【鲁教版】八年级数学上期中试卷(含答案)(1)

一、选择题
1．如图，在△ABD 中，分别以点A 和点D 为圆心，大于12
AD 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 分别交BD 、AD 于点C 、E ．若AE=5cm ，△ABC 的周长=15cm ，则△ABD 的周长是（ ）
A ．35cm
B ．30cm
C ．25cm
D ．20cm 2．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的一动点，则PA PB +的最小值是（ ）．
A ．6
B ．8
C ．10
D ．11
3．如图，∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a 1，第2个等边三角形的边长记为a 2，以此类推．若OA 1=1，则a 2019=（ ）
A ．22017
B ．22018
C ．22019
D ．22020
4．如图，AC AD =，BC BD =，则有（ ）
A ．A
B 与CD 互相垂直平分
B ．CD 垂直平分AB
C ．C
D 平分ACB ∠ D ．AB 垂直平分CD
5．如图，在ABC 中，ABC 的面积为10，4AB =，BD 平分ABC ∠，E 、F 分别为BC 、BD 上的动点，则CF EF +的最小值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．MAB ∠为锐角，AB a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC x =，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是（ ）
A ．x d =或x a ≥
B ．x a ≥
C ．x d =
D ．x d =或x a > 7．下列判断正确的个数是（ ）①三角形的三条高都在三角形的内部，并且相交于一点；②两边及一角对应相等的两个三角形全等；③两角及一边对应相等的两个三角形全等；④到三角形的三边所在的直线距离相等的点有三个；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
8．如图所示的正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，把ADE 绕点A 顺时针旋转得到ABF ，20FAB ∠=︒．旋转角的度数是（ ）
A ．110°
B ．90°
C ．70°
D ．20° 9．一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
10．现有两根木棒，长度分别为5cm 和13cm ，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）
A ．20cm 的木棒
B ．18cm 的木棒
C ．12cm 的木棒
D ．8cm 的木棒 11．如图，在五边形ABCD
E 中，AB ∥CD ，∠A ＝135°，∠C ＝60°，∠D ＝150°，则∠E 的大
小为（ ）
A ．60°
B ．65°
C ．70°
D ．75° 12．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（ ）
A ．3cm,2cm,1cm
B ．3cm,4cm,5cm
C ．6cm,6cm,12cm
D ．5cm,12cm,6cm 二、填空题
13．如图，点A 为线段BC 外一动点，4BC =，1AB =，分别以AC 、AB 为边作等边ACD △、等边ABE △，连接BD ．则线段BD 长的最大值为______．
14．如图，在△ACB 中，∠ACB ＝∠90°，AB 的垂直平分线DE 交AB 于E ，交AC 于D ，∠DBC ＝30°，DC ＝4cm ，则D 到AB 的距离为________cm ．
15．已知在△ABC 中，AB ＝9，中线AD ＝4，那么AC 的取值范围是____
16．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为__cm/s ．
17．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ，若12AB =，4CD =，则ABD △ 的面积为__________．
18．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则a b c b c a c a b --+--+-+=______．
19．如图，△ABC 的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB ，BC ，CA 得到△A 1B 1C 1，再分别倍长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1得到△A 2B 2C 2．…按此规律，倍长2020次后得到的△A 2020B 2020C 2020的面积为_____．
20．如图，P 为正五边形ABCDE 的边AE 上一点，过点P 作PQ //BC ，交DE 于点Q ，则∠EPQ 的度数为_____．
三、解答题
21．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴正半轴上，以OA 为边在x 轴上方作等边OAC ． （1）如图1，在AC 的右上方作线段AD ，点D 在y 轴正半轴上，10DAC ∠=︒，以AD 为边在AD 右侧作等边ADE ，则AEC ∠=______．
（2）如图2，点P 是x 轴正半轴上且在点A 右侧的一动点，PAM △为等边三角形，OM 与PC 交于点F ．
求证：AF MF PF +=．
（3）如图3，点P 是x 轴正半轴上且在点A 右侧的一动点，CPM △为等边三角形，MA 的延长线交y 轴于点N ，请直接写出线段AM 、AP 、AN 的数量关系______．
