高数教案模板

高数教案模板
高数级数的教案第7
5、76课时：
【目标与要求】
1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；2．熟练掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；2．掌握几何级数收敛与发散的条件。

【教学重点】
1、常数项级数收敛、发散的概念及几何级数；
2、级数的基本性质及收敛的必要条件。

【教学难点】
级数的基本性质及收敛的必要条件。

§121常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
1．常数项级数的定义
给定一个数列
u1u2u3un则由这数列构成的表达式u1u2u3un叫做常数项)无穷级数简称常数项)级数记为un即n1
n1un u1u2u3un
其中第n项un叫做级数的一般项
2．级数的部分和作级数un的前n项和sn ui u1u2u3un
n1i1n称为级数un的部分和
n1
3．级数敛散性定义如果级数un的部分和数列{sn}有极限s即limsn s
n1n则称无穷级数un收敛这时极限s叫做这级数的和
n1并写成
s un u1u2u3un
n1如果{sn}没有极限则称无穷级数un发散
n1
余项当级数un收敛时其部分和sn是级数un 的和s的近似值它们之间的差值
n1n1
rn s sn un1un2叫做级数un的余项
n1
例1讨论等比级数(几何级数)
n0aqn a aq aq2aqn
的敛散性其中a0q叫做级数的公比
解如果q1则部分和
sn a aq aq aq2n1a aqnaqna
1q1q1q aa
当|q|1时因为limsn所以此时级数aqn收
敛其和为
1q1qn n0
当|q|>1时因为limsn所以此时级数aqn发散
n n0
如果|q|1则当q1时sn na因此级数aqn发散
n0
当q1时级数aqn成为
n0
a a a a
当|q|1时因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零
所以sn的极限不存在从而这时级数aqn也发散
n0a,|q|1综上所述，级数aqn1 q
n0|q|1提醒学生一定要熟练记住上述结论！
例2证明级数
123n是发散的
证此级数的部分和为
sn123n n n(n1)
2显然limsn因此所给级数是发散的
例3判别无穷级数
的收敛性
提示un1111
122334n(n1)111
n(n1)nn
1二、收敛级数的基本性质
性质1如果级数un收敛于和s则它的各项同乘以一个常数k所得的级数kun也n1n1收敛且其和为ks
性质2如果级数un收敛于和s则级数kun也收敛且其和为ks
n1n1
性质3如果un s则kun ks
n1n1
性质4如果级数un、vn分别收敛于和s、则级数(un vn)也收敛且其和为n1n1n1s
性质5如果un s、vn则(un vn)s
n1n1n1
性质6
在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性
比如级数1111是收敛的
122334n(n1)级数100001111
也是收敛的
122334n(n1)级数111
也是收敛的
3445n(n1)
性质7如果级数un收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和n1不变
应注意的问题如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛
例如级数
（11)+（11)+收敛于零但级数11 11却是发散的
推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散
级数收敛的必要条件
性质8如果un收敛则它的一般项un趋于零即limun0
n1n0
应注意的问题级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件
例
4证明调和级数
n1n123n是发散的111
1调和级数的敛散性也必须要记熟！
证：假若级数1收敛且其和为s s是它的部分和
nnn1n n显然有limsn s及lims2n
s于是lim(s2n sn)0
n
但另一方面
s2n sn111111 1
n1n22n2n2n2n21必定发散
n1n故lim(s2n sn)0矛盾这矛盾说明级数n小结
1.常数项级数及其敛散性的概念；
2.常数项级数的性质；
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意常数项级数的概念以及重要性质，要结合实例，反复讲解，尤其要熟练的记住等比级数与调和级数的敛散性。

师生活动设计P255:3（2）4（1）（2）（3）作业P255:3(3)；4(4),(5)
第7
7、7
8、7
9、80、8
1、82课时：
【教学目标与要求】
1．熟练掌握正项级数的审敛法（比较判别法、比值判别法、根值判别法和极限判别法），熟练掌握p级数收敛与发散的条件。

2．熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

3．理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，记住绝对收敛与条件收敛的关系。

【教学重点】
1．正项级数的审敛法（比较判别法、比值判别法、根值判别法和极限判别法），熟练掌握p级数收敛与发散的条件；
2．交错级数的莱布尼茨判别法；3.任意项级数绝对收敛与条件收敛【教学难点】
1、比较判别法的极限形式；
2、任意项级数敛散性的判别。

