函数交y轴于C,求△AＢC的面积．
51．若二次函数的图象的对称轴是直线ｘ=1.5,并且图象过A(０，﹣４)和Ｂ(4，０）
（1）求此二次函数的解析式；
(2）求此二次函数图象上点Ａ关于对称轴对称的点A′的坐标.
52．若二次函数ｙ=aｘ2＋bx+c中，c=3,图象的顶点坐标为（２,﹣1),求该二次函数的解析式.
５3.过点A(﹣1，4）,B（﹣3,﹣8)的二次函数ｙ1=ax2＋bｘ+c与二次函数的图象的形状一样,开口方向相同，只是位置不同，求这个函数的解析式及顶点坐标．
54.二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为１和﹣7，且经过点(﹣3，8).求:
（１）这个二次函数的解析式；
（２)试判断点A(﹣１,２)是否在此函数的图象上．
5５．已知二次函数y=aｘ2＋bx+c的图象经过点（０，﹣９)、（1,﹣8）,对称轴是y轴．
(1）求这个二次函数的解析式；
(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位,设平移后的图象与ｙ轴的交点为C,顶点为P，求△POC的面积．
５６.如图，抛物线ｙ=aｘ２+bx经过点Ａ(４,０)、B(2，2）,连接OＢ、ＡB.
（1）求抛物线的解析式；
（2)求证：△OＡB是等腰直角三角形.
57．如图，抛物线ｙ=x2+ｂｘ﹣２与x轴交于Ａ、Ｂ两点，与ｙ轴交于C点,且A（﹣１,０）.
（１）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2）若将上述抛物线先向下平移３个单位,再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式.
5８.已知二次函数y=﹣x2+ｂx+c的图象经过Ａ(２,0）,B(０,﹣６）两点.
(１）求这个二次函数的解析式;
（2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△AＢC的面积和周长.
５9．如图,已知二次函数y=aｘ2﹣4x+c的图象经过点A和点B．
（1)求该二次函数的表达式;
(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．
6０.已知函数y=x2+bx+c过点A(2,２），B（5,2）．
（1)求b、c的值;
（2）求这个函数的图象与ｘ轴的交点C的坐标;
(３)求S△ＡBC的值．
二次函数解析式60题参考答案:
1.∵顶点坐标是(１，﹣4）
因此,设抛物线的解析式为:ｙ=ａ(x﹣１)2﹣4，
∵抛物线与ｙ轴交于点(０，﹣3)
把（0，﹣３）代入解析式:﹣3=a(0﹣１）2﹣4
解之得：a=1(１４分）
∴抛物线的解析式为:y＝x2﹣2x﹣3．
2.（１）把点A（﹣1，12)，B(2,﹣3）的坐标代入ｙ=x２+bｘ＋c 得
得
∴y=ｘ2﹣6x+５.
(2）ｙ=x2﹣6x＋5,
ｙ=（ｘ﹣３)2﹣4，
故顶点为（３，﹣４)．
令x2﹣6ｘ＋５＝０解得ｘ1=1，x２=5.
与x轴的交点坐标为（1，0）,（5，0)．
3．由题意，直线l的解析式为y=x,
将（ｍ，3）代入直线l的解析式中，解得m＝3.
将（３,3)代入二次函数的解析式，解得,
∴二次函数的解析式为
4．抛物线ｙ=ax2+bx+c 与抛物线形状相同,则a ＝±. 当a ＝时，解析式是:y=(ｘ+2）２+4=ｘ2＋x＋5.
即ａ=,b=１，ｃ=５；
当a ＝﹣时，解析式是：y=﹣（x+2)2+４=﹣x２﹣x+3.
即a=﹣,b＝﹣１,c=3.
５．（1)依题意,得,解得;
∴二次函数的解析式为：y=ｘ2＋３x+1．
(２)由（1）知:y＝x2＋３x+１＝(x+）2﹣,故其顶点坐标为（﹣,﹣）
6．(1）∵抛物线过原点,
∴０=02+(m+1）×0+m．解得m＝０;
（2)∵抛物线的顶点在x轴上.
