利用基本不等式求最值十大变形技巧WORD教师版

利用基本不等式2b a ab +≤
求最值十大变形技巧 本文就利用基本不等式2b a ab +≤
)0,0(>>b a 求最值的常见变形技巧作一总结. 1.变正
例1设0>x ，则x
x y 133-
-=的最大值为__________.
点评：如果变量为负，首先化为正，然后再利用基本不等式求最值．
练习1若0<x ，求函数x x
y 312+=的最大值.
2.代入
例2已知)0,0(121>>=+n m n
m ，则mn 的最小值为__________.
点评：整体代换，创造利用不等式的条件，然后再利用基本不等式求最值．
练习2在1)(9)(4=⨯+⨯中的两个括号中，分别填上两个正数，使它们的倒数和最小，就分别填上____和____.
3.乘方
例3设0≥a ，0≥b ，且12
22=+b a ，求21b a +⋅的最大值.
点评：通过平方变形，创造利用不等式的条件，然后利用基本不等式求最值． 练习3已知正数y x ,满足93222=+y x ，求21y x +⋅的最大值，并求此时x 和y 的值.
4.拆项
例4若不等式)22(xy x a y x +≥+对一切正数y x ,恒成立，求a 的最大值.
点评：本题通过拆项，然后创设利用不等式的条件求最值．
练习4已知不等式9)1)((≥++y
a x y x 对任意正实数y x ,恒成立，则正实数a 的最小值为________.
5.添项
例5设10<<x ，0>a ，0>b ，则x
b x a -+12
2的最小值为__________.
点评：通过添项，然后创设利用不等式的条件求最值，添项时一定要注意保持恒等 练习5函数1)3(log -+=x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上，其中
0>mn ，则n
m 21+的最小值为_________.
6.换元
例6已知0<a ，0<b ，则b
a a
b a a y +++=2的最小值为_________.
点评通过换元，然后创设利用不等式的条件求最值，常见的换元有三角换元、代数换元等．
练习6设1->x ，求函数1
)2)(5(+++=x x x y 的最值.
7.消元
例7若0,>y x ，且b a y
b x a ,(1=+为正常数，且)b a ≠，求y x +的最小值.
点评：通过消元化二元为一元函数，然后再利用基本不等式求最值．
练习7设正数z y x ,,满足032=+-z y x ，则xz
y 2
的最小值为__________. 8.构造
例8设y x ,均为正数，且01=---y x xy ，则y x +的取值范围是________.
点评：利用基本不等式构建不等关系，通过解不等式，然后才能求出函数的最值来． 练习8已知正数b a ,满足3++=b a ab ，则b a +的最小值为________.
9.重组
例9已知正数z y x ,,满足1)(=++z y x xyz ，求))((z y y x ++的最小值.
点评：有时候要对所给题设进行重新组合，然后再利用不等式求得所求的最值． 练习9若0,,>c b a ，且324)(-=+++bc c b a a ，则c b a ++2的最小值为________.
10.引参
例10设0>x ，0>y ，0>z ，且1=++z y x ，求z
y x 941++的最小值.
点评：通过引参数，可以创设利用基本不等式求最值的条件，从而求得所要求的最值． 练习10如果R z y x ∈,,，且1222=++z y x ，求证：4
133222+≤++zx yz xy .。