第2高数教案设计教案设计
教材：《高等数学》（第三版）上册，第一章函数与极限，第三节函数
的极限。

一、计划学时
本小节分为两个部分，对于初学者来说有一定的难度，所以也就分为两个学时进行教学。

第一学时：自变量趋于有限值时函数的极限。

第二学时：自变量趋于无穷大时函数的极限。

（本次教案主要说明第一学时的内容。

）
二、教材处理
通过第一节关于函数基本知识的学习，以及高中时已经
对函数极限有过一定的学习了解与铺垫，所以就要通过一些基本的示例，来一步步引导学生接触本节的内容，并进一步学习与研究。

来扩展同学们的知识面，并易于接受新内容。

教学目标知识和能力目标：
1、通过教学过程培养学生的思维能力、运算能力、以及数学创新意识。

让你给同学们积极思考、敢于提出自己的想法。

2、让同学们掌握一些本节教学中所涉及的技能技巧。

3、通过数学知识为载体，增强学生们的逻辑思维能力，提高学习的兴趣和能力。

传达出数学的人文价值。

四、教学难点和重点
1、如何让学生较快的接受新的理念与知识，而改掉以前类似的学习中的定势与习惯性思维。

2、让学生们熟练的运用书中所涉及的公式与理解一些重要的定理，从而更好的做题。

五、教学设计
1、总体思路
先通过在黑板上写一些以前学过的相关知识的例题，让同学们到黑板上去做。

然后，对题目做一些变形，就成了本小节所学的知识，此时，就要通过一步步的引导，让同学们呢了解步骤的方法技巧。

最后，就是先要学生们自己本节的内容与规律技巧，之后，再告诉同学们本节所需要重点掌握的知识。

2、教学过程
（1）先让同学们大致看一下本小节内容，对本节内容有一定的了解。

（4分钟）
设计说明：通过让同学们进行自主学习，对本小节内容有大志的了解，以便于学生更易于接受新知识。

（2）通过小例子让大家熟悉并初步认识一下极限的概念。

如：问题：当x无限接近于1的时候，函数f(x)=2x-1的取值。

解析：问题可转化成|f(x)-1|最小取值，因为|f(x)-1|可以无限变小，也就是无限趋近于0，所以当x无限接近于1的时候，函数f(x)=2x-1的取值就是0.（5分钟）设计说明：通过引导学生们的思维，带到新的内容，培养学生们的逻辑思维能力以及发撒思维能力。

（3）由上面例子，先让同学们自己总结规律，给出定义：设函数f(x)在某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，使得对于任意给定的正数M，总存在正数K,只要点x适合不等式0设计说明：通过对照上面例题再给出定义，就更加便于理解与接受，同时增强同学们的概括能力与创新意识。

（4）根据所给的定义，举例子说明并让同学们熟悉做题的步骤。

如：证明：当x趋向于2时，函数f(x)=4x-7趋向于1.（步骤略）之后找一些同学到黑板上做题。

如：证明当x趋向于x时，函数f(x)=x趋向于x.(步骤略)等一些例题。

（13分钟）
设计说明：通过立体让同学们更加熟悉新的知识与步骤，掌握本节的知识技巧技能。

（5）给出一个推论：函数存在极限的充分必要条件是
左极限、右极限各自存在并且相等。

并给出例子：f(x)=x-1(当X0).证明：当x趋向于0时，f(x)的极限不存在。

（证明略）（9分钟）
设计说明：既符合课本的教学要求又扩大学生们的知识面。

（6）对本节内容进行总结，提醒同学们本节的重点与难点，以及易错点，并布置相对应的课后习题（4分钟）。

设计说明：使同学们透过练习，一个或多个知识点对应一道练习题，让本节课所学到的理论知识转化为实际计算能力。

（7）形成性总结。

课后通过作业的批改，从而发现学生中普遍存在的问题以及主要犯的错误，进行反思与总结，以便在下节课中再次强调一下易错的点以及需要特别注意的问题。

设计说明：目的在于在反馈信息中发现问题，而在后续教学中及时解决，以保证教学效果最优化。

六、本节课的设计反思
本节课目的在于锻炼学生们的计算能力以及逻辑思维能力，有利于培养学生积极思考、树立创新意识。

符合课程标准的要求。

第3高数1.3教案高
等
数
学
第三次课
教学内容：函数的极限，无穷小，无穷大教学目的：（1）正确了解函数极限的概念，了解用（x x0)与X （x)语言验证函数极限的步骤。

