甘肃省天水市一中2019届高三上学期第三次考试数学理试题

天水一中2019级2019—— 2019学年度第一学期第三次考试试题
试卷说明:
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共 150分，考试时间120分钟，请将 你所做各题答案写在试卷后面的答题卡上
•
一、选择题（每小题 5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号 填涂在答题卡上）
1、已知集合 M 」y | y =2x , x
, N =
| y = lg （2 x - x 2
）f ，则 M N 为（）
（A ）（1,2） （B ） （1, ：：） （C ） [2, （D ） [1,：：）
3. 已知m , n 是两条不同的直线，
a,
丫是二个
不同的平面，则下列命题正确的是
（ ）
A .若a 丄Y , a 丄
B 贝V 丫// B
B .若 m // n , m? a , n? B ,贝U a// B
C .若 m // n , m // a,贝 V n // a
D .若 n 丄 a , n 丄 B ,贝U a// B 4.
已知
{a n }为等比数列，若 a 4 a g =10,则a 1a 7 2a 3a 7
a 3a 9的值为（
）
A . 10
B . 20
C . 60
D . 100
5.
已知等差数列 订鳥的前项和为S n ，且蛍=4,则鱼二（）
S 2
S 4
9
3
5
A. 9 B . 3
C . 5
D . 4
4
2
3
6.
数学（理科）
审核人：王传刚
（4 二）
—个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何的体积为（）
B. （4 二）.3
〔〔 1 ~
〔〔 1 ~ ,则正数••的值为(
)
4 1
2
4 A .
B .
C .
3
3 3
12. 已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点
7、定义在R 上的奇函数f(x)满足
(A)
f(2)：：：f
(C) f(5)：：：
8、函数 y = f (x)(x • R)满足
lgx(x 0),
g(x) 1
则函数 (x < 0),
x
(A ) 5 ( B ) 9.在△ ABC 中，/ C =90 °
B 间的距离为
2，则 f(x-4) - - f(x)，且在区间［0,2］上是增函数，则(
(B)
f(5) ：：：
(D) f(8)：：： f(2 x)二 f (x)且 x [-1,1]时，f (x) =1_x
h(x)二f (x) -g(x)在区间［-5,5］内的零点个数为(
)
(C)8 (D) ° AC=1 , M 为 AB 中点,
M 到面 ABC 的距离为 ()
10 .函数y 二a x3-2,(a .0,a=1)的图像恒过定点 A ，若点
直线—
—=-1上,且m,n>0则31TI
m n
_
n 的最小值为
13
B . 16
C . 11+6. 2
28
11.若 函 数 f(x)二sin 、-3cos ，x,x R,又f (a)
-2, f( ' ^0,且
|的最
小值为
3■:
10
在
点P满足OP (―O A • -OB 2OC)，则点P 一定为三角形的()
3 2 2
3
D.-
2
O是三角形ABC的重心，动
〔〔 1 ~
• 5 •
A . AB边中线的中点
B . AB边中线的三等分点(非重心)
C .重心
D . AB边的中点
二、填空题(共四小题，每小题5分，共20分)
13. __________________________ 已知线段PQ两端点的坐标分别为P(- 1,1)和Q(2, 2)，若直线I: x+ my+ m= 0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是
2
14. f(2x-e x)dx= ___________
、、3x - y 乞0
15. 若点P (x, y)满足线性约束条件x -、3y 2 一0,点A(3, 3) , O 为坐标原点，则OA OP的
y - 0
最大值_________
16. 设集合A5 R ,如果x0• R满足：对任意a 0 ,都存在x • A ,使得0 ：：：|x -x0卜：a ,那么称x0
为集合A的一个聚点，则在下列集合中：(1 ) z' z_ ；( 2 )
R+U R一;⑶』x|x=〔，N *訂(4)』x | x = —, n = N ，以0为聚点的集合有 _________________ • n 」j n+1 J
(写出所有你认为正确的结论的序号)
三、解答题(共6小题，共70分；请写出必要的过程和推演步骤)
17. (本小题10分)在厶ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边，锐角B满足i B躬sin B 二
3
(1)求sin2B cos2A C 的值；
2
⑵若b「、2，当ac取最大值时，求cos(A ')的值.
3
18. (本小题12分)已知数列〈务？的首项为a^1，其前n项和为s.，且对任意正整数n 有：n、
a n、S n成等差数列.
(1)求证：数列S n - n・2 ｝成等比数列；(2)求数列的通项公式.
