1、5比4多(4比5少(比5多40% 5比( )少40%
高一上学期第一次月考数学试卷(新题型：19题)(基础篇)(原卷版)
2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（基础篇）【人教A版（2019）】（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效；4.测试范围：必修第一册第一章、第二章；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（）A．2023年参加“两会”的代表B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目C．π的近似值D．我校跑步速度快的学生2．（5分）（23-24高一上·北京·期中）命题pp:∀xx>2，xx2−1>0，则¬pp是（）A．∀xx>2，xx2−1≤0B．∀xx≤2，xx2−1>0C．∃xx>2，xx2−1≤0D．∃xx≤2，xx2−1≤03．（5分）（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）下列不等式中，可以作为xx<2的一个必要不充分条件的是（）A．1<xx<3B．xx<3C．xx<1D．0<xx<14．（5分）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①0∈{0}，②∅ {0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(aa,bb)}= {(bb,aa)}正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若变量x，y满足约束条件3≤2xx+yy≤9，6≤xx−yy≤9，则zz=xx+2yy的最小值为（）A．-7 B．-6 C．-5 D．-46．（5分）（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知全集UU={1,3,5,7,9}，MM=�xx|xx>4且xx∈UU},NN={3,7,9}，则MM∩(∁UU NN)=（）A．{1,5}B．{5}C．{1,3,5}D．{3,5}7．（5分）（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式aaxx2+bbxx+2>0的解集为{xx∣xx<−2或xx>−1}，则不等式2xx2+bbxx+aa<0的解集为（）A．�xx�−1<xx<12�B．{xx∣xx<−1或xx>12}C．�xx�−1<xx<−12�D．{xx∣xx<−2或xx>1}8．（5分）（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知aa>bb≥0且6aa+bb+2aa−bb=1，则2aa+bb的最小值为（）A．12 B．8√3C．16 D．8√6二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
【免费】小学二年级数学下册重要知识点：找规律填数的方法
小学二年级数学下册重要知识点：找规律填数的方法精典例题例1：找规律填数。
（1）1，3，5，7，（），（）。
（2）65，60，55，50，（），（）。
（3）1，10，100，1000，（），（）。
（4）1，2，4，7，11，（），（）。
（5）1，2，4，8，（），（）。
（6）1，3，4，7，11，（），（），（）。
思路点拨第（1）题，从左往右依次增加；第（2）题从左往右依次减少；第（3）题，从左往右依次在末尾添加一个，或者说依次乘；第（4）题从左往右，相邻两个数相差1,2,3,4……第（5）题中，1×2＝2,2×2＝4,4×2＝8，所以，8×2＝……第（6）题中，从第三个数开始，每个数都等于前面两个数的和。
模仿练习找规律填数。
（1）2，4，6，8，（），（）。
（2）1，5，9，13，（），（）。
（3）2，20，200，2000，（），（）。
（4）1，2，2，4，3，6，4，8，（），（）。
（5）49，42，35，（），（），（）。
（6）4，6，9，13，（），24，（）。
（7）100，81，64，（），36，25，（），9，4，1 例2：仔细观察下列组图，在每一组的“？”处填上合适的数。
（1）（2）（3）（4）（5）思路点拨第（1）题中，3＋4＋8＝15；第（2）题中，2×3＋1＝7；第（3）题中，3×4＋5＝17；第（4）题中4×5－5＝20；第（5）题中，5＋3＋7＝15,15＋15＝30。
模仿练习仔细观察每组图的规律，在空白处填合适的数。
（1）（2）例3：根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。
思路点拨分析表格中的数可以发现，按行看，12＋6＝18,8＋7＝15，也就是说每一行中间的数等于两边的两个数的和。
依此规律可以填出空格中的数。
模仿练习根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。
（1）（2）学以致用A级1. 仔细观察每组数的规律，在括号里填上适当的数。
一年级数学计算题练习试题集
一年级数学计算题练习试题答案及解析1.口算。
( )-3=3 ( )-5=2 7-( )=2 6-( )=1( )-0=6 7-( )=2 7-( )=6 ( )-3=05-( )=2 ( )-5=1 7-( )=7 ( )-3=4 ( )-4=37－7＝ 7－3= 6－3= 5－4= 7－2＝ 7－1＝6－2＝ 7－2＝ 6－4＝ 7－2＝ 7－4＝ 7－4＝【答案】3；7；5；5；6；5；1；3；3；6；0；7；7；0；4；3；1；5；6；4；5；2；5；3；3【解析】被减数是6、7的减法表：6-1=5； 6-2=4； 6-3=3； 6-4=4； 6-5=5； 6-6=0； 6-0=6；7-1=6； 7-2=5； 7-3=4； 7-4=3； 7-5=2； 7-6=1； 7-7=0； 7-0=7。
【考点】被减数是6、7的减法。
总结：被减数6、7的减法要熟练掌握；理解其意义，注意书写格式，认真书写。
2.口算。
【答案】11、11、12、13、16、12、12、11、13、15、13、12【解析】20以内进位加，用“凑十法”计算即可。
3.算一算。
10+3-1= 5+11-1= 13+0-0=12+3+1= 15-5-5= 7+5-6=【答案】12；15；13；16；5；6【解析】十加上一个一位数，这个数是几结果就是十几，即十几就是十加几。
4.算一算。
8－5+12＝ 10－4+12＝ 10+4＋3＝ 10+5－2＝【答案】15；18；17；13【解析】十加上一个一位数，这个数是几结果就是十几，即十几就是十加几。
5. 5+2+9= 5+4+8= 6+2+3=11【答案】16；17；11【解析】考查20以内数的加法。
个位与个位相加，十位与十位相加。
6. 7+2+4= 2+5+6=7+9+2= 4+8+2=【答案】13；13；18；14【解析】考查20以内数的加法。
个位与个位相加，十位与十位相加。
7.看谁算得又快又准。
素养培优6 电磁感应中动力学、能量和动量的综合-2025版二轮复习物理
素养培优6电磁感应中动力学、能量和动量的综合动力学与能量观点在电磁感应中的应用1.电磁感应综合问题的解题思路2.求解焦耳热Q 的三种方法（1）焦耳定律：Q ＝I 2Rt ，适用于电流恒定的情况；（2）功能关系：Q ＝W 克安（W 克安为克服安培力做的功）；（3）能量转化：Q ＝ΔE （其他能的减少量）。
【典例1】（多选）（2024·吉林高考9题）如图，两条“”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L ，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B 和B 。
将有一定阻值的导体棒ab 、cd 放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好。
ab 、cd 的质量分别为2m 和m ，长度均为L 。
导轨足够长且电阻不计，重力加速度大小为g ，两棒在下滑过程中（）A .回路中的电流方向为abcdaB .abC .ab 与cd 加速度大小之比始终为2∶1D .两棒产生的电动势始终相等尝试解答【典例2】（2024·江苏震泽中学模拟）如图所示的是水平平行光滑导轨M 、N 和P 、Q ，M 、N 的间距为L ，P 、Q 的间距为2L 。
M 、N 上放有一导体棒ab ，ab 与导轨垂直，质量为m ，电阻为R 。
P 、Q 上放有一导体棒cd ，cd 也与导轨垂直，质量为2m ，电阻为2R 。
导轨电阻不计。
匀强磁场竖直穿过导轨平面，磁感应强度大小为B 。
初始两导体棒静止，设在极短时间内给ab 一个水平向左的速度v 0，使ab 向左运动，最后ab 和cd 的运动都达到稳定状态。
求：（1）刚开始运动的瞬间，ab 和cd 的加速度大小和方向；（2）稳定后ab 和cd 的速度大小；（3）整个过程中ab 产生的热量。
尝试解答动量观点在电磁感应中的应用角度1动量定理在电磁感应中的应用在导体单杆切割磁感线做变加速运动时，若运用牛顿运动定律和能量观点不能解决问题，可运用动量定理巧妙解决问题。
一年级数学40以内口算练习