（2）了解无穷小概念及其与函数极限的关系
（3）了解无穷小与无穷大的关系，函数的左右极限与函数极限的关系教学重点：函数极限的定义、无穷小的概念教学难点：函数极限的定义教学关键：函数极限的定义教学过程：
一、由数列极限引入函数极限
根据自变量情况的不同，函数的极限分为两类：
（x)（1）自变量趋于无穷大的函数的极限（2）自变量趋于有限值的函数极限（x x0)
二、定义
1、自变量趋于有限值的函数极限（x x0)
定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。

如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论多么小），总存在正数，使得当x满足不等式0|x x0|时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)A|，那么常数A 就叫做函数f(x)当（x x0)时的极限，记做x x0limf(x) A或f(x)A（当x x0)
说明：
1、对于给定的0，不唯一
2、f(x)在x0有无极限与有无定义无关
（2x3)5例
1、limx1证明：0,要使|2x35|, |2x35|2|x1|，
只要2|x1|,即|x1|例
2、证明极限limx 4
x222，0,取2当0|x1|
时有|2x35|，得证。

证明：0,要使|x4|2考虑x2时x2的变化趋势，故不妨设1只要5|x2|,即|x2〈| 50,取min{1,},当0|x2|时，有|x24|得证
5左极限与右极限
（1）当x从x0的左边趋于x0时，f(x)A，则称A为f(x)当x x0的左极限，记作x x0limf(x)A或f(x0
0) A
第1页
2013-4-11徐屹
高
等
数
学
（2）当x从x0的右边趋于x0时，f(x)A，则称A为f(x)当x x0的右极限，记作x x0limf(x)A或f(x0
0) A
x x0f(x00)A结论：limf(x0)A f(x0
0）（x)
2、自变量趋于无穷大时函数的极限x的三种情况：x
（x0）
x
（x0）
x
（|x|)
定义：设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多小），总存在着正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式
|f(x)A|，
那么常数A就叫做函数f(x)当x时的极限，记作
limf(x)A，或f(x)A（当x)
x定义：设函数f(x)当x大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多小），总存在着正数X，使得当x满足不等式x>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式
|f(x)A|，那么常数A就叫做函数f(x)当x
时的极限，记作
x limf(x)A，或f(x)A（当x)
说明：类似可以定义函数的左极限
sinx0
x xsinxsinxsinx10|，|0|||证明：0,要使|xxx|x|11只要,即|x|
|x|1sinx0,取X当|x|X时有，|0|所以得证
x例：利用极限定义证明lim
三、函数极限的性质
1、（唯一性）如果limf(x)存在，则此极限唯一。

x x0
2、（局部有界性）如果limf(x)=A，那么存在常数M>0,和0，使得当0|x x0|时有x x0|f(x)|M 证明：因为limf(x)=A，所以取x x01，则
0,当0|x x0|时，有|f(x)A|1|f(x)|
|f(x)A||A||A|1记M=|A|1，则得证
3、（局部保号性）如果limf(x)=A而且A>0（或Ax x00 |x x0|时，有f(x)>0(或f(x)0)徐屹
第2页
2013-4-11
高
等
数
学
说明：由此定理可以得到更强的结论：
如果limf(x)=A（A0），那么就存在着x0的某一去心邻域U(x0)，当x U(x0)时，就有x x0oo|A|20f(x)0），
而且limf(x)A，推论：如果x0的某一去心邻域内f(x)（或那么A0或（A0）|f(x)|x x0函数极限与数列极限的关系：如果limf(x)存在，{xn}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数x x0列，且满足：x x0(n N)，那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛，且limf(xn) limf(x)
n x x0证明：设limf(x)=A，则0,
0,当0|x x0|时有，|f(x)A|x x0又因limxn x0,故对0,N,当n N时，有|xn x0|
n由假设，xn x0,。