19. (本小题12分)如图，四棱锥P- ABCD中,底面ABCD
是矩形，PAL底面ABCD PA= A吐1, AC^V3，点F是
PB的中点，点E在边BC上移动.
D C
• 7 •
⑴点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
⑵求证：无论点E在BC边的何处，都有PE_AF ；
⑶当BE为何值时,PA与平面PDE所成角的大小为45° .
20.已知函数f x = ax • b 1 • x2 x _ 0 ，且函数 f (x)与g(x)的
图像关于直线y =x对称，又g⑴=0，f(.3)=2 — 3 .
1) 求f (x)的表达式及值域；
2) 问是否存在实数m，使得命题p：f m2 -m I：f 3m-4和q: g m3
4 4
满足复合命题p且q为真命题？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由
21. (本小题12 分)已知函数f(x) = x，g(x) = aln x ，a€ R.
(1) 设h(x) = f(x) —g(x)，当h(x)存在最小值时，求最小值© (a)的解析式；
(2) 对于⑴中的© (a)，证明当a€ (0，+^)时，© (a) < 1.
22. (本小题12分)已知函数f(x)二x -(t 0)和点P(1,0)，过点P作曲线y二f(x)的两条切
x
线PM、PN，切点分别为M、N .
(I)设MN =g(t)，试求函数g(t)的表达式；
(H)是否存在t，使得M、N与A(0,1)三点共线•若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
64
(川)在(I)的条件下，若对任意的正整数n，在区间［2, n ］内总存在m 1个实数
n
a1,a2/ ,a m，a m 1，使得不等式g(aj • g®)• g@m) ：：： g@m计)成立，求m的最大值.
天水一中2019级2019—— 2019学年度第一学期第三次考试试题
数学参考答案(理科)
一、选择题(每题5分，共60分)
1 . A 2. D 3. D 4。

D 5. A
6. D
7. B
8. C
9. A 10. B 11. B 12. B
二、填空题(共四小题，每小题5分，共20分)
2 1 2
13.—3三m W 2 14 . 5-e 15 . 6 16 . (2) (3)
三、解答题(共6小题，共70分；请写出必要的过程和推演步骤)
• 9 •
17.解⑴：锐角B 满足sin B 5, cosB 二？
3
3
sin2B cos 2^ = 2sin B cosB
1 cos( AC)
2
1 - cos B
=2sin BcosB
2
8.5 3 18
•' cosB
-c 2 -b
.4
・・
—ac =a 2
c 2
—2 _2ac -2
・ac 冬3，当且仅当a =c =、j 3时，ac 取至U 最大值 .. 10分
・ac 取到最大值时,
2 2 2
A b +c -a
b cosA=——
2bc
2c
K H
K ・ cos(A —)二 cosAcos
——sin Asin —
~6
12
10分
18.解：(1)证明：；n 、a .、S n 成等差数列 -2a n 二 n &(n _ 2)，又a .二 S^S n 4
(n -2)
2(S n _S n4) = n S n
即 S
n
= 2S n 4 n
-S n - n 2=2[S n4 (n-1) 2] 即—Sn n 2
2
■ ；
S n - n ，2：成等比数
列
S n n 2 二 2S n4 2n 2
⑵由(1)知& “丄，是以S ・3=a 「3=4为首项，2为公比的等比数列
n 4
n 1
n 1
S n n 2 = 4 2 2 又 2a n = n S, 2a n 2 = 2 2ac
2
19•解：(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.
•••在△ PBC中, E、F 分别为BC PB的中点，二EF// PC
又EF?平面PAC而PC?平面PAC二EF//平面
PAC
(2)证明：建立如图所示空间直角坐标系，则
P(0,0,1) ，B(0,1,0)，
1 1
F(0，2, 2)，D( .3, 0,0)，
设BE= x(0 < x < 3)，则E(x, 1,0)，
PE- AF= (x, 1，- 1) • (0，2, 2)二0，.. pE丄AF
⑶设平面PDE的法向量为vm= (p，q, 1)，
m・PD^0 —m・PE=0 ，得m=( 2，—x
3, 1)-
而AP= (0,0,1)，依题意PA与平面PDE所成角为45
所以sin45
2 | m・ AP
~2 =—
imi AP
1
2
得BE= x= . 3—2或BE= x= .3+ , 2> 3(舍).