2+31= 3+29= 1+36= 1+31= 1+30= 4+27= 3+31= 1+29= 1+32= 4+26= 1+34= 1+37= 1+35= 1+40= 4+31= 4+29= 2+29= 2+38= 2+34= 2+37= 3+33= 4+34= 2+30= 2+33= 2+35= 3+34= 2+36= 4+32=3+28= 1+33=3+37= 2+28=1+39= 4+28=3+32= 4+37=3+35= 2+32= 3+27= 1+38=4+30= 4+35=4+33= 4+36=5+30= 8+24=5+31= 5+27=7+26= 7+32=8+28= 6+33= 6+34= 5+28=8+31= 6+25= 5+33= 7+28=6+29= 6+27=7+25= 6+30=6+31= 5+32=8+25= 5+29=7+31= 7+24=6+26= 8+30=7+30= 8+23=7+27= 7+29=7+23= 8+22=5+35= 5+26=6+24= 6+32=7+33= 5+34=8+27= 8+29=12+25= 12+20= 9+31= 9+26=9+30= 9+23= 12+23= 12+26= 9+25= 9+27=9+21= 10+27= 11+20= 11+23= 10+30= 10+21= 9+24= 9+22= 10+23= 10+29= 11+21= 11+24=10+22= 10+25= 11+27= 11+28= 10+26= 10+20= 11+19= 12+18= 9+28= 9+29= 12+19= 12+22= 11+26= 11+29= 12+24= 12+21= 10+24= 10+28= 12+28= 12+27= 11+22= 11+25= 16+20= 16+18= 13+25= 13+19= 14+18= 14+21=13+21= 13+24= 15+18= 15+24= 16+16= 16+22= 15+23= 15+22= 14+17= 14+26= 13+22= 13+23= 15+17= 15+21= 14+24= 14+20= 15+25= 15+20= 13+17= 14+16= 16+24= 16+15= 14+19= 14+22= 13+20= 13+26=13+18= 13+27= 15+16= 15+19= 15+15= 16+14= 16+19= 16+23= 17+20= 17+22= 20+14= 20+17= 17+17= 17+16= 19+12= 19+14= 17+21= 17+15= 18+18= 18+19= 19+20= 19+16= 18+22= 18+20= 20+19= 20+18=18+12= 17+13= 20+10= 19+11= 17+18= 17+14= 20+16= 20+12= 18+16= 18+13= 19+21= 19+13= 19+15= 19+17= 17+19= 17+23= 20+20= 20+13= 18+15= 18+21= 20+11= 20+15= 19+18= 19+19= 21+19= 21+12=22+14= 22+11= 23+10= 23+17= 21+16= 21+18= 24+10= 24+8= 21+11= 21+10= 22+18= 22+12= 21+13= 21+15= 24+13= 24+9= 22+16= 22+9= 23+14= 23+8= 22+8= 21+9= 24+14= 24+12= 23+7= 24+6= 21+14= 21+17=23+11= 23+12= 22+15= 22+10= 23+16=23+15= 24+7= 24+16= 22+17= 22+13= 24+11= 24+15= 23+9= 23+13= 25+10= 25+6= 28+5= 28+9= 26+10= 26+5= 25+15= 25+11= 27+13= 27+12= 26+9= 26+6= 25+13= 25+9=28+2= 28+8= 26+8= 26+7= 27+9= 27+10= 27+4= 27+8= 26+11= 26+13= 28+12= 28+10= 27+6= 27+11= 25+8= 25+7= 26+14= 26+12= 27+3= 28+7= 25+14= 25+12= 28+11= 28+3= 27+5= 27+7= 28+6= 28+4=26+4= 25+5= 29+10= 29+1= 30+2= 30+9= 32+0= 32+8= 29+11= 29+6= 31+9= 31+2= 30+10= 30+0= 29+3= 29+9= 31+6= 31+3= 30+4= 30+1= 32+4= 32+1= 30+7= 29+8= 30+5= 30+8= 31+0= 31+4=31+1= 31+5=32+2= 32+7=31+8= 31+7=30+6= 30+3=32+6= 32+3=29+4= 29+7=32+5=33+5= 33+7= 35+2= 35+3=33+6= 33+3=36+2= 36+3=34+4= 34+0=33+2= 33+1=34+5= 35+4=33+0= 33+4= 34+2= 34+1=35+0= 37+1=35+5= 38+0= 34+6= 34+3=35+1= 37+2= 36+1= 37+3=37+0= 36+4=38+1= 39+0=39+1= 40+0=38+2=31-1= 31-4=31-0= 31-6=31-3= 31-8=31-10= 31-15=31-17= 31-21=31-7= 31-9=31-11= 31-16=31-12= 31-14=31-13= 31-17=31-19= 31-18=31-27= 31-20= 31-31= 31-23= 31-29= 31-28= 31-26= 31-22= 31-24= 31-25= 31-27= 31-30= 32-1= 32-4=32-0= 32-6=32-3= 32-8=32-10= 32-15=32-17= 32-21=32-7= 32-9=32-11= 32-16=32-12= 32-14=32-13= 32-17=32-19= 32-18= 32-32= 32-27= 32-20= 32-31= 32-23= 32-29= 32-28= 32-26= 32-22= 32-24= 32-25= 32-27= 32-30= 33-1= 33-4=33-0= 33-6=33-3= 33-8=33-10= 33-15=33-17= 33-21=33-7= 33-9=33-11= 33-16=33-12= 33-14=33-13= 33-17= 33-33= 33-19= 33-18= 33-32= 33-27= 33-20= 33-31= 33-23= 33-29= 33-28= 33-26= 33-22= 33-24= 33-25= 33-27= 33-30= 34-1= 34-4=34-0= 34-6=34-3= 34-8=34-10= 34-15=34-17= 34-21=34-7= 34-9=34-11= 34-16=34-12= 34-14= 34-34= 34-13= 34-17= 34-33= 34-19= 34-18= 34-32= 34-27= 34-20= 34-31= 34-23= 34-29= 34-28= 34-26= 34-22= 34-24= 34-25= 34-27= 34-30= 35-1= 35-4=35-0= 35-6=35-3= 35-8=35-10= 35-15=35-17= 35-21=35-7= 35-9=35-11= 35-16= 35-34= 35-12= 35-14= 35-35= 35-13= 35-17= 35-33= 35-19= 35-18= 35-32= 35-27= 35-20= 35-31= 35-23= 35-29= 35-28= 35-26= 35-22= 35-24= 35-25= 35-27= 35-30= 36-1= 36-4=36-0= 36-6=36-3= 36-8=36-10= 36-15=36-17= 36-21=36-7= 36-9= 36-36= 36-11= 36-16= 36-34= 36-12= 36-14= 36-35= 36-13= 36-17= 36-33= 36-19= 36-18= 36-32= 36-27= 36-20= 36-31= 36-23= 36-29= 36-28= 36-26= 36-22= 36-24= 36-25= 36-27= 36-30= 37-1= 37-4=37-0= 37-6=37-3= 37-8=37-10= 37-15=37-17= 37-21= 37-37= 37-7= 37-9= 37-36= 37-11= 37-16= 37-34= 37-12= 37-14= 37-35= 37-13= 37-17= 37-33= 37-19= 37-18= 37-32= 37-27= 37-20= 37-31= 37-23= 37-29= 37-28= 37-26= 37-22= 37-24= 37-25= 37-27= 37-30= 38-1= 38-4=38-0= 38-6=38-3= 38-8=38-10= 38-15= 38-38= 38-17= 38-21= 38-37= 38-7= 38-9= 38-36= 38-11= 38-16= 38-34= 38-12= 38-14= 38-35= 38-13= 38-17= 38-33= 38-19= 38-18= 38-32= 38-27= 38-20= 38-31= 38-23= 38-29= 38-28= 38-26= 38-22= 38-24= 38-25= 38-27= 38-30= 39-1= 39-4=39-0= 39-6=39-3= 39-8= 39-39= 39-10= 39-15= 39-38= 39-17= 39-21= 39-37= 39-7= 39-9= 39-36= 39-11= 39-16= 39-34= 39-12= 39-14= 39-35= 39-13= 39-17= 39-33= 39-19= 39-18= 39-32= 39-27= 39-20= 39-31= 39-23= 39-29= 39-28= 39-26= 39-22= 39-24= 39-25= 39-27= 39-30= 39-1= 39-4=39-0= 39-6=39-3= 39-8= 39-39= 39-10= 39-15= 39-38= 39-17= 39-21= 39-37= 39-7= 39-9= 39-36= 39-11= 39-16= 39-34= 39-12= 39-14= 39-35= 39-13= 39-17= 39-33= 39-19= 39-18= 39-32= 39-27= 39-20= 39-31= 39-23= 39-29= 39-28= 39-26= 39-22= 39-24= 39-25= 39-27= 39-30= 40-1= 40-4= 40-40= 40-0= 40-6= 40-32=40-2= 40-5= 40-31= 40-3= 40-8= 40-39= 40-10= 40-15= 40-35= 40-17= 40-21= 40-33= 40-7= 40-9= 40-34= 40-11= 40-16= 40-38= 40-12= 40-14= 40-36= 40-13= 40-22= 40-37= 40-19= 40-18= 40-28= 40-20= 40-23=40-24= 40-25=40-27= 40-29=40-26= 40-30=一、基础训练姓名（）1．数一数，圈一圈。