22．如图，在△ABC 中，AD 垂直平分BC ，E 是AB 边上一点，连接ED ，F 是ED 延长线上一点，连接CF ，若BC 平分∠ACF ，求证：BE ＝CF ．
23．如图，E 、A 、C 三点共线，//AB CD ，B E ∠=∠，AC CD =．求证：BC ED =．
24．已知：直线EF 分别与直线AB ，CD 相交于点G ，H ，并且
180AGE DHE ∠+∠=︒
（1）如图1，求证：//AB CD ；
（2）如图2，点M 在直线AB ，CD 之间，连接GM ，HM ，求证：
M AGM CHM ∠=∠+∠；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH 是BGM ∠的平分线，在MH 的延长线上取点
N ，连接GN ，若N AGM ∠=∠，12
M N FGN ∠=∠+∠，求MHG ∠的度数． 25．如图，BP 平分ABC ∠，交CD 于点F ，DP 平分ADC ∠交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A ∠=︒．
（1）若60ADC ∠=︒，求AEP ∠的度数；
（2）若38C ∠=︒，求P ∠的度数．
26．如图，ABC 中，AD 是高，,AE BF 是角平分线，它们相交于点
,80O CAB ∠=︒，60C ∠=°，求DAE ∠和BOA ∠的度数．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【详解】
解：∵MN垂直平分线段AD，
∴AC=DC，AE+ED=AD=10cm，
∵AB+BC+AC=15cm，
∴AB+BC+DC=15cm，
∴△ABD的周长=AB+BC+DC+AD=15+10=25cm，
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
2．B
解析：B
【分析】
根据题意，设EF与AC的交点为点P，连接BP，由垂直平分线的性质，则BP=CP，得到+=+=，即可得到PA PB
PA PB PA PC AC
+的最小值．
【详解】
解：根据题意，设EF与AC的交点为点P，连接BP，如图：
∵EF 是BC 的垂直平分线，
∴BP=CP ，
∴8PA PB PA PC AC +=+==，
∴PA PB +的最小值为8；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是正确找出点P 的位置，使得PA PB +有最小值．
3．B
解析：B
【分析】
根据等边三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及a 2=2a 1，得出a 3=4a 1=4，a 4=8a 1=8，a 5=16a 1=16，进而得出答案．
【详解】
解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，
∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°−120°−30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°−60°−30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA 1=A 1B 1=1，
∴A 2B 1=1，
∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴a 2=2a 1=2，
a 3=4a 1=22，
a 4=8a 1=32，
a 5=16a 1=42，
，
以此类推：a 2019=22018．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出a 3=4a 1=4，a 4=8a 1=8，a 5=16…进而发现规律是解题关键．
4．D
解析：D
【分析】
根据线段垂直平分线的判定定理解答．
【详解】
∵AC AD =，BC BD =，
∴AB 垂直平分CD ，
故D 正确，A 、B 错误，
OC 不平分∠ACB ，故C 错误，
故选：D ．
【点睛】
此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
5．D
解析：D
【分析】
过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，则CM 即为CF EF +的最小值，再根据三角形的面积公式求出CM 的长，即为CF EF +的最小值．
【详解】
解：过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，
BD 平分ABC ∠，'MF AB ⊥于点M ，''F E BC ⊥于'E ，
'''MF F E ∴=，
'''''CM CF MF CF E F ∴=+=+的最小值．
三角形ABC 的面积为10，4AB =， ∴14102
CM ⨯⋅=，
21054CM ⨯∴==． 即CF EF +的最小值为5，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
当x ＝d 时，BC ⊥AM ，C 点唯一；当x ≥a 时，能构成△ABC 的C 点唯一，可确定取值范围．
【详解】
解：若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则C 点唯一即可，
当x ＝d 时，BC ⊥AM ，C 点唯一；
当x >a 时，以B 为圆心，BC 为半径的作弧，与射线AM 只有一个交点，
x =a 时，以B 为圆心，BC 为半径的作弧，与射线AM 只有两个交点，一个与A 重合， 所以，当x ≥a 时，能构成△ABC 的C 点唯一，
故选为：A ．
【点睛】
本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 7．D