故当n N时，0|x x0|，从而|f(xn)A|，即limf(xn) A
n
四、无穷小与无穷大
1、无穷小：如果函数f(x)当x x0或（x)时的极限为零，那么称函数f(x)为当x x)时的无穷小。

0或（x 如x0时：x2,sinx,tgx,1cosx为无穷小如x 时，,e1x x2为无穷小
说明：1任何一个非零常数都不是无穷小量
2一个函数是否为无穷小量，与自变量的变化趋势有关定理
1、在自变量的同一变化过程x x0或（x)中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+，其中是无穷小。

2、无穷大
设函数f(x)在x0的某一去心邻域有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。

如果对于任意给定的正数M，总存在正数（或正数X），只要x适合不等式0|x x0|（或|x| X），对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|M，则称函数f(x)为当x x0(或x)时的无穷大。

注意：无穷大与很大数的区别
3、无穷小与无穷大的关系
定理：在同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则
1为无穷小：反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)f(x) 0，，则1为无穷大f(x)2例：当x0时，x5为无穷小，
1为无穷大。

2x5说明：此定理只使用于同一变化过程。

徐屹第3页2013-4-11
第4高数1.3教案§１.３数列的极限
函数研究两个变量的对应关系，而极限则是研究自变量变化时，因变量的变化趋势。

一.极限思想―割圆术：用圆内接正多边形面积逼近圆面积
圆内接正六边形面积记为A1
十二A2
二十四A3
62n1An n N
A1,A2,,An,构成一列有次序的数――数列.n→大，
An A(圆面积)。

不论n如何大，只要n取定,An A.设想n，即内接正多边形边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形的面积无限接近于圆，同时An→确定的数值（即圆的面积）数学上就称为的极限（n）。

极限方法是高数中一个基本方法。

二.数列的极限定义――xn f n，D为正整数。

1.第一种定义:当项数n无限增大时，如果xn无限接近于一个确定的常数a，则称当n无限增大时xn的极限是a.
2.“N”def当0，不论它多么小，总N0,
对于n N的一切xn，恒有xn a成立，则limxn
a.如果数列没有极限，就称是发散的。

n*1.是任意给定（任意性）
*2.N与有关，随给定而选定，一般地越小，N越大，N大到何种程度，取决于使xn a成立时xn的项数n的取值，定义中仅要求N有关，并不一定要找出最小的自然数N.*3几何意义：n N时，所有的xn都落在a
,a内，即数列只有有限个（最多只有N个）在区间之外。

*4利用定义不能直接求极限。

三.极限的证明
1例1证明lim(1) 1
n1n1111，n1证：0，要使11n1n1111取N[1],则当n
N时,有1,1n1n1∴lim(1) 1 n1nlimxn a的证明步骤：
n1)给定0
2)要使xn a,解出N N()3)取N，即N.4)当n N时，有xn a
5)下结论。

n!例2证明limn0
n nn!证：0，要使n0＜，
nn!nn111只要n0＝
nnnnnn!11取N[],则当n N=[]时，有n0
n n!∴limn0n n例3证明.limn n 1n0n1n
证：0，要使只要111,n 2
4n1n2n1取N[2]
则当n N时有n1n,4∴limn n 1n0.
2n1例4设q1，证明等比数列1,q,q,,qn 1,的极限是0。

证：01∵xn0qln取自然对数，解得∴n1，
lnqln n1]，则当n N时有xn0q取N[1lnqlimqn n10。

四.收敛数列的性质
1.极限的唯一性
定理１数列不能收敛于两个不同的极限。

2.有界性
（1）有界概念：数列xn，若M0，对一切xn有xn M，称xn有界。

（2）收敛数列的有界性
定理2如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界。

若xn无界xn发散。

xn有界，则不一定收敛。

如xn1n1,即1,1,1,1,,1
n1,
∴数列有界是收敛的必要条件，非充分条件。

3.收敛数列与子数列的关系
子数列：在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的次序，得到的一个数列为原数列xn
的子数列。

xn
k定理3若xn收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a。

一个发散的数列也可能有收敛的子数列。

小结：本节介绍了数列极限的定义，理解利用定义证明数列的极限，知道收敛数列的有关性质。

第5高数1.1教案第一章：函数与极限
教学目的1。

正确理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式；2．正确理解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；4．掌握基本初等函数的性质及其图形。