4、4、5规律公式
4、4、5规律公式
4、4、5规律是一个数列规律，其公式可以表示为An = 3n + 1，其中n为正整数，An表示数列中的第n个数。
这个规律的数列依次
为4，8，12，16，20...。
这个公式是如何得出的呢？我们可以通
过观察数列中相邻两项的差来推导出这个公式。
可以发现，相邻两
项之间的差始终为4，即8-4=4，12-8=4，16-12=4，以此类推。
因此，我们可以得出这个数列的通项公式An = 3n + 1。
另外，我们也可以从代数的角度来推导这个公式。
假设数列的
第一个数是a，公差为d，那么数列的通项公式可以表示为An = a
+ (n-1)d。
根据4、4、5规律数列的特点，我们可以得出a=4，d=4，代入通项公式中得到An = 4 + (n-1)4 = 4n。
但是，这个公式并不
完全符合我们观察到的数列规律，因为4、4、5规律数列中的第一
个数并不是4，而是3。
所以我们需要对通项公式做一些调整，即
An = 3n + 1。
除了数学推导外，我们还可以从实际问题中找到4、4、5规律
的应用。
例如，在计算机编程中，这种规律可能被用于生成特定的
数值序列，或者用于数据加工和处理中。
在日常生活中，我们也可
以将这种规律应用于时间、距离等方面的计算中，以解决实际问题。
总之，4、4、5规律的公式An = 3n + 1是通过数学推导和实际应用得出的，它能够描述数列中的每一项，帮助我们理解和应用这种数列规律。
《线性代数》(陈维新)习题答案(第4章)
⇔ 矩阵 [α1 α 2 α 3 ] 的秩是否与矩阵 [α1 α 2 α 3
解 对矩阵 [α1
β ] 的秩相同.
α 2 α 3 β ] 作初等行变换化为阶梯形:
[α1
1 2 3 1 7 1 2 −1 α2 = α 3 β ] 3 7 −6 − 2 → 0 1 −3 − 5 . 5 8 1 a 0 0 0 a − 1 5
证明 设������ ≠ ������ ∈ ������ ，则������，2������， ⋯ ，������������， ⋯ ∈ ������ 。下证当������ ≠ ������时，������������ ≠ ������������。 (反证) 若������������ = ������������，则(������ − ������)������ = ������，因������ ≠ ������，则������ − ������ = 0，这与 ������ ≠ ������矛盾，所以������ 中 至少有无穷多个向量������，2������， ⋯ ，������������， ⋯。
第四章 线性空间和线性变换
习题 4.1
1．检验以下集合关于所指定的运算是否构成实数域������上的线性空间： (1) ������阶实对称矩阵的全体，关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘； (2) 次数等于������(������ ≥ 1)的实系数一元多项式的全体，关于多项式的加法和实数与多项式 的数乘； (3) 有理数的全体������，关于数的加法和实数与有理数的乘法； ： (4) 平面上全体向量������2 ，关于通常的向量加法和如下定义的数量乘法“∘” 解 (1) 是 因为任意两个������阶实对称矩阵和是������阶实对称矩阵， 任意一个实数乘以������阶实对称矩阵也 是������阶实对称矩阵，所以������阶实对称矩阵的全体关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘运算是 封闭的。下面验证八条运算规律成立。 记������阶零矩阵为������，显示������是实对称矩阵，且对任意的������阶实对称矩阵������都有������ + ������ = ������。 对任意的������阶实对称矩阵������，显然−������也是������阶实对称矩阵，且������ + (−������) = ������。 其它 6 条运算规律显然成立，这里就不证。 由此可知，������阶实对称矩阵的全体，关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘否构成实数域 ������上的线性空间。 (2) 否 因为零多项式的次数不是������，所以这个集合不含零向量，因此次数等于������(������ ≥ 1)的实系 数一元多项式的全体，关于多项式的加法和实数与多项式的数乘不能构成实数域������上的线性 空间。 或者说： 因为两个任意的次数等于������(������ ≥ 1)的实系数一元多项式和的多项式次数不一定等于������， 有可能小于������，所以关于多项式的加法不封闭，因此次数等于������(������ ≥ 1)的实系数一元多项式 的全体，关于多项式的加法和实数与多项式的数乘不能构成实数域������上的线性空间。 ������ ∘ ������ = ������，∀������ ∈ ������，∀������ ∈ ������2
最新人教A版高中数学选修2-3全册同步课时练习
人教A版高中数学选修2-3全册同步课时练习1．1计数原理第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理填一填一、分类加法计数原理1．分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．二、分步乘法计数原理1．分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．2．分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．三、分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别1．分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事．2．分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个判一判判断(1．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)2．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．(√)3．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√)4．在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(×)想一想1.提示：两个计数原理主要解决完成一件事情的方法数问题．2．在实际问题中如何判断到底是用分类加法计数原理还是用分步乘法计数原理？提示：关键在于看这种方法是能完成这件事还是完成这件事的一步，能独立完成这件事用分类加法计数原理，只能完成一步用分步乘法计数原理．3．从甲地到乙地有3班汽车，两班火车，则从甲地到乙地有多少种不同方法？提示：从甲地到乙地，可以选择乘坐汽车和火车两类办法，应用分类加法计数原理，汽车有3种，火车有2种，共有3＋2＝5种方法．4．从甲地到乙地先乘火车，后乘汽车，火车有2趟，汽车有3班，从甲到乙有多少种到达方法？提示：完成从甲地到乙地这件事，分两步，坐火车再坐汽车，分步完成，应用分步乘法计数原理，共有2×3＝6种方法．思考感悟：练一练1.5位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为________．解析：由分类加法计数原理可得，有7＋5＝12种不同的选法．答案：122．一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有________种．解析：任选1名同学参加学科竞赛，有两类方案：第一类，从男同学中选取1名参加学科竞赛，有3种不同的选法；第二类，从女同学中选取1名参加学科竞争，有5种不同的选法．由分类加法计数原理得，不同的选派方法共有3＋5＝8(种)．答案：83．在平面直角坐标系内，若点P(x，y)的横、纵坐标均在{0,1,2,3}内取值，则不同的点P有________个．解析：确定点P的坐标分两步，即分布确定点P的横坐标与纵坐标．第一步，确定横坐标，从0,1,2,3四个数字中选一个，有4种方法；第二步，确定纵坐标，从0,1,2,3四个数字中选一个，也有4种方法．根据分步乘法计数原理，所有不同的点P的个数为4×4＝16.答案：164．人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位吉祥数(首位不能是零)共有________个．解析：第一步，确定千位，除去0和6，有8种不同的选法；第二步，确定百位，除去6和千位数字外，有8种不同的选法；第三步，确定十位，除去6和千位、百位上的数字外，有7种不同的选法．故共有8×8×7＝448个不同的“吉祥数”．答案：448知识点一分类加法计数原理1.2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是()A．8 B．15C．16 D．30解析：运用分类加法计数原理可得，不同选法的种数是5＋3＝8.答案：A2．在一宝宝面前摆着4件学习用品，3件生活用品，4件娱乐用品，若他只抓其中的一件物品，则他抓的结果有________种．解析：抓物品的不同结果分三类，由分类加法计数原理，得共有4＋3＋4＝11(种)．答案：3.现有套，那么不同的配法种数为()A．7 B．12C．64 D．81解析：要完成配套需分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12(种)不同的配法．答案：B4．某乒乓球队里有男队员6人，女队员5人，从中选取男、女队员各一人组成混合双打队，不同的组队总数有()A．11种B．30种C．56种D．65种解析：先选1男有6种方法，再选1女有5种方法，故共有6×5＝30种不同的组队方法．故选B项．5.的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？解析：分三类：(1)选出的是高一、高二学生，有5×6＝30(种)选法；(2)选出的是高一、高三学生，有5×4＝20(种)选法；(3)选出的是高二、高三学生，有6×4＝24(种)选法．由分类加法计数原理，可得共有N＝30＋20＋24＝74(种)不同的选法．6．