解析：D
【分析】
根据三角形的高线、角平分线的性质及全等三角形的判定分析各个选项即可．
【详解】
解：①只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部，此选项错误； ②有两边及一角对应相等的两个三角形全等，此选项错误；
③有两角和一边对应相等，满足AAS 或ASA ，此选项正确；
④在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点； 在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．
则到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，此选项错误；
⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，此选项错误．
正确的有一个③，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法及三角形的角平分线，垂心等概念，熟练掌握概念和性质是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=90︒，由旋转的性质推出ADE≌ABF，求出∠FAE=∠BAD=90︒，即可得到答案．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90︒，
由旋转得ADE≌ABF，
∴∠FAB=∠EAD，
∴∠FAB+∠∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴∠FAE=∠BAD=90︒，
∴旋转角的度数是90︒，
故选：B．
【点睛】
此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．9．D
解析：D
【分析】
设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和4倍可得方程180（n﹣2）＝360×4，再解方程即可．
【详解】
解：设多边形有n条边，由题意得：
180（n﹣2）＝360×4，
解得：n＝10，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n﹣2）．10．C
解析：C
【分析】
设选取的木棒长为xcm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，选出合适的x的值即可．
【详解】
解：设选取的木棒长为xcm，
∵两根木棒的长度分别为5cm和13cm，
∴13cm-5cm＜x＜13cm+5cm，即8cm＜x＜18cm，
∴12cm的木棒符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
先根据多边形的内角和公式求出五边形的内角和，根据AB∥CD得到∠B+∠C=180°，即可求出∠E的大小．
【详解】
解：由五边形的内角和公式得（5-2）×180°=540°，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠E=540°-∠A-∠B-∠C-∠D=540°-135°-180°-150°=75°．
故选：D
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
12．B
解析：B
【分析】
三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，知：
A中，1+2=3，排除；
B中，3+4＞5，可以；
C中，6+6=12，排除；
D中，5+6＜12，排除．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
二、填空题
13．5【分析】连接CE根据等边三角形的性质得到AE＝ABAC＝AD∠CAD＝
∠BAE ＝60°再利用SAS 推出△BAD ≌△EAC 由全等三角形的性质得到BD ＝EC 由于线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值即可
解析：5
【分析】
连接CE,根据等边三角形的性质得到AE ＝AB ，AC ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，再利用SAS 推出△BAD ≌△EAC ，由全等三角形的性质得到BD ＝EC ，由于线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值，即可得到结果．
【详解】
解：连接CE ，
∵△ACD 与△ABE 是等边三角形，
∴AE ＝AB ，AC ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，
∴∠CAD ＋∠BAC ＝∠BAE ＋∠BAC ，
即∠BAD ＝∠EAC ，
在△BAD 与△EAC 中，
AD AC BAD EAC AB AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△BAD ≌△EAC （SAS ），
∴BD ＝EC ；
∵线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值，
当线段EC 的长取得最大值时，点E 在CB 的延长线上，且BC ＝4，AB ＝1，
∴线段BD 长的最大值为BE ＋BC ＝AB ＋BC ＝5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，并正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．4【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA 则有∠A=∠ABD 而∠C=∠DBC=利用三角形的内角和可得∠A+∠ABD=得到∠ABD=在Rt △BED 中根据含角的直角三角形三边的关系即可得到DE