∴△=(ｍ＋1)2﹣4m＝０. 解得：m=１;
（3）∵抛物线的对称轴是ｘ=2,
∴﹣=２．
解得ｍ＝﹣５
７．∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A（１，0) 由抛物线的对称性可知:抛物线还经过点（３，0）
设抛物线的解析式为y＝a(ｘ﹣x1)(x﹣ｘ２）(a≠0）即:y=a(ｘ﹣1)(ｘ﹣3）
把Ｂ（0,3)代入得:３＝3ａ
∴a=1
∴抛物线的解析式为：y＝x２﹣4x+3．
8．（１)抛物线开口向下，与x轴交于(1,0)，（３,0), 当y>０时,x的取值范围是：1<x<3；
(２）抛物线对称轴为直线x=2,开口向下,
y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是ｘ>2; （３)抛物线与ｘ轴交于(１，0），（3,0),
设解析式y=ａ(x﹣1）(x﹣3），把顶点（２，2）代入, 得2=ａ(２﹣１）(２﹣3）,解得a＝﹣2，
∴y=﹣2（ｘ﹣1)(x﹣3),
即ｙ=﹣2ｘ２+8ｘ﹣6．
9.（1）把A(﹣2，5），B(１，﹣４)代入y=x2+ｂx+c, 得,
解得b=﹣2，c=﹣3，
∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（２）∵y=x2﹣2x﹣３,
∴﹣＝1，=﹣4，
∴顶点坐标（1,﹣4)，对称轴为直线x=1；
又当ｘ＝0时,y＝﹣3，
∴与ｙ轴交点坐标为(0，﹣3）；
y=0时,x=3或﹣1，
∴与ｘ轴交点坐标为（3，0),（﹣1，0）．
（３）图象如图.
10．(1)设所求抛物线解析式为ｙ＝aｘ2+bｘ+c．根据题意，得
,
解得．故所求抛物线的解析式为y＝2x２﹣4x+1．（2）∵,
∴该抛物线的顶点坐标是（1,﹣1）
11.∵二次函数ｙ=ａx2+bx+c的图象与y轴交于点A（０，3）, ∴ｃ=3．
又∵二次函数y=ａｘ2+bx＋ｃ的图象经过B（１,0）、Ｃ(2，﹣１)两点,
∴代入y＝aｘ2+ｂx+c得：
a+b+c=0，①
4a+2b＋ｃ=﹣１，②
由①②及c=3解得
∴二次函数的解析式为y=ｘ2﹣4x+3
12．由题意得解得,．
此二次函数的解析式为ｙ=ｘ2﹣1.
13.把点（3,４)、（﹣１,0）代入y＝ax２+bx﹣2
得:
解得:
则抛物线的解析式是y＝x2﹣ｘ﹣2=(x ﹣）2﹣
则抛物线的对称轴是：ｘ＝１４.由题意得,
解得．
∴这个二次函数的解析式是ｙ=2x2﹣4x﹣6．
y＝2(x2﹣2x)﹣6
=2(ｘ2﹣2x+1)﹣２﹣6（1分）
＝2(x﹣１)2﹣8.（1分）
∴它的图象的顶点坐标是（1,﹣８).
15.（１）根据题意,把点A的坐标代入抛物线方程得:
0=﹣1+５+m，即得m=﹣4；
（２）根据题意得：
令y=0,即﹣x2＋5x﹣４=0,解得x１＝1，ｘ2＝4,
∴点Ｃ坐标为（4，0）；
令x=0,解得y=﹣4，
∴点B的坐标为（0，﹣4）；
∴由图象可得，△CＡＢ的面积Ｓ=×ＯB×AＣ=×4×3=6;
(3)根据题意得：
①当点O为PB的中点,设点P的坐标为(0，y），(ｙ＞０)
则y﹣4＝0，即得ｙ=４,
∴点P的坐标为(０,４）．
②当AB＝BP时，AB=,
∴OP的长为:﹣4,
∴P（0,﹣4）,
∴P(0，﹣4），或（0，4）
16．（1）点（1,０）,(3,0）在抛物线y=﹣x2+ｂx＋c上．则有解得:
则所求表达式为y=﹣ｘ2+４x﹣3．
（2)依题意，得AＢ＝3﹣1=2.