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解析：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以，共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．7．某单位职工义务献血，在体验合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解析：从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB 型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理，有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理，有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．基础达标 一、选择题1．一楼到二楼有4个通道，二楼到三楼有2个通道，则从一楼到三楼的不同走法有( )A ．2种B ．4种C ．6种D ．8种解析：根据分步乘法计数原理，从一楼到三楼的不同走法有4×2＝8(种)．故选D 项． 答案：D2．甲、乙两个班级分别有29名、30名学生，从两个班中选一名学生，则( )A ．有29种不同的选法B ．有30种不同的选法C ．有59种不同的选法D ．有29×30种不同的选法解析：从两个班中选一名学生，可以从甲班中选，也可以从乙班中选，分两类，利用分类加法计数原理得不同的选法有29＋30＝59(种)．答案：C3．已知x ∈{1,2,3,4}，y ∈{5,6,7,8}，则xy 可表示不同值的个数为( )A ．16B ．4C ．8D ．15解析：完成xy 这件事分两步走，第一步：从集合{1,2,3,4}中选一个数，共有4种选法；第二步：从集合{5,6,7,8}中选一个数，共有4种选法，共有4×4＝16种选法．其中3×8＝4×6，所以xy 可表示的不同值的个数为15.答案：D4．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A ．56B ．65C.5×6×5×4×3×22D ．6×5×4×3×2 解析：每位同学都有5种选择，则6名同学共有56种不同的选法，故选A 项．答案：A5．已知集合M ＝{1，－2,3}，N ＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是( )A ．18B ．16C ．14D ．10解析：分两类：第一类M 中取横坐标，N 中取纵坐标，共有3×2＝6(个)第一、二象限的点；第二类M 中取纵坐标，N 中取横坐标，共有2×4＝8(个)第一、二象限的点．综上可知，共有6＋8＝14(个)不同的点．答案：C6．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．3 B．4C．6 D．8解析：以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．答案：D7．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有()A．24种B．16种C．12种D．10种解析：完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C 项．答案：C二、填空题8．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有________种．解析：有2个面不相邻即有一组对面，所以3个面中有2个面不相邻的选法有3×4＝12(种)．答案：129．甲有3本不同的书，乙去借阅，并且至少借1本，则不同借法的种数为________．(用数字作答)解析：由题意知可分为三类：第一类，借一本，共有3种方法；第二类，借两本，共有3种方法；第三类，借三本，共有1种方法．所以不同借法的种数为3＋3＋1＝7.答案：710．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．解析：若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时，有5×4＝20条，则共有20＋2＝22(条)，即所求的不同的直线共有22条．答案：2211．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2，…，9}且P Q，把满足上述条件的一对有序整数(x，y)作为一个点，这样的点的个数是________．解析：当x＝2时，y可取3,4,5,6,7,8,9，共有7个点．当x＝y时，y可取3,4,5,6,7,8,9，共有7个点．所以这样的点的个数为7＋7＝14.答案：1412．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有________种．解析：由题意知本题是一个分类计数问题，第一格填2，则第二格有A13，第三、四格自动对号入座，不用排列；第一格填3，则第三格有A13，第二、四格自动对号入座，不用排列；第一格填4，则第四格有A13，第二、三格自动对号入座，不用排列；根据分类计数原理知共有3A13＝9.答案：9三、解答题13．某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解析：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果．(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果．因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．14．用1,2,3,4四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到大构成数列{a n }．(1)这个数列共有多少项？(2)若a n ＝341，求n 的值．解析：(1)由题意，知这个数列的项数就是由1,2,3,4四个数字组成的可有重复数字的三位数的个数．由于每个数位上的数都有4种取法，由分步乘法计数原理，得满足条件的三位数的个数为4×4×4＝64，即数列{a n }共有64项．(2)比341小的数分为两类：第一类，百位上的数是1或2，有2×4×4＝32个三位数；第二类，百位上的数是3，十位上的数可以是1,2,3中的任一个，个位上的数可以是1,2,3,4中的任一个，有3×4＝12个三位数，所以比341小的三位数的个数为32＋12＝44，因此341能力提升15.某出版社的7还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法？解析：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”“只会印刷”“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理知共有3×1＝3种选法．第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理知共有2×3×1＝6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步乘法计数原理知共有2×3×2＝12种选法．再由分类加法计数原理知共有6＋12＝18种选法．第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3＋18＋16＝37种选法．16．某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得3分；平一场得1分；负一场得0分．一球队打完15场，积分33分．若不考虑顺序，问该队胜、负、平的情况共有多少种．解析：总积分的来源分为胜、平、负3类，可以考虑用分类加法计数原理．设该队胜x 场，平y 场，则负(15－x －y )场，其中x ，y ∈N .由题意，得3x ＋y ＝33，又因为y ＝33－3x ≥0，所以x ≤11且x ＋y ≤15，所以有如下三种情况：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝11，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6. 故该队胜、负、平的情况共有3种．第二课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用填一填1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系(1)联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题．(2)区别：分类加法计数原理针对的是分类问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事．分步乘法计数原理针对的是分步问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成之后才算做完这件事．2．应用两个计数原理解决计数问题的标准(1)分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数.判一判判断(1．一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法9种．(√)2．一个科技小组中有4名女同学，5名男同学若从中选任一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法20种．(√)3．某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种．(√)4．在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种．(×)5．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有35种．(×) 6．有三只口袋装有小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有36种不同的取法．(×) 7．由1,2,3,4想一想1.