故BE= 3—.2时，PA与平面PDE所成角为45°
20.解1 )由g(1) =0 , f(3) =2 - 3 可得a = —1,b =1,故f (x)f；1—X2 3—X(X—0),
由于f (x)=
1
-1 x2x
［o,；)上递减，所以f(x)的值域为(0,1］
(2) ；f x在［0,；)上递减，故
p (3、 1 刚3 斗占门m—1 1 ,
又f 一丨=一即g —| = 一，故q 真二0£ ---------- < —兰1 w 1 c m <3 , 山丿2 丘丿4 4 2
故存在m ：二［4,2) U(2,3)满足复合命题p且q为真命题。

3
21、【解】(1)由条件知h(x) = x - aln x(x > 0).
, 1 a x/x—2a
h (x)= ------ ——.
2 心x 2x
①当a>0时，令h' (x) —0,解得x—4a2,
•当0v x v4a2 时，h' (x) v 0, h(x)在(0 , 4a2)上递减；
当x>4a2 时，h' (x) > 0, h(x)在(4a2 , )上递增.
•x—4a2是h(x)在(0,+x)上的唯一极值点，
且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点.
•最小值© (a) —h(4a2) —2a—aln 4a2 —2a(1 —In 2a).
②当a<0时，h' (x) —^~2^2_>0, h(x)在(0,+x)上递增，无最小值.
故h(x)的最小值为© (a) —2a(1 —In 2a)(a > 0).
(2)由(1)知© (a) —2a(1 —In 2a) , (a > 0).
1
则© ' (a) ——2ln 2a，令©‘ (a) —0,解得 a —
1
当0v a v2时，© ' (a) >0,
1
• © (a)在(0 , 2上递增；
1」，
r
当a>2时，©(a) v0,
1
•© (a)在(2，+*)上递减.
1 1
© (a)在a = q 处取得极大值©(2)= 1, •••© (a)在(0 ,+x )上有且只有一个极值点, 1
所以© (q) = 1也是© (a)的最大值. •••当 a € (0 ,+^)时，总有 © (a) < 1.
22•解：(I)设M 、N 两点的横坐标分别为 X 1、X 2 , ； f(x)=1-
化简，得(x 2 -xJIMx ? xj -x^] =0 ,
% = x 2 , - t(x 2 xj = x 2% .
•切线 PM 的方程为：y _(x r 丄)=(1 _—[)(X _ Xj ,
X
1
X
1
又；切线PM 过点P(1,0),.有0 一(捲
丄)=(1 一 4)(1 一 xj ，即 X,
2tX 1 — t =0,
(1)
X
1
2 同理，由切线
PN 也过点P(1,0)，得x 2
2tX q - t = 0
. ( 2 )
由(1)、(2),可得X 1,X 2是方程X 1 2
+2tx —t =0的两根，.■
X 1
x —,
( * )
x-i x 2 - -t
MN =J (X 1—X 2)2+(X 1+’—X 2—-^)2
X 2
X
1
[(X 1 +X 2)2
—4x 1X 2〕[1 + (1——^:2
%x 2
把(* )式代入,得MN
=720t 2
+20t , 因此，函数 g(t)的表达式为g(t)=』20t 2
20t (t 0) •
(n)当点
M 、N 与 A 共线时，k MA 二 k NA ，
X
1
t
X 1
X 1 -0 -1 X^
- 1
2
，即 X 1 ^X 1
X 2 -0
X 2 2
x 2 t x 2
2 X
1
2 ‘ X
2
(3)
-存在t, 使得点M、N与A三点共线，且
64 （川）解法1 : 易知 g （t ）在区间［2, n ］上为增函数，
n
64
则 m g(2)空 g(aj g(a 2)
g(a m )乞 m g(n ).
n
64
依题意，不等式 m g （2） ::: g （n ）对一切的正整数 n 恒成立,
n
:::.20(n 64)2
20(n 64)， n
n
即m 龙U ［（n +里）2 +（n+色）］对一切的正整数n 恒成立.
,6 n n
又当m = 6时，存在內=岂二=a
m = 2
, a
m 1 = 16
，对所有的n 满足条件.
因此，m 的最大值为6 .
64
解法2 :依题意，当区间［2 , n
］的长度最小时，得到的 m 最大值，即是所求值. n
，n 64 -16 ,.长度最小的区间为［2,16］,
n
136
当a^=［2,16］（I =1,2,…，m+1）时，与解法1相同分析，得m Q （2） c g （16）,解得口^十亍
64
g （2）"（a i
）“（n,（—m1），
m 20 2
2
20 2 :：:
n —16
由于m 为正整数，• m —6 .
1 64
2 64 評+石）+叶評 n
64
后面解题步骤与解法1相同（略）
2 4
p 真:二m - m 3m - 4 0 = m 且m 严2
3
1
把(*)式代入(3)，解得t =2
2。