解析：4
【分析】
先根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，则有∠A=∠ABD，而∠C=90︒，∠DBC=
︒-︒=︒，得到∠ABD= 30︒，在
30︒，利用三角形的内角和可得∠A+∠ABD=903060
Rt△BED中，根据含30︒角的直角三角形三边的关系即可得到DE的长度．
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴DB=DA，
∴∠A=∠ABD，
∵∠C=90︒，∠DBC=30︒，DC=4cm，
︒-︒=︒，
∴BD=8cm，∠A+∠ABD=903060
∴∠ABD=30︒，
在Rt△BED中，∠EBD=30︒，BD=8cm，
∴DE=14
BD=cm，
2
即D到AB的距离为4cm，
故答案为：4．
【点睛】
本题考察线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30︒角的直角三角形的性质，解题关键是掌握相关性质．
15．1＜AC＜17【分析】作出图形延长AD至E使DE＝AD然后利用边角边证明△ABD和△ECD全等根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE再利用三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边
解析：1＜AC＜17
【分析】
作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出AC的取值范围．
【详解】
如图，延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△ECD (SAS )，
∴AB ＝CE ，
∵AD ＝4，
∴AE ＝4+4＝8，
∵AC +CE ＞AC ＞CE -AE ，
∴9-8＜AC ＜8+9，
∴1＜AC ＜17，
故答案为：1＜AC ＜17．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
16．1或15【分析】分两种情况讨论：当△ACP ≌△BPQ 时从而可得点的运动速度；当△ACP ≌△BQP 时可得：从而可得点的运动速度从而可得答案【详解】解：当△ACP ≌△BPQ 时则AC ＝BPAP ＝BQ ∵AC
解析：1或1.5
【分析】
分两种情况讨论：当△ACP ≌△BPQ 时，1
AP BQ ==， 从而可得Q 点的运动速度；当△ACP ≌△BQP 时，可得：23AP BP BQ ===，， 从而可得Q 点的运动速度，从而可得答案．
【详解】
解：当△ACP ≌△BPQ 时，
则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，
∵AC ＝3cm ，
∴BP ＝3cm ，
∵AB ＝4cm ，
∴AP ＝1cm ，
∴BQ ＝1cm ，
∴点Q 的速度为：1÷（1÷1）＝1（cm/s ）；
当△ACP ≌△BQP 时，
则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，
∵AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，
∴AP ＝BP ＝2cm ，BQ ＝3cm ，
∴点Q 的速度为：3÷（2÷1）＝1.5（cm/s ）；
故答案为：1或1.5．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，分类讨论的数学思想，掌握利用分类讨论解决全等三角形问题是解题的关键．
17．24【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E 根据角平分线定理可得DE=CD=4然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ∵AD 平分交BC 边于点D ∴DE=CD=4∴的面积为AB
解析：24
【分析】
过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，根据角平分线定理可得DE=CD=4,然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，
∵90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ，
∴DE=CD=4，
∴ABD △ 的面积为
12AB·DE=12
×12×4=24． 故答案为：24．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质定理，正确作出辅助线、构造角平分线定理所需条件成为解答本题的关键． 18．【分析】三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边两边的差小于第三边根据此条件来确定绝对值内的式子的正负从而化简计算即可【详解】解：∵△ABC 的三边长分别是abc ∴必须满足两边之和大于第三边两边的差小 解析：3c b a +-
【分析】
三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
【详解】
解：∵△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，
∴0,0,0a b c b c a c a b --<--<-+>， ∴a b c b c a c a b --+--+-+
=()()()a b c b c a c a b ------+-+
=++++a b c b c a c a b --+-+
