东北大学复变课件 第一章

n
(cos nq i sin nq ).
cosq i sinq
n
(cos nq i sin nq )
1 那么 n, z
称为De Moivre公式. 如果定义负整数幂为 z
n
De Moivre公式仍然成立. 设
z1 r1 (cosq1 i sinq1 ), z2 r2 (cosq 2 i sinq 2 ),
z1 z1 z1 z2 z1 z2 ; . z2 z2
2
3. 分配律
4. z1 z2 z1 z2 ;
5. z z .
2
6. z z Re( z ) Im( z ) .
7. z z 2Re( z ), z z 2i Im( z ).
y y
z x iy
( x, y)
平面.
o
x
x
显然, 实数与x轴上的点一一对应, 而x轴以
外的点都对应一个虚数, 纯虚数 iy y 0 与y轴
上的点(除原点)对应. 因此, 称x轴为实轴, y轴 为虚轴. 今后把复平面上的点和复数z不加区别, 即 “点z”和“复数z”是同一个意思. 有时用C 表示 全 体复数或复平面. 复数z也可以用以原点 为起点而以点P为终点的向
复数运算的性质 1. 交换律
z1 z2 z2 z1 ; z1 z2 z2 z1 .
2. 结合律
( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ); z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 ) z3 . z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 .
n个相异根如下
q q w0 r cos i sin , n n 1 q 2π q 2π n w1 r cos i sin , n n 1 q 2( n 1)π q 2( n 1)π n wn1 r cos i sin . n n
z1 r1 i (q1 q 2 ) e . 故 z1 z1 , Arg z1 Argz1 Argz2 . z2 r2 z2 z2 z2
iq 1
iq 2
对给定的复数z, 方程wn=z的解w称为z的n次方根, 记做
z 或 z . 如果 z r (cosq i sinq ),
y
z2
z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2 z1 z2 .
z2
z1 z2
z1
x
z1
o
1.1.4
乘幂与方根
设复数z1和z2的三角表示式为
） z1 r1 (cosq1 i sinq1） z2 r2 (cosq 2 i sinq 2 . ,
根据乘法定义和运算法则及两角和公式,
1 n
由三角函数的周期性
wk n q 2 k n π q 2 k n π r cos i sin n n
o
q1
q2
r2