设P点坐标为（a，ｂ）
当b＞０时,×２×ｂ=8.则b=8．
故﹣ｘ２+4x﹣3=8即ｘ２+4ｘ＋1１＝0
△=(﹣４)２﹣４×1×1１=16﹣44=﹣２8<0,
方程﹣x2+4x＋11＝0无实数根.
当b＜0时，×2×（﹣b)=８,则b=﹣8
故﹣x２+4x﹣3=﹣8 即﹣x2＋４x﹣５=0．
解得x1＝﹣１，ｘ２=5
所求点P坐标为(﹣1,﹣8），(5,﹣8)
17．设二次函数的解析式为y=ax２+bx+c,
由题意得，
解得．
故二次函数的解析式为y=x2﹣3x﹣1;
ｙ=x2﹣3x﹣1
=x2﹣3x+()2﹣（)2﹣1
=（x ﹣)２﹣,
所以抛物线的顶点坐标为（，﹣)．
１8．设此二次函数的解析式为y=a（x+1）2+４.
∵其图象经过点（２,﹣5)，
∴a(2+１）２+4=﹣５,
∴a=﹣1，
∴y=﹣(ｘ+1)２+4=﹣x２﹣2x＋3.
故答案为:y=﹣x2﹣2x+3
1９. ∵二次函数ｙ=ｘ2+bx+c的图象经过（1，2)、(﹣１，6)，∴，解得，
∴所求的二次函数的解析式为y=ｘ２﹣２x+３.
20.(1）把Ａ（2,０)、B（0，﹣6)代入y=x２+ｂx+c得,4+2ｂ+c=０,c＝﹣6,
∴b=１,c＝﹣6,
∴这个二次函数的解析式y=x2+x﹣6；
（2）令y=0，则x2+x﹣6=0，解方程得x１=2,ｘ2=﹣3,
∴二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣3,０).
21.∵已知抛物线最大值为3,其对称轴为直线x=﹣1,
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，３）
设抛物线的解析式为:y＝a(ｘ+1）2+３, ∵(1,﹣5)在抛物线y=a（x+1）2＋３上，
∴解得a=﹣2，
∴此抛物线的解析式ｙ=﹣2(x+1）2+3
22．设二次函数式为y=k(ｘ+2)2+3．
将（１，0)代入得9k+３=０,
解得k=.
∴所求的函数式为 y=（x+２)２+3
23．根据题意得，,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣ｘ2+2x＋3；
或:由已知得，﹣１、3为方程﹣x２+bx+c=0的两个解,
∴﹣１+３=b,(﹣1)×３=c,
解得b=2，c=3，
∴抛物线的解析式为y=﹣ｘ2+2x＋３．
2４. 设二次函数的关系式为y=aｘ2+bx+ｃ(a≠0），
∵二次函数的图象经过点(0，0),(﹣１,﹣１），(1，９)三点，∴点(０，0），（﹣1,﹣1),(1，9）满足二次函数的关系式，
∴，
解得,
所以这个函数关系式是:y＝4x２+5ｘ
２５.(1)由题意,将A与B 代入代入二次函数解析式得：
，
解得：,
则二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣３；
(2）令y=0，则ｘ2﹣２x﹣3＝0，即(x＋1)(x﹣3)=0，
解得:ｘ１=﹣1，ｘ2=3，
∴与x轴交点坐标为(﹣1,０）,(3，０);
令x=0,则y＝﹣3，
∴与y轴交点坐标为（0，﹣３）
26．根据题意，得,
解得,;
∴该二次函数的解析式为:y=x2﹣２x﹣3.