教学重点分段函数，复合函数，初等函数。

教学难点有界性，初等函数的判断。

教学内容：前言
名称：高等数学
教学过程一学年
主要内容：一元、多元函数微分学和积分学、矢量代数、空间解析几何、无穷级数和微分方程。

教学目的：掌握高等数学的基本知识，基本理论，基本计算方法，提高数学素养。

培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，辩证的思想方法，培养学生的空间想象能力，培养学生分析问题和解决问题的能力。

为学生进一步学习数学打下一定的基础，还要为学习专业的后继课程准备必要的数学基础。

第一节：映射与函数
一、集合
1、集合概念
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。

组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素
1)A{a1,a2,a3,}
2)A{xx的性质P}
元素与集合的关系：a A
a A
一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

常见的数集：N，Z，Q，R，N+ 元素与集合的关系：
A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A B。

如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作A B若作A B且A B则称A是B的真子集。

空集：
A
2、集合的运算
并集A B：A B{x|x A或x B}交集A B：A B{x|x A且x B}
差集
A\\\\B：A\\\\B{x|x A且x B}
C全集I、E
补集A：
集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律、A B
B A
A B B A结合律、(A B)C A(B C)
(A B)C A(B C)
分配律
(A B)C(A C)(B C)
(A B)C(A C)(B C)对偶律
(A B)c Ac Bc
(A B)c Ac Bc笛卡儿积A×B{(x,y)|x A且y B}
3、区间和邻域
开区间
(a,b)
闭区间
a,b半开半闭区间
a,b a,b
有限、无限区间
邻域：U(a)
U(a,){xa x a}
a邻域的中心
邻域的半径
去心邻域
U(a,)
左、右邻域
二、映射
1.映射概念
定义
设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作
f：X Y
其中y称为元素x的像，并记作f(x)，即
y f(x)
注意：1）集合X；集合Y；对应法则f
2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一
3)单射、满射、双射
2、映射、复合映射
三、函数
1、函数的概念：
定义：设数集D R，则称映射f:D R为定义在D上的函数
记为
y f(x),x D
自变量、因变量、定义域、值域、函数值
用f、g、
函数相等：定义域、对应法则相等
自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.
例：１)ｙ＝２
2)ｙ＝x
13)符号函数y x001x0
4)取整函数y x
（阶梯曲线）5)分段函数y x02x1x0 x1x 1
2、函数的几种特性
1）函数的有界性(上界、下界；有界、无界)有界的充要条件：既有上界又有下界。

注：不同函数、不同定义域，有界性变化。

2)函数的单调性（单增、单减）在x
1、x2点比较函数值
f(x1)与f(x2)的大小（注：与区间有关）
3)函数的奇偶性(定义域对称、f(x)与f(x)关系决定)
图形特点(关于原点、Y轴对称)
4)函数的周期性(定义域中成立：f(x l)f(x))
3、反函数与复合函数
反函数：函数f:D f(D)是单射，则有逆映射f函数与反函数的图像关y x于对称
1(y)x，称此映射f1为f函数的反函数复合函数：函数u g(y)定义域为D1，函数y f(x)在D上有定义、且f(D)D1。

则u g(f(x))g f(x)为复合函数。

(注意：构成条件)
4、
函数的运算
和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)
5、初等函数：
1)幂函数：y x
2)指数函数：y a
3)对数函数y loga(x)
4)三角函数
y sin(x),y
5)反三角函数
ax cos(x),y tan(x),y cot(x)
y arcsin(x)，
y arccox)s(y arctan(x)y arccot(x)
以上五种函数为基本初等函数
6)双曲函数
ex e xex e x
shx
chx
22shxex e xthx xchxe e x
注：双曲函数的单调性、奇偶性。

双曲函数公式
sh(x y)shx chy chx shysh(x y)shx chy chx shych(x y)chx chy shx shych(x y)chx chy shx shyy arshx反双曲函数：
y archxy arthx。