的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？某同学解答如下：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×2＝6种不同的信号；每次升3面旗可组成3×2×1＝6种不同的信号，根据分类加法计数原理知，共有不同信号3＋6＋6＝15种．他解答的对么，问题出在哪里？提示：每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同．每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号；根据分类加法计数原理得，共可组成：3＋9＋27＝39种不同的信号．审题时要细致，把题意弄清楚．本题中没有规定升起旗子的颜色不同，故既要考虑升起旗子的面数，又要考虑其颜色，不可偏废遗漏．2．甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况有34还是43种？提示：要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”．可先举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步．第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况．由分步乘法计数原理知，共有4×4×4＝43＝64种不同的冠军获得情况．此类问题是一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，关键是明确要完成的一件事是什么．也就是说，用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据．思考感悟：练一练1.(a1＋a2)(b1＋b2)(c123A．9 B．12C．18 D．24解析：由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为2×2×3＝12.答案：B2．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有()A．6种B．7种C．8种D．9种解析：可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．答案：D3．小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种．解析：当第一块地种茄子时，有4×3×2＝24种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有4×3×2＝24种不同的种法，故共有48种不同的种植方案．答案：484．如图所示，从点A沿圆或三角形的边运动到点C，则不同的走法有________种．解析：由A直接到C有2种不同的走法，由A经点B到C有2×2＝4种不同的走法．因此由分类加法计数原理共有2＋4＝6种不同走法．答案：6知识点一 选取与分配问题1.3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解析：由题意9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人．则可分三类：第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法；第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有6种选法；第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一人，有2×6＝12种方法．故共有2＋6＋12＝20种选法．2．有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析：法一：设四个班级分别是A ，B ，C ，D ，它们的老师分别是a ，b ，c ，d ，并设a 监考的是B ，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a 监考C ，D 时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9种不同的安排方法．法二：让a 先选，可从B ，C ，D 中选一个，即有3种选法．若选的是B ，则b 从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1＝9种不同安排方法．答案：C 知识点二 组数问题3.从lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20解析：lg a －lg b ＝lg a b ，lg a b 有多少个不同值，只要看a b不同值的个数即可．分两步分别取出a ，b ；第1步，从5个数中取出1个数作为a ，有5种取法；第2步，从剩下的4个数中取出1个数作为b ，有4种取法．根据分步乘法计数原理，共有5×4＝20(种)取法．由于13＝39，31＝93，故lg a －lg b 的不同值的个数为20－2＝18. 答案：C4．用0,1,2,3,4五个数字，(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？解析：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125种．(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100种．(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.知识点三涂色问题5.如图，用4种不同的颜色涂图中的矩形A，B，C，D，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A BCDA.72种B．48种C．24种D．12种解析：法一：先分两类．一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有两种涂法，D有一种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用三种颜色，这时A，B，C 的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有两种涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．故选A.法二：分步先给A涂4种方法，再给B涂3种，再给C涂2种，最后涂D有3种方法，完成4步，完成涂色共有4×3×2×3＝72种，故选A项．答案：A6．如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为() A．96 B．84C．60 D．48解析：依次种A，B，C，D 4块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36种种法；当C与A所种的花不同时，有4×3×2×2＝48种种法．由分类加法计数原理知，不同的种法种数为36＋48＝84.知识点四计数原理在几何中的应用7.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对解析：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对．所以全部共有48对．答案：C8．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，a，b∈M，P(a，b)表示平面上的点．(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限内的点？(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？解析：(1)确定一点坐标分两步，先确定横坐标有6种方法，再确定纵坐标有6种方法，所以共有6×6＝36种不同坐标．(2)确定a有3种，确定b有两种，根据分步计数原理，第二象限内点的个数是3×2＝6.(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．结合(1)可得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．基础达标一、选择题1．由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的三位数的个数是()A．60B．48C．24 D．10解析：分3步．第一步：首位数有4种不同的选法；第二步：十位数字有4种不同的选法；第三步：个位数字有3种不同的选法．由分步乘法计数原理知可以组成无重复数字的三位数的个数是4×4×3＝48.故选B项．答案：B2．如图所示，电路中有4个电阻和一个电流表，若没有电流通过电流表，其原因仅因电阻断路的可能性共有()A．9种B．10种C．11种D．12种解析：分两类：第1类，R1断路时，若R4断路，R2，R3有4种可能，若R4不断路，则R2，R3至少有一个断路，有3种可能，故R1断路时有7种可能．第2类，R1不断路时，R4必断路，此时，R2，R3共有4种可能，则共有4＋7＝11种可能．故选C项．答案：C3．(a1＋a2＋a3＋a4)·(b1＋b2)·(c1＋c2＋c3)展开后共有不同的项数为()A．9 B．12C．18 D．24解析：由分步乘法计数原理得共有不同的项数为4×2×3＝24.故选D项．答案：D4．我们把各位数之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A．18个B．15个C．12个D．9个解析：依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共计3＋6＋3＋3＝15个．答案：B。
苏教版二年级上册5的乘法口诀课件
5的乘法口诀
猜谜语：
谜 底
一、交流预习
思考：①你从图中知道哪些数学信息？ ②“每只船坐5人”是什么意思？
要求：小组内讨论交流想法。
6
算一算，填在表里。
每只船坐5人， 2只船坐多少人？ 3只、 4只、 4 5 1 2 3 船的只数 5只船呢？
人 数 5 10 15 20 25
5 × 3 ＝ 15
5 × 4 ＝ 20
检测三：
5.