27．由题意得，二次函数y=ａｘ2+bx+ｃ,过（0，５)(﹣1，0)（﹣５，0）三点，
∴,
解得a=1,b=6，c=５，
∴这个二次函数的解析式y＝x２＋6x＋５
２8．(1）由题意,可设抛物线解析式为y=a(ｘ﹣)2＋,
把点A(１，０）代入,得a(1﹣）2+=0，
解之得a=﹣1,
∴抛物线的解析式为ｙ=﹣(x ﹣）２+,
即y=﹣ｘ2+５x﹣4；
(2）令x=0，得y＝﹣4,
令y＝0,解得x１=4，x2=1,
Ｓ=×（4﹣１）×4=６.
所以抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积为６. ２9.(1)∵抛物线经过Ａ（﹣１，0）,Ｂ(0,3)两点
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=﹣x２+２x+3．
（2）∵y＝﹣x2+2x＋３可化为y＝﹣(x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣ｘ2+2ｘ+3的顶点坐标为（1,4)，
又∵此抛物线向左平移3个单位,再向下平移1个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为(﹣2,３)．
∴平移后的抛物线的解析式为ｙ=﹣(x＋2）2＋3=﹣x2﹣4x﹣１．30.(1）∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为(﹣1,０)，与y 轴的交点坐标为(0,3）,
∴x=﹣1，y=０代入y=﹣x２+bx+ｃ得:﹣1﹣b＋c=0①,
把ｘ=０,y=3代入y＝﹣x2+bx+ｃ得：c=3，
把ｃ＝３代入①,解得b=2，
则二次函数解析式为y=﹣x２+2x+3;
（2）∵二次函数y=﹣x2+2x+3的二次项系数a=﹣1＜０，
∴抛物线的开口向下，
则当x ＝﹣=﹣=1时，ｙ有最大值,最大值为
＝４;
（３)令二次函数解析式中的y=０得：﹣x２＋2x＋3=0，
可化为:（x﹣3)(x+1)＝0，
解得:x1=3,x2=﹣1,
由函数图象可知：当﹣1＜ｘ＜３时,y＞0
3１．∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2, 又顶点在ｙ=x+1上，那么顶点的横坐标是1,
设此函数的解析式是y=ａ(x﹣1）2+２,
再把(２,１）代入函数中可得
a（2﹣１）2＋２＝1，
解得a＝﹣１,
故函数解析式是y=﹣x2+2x+1．
３2.∵﹣=﹣=1,
∴ｂ＝2,
又∵点（3,0)在函数上,
∴﹣9＋６+c＝0，
∴c＝３,
∴函数的解析式是y=﹣x2＋２x＋3．
33．（1)设y=a(x+1)２﹣４,把点(０，﹣３)代入得:a=１，∴函数解析式y＝（x＋１)２﹣4或y＝ｘ2＋2ｘ﹣３；
(2）∵x2+2ｘ﹣３=0，
解得x1=1，ｘ2=﹣3，
∴A（﹣3，0)，Ｂ（1,0），Ｃ(０,﹣3）,
∴△AＢC的面积=.
34.（1）解:∵直线y＝ｘ＋m经过A点,
∴当x＝2时，ｙ＝０，
∴m+2=0，
∴ｍ=﹣2,
∵抛物线ｙ=x2+bx+ｃ过Ａ(2，０）,B（５，3)，
∴,
解得，
∴抛物线的解析式为y＝ｘ2﹣6ｘ+8；
(2)由图可知,不等式ax２+bx+c≤ｘ＋m的解集为2≤x≤５; (3）解：设直线AB与y轴交于D,
∵A（2，０)B(５,3）,
∴直线AＢ的解析式为y=x﹣2，
∴点D(０,﹣2）,
由(１)知Ｃ(0,8),
∴S△BCD =×10×５＝２５，
∵Ｓ△ＡＣD =×10×２=10,
∴S△AＢC=S△BＣＤ﹣Ｓ△ＡCD＝25﹣10=15．
35.设二次函数的解析式为y=aｘ2＋ｂx+ｃ,
由题意得，二次函数的图象对称轴为ｘ=2且图象过点（1，2），(0,﹣１)，
故可得：,解得:.