=3c b a +-
故答案为：3c b a +-．
【点睛】
此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．
19．72020【分析】连接AB1BC1CA1根据等底等高的三角形面积相等可得＝7S △ABC 由此即可解题【详解】连接AB1BC1CA1根据等底等高的三角形面积相等△A1BC △A1B1C △AB1C △AB1C
解析：72020
【分析】
连接AB 1、BC 1、CA 1，根据等底等高的三角形面积相等，可得111A B C S △＝7S △ABC ，由此即可解题．
【详解】
连接AB 1、BC 1、CA 1，根据等底等高的三角形面积相等，
△A 1BC 、△A 1B 1C 、△AB 1C 、△AB 1C 1、△ABC 1、△A 1BC 1、△ABC 的面积都相等， 所以，111A B C S △＝7S △ABC ，
同理222A B C S △＝7111A B C S △＝72S △ABC ，
依此类推，△A 2020B 2020C 2020的面积为＝72020S △ABC ，
∵△ABC 的面积为1，
∴202020202020A S B C ∆＝72020．
故答案为：72020．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角
形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．
20．36°【分析】连接AD由正五边形的性质可得∠B＝∠BAE＝∠E∠EDC＝∠C ＝108°AE＝DE由等腰三角形的性质可求∠AED＝∠EDA＝36°可证AD∥PQ由平行线的性质可求解【详解】解：连接AD
解析：36°
【分析】
连接AD，由正五边形的性质可得∠B＝∠BAE＝∠E∠EDC＝∠C＝108°，AE＝DE，由等腰三角形的性质可求∠AED＝∠EDA＝36°，可证AD∥PQ，由平行线的性质可求解．
【详解】
解：连接AD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B＝∠BAE＝∠E=∠EDC＝∠C＝108°，AE＝DE，
∴∠AED＝∠EDA＝36°，
∴∠BAD＝72°，
∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴BC∥AD，
∵PQ∥BC，
∴AD∥PQ，
∴∠EPQ＝∠EAD＝36°，
故答案为：36°．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和外角，等腰三角形的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
三、解答题
21．（1）20°；（2）证明见解析；（3）
1
2
AM AN AP
=+．
【分析】
（1）借助等边三角形的性质可证明△CAE≌△OAD，再利用直角三角形两锐角互余即可得出结论；
（2）在OM上截取EM=PF，证明△FAP≌△EAM，得出AE=AF，∠EAM=∠FAP，再利用角的和差可得∠EAF=∠MAP=60°，即△AEF为等边三角形，继而得出结论；
（3）证明△CAM≌△COP可得AM=OP=OA+AP，利用三角形内角和定理和对顶角相等可得
∠OAN=60°，∠ONA=30°，根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半可得1
2OA AN =，继而可得12
AM AN AP =
+． 【详解】
解：（1）∵△AOC 和△DAE 是等边三角形，
∴AC=AO ，AE=AD ，∠OAC=∠EAD=60°，
∵10DAC ∠=︒， 6070CAE DAO DAC ∴∠=∠=︒+∠=︒，
在△CAE 和△OAD 中
∵AC AO CAE OAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CAE ≌△OAD （SAS ），
∴∠AEC=∠ADO ，
∵∠ADO=90°-∠DAO=20°，
∴∠AEC=20°，
∴故答案为：20°；
（2）与（1）同理可证，△OAM ≌△CAP ，
∴∠OMA=∠CPA ，AM=AP ，
如下图，在OM 上截取EM=PF ，
在△FAP 和△EAM 中，
∵PF ME OMA CPA AP AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△FAP ≌△EAM （SAS ），
∴∠EAM=∠FAP ，EA=FA ，
∵∠EAF=∠EAM-∠FAM ，∠MAP=∠FAP-∠FAM ，
∴∠EAF=∠MAP=60°，
∴△AEF 为等边三角形，EF=AF ，
∴AF MF EF MF EM PF +=+==，即AF MF PF +=；
（3）与（1）同理可证△CAM ≌△COP ，∠MCP=60°，
∴AM=OP=OA+AP ，∠AMC=∠OPC ，
∵OP=OA+AP ，
∴AM=OA+AP ，
∵∠CEM=∠AEP ，∠AMC=∠OPC ，
∴∠PAM=∠MCP=60°，
∴∠OAN=60°，∠ONA=30°， ∴12
OA AN =， ∴12
AM AN AP =+， 故答案为：12AM AN AP =
+． 【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．（1）中理解等边三角形三边相等，三角都等于60°是解题关键；（2）能根据“截长补短”作出辅助线构造全等三角形是解题关键；（3）中根据三角形内角和定理和对顶角相等得出∠OAN=60°是解题关键． 22．证明见解析．
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到AB=AC ，证明△BDE ≌△CDF ，根据全等三角形的性质得到BE=CF ．
【详解】
证明：∵AD 垂直平分BC ，
∴AB ＝AC ，BD ＝DC ，
∴∠ABC ＝∠ACB ，
∵BC 平分∠ACF ，