r
z1
z2 r2 (cosq 2 i sinq 2 . ）
z2
先将z1按逆时针方向 旋转角度 q 2 ,再将模
x
利用数学归纳法可以证明：如果
zk rk (cosq k i sin q k )
k 1,2, , n ,
那么
z1 z2 zn r1r2 rn [cos(q1 q 2 q n ) i sin(q1 q 2 q n )].
z1 z2 r1 (cosq1 i sinq1 ) r2 (cosq 2 i sinq 2 )
r1 r2 [(cosq1 cosq 2 sinq1 sinq 2 )
i (sinq1 cosq 2 cosq1 sinq 2 )],
z1 z2 r1 r2 [cos(q1 q 2 ) i sin(q1 q 2 )].
给定一复数z=x+iy, 在坐标平面XOY上存 在惟一的点P(x,y)与z=x+iy对应. 反之, 对XOY 平面上的点P(x,y), 存在惟一的复数z=x+iy与它 对应. 根据复数的代数运算及向量的代数运算 的定义知这种对应构成了同构映射. 因此可以 用XOY平面上的点表示复数z. 这时把XOY平面称 为复平面. 有时简称为z
于是 z1 z2 r1 r2 z1 z2 , Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 . 两个复数相乘的几何意义 设两个复数对应的向量分别为 z1 r1 (cosq1 i sinq1） , y z
q r 1
变到原来的r2倍,于是 所得的向量z就表示乘积 z1 z2 .
z r
x2 y2 ,
y
>> syms x y real; >> z=x+y*i;
z x y, x z, y z.
o
>> abs(z) x ans =
x
如果点P不是原点(即 z 0 ), 那么把 x 轴正
向与向量 OP 的夹角 q 称为复数 z 的辐角, 记做 Argz. 对每个 z 0 , 都有无穷多个辐角, 因为用
i 1.
虚数单位为i=j=sqrt(-1), 其数
称形如 x+iy 或 x+yi 的表达式为复数，其中
x和y是任意两个实数. 把这里的x和y分别称为复 数 x+iy (或 x+yi )的实部和虚部 , 并记做
x Re z ,
共轭复数
y 求复变量的实部和虚部可用命令 Im z .
和imag()来实现. 例如
e iq cosq i sinq ,
z re iq , 称为复数的 复数z=x+iy 又可表示为
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
当 z 0时, Arg z Argz .
z re iq 时, z re iq . 当
共轭复数的几何性质
一对共轭复数z和 z 在 复平面的位置是关于 实轴对称的.
有时, 在进行说明后, 把主辐角定义为满足
0 q 2 的辐角, 这时上式仍然成立.
当z=0时, Argz没有意义, 即零向量没有确定
的方向角；但当z=0时, |z|=0.
利用直角坐标与极坐标之间的关系
x r cosq ,
y r sinq ,
复数z=x+iy 可表示为 z r (cosq i sinq ), 称为复 数z的三角表示式. 再利用Euler公式
运算定义如下： (1) 复数的和与差
z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 )
(2) 复数的积
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 )
(3) 复数的商
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 z1 z2 i 2 2 2 2 z2 z2 z2 x 2 y2 x 2 y2
第一章 复变函数与解析函数
§1.1 复 数
1 复数的概念 2 复数的四则运算 3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念
由于解代数方程的需要, 人们引进了复数.
例如，简单的代数方程
x2 1 0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍
理论，引入等式
i 2 1.
虚数单位 由该等式所定义的数称为
q0表示复数z的一个辐角时,
q q 0 2k k 0, 1, 2,
就是z的辐角的一般表达式. 满足 q 的复数z的 辐角 称为主辐角 (或称辐角的主值), 记做argz, 则
Argz arg z 2k
使用函数命令angle(
角, 2, . k 0, 1, 但是只能对数值量进
1 n
1 n
n q 2kπ ( k 0, 1, 2,),
其中 r 表示算术根. 于是
q 2kπ q 2kπ w z r cos i sin n n ( k 0, 1, 2,).
n 1 n
当取k=0,1,2,·,n-1时, 对一个取定的q, 可得 · ·
n
1 n
w (cos i sin ),
n (cos n i sin n ) r (cosq i sin q ). 于是,
当 r 0 时,
n r , cos n cosq , sin n sinq .
满足以上三式的充分必要条件是
r ,
那么
z1 z2 zn r1r2 rne
z n r ne inq . ,
特别地，当|z|=r=1时,
z1 z2 zn r1r2 rn [cos(q1 q 2 q n ) i sin(q1 q 2 q n )],
变为
cosq i sinq
>> syms x y real; 复数 x-iy 称为复数 x+iy 的共轭复数 (其中x, y >> z=x+y*i;
均为实数), 并记做 z .
>> Re=real(z) Re = x
复数的共轭可用conj()来 y real;
显然, z=x+iy 是 x-iy的共轭复数, 即 x >> syms
z1 z1 3 4i , z2 1 i , 求 与 z1 . 例 1.1 设 z2 z2
解
z1 3 4i (3 4i )( 1 i ) z2 1 i ( 1 i )( 1 i )
( 3 4) (4 3)i 7 1 i. 2 2 2 7 1 z1 i . 2 2 z2
y y
Pz x iy
量表示(如图).
o
x
x
这时复数加、减法满足向量加、减法中的平 行四边形法则. 用 OP表示复数z时, 这个向量在x轴和y轴上 的投影分别为x和y. 把向量 OP 的长度r 称为复数z的 模 或称为z
的绝对值, 并记做|z|. 显然
y
使用函数命令abs()来自Pz x iy当 z2 0 (即 r2 0 )时,
z1 z1 z 2 1 1 z z 2 z1 z 2 2 1 2 z2 z2 z 2 z2 r2
r1 [cos(q1 q 2 ) i sin(q 1 q 2 )]. r2
如果将z1和z2写成指数形式 z1 r1e , z2 r2e , 则
z z z.

>>>> z=x+y*i; Im=imag(z)
>> conj(z) Im =
1.1.2 复数的四则运算
设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2是两个复数, 如果x1=x2,
y1=y2, 则称z1和z2相等, 记为z1=z2.
注意 复数不能比较大小.
复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加、减、乘、除
例 1.2
i1 i, i 2 1, i 4 n 1, i 4 n 1 i ,
i 3 i i 2 i, i 4 i 2 i 2 1,
i 4 n 2 1,
i 4 n 3 i ,
……
i 4 n 4 1.
1.1.3 复平面与复数的表示法
y
z x iy
x
o
z x iy
从几何上看, 复数 z2-z1所表示的向量, 与以
z1为起点、z2为终点的向量相等 (方向相同, 模
相等). 复数的加、减运算对应于复平面上相应
向量的加、减运算. 复数和与差的模的性质
因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故
特别地, 如果
z1 z2 zn r (cosq i sinq ),
那么
z n r n (cos nq i sin nq ).
如果写成指数形式，即如果
zk rk e iq k
k 1, 2, , n ,
i q1 q 2 q n
z re iq ,