即可得二次函数的解析式为:y=﹣x2+4x﹣1
３6.(1）由条件得
解得
所以解析式为ｙ＝﹣x2+4x，
(2)∵该图象的最高点为B,
∴点B的坐标为（2,４),
∴△ABO的面积=×4×4＝8,
（３)∵当ｘ=1时,y=3,
∴当1＜x＜4时,ｙ的取值范围是0<y<4．
故答案为:0<ｙ＜4．
３7．(１）这个二次函数解析式ｙ＝ax２+bｘ+c(ａ≠0）,
把三点(﹣1，１0），(1,４)，(2,7)分别代入得：
,
解得：,
故这个二次函数解析式为：y＝2x2﹣３x+5;
（2）y=２x2﹣3x+5
=2(ｘ２﹣x+﹣）+5
=2(x ﹣)2﹣＋5
=２(x ﹣）２+,
则抛物线的顶点坐标是（,）, 因为抛物线的开口向上，
所以当x>时，ｙ随ｘ的增大而增大，
当x时,ｙ随x的增大而减小.
3８.（1）将A（﹣１，２)代入y=x2﹣２(k﹣2)x+1得：2=1﹣２（k﹣2)＋１,
解得:k＝2，
则抛物线解析式为ｙ=x２+1；
（2）对于二次函数y=x2+1，a=1，b=0,c=1，
∴﹣＝0,＝1，
则顶点坐标（0,1）;对称轴为直线x=0(y轴)
３9．（1)设抛物线的解析式是ｙ=ax2＋ｂx+ｃ,
把(0，1),(2，1）,(3,4）代入得：，
解得：，∴y=x2﹣２x+1.
（２）设抛物线的解析式是:ｙ=ａ(ｘ+2)２+1，
把(1，﹣2）代入得:﹣2=a（1+2)2+1，
∴a=﹣，
∴y ＝﹣（ｘ＋2）2＋1,即y=﹣ｘ2﹣x ﹣.
4０．(１)设函数的解析式是：ｙ=ａ(x﹣３）2﹣２
根据题意得：9ａ﹣２=,解得:a ＝;
∴函数解析式是:y=﹣2；
(２)∵a=>0
∴二次函数开口向上
又∵二次函数的对称轴是x=3.
∴当x＞3时,y随ｘ增大而增大．
41．(1）由题意知：抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）
设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由于抛物线过点(０,﹣２)，则有:
ａ(０﹣1)2﹣3=﹣２，解得a=1;
因此抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣3.
(2)∵ａ=１＞0,
∴故抛物线的开口向上;
∵抛物线的对称轴为ｘ=１,
∴（１,ｙ２)为抛物线的顶点坐标,
∴y２最小.
由于(﹣２,y1）和（4,y1)关于对称轴对称,可以通过比较(４，ｙ
1）和(3,y3)来比较y1,y3的大小,由于在ｙ轴的右侧是增函数,所以y１>y3.
于是y2＜y3＜y1．
42.(１)由于二次函数y=x2+bｘ+c的图象经过点(0,3)、（4,３），则，解得:，
∴此抛物线的解析式为:y=x2﹣4ｘ+3．
函数图象如下:
（2）由函数图象可直接写出ｘ2+bx+c＞3的解集为:ｘ＜0或x＞
４.
4３．二次函数可以变形为y=（x+m）2＋2m﹣1,
抛物线的顶点坐标为（﹣m,2m﹣1)．
由，
消去m,得y=﹣２x﹣１.