∴∠FCB ＝∠ACB ，
∴∠ABC ＝∠FCB ，
在△BDE 和△CDF 中，
EDB FDC BD CD
EBD FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，
∴△BDE ≌△CDF （ASA ），
∴BE ＝CF ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
23．证明见解析
【分析】
利用AAS 证明△ABC ≌△CED 即可得到结论．
【详解】
证明：∵//AB CD ，
∴BAC ECD ∠=∠，
在ABC 和CED 中
BAC ECD B E
AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴()ABC CED AAS △≌△，
∴BC ED =．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理及根据已知题意确定两个三角形对应相等的条件是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）60°
【分析】
（1）推出同旁内角互补即可
（2）如图，过点M 作//MR AB ，利用平行线性质推出////AB CD MR ．得
GMR AGM ∠=∠，HMR CHM ∠=∠．利用角的和M GMR HMR ∠=∠+∠代换即可．
（3）如图，令2AGM α∠=，CHM β∠=，由N AGM ∠=∠推得2N α∠=，2M αβ∠=+，由射线GH 是BGM ∠的平分线，推得1902FGM BGM α∠=
∠=︒-， 则90AGH AGM FGM α∠=∠+∠=︒+，由12
M N FGN ∠=∠+∠，求出2FGN β∠=，过点N 作//HT GN ，由平行线的性质
22GHM MHT GHT αβ∠=∠+∠=+，求出
∠CHG 23αβ=+，利用//AB CD 的性质180AGH CHG ∠+∠=︒，即
9023180ααβ︒+++=︒，求出30αβ+=︒，再求()260MHG αβ∠=+=︒即可．
【详解】
（1）证明：如图，∵180AGE DHE ∠+∠=︒，AGE BGF ∠=∠．
∴180BGF DHE ∠+∠=︒，
∴//AB CD ．
（2）证明：如图，过点M 作//MR AB ，
又∵//AB CD ，
∴////AB CD MR ．
∴GMR AGM ∠=∠，HMR CHM ∠=∠．
∴M GMR HMR AGM CHM ∠=∠+∠=∠+∠；
（3）解：如图，令2AGM α∠=，CHM β∠=，
∵N AGM ∠=∠
则2N α∠=，2M αβ∠=+，
∵射线GH 是BGM ∠的平分线， ∴()111809022
FGM BGM AGM α∠=∠=︒-∠=︒-， ∴29090AGH AGM FGM ααα∠=∠+∠=+︒-=︒+， ∵12
M N FGN ∠=∠+∠， ∴1222FGN αβα+=+
∠， ∴2FGN β∠=，
过点N 作//HT GN ，则2MHT N α∠=∠=，2GHT FGN β∠=∠=，
∴22GHM MHT GHT αβ∠=∠+∠=+，
∴CHG CHM MHT GHT ∠=∠+∠+∠2223βαβαβ=++=+，
∵//AB CD ，
∴180AGH CHG ∠+∠=︒，
∴9023180ααβ︒+++=︒，
∴30αβ+=︒，
∴()260MHG αβ∠=+=︒．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质， 角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造内错角，和同位角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算是解题关键．
25．（1）72︒；（2）40︒．
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠ADP=
12ADC ∠ ，然后利用三角形外角的性质即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，所以∠A+∠C=2∠P ，即可得解．
【详解】
解：（1）∵DP 平分∠ADC ，
∴∠ADP=∠PDF=12
ADC ∠， ∵60ADC ∠=︒，
∴30ADP ∠=︒，
∴304272AEP ADP A ∠=∠+∠=︒+︒=︒；
（2）∵BP 平分∠ABC ，DP 平分∠ADC ，
∴∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，
∴∠A+∠C=2∠P ，
∵∠A=42°，∠C=38°，
∴∠P=12
（38°+42°）=40°． 【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．
26．10DAE ∠=︒，120BOA ∠=︒
【分析】
根据垂直的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理及三角形的外角性质计算即可．
【详解】
解：80,CAB ∠=︒且AE 平分,CAB ∠
1402
CAE CAB ∴∠=∠=︒， 又60,C AD BC ∠=︒⊥，
9030,CAD C ∴∠=︒-∠=︒
10DAE CAE CAD ∴∠=∠-∠=︒；
60,40C CAE ∠=︒∠=︒，
100BEO C CAE ∴∠=∠+∠=︒，
又180,ABC C CAB ∠+∠+∠=︒
40,ABC ∴∠=︒ BF 平分,ABC ∠
120,2
OBE ABC ∴∠=∠=︒ 120BOA OBE BEO ∴∠=∠+∠=︒．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线的定义以及三角形的外角性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．。