（1）跳绳的有多少人？ 人） 2 × 3 ＝ 6（ （2）跳绳的和拍球的一共有多少人？ 人） 6 ＋ 2 ＝ 8（
活学活用
四：总结归纳
1、通过这节课的学习你有什么收获和体会？ 2、你对你的小学友有什么评价和建议？ 3、你还有什么疑惑的地方吗？
想一想：
5×1＝ 5 5×3＝ 15
5×2＝ 10 5×4＝ 20
动动脑：
用哪一句口诀来计算呢？
三、巩固提升
检测一：
2.
二五一十 四五二十 三五十五
10
20
15
3. 5×3＝15 5×1＝5
2×5＝10 4×5＝20
5×4＝20 3×5＝15
1×5＝5 5×5＝25
检测二：
4.
跳5次，各跳到几？先画一 画，再写出乘法算式。
根据表里的数，从1个5是5开始， 按顺序说说几个5是多少？
二、互助探究
6
船的只数 人 数
1 5
2 10
3 15
4 20
5 25
你能编出5的乘法口诀吗？
1个5 2个5相加 3个5×5＝ 15 4×5＝ 20 5×5＝ 25
一五得五 二五一十 三五（ 十五 ） 四五（ 二十 ） 五五（ 二十五 ）
小学一年级数学(上册)找规律及答案(完整版)
小学一年级数学（上册）找规律及答案（完整版）1、找规律填空。
（1）23、25、27、（______）、（______）。
（2）50、46、42、（______）、（______）。
2、找规律填一填：（1）11、22、（_____）、（_____）、55、（_____）（2） 86、（_____）、82、（____）、（_____）.（3）□△□△ ____ ____ ____ ____3、找规律，接着再画一组。
___________4、找规律画一画。
______ ______。
5、找规律，画一画。
6、找规律填一填。
7、找规律（1）56、54、（_______）、50、（______）。
（2）（______）、（______）、45、50、（______）、60。
（3）73、63、53、（______）、（______）、（______）。
8、找规律填数．9、找规律填数：（1）18、14、_______、_______、_______。
（2）_______、3、6、9、_______、_______、_______。
10、我会按规律填一填，画一画。
（）（）（）（）（1）在相应的括号里先写出前3个钟面上的时刻。
（2）找规律，在第4个钟面画出时针与分针，并写出时刻。
11、找规律填数。
12、找规律填数。
（1）29、31、33、（____）、（____）、（____）（2）3、6、9、（____）、（____）、（____）（3）100、80、60、（____）、（____）、（____）13、仔细观察下面一排珠子，先找规律，再填空。
（1）上图中“？”处的珠子是（______）色的。
（2）这排珠子是按照（______）个一组排列的。
14、找规律，填一填。
（1）45，47，49，（______），（______），55，（______）。
（2）95，90，（______），（______），（______）。
二年级乘法的习题
第一课时一、看图填空（1）（）+（）+（）+（）+（）=（）（）个（）是（）（2）( )+( )+( )=( )( )个（）是（）二、圈一圈，填一填（1）4个4是（）个是加法算式：加法算式：第二课时一、看图填空（1）有（）盘香肠，每盘里面有3根香肠，就是（）个（）（）+（）+（）+（）=（）×（）=（）一共有（）根香肠。
（2）有（）堆糖果，每堆有（）颗，就是（）个（）（）+（）+（）=（）×（）=（）一共有（）颗糖果。
（3）每串有（）个香蕉，有（）串，一共有（）个香蕉。
表示（）个（）加法算式：乘法算式：二、智慧题+ + =9=（）乘法引入第三课时（一）圈一圈，填一填( )个3 （）个43＋3＋3＋3＝（）4＋4＋4＝（）（）×（）＝（）（）×（）＝（）（二）( )个（）( )个（）（）×（）＝（）（）×（）＝（）（三）8+8+8=（）5+5+5+5+5+5=( )3+3+3+3+3+3+3+3=（）6+6+6+6+6=( )3×8×3 6×5 5×6（四）智慧题：1、加法算式：2+2+2+2+6+2=16乘法算式：ⅹ =162、加法算式：3+3+3+3+3+3+9=乘法算式：ⅹ =看图写乘法算式（1）看图，写两道乘法算式（2）填空3×5=（）+（）+（）5×3=（）+（）+（）+（）+（）3××32×4=( )+( )4×2=( )+( )+( ) +( )2××2(3)智慧题：3+3+3+1+5+3=（）×（）=（）×（）倍一、看图填空把2的个数有这样的（）份）倍二、填空有（）种动物，有（）个，把它的数量看作一份，有这样的（）份，也就是的（）倍算式是一共有（）个兔子。
三、填空6+6+6+6+6+6表示的是（）的（）倍5+5+5+5表示的是（）的（）倍7+7+7+7+7+7表示的是（）的（）倍3+3+3+3表示的是（）的（）倍四、智慧题：）的（）倍）的（）倍）的（）倍10的乘法练习班级姓名一、看谁算得又快又对3×10＝ 10×7＝ 5×10＝10×0＝ 10×2＝ 1×10＝10×4＝ 8×10＝ 6×10＝10×9＝ 0×10＝ 10×5＝二、在（）里填“＞”、“＜”或“＝”3×10（）13 10×6（）59 10×9（）910×8（）80 7×10（）17 50（）10×4 三、填方框。
百分数知识点整理
百分数知识点整理一、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数也叫做百分率、百分比。
（千分数：表示一个数是一个数的千分之几）二、百分数和分数的区别：1.意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系或部分与整体的数量关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位 分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。
2.百分数的分子可以是整数，也可以是小数；分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。
3.百分数是特殊的分数，百分数的分母都是100，百分数的计数单位都是1/100.三、百分数与小数的互化：1.小数化成百分数：方法一：方法二：100做分母三位用例如：方法三：100/2.百分数化成方法一：方法二： 1.百分数化成2.分数化成方法：把分数化成小数（分子除以分母）（除不尽时，通常用四舍五入法保留三位小数），再化成百分数。
例如：53=3÷5=0.6=60%特殊情况：分母是1、2、4、5、10、20、25、50、100的可以用分数的基本性质直接化成百分数。
例如：43=25×425×3=10075=75% 五、百分数去掉%后，所得的数扩大到原来百分数的100倍；一个数数添上%后，所得的数缩小到原来数的1001六、常见的百分率：⑨含盐率=含药率=七、例2)；或者八、例3百分之几方法：九、例4百分之几，求另一量。