所以这条直线的函数解析式为ｙ=﹣2ｘ﹣1
44．设直线AＢ的解析式为y=ｋx＋ｂ,
∴，
解得,
直线AＢ的解析式为ｙ=x＋2,
令x=0，则ｙ＝2，
∴直线AＢ与y轴的交点坐标（0,2），
∵S△ABC=１２,∴C(0，﹣４),
∵抛物线y=aｘ2+ｂx+c过点A（﹣２，1)，Ｂ(2，3）,且与ｙ轴
负半轴交于点C,
∴，
解得,
∴抛物线的解析式为y=ｘ2+x﹣4
45.∵直线ｙ=kx+b过点A（2，0)和点Ｂ(1，1)，∴，
解得，
∴直线AB所表示的函数解析式为ｙ=﹣x+２，
∵抛物线ｙ=ax2过点B（1,1),
∴ａ×１2＝1，
解得a＝1，
∴抛物线所表示的函数解析式为ｙ＝x2.
它们在同一坐标系中的图象如下所示：
46.(1)∵二次函数ｙ=x2+bx+c的图象经过点P(2，７）、Ｑ（0,﹣5）,
，解得b=４,c=﹣5．∴b、c的值是4,5；
（2）∵二次函数的图象与ｘ轴交于A、B两点,（其中点A在点B 的左侧)，
∴A(1，0），B（﹣5，0）,
∴ＡB＝６，
∵P点的坐标是:（2,７）,
∴△PAＢ的面积=×6×7=21
４７．（1）根据题意得,解得,
所以抛物线的解析式为ｙ=﹣x﹣２；
（2)y=﹣ｘ﹣2＝(x ﹣）2﹣,
所以抛物线的对称轴为直线x ＝,顶点坐标为（,﹣）
48.∵二次函数的图象过A(0，4），
∴ｃ=４，
∵对称轴为x=﹣１，
∴x=﹣＝﹣2，解得b=４；
∴二次函数的表达式为ｙ=x２+４ｘ+4．
４9.（1)∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(﹣４，3）, ∴设该二次函数的关系式为：y=a（x+4）２+３(a≠0）；
又∵图象过点（ｌ，﹣2）,
∴﹣２=a(1＋4）2+３，
解得，a=﹣;
∴设该二次函数的关系式为：y=﹣(x+4）2＋3;
(2）由（１）知，该二次函数的关系式为：y ＝﹣（x＋4）2+3，∴a ＝﹣＜0,
∴该抛物线的方向向下;
∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(﹣4,3），
∴对称轴方程为:x=﹣4.
50．（1）把Ａ（﹣1，0）代入y１=﹣x+m得﹣(﹣1）＋ｍ＝0,解得ｍ=1,
把A（﹣1,0）、Ｂ(2，﹣3)代入y2＝ax2+bｘ﹣3得
,
解得.
故二次函数的解析式为y2=ｘ２﹣﹣2x﹣3;
(2）因为Ｃ点坐标为(0,﹣3)，Ｂ（2，﹣3)，
所以ＢＣ⊥y轴，
所以Ｓ△ABC =×2×3=３．
51．(1)设此二次函数的解析式为ｙ=aｘ2＋bx+c，
把Ａ(0，﹣４）和B(4,０）,即对称轴x=1．5代入解析式得：
，
解得:
故ｙ=x2﹣3x﹣4；
(2)∵Ａ(０，﹣４),对称轴是ｘ=1.５，
∴A′(３,﹣4）
５2．∵二次函数y=ax2+bx＋ｃ的顶点坐标为(﹣，
), 二次函数y＝ax２+ｂx+c中,c=3,图象的顶点坐标为（2，﹣1），∴﹣=2,=﹣１，
解得a=1,ｂ=﹣4，
∴二次函数的解析式y=x2﹣４x+3
53.∵二次函数ｙ1=aｘ２+bx+c 与二次函数的图象的
形状一样,开口方向相同，
∴a=﹣2,
将点A（﹣1,４）,Ｂ(﹣３，﹣8)代入y１＝﹣2x2＋ｂx+c，
得,
解得，
∴y１=﹣2ｘ2﹣２x+4;
∵y1=﹣2x2﹣2x+４＝﹣2(x2+ｘ)+４=﹣2（x ＋）２＋，
∴顶点坐标为(﹣,)．
故这个函数的解析式为ｙ１=﹣2x2﹣2x+4，顶点坐标为(﹣,).
