高中数学 1.3.2函数的极值与导数课时作业 新人教A版选修22

1.3.2 函数的极值与导数
课时目标 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
1．若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧________．类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧__________．
我们把点a叫做函数y＝f(x)的____________，f(a)叫做函数y＝f(x)的__________；点b叫做函数y＝f(x)的________________，f(b)叫做函数y＝f(x)的__________．极小值点、极大值点统称为__________，极大值和极小值统称为________．极值反映了函数在____________的大小情况，刻画的是函数的________性质．
2．函数的极值点是______________的点，导数为零的点__________(填“一定”或“不一定”)是函数的极值点．
3．一般地，求可导函数f(x)的极值的方法是：
解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是__________；
(2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是__________；
(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)____________．
一、选择题
1.
函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
2．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )
A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；
当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0 B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0 C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0 D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0 3．函数f (x )＝x ＋1
x
在x >0时有( )
A ．极小值
B ．极大值
C ．既有极大值又有极小值
D ．极值不存在
4．函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．函数f (x )＝x 3
－3bx ＋3b 在(0,1)内有且只有一个极小值，则( ) A ．0<b <1 B ．b <1 C ．b >0 D ．b <1
2
6．已知f (x )＝x 3
＋ax 2
＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <2 C ．a <－1或a >2 D ．a <－3或a >6 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案
二、填空题
7．若函数f (x )＝x 2＋a
x ＋1
在x ＝1处取极值，则a ＝______.
8．函数f (x )＝ax 3
＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为________、________. 9．函数f (x )＝x 3
－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________． 三、解答题
10．求下列函数的极值．
(1)f (x )＝x 3
－12x ；(2)f (x )＝x 2e －x
.
11．设函数f (x )＝x 3
－92
x 2＋6x －a .
(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．
能力提升
12．已知函数f(x)＝x e－x(x∈R)，求函数f(x)的单调区间和极值．
13．已知函数f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a<b)．
(1)当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.
证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.
1．求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号．
2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题．
答案
知识梳理
1．f ′(x )<0 f ′(x )>0 f ′(x )>0 f ′(x )<0 极小值点 极小值 极大值点 极大值 极值点 极值 某一点附近 局部 2．导数为零 不一定
3．(1)f ′(x )>0 f ′(x )<0 极大值 (2)f ′(x )<0 f ′(x )>0 极小值 (3)不是极值 作业设计 1．C
2．C [∵f (x )在x ＝1处存在极小值，
∴x <1时，f ′(x )<0，x >1时，f ′(x )>0，故选C.] 3．A [∵f ′(x )＝1－1
x
2，由f ′(x )>0，
得x >1或x <－1，又∵x >0，∴x >1.
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
f ′(x )<0，x >0.得0<x <1，即在(0,1)内f ′(x )<0，
在(1，＋∞)内f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有极小值．]
4．A [f (x )的极小值点左边有f ′(x )<0，极小值点右边有f ′(x )>0，因此由f ′(x )的图象知只
有1个极小值点，故选A.]
5．A [f ′(x )＝3x 2
－3b ，要使f (x )在(0,1)内有极小值，则⎩⎪⎨⎪⎧
f ′(0)<0f ′(1)>0
，
即
⎩
⎪⎨
⎪⎧
－3b <03－3b >0，解得0<b <1.]
6．D [∵f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋a ＋6，
∴f ′(x )的图象是开口向上的抛物线，只有当Δ＝4a 2
－12(a ＋6)>0时，图象与x 轴的左交
点两侧f ′(x )的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧f ′(x )的值分别小于零、大于 零．所以才会有极大值和极小值． ∴4a 2
－12(a ＋6)>0得a >6或a <－3.]
解析 f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2
＋a )(x ＋1)2＝x 2
＋2x －a
(x ＋1)2.
∵f ′(1)＝0，∴1＋2－a
4＝0，∴a ＝3.
8．1 －3
解析 因为f ′(x )＝3ax 2
＋b ， 所以f ′(1)＝3a ＋b ＝0.①
又x ＝1时有极值－2，所以a ＋b ＝－2.② 由①②解得a ＝1，b ＝－3. 9.⎝
⎛⎭
⎪⎫
22，＋∞ 解析 ∵f ′(x )＝3x 2
－3a 2
(a >0)，∴f ′(x )>0时得：x >a 或x <－a ，f ′(x )<0时，得－
a <x <a .
∴当x ＝a 时，f (x )有极小值，x ＝－a 时，f (x )有极大值． 由题意得：{ a 3
－3a 3
＋a <0，－a 3
＋3a 3
＋a >0.a >0解得a >
2
2
. 10．解 (1)函数f (x )的定义域为R .
f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)．
令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞， －2) －2 (－2,2) 2 (2， ＋∞) f ′(x ) ＋
－
＋
f (x )
Z
极大值
]
极小值
]
从表中可以看出，当x ＝－2时，函数f (x )有极大值，且f (－2)＝(－2)3
－12×(－2)＝16；
当x ＝2时，函数f (x )有极小值， 且f (2)＝23
－12×2＝－16. (2)函数f (x )的定义域为R .
f ′(x )＝2x e －x ＋x 2e －x (－x )′＝2x e －x －x 2e －x
＝x (2－x )e －x
.
令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞， 0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x ) －
＋
－
f (x )
]
极小值
Z
极大值
]
从表中可以看出，当x ＝0时，函数f (x )有极小值，且f (0)＝0； 当x ＝2时，函数f (x )有极大值，且f (2)＝4
e 2.
11．解 (1)f ′(x )＝3x 2
－9x ＋6. 因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ， 即3x 2
－9x ＋(6－m )≥0恒成立， 所以Δ＝81－12(6－m )≤0， 解得m ≤－3
4，
即m 的最大值为－3
4
.
(2)因为当x <1时，f ′(x )>0； 当1<x <2时，f ′(x )<0； 当x >2时，f ′(x )>0.
所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5
2－a ；
当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ，
故当f (2)>0或f (1)<0时，f (x )＝0仅有一个实根． 解得a <2或a >5
2
.
12．解 f ′(x )＝(1－x )e －x
.令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，1)
1 (1，＋∞)
f ′(x ) ＋
－
f (x )
Z
极大值
]
所以f (x )在(－∞，1)内是增函数，在(1，＋∞)内是减函数． 函数f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)，且f (1)＝1
e .
13．(1)解 当a ＝1，b ＝2时，f (x )＝(x －1)2
(x －2)， 因为f ′(x )＝(x －1)(3x －5)，
故f ′(2)＝1，又f (2)＝0，
所以f (x )在点(2,0)处的切线方程为y ＝x －2. (2)证明 因为f ′(x )＝3(x －a )(x －a ＋2b
3
)，
由于a <b ，故a <
a ＋2b
3
，
所以f (x )的两个极值点为x ＝a ，x ＝a ＋2b
3
.
不妨设x 1＝a ，x 2＝
a ＋2b
3
，
因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f (x )的零点， 故x 3＝b . 又因为
a ＋2b
3
－a ＝2(b －
a ＋2b
3
)，
x 4＝12
(a ＋a ＋2b 3
)＝2a ＋b 3
，
此时a ，2a ＋b 3，a ＋2b 3，b 依次成等差数列，
所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝2a ＋b
3
.。