方法：方法二：方法二：十、例5①甲是50，乙是40，甲是乙的百分之几？（50是40的百分之几？）50÷40=125%②甲是50，乙是40，乙是甲的百分之几？（40是50的百分之几？）40÷50=80%③乙是40，甲是乙的125%，甲数是多少？（40的125%是多少？）40×125%=50④甲是50，乙是甲的80%，乙数是多少？（50的80%是多少？）50×80%=40⑤乙是40，乙是甲的80%，甲数是多少？（一个数的80%是40，这个数是多少？）40÷80%=50⑥甲是50，甲是乙的125%，乙数是多少？（一个数的125%是50，这个数是多少？）50÷125%=40⑦甲是50，乙是40，甲比乙多百分之几？（50比40多百分之几？）(50-40)÷40×100%=25%⑧甲是50，乙是40，乙比甲少百分之几？（40比50少百分之几？）(50-40)÷50×100%=20%⑨甲比乙多25%，多10，乙是多少？10÷25%=40⑩甲比乙多25%，多10，甲是多少？10÷25%+10=50?乙比甲少20%，少10，甲是多少？10÷20%=50?乙比甲少20%，少10，乙是多少？10÷20%-10=40?乙是40，甲比乙多25%，甲数是多少？（什么数比40多25%？）40×（1+25%）=50 ?甲是50，乙比甲少20%，乙数是多少？（什么数比50多25%？）50×（1-20%）=40 ?乙是40，比甲少20%，甲数是多少？（40比什么数少20%？）40÷（1-20%）=50?甲是50，比乙多25%，乙数是多少？（50比什么数多25%？）40÷（1+25%）=40。
氧垂曲线图
第四章 水体卫生
37
中国各海区赤潮发生情况（1952-1998）
第四章 水体卫生
38
长江“输液”救太湖
� 新华网南京2004年９月２６日电:中国的第一大河流 长江向第三大淡水湖太湖输送了１０.７亿立方米的江 水，用以“治疗”这一中国著名湖泊严重的水污染。
第四章 水体卫生
Water Environment and health
� 水资源的种类及其卫生学特征 � 水质性状的评价指标 � 水体的污染源和污染物 � 水体的污染、自净和污染物转归 � 水体污染的危害 � 水环境标准 � 水体卫生防护 � 水体污染的卫生调查、监测和监督
第四章 水体卫生
1
� 掌握：
第四章 水体卫生
23
小结：
� 水资源的种类及卫生学特点：
– 地表水和地下水的卫生学特点。
� 水质性状和评价指标：
– 化学性状指标：硬度、含氮化合物、溶解氧、 化学耗氧量、生化需氧量
– 微生物学指标：
第四章 水体卫生
24
� 思考题：
– 封闭型、开放型地表水有哪些？卫生学特点 有哪些区别？
– 三氮、三氧卫生学意义？ – 水质评价微生物学指标包括哪几项？卫生学
缺点 表示水中所有的细菌数。
2.不能指示出有无病原菌的存在。只能作为水被微 生物污染的参考指标。
第四章 水体卫生
20
选 (1)人类粪便中普遍存在，且数量较多的细菌
择 水
(2)在水中存活的时间比致病菌的稍长或差不多
的 指 (3)在粪便污染的水中可均匀分布且稳定
示 菌 (4)适合在各种水体中生存
的 条
由地表蒸发至大气的水汽随着气流 传播各处，在特定条件下，遇冷凝 结成高度分散的液态和固态的凝结 物，并以雨、雪、雹等形式降落下 来，统称为降水。
【免费】【内部资料】1-1-1-2(10年秋)整数乘除法速算巧算.题库版
教学目标
本节课主要学习乘、除法的速算与巧算．要求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据乘、除法之 间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，解决相关问题．
知识点拨
一、乘法凑整
思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算 简便。例如： 4 25 100 ， 8 125 1000 ， 5 20 100 12345679 9 111111111 （去 8 数，重点记忆） 7 1113 1001 （三个常用质数的乘积，重点记忆） 理论依据：乘法交换率：a× b=b× a 乘法结合率：(a× b) × c=a× (b× c) 乘法分配率：(a+b) × c=a× c+b× c 积不变规律：a× b=(a× c) × (b÷ c)=(a÷ c) × (b× c)
【题型】计算
【巩固】 为了考察大头儿子的速算能力，小头爸爸给他出了一道题，并且限时一分钟，小朋友，你能做到 吗？ 1 9 2 5 6 4 1 2 5 【考点】乘法凑整之乘 5 的倍数 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】 把 64 分成 4 8 2 ，用乘法结合律便可速算． 原式 （25 4） （ 125 8） （ 19 2） 100 1000 38 3800000 【答案】 3800000 【巩固】 计算： 173 32 125 25 ． 【考点】乘法凑整之乘 5 的倍数 【解析】 原式 173 （4 8） 125 25 173 （4 25） （8 125） 17300000 【答案】 17300000
1-1-1-2.乘除速算巧算.题库
【题型】计算
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---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1 / 211、5比4多（4比5少（比5多40% 5比（ ）少40%1、 5 比 4 多（ ） % 4 比 5 少（ ） % （ ） 比5 多 40% 5 比（ ） 少78 . 0 , 8 . 0%,87,84、 药粉和水按 1：50 配成药水， 5 克药粉中应加水（ ） 克， 510 克药水中含有药粉（ ） 克。
5、900 千克稻谷可以碾出 720 千克大米， 稻谷的出米率是 （ ）， 照这样计算， 3000 千克稻谷可碾出大米 （ ）千克。
生产 100 吨大米需稻谷（ ） 吨。
6、 一块长方形地的周长是 20 米， 长和宽的比是 3：2， 长方形的面积是（ ）。
7、 圆的半径扩大 3 倍， 周长扩大（ ） 倍， 面积扩大 （ ） 倍。
8、 挂钟的时针长 15 厘米， 分针长 18 厘米， 一昼夜时针与分针尖端所走路程的比是（ ） 9、 小方把 200 元钱存入银行,定期 5 年,年利率是 2.88%,到期可得本金和税后利息（利息税 5%） 共( )元.。
10、（ ） 米比 5 米长 1/5 1/4 吨比（ ） 吨少 2/3 吨 12、 实际产量的 7/8 相当于计划产量， 是把（ ） 看作单位1 的量，如果产量是 160 吨，那么计划产量是（）吨。
13、单独完成同一件工作，甲要 4 天，乙要 5 天。
那么乙的工效是甲的工效的（） %。
14、天平一端放一块巧克力，另一端放着 1/2 块巧克力和 50 克的砝码，天平恰好平衡。
整块巧克力的重量是（）克。
15、一块三角形菜地，边长的比是 4：3：5，周长是 168 米，其中最长的边长是（）米。
16、一桶油 25 千克，第一次用 2/5，第二次用 2/5 千克，两次共用（）千克。
17、抽样检验一种商品，有 48 件合格， 2 件不合格，商品的合格率是（）。
18、把 5/8：1/4 化成最简单的整数比是（），比值是（）。
19、一个三角形底边长是 3 厘米，高是 5 厘米，与它同底等高的平行四边形的面积和这个三角形的面积的比是（） 20、一台拖拉机 5/6 小时耕地 7/8 公顷，照这样计算，耕一公顷地要（）小时，一小时可以耕地（）公顷。
21、甲数比乙数多 1/5，甲数与乙数的比是（）。