5４.（1)∵二次函数的图象与ｘ轴的两交点的横坐标为１和﹣7，且经过点（﹣3,8),
∴两交点的横坐标为：(1，0）,(﹣7，０）,且经过点(﹣3,８), ∴代入解析式:y=a（ｘ﹣１)（x＋7),
8＝a(﹣3﹣1）×(﹣3+７）,
解得：a=﹣，
∴ｙ=﹣（x﹣1）（x+7);
(2）∵将点A(﹣1，2)此函数的解析式，
∴左边=2，右边=﹣（﹣１﹣１）(﹣1+7)=6；
∴左边≠右边,
∴点A(﹣1,2）不在此函数的图象上.
55．(1）∵二次函数的对称轴为y轴，即x=0，
∴b=0，即二次函数解析式为y=ａx2+c，
又二次函数的图象经过点（０,﹣9）、(１,﹣8)，
∴,
解得：,
则二次函数的解析式为y=ｘ2﹣9；
(2）由平移规律得：二次函数向右平移2个单位的解析式为：
y＝（x﹣2）2﹣9，即y=x2﹣４x﹣5,
令x=0，解得：y=﹣5,∴C（0,﹣５）,即OＣ=5，
又平移后抛物线的顶点Ｐ的坐标为（2,9）,即Ｐ的横坐标为２,
则S△ＰＯC =ＯＣ•x P的横坐标=×5×2=5．
56.1）解：由题意得，
解得；
∴该抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x;
（2）证明:过点B作BC⊥ｘ轴于点Ｃ，则OＣ＝ＢC=AC=２;
∴∠BＯC＝∠OBC=∠ＢAＣ＝∠ABC=45°;
∴∠OＢA=９0°,OＢ=ＡＢ;
∴△ＯＡB是等腰直角三角形；
５7.(１)将A(﹣1，0）代入抛物线y ＝x2＋bx﹣2得,
×(﹣1）2﹣b﹣2=0,
解得,b ＝﹣,
则函数解析式为ｙ=ｘ2﹣x﹣2．
配方得，y=（x ﹣)2﹣,
可见,顶点坐标为(，﹣).
(2)将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位,可得,
y=(x ﹣﹣2)2﹣﹣3
=（ｘ﹣）2﹣
=ｘ2﹣x.
５8．（1）把(2,0)、(０,﹣6）代入二次函数解析式，可得
,
解得,
故解析式是ｙ=﹣x2+4ｘ﹣6；（２）∵对称轴x=﹣=4,
∴C点的坐标是（4,0),
∴ＡC=2，OB=6，ＡB=2，BＣ=2，
∴Ｓ△AＢＣ=AC•OＢ=×2×6=6，
△ＡBＣ的周长＝ＡＣ+AB+ＢC=２＋2＋２.
59．（１)A坐标是(﹣1,﹣１）,B点的坐标是(3,﹣９）, 代入y=ax2﹣4x+c 得：
解得：a=1,c=﹣6．
则二次函数表达式是：y＝x２﹣4x﹣6
（2)ｙ=x2﹣4ｘ﹣6=(ｘ﹣２)2﹣10,
因此对称轴为直线x＝２,顶点坐标为（2,﹣１0)
６0.(1)把Ａ(2，2），B（5,2)分别代入y=ｘ２+bx+c,
可得,
解得；
（2)由b=﹣7,c=１2，知ｙ=ｘ2﹣７x+1２
令y=0，得x2﹣7x+１2=0,
∴x=３或x=4，
∴C（3,0)或Ｃ(4,０)；
（3）∵A（2，２)B（5，２）
∴AB=|２﹣5｜＝3，且△ＡBＣ的ＡB边上的高h=2,
∴Ｓ△ABC =ＡB•h=×３×２=3。