22、把 6 立方米沙土均匀地垫在一间长 6 米，宽 4 米的房子里，可垫（）厘米厚。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 23、 8500 立方厘米=（）立方分米 5. 07 立方分米=（）毫升 24、（） 5=0. 6=15/（） =（） : 40=（） % 25、一道数学题全班有 50 人做 , 10 个做错 , 这道题的正确率是（）。
26、小丽用 2 天的时间做完了寒假作业的 1/4，照这样计算，完成这本寒假作业要（）天。
27、一本故事书看了 5/7 后 , 没看的与看了的页数比是（）。
28、男教师与女教师人数的比是 3: 5, 男教师占全校教师人数的（） , 男教师是女教师人数的（） % 29、一袋 50 千克的面粉，先用去它的 2/5 做蛋糕，又用了 2/5 千克做甜饼，这时一共用去面粉（）千克。
30、 3/4（） =（） 4/7=5/6（） = 1－（）31、在○里填上＞、＜或＝。
182/3○1832 125/6○125/6 32、把 3 个棱长是 1 分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是（），表面积是（）。
33、一个练功房铺设了 1600 块长 50 厘米，宽 10 厘米，厚3 厘米的木地板，这个练功房的面积有（）平方米。
34、 1/4 的倒数与它本身的最简整数比是（），比值是（）。
3 / 2135、六年级有学生 90 人，男生与女生人数的比是5∶ 4，女生有( )人。
36 0. 51. 5=（） :3 =（） /60。
37、 8 吨水泥，用去 1/4 后，再用去 1/4 吨，一共用去（）吨。
38、如果一个数的 3/8 是 45，那么它的 5/6 是（）。
39、白兔只数的 1/5 相当于黑兔的只数，应把（）看作单位1。
40、甲数与乙数的比是 5:8，甲数比乙数少（），乙数比甲数多（）。
41、 4 立方分米 90 立方厘米=（）立方分米 5/8 升=（）亳升 42、一个长方体的长是 5 分米，宽和高都是 4 分米，它的表面积是（），体积是（）。
43、 100 千克增加 20%后是（）千克；（）吨减少 25%是 75 吨。
44、 6（） = 12/（） =（）：12= 0.75=（） % 45、一个数的 20%是 100，这个数的 3/5 是（）。
46、检验一种商品， 48 件合格， 2 件不合格，这种商品的合格率是（） %。
47、 15 个 1/6 是（）（）的 3/5 是12 千克。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 48、 0. 02 立方米=（）立方分米 3/5 平方米=（）平方厘米 2、的倒数是（）， 0 的倒数（） 3、把按从大到小顺序排列（） 49、梨树的棵数比苹果树的棵树少 1/7，这里把（）看作单位1，梨树棵数相当于苹果树的（）。
50、加工一批零件，三天正好完成总数的 2/7，平均每天完成总数的（）。
51、长方体的长、宽各扩大 2 倍，高不变，体积将扩大（）倍。
52、在 5/7、 0. 714、 37/50、 0. 741 这四个数中，最大的数是（），最小的数是（）． 53、男生 25 人，女生 20 人，男生人数是女生人数的（）倍，女生人数占男女人数的。
54、 3 吨 50 千克 = （）吨； 1/4 时=（）分 55、 7/5：0.35 的比值是（），最简整数比是（）。
56、（）个 1/7 是最小的质数， 3/4 的一半的倒数是（）。
57、一根绳子长 5 米，平均剪成 8 段，每段是 1 米的（），每段是这根绳子的（）。
5 / 2158、一台榨油机 1/3 小时榨油 300 千克。
照这样计算， 1 小时榨油（）千克，榨 1 千克油需（）小时。
59、 a、 b 两个数， b 比 a 多 1/4， a 比 b 少（） /（）。
60、毛衣价格比衬衣贵 80%，把（）看作1，毛衣价格相当于衬衣的（） %。
61、一个长方体的棱长总和是 120 厘米，长、宽、高的比是 5 ：3 ：2，长方体长（）厘米，宽（）厘米。
62、口袋里放入 9 个球，任意摸一个球，要使摸到红球的可能性为 2/3，要放入（）个红球。
63、三又二十分之三平方米 = ( )平方分米 2 公顷 40 平方米 = ( )平方米 64、 7( ) = ( )：12 = 25% = （） /20=（） 16 65、甲、乙两数互为倒数，甲、乙两数积的 3/5 是( )。
66、甲、乙两数的比是 5：2，这两个数的平均数得 4.2，甲数是( )。
67、 90 米是 1 千米的( )%，比( )千克多 1/5 是 30 千克， ( )吨比 20 吨少 1/5 吨， 0.8 吨增加( )%是 1 吨。
68、一辆汽车一又三分之一小时行 60 千米，每小时行( )---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 千米，行 1 千米需要( )小时。
69、将、41 . 3、 22/7、 3.14 按从小到大的顺序排列起来。
70、为民食堂上月实际用煤 3.4 吨，比计划节约 20%，节约了( )吨。
71、一根铁丝长 18.84 米，把它弯成一个圆，直径是( )米，面积是( )平方米。
72、某五月份中，阴天比晴天少 1/3，雨天比晴天少 3/5，这个月（）天是晴天。
73、一根塑料绳剪去后又接上 6 分米，这时比原来的全长多了 2/5，这根塑料绳原来全长( )分米。
74、一个半圆形零件，周长是 25.7 厘米，它的面积是( )平方厘米。
75、根据 4/53/4=3/5，可知 3/5（） =（）或 3/5（） =（）。
76、一个数的一半是 7/8，这个数是（） 77、某化工厂一天能生产 20 吨化肥。
如果每 1/20 吨一袋，这些化肥可装（）袋。
78、一台收割机 3/4 小时收割了 2/3 公顷小麦。
这台收割机 1 小时能收割（）公顷小麦。
79、 5 克白糖完全溶解在 50 克水中，白糖与水的质量比是（）：7 / 21（）。
白糖与糖水的质量比是（）：（）。
80、甲数除以乙数的商是 3/7，甲数与乙数的比是（）：（），乙数与甲数的比是（）：（）。
81、六年级同学春季植树的成活率是 85%，成活棵数与植树棵数的最简整数比是（）：（）。
82、一个三角形三个内角度数的比是 1：3：6，这个三角形的三个内角分别是（）度、（）度和（）度。
83、一个正方体的棱长是 5 厘米，它的表面积与底面积的比是（）：（），比值是（）。
84、把体积是 1 立方分米的正方体木块，切割成体积是 1 立方厘米的小正方体，能切割成（）块。
把这些小正方体一个接一个排成一行，有（）米长。
85、把两个棱长 1 分米的正方体拼成一个长方体。
这个长方体的表面积是（）平方分米，体积是（） 86、一个长方体的水池，长 5 米，宽 4 米，深 2---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 米。
在水池里放入 36 立方米的水，水深是（）米。
87、一个正方体的六个面上分别写有 1、 2、 3、 4、 5、 6。
把这个正方体任意上抛，落下后，数1 朝上的可能性是（），朝上的奇数的可能性是（） 88、食堂原有 500 千克大米，吃掉 a 袋，每袋 50 千克，还剩( ) 千克大米。