微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详解

第9章
习题9-1
1． 判定下列级数的收敛性：
(1) 1
1
5n n a ∞
=⋅∑（a ＞0）； (2)
∑∞
=-+1
)1(
n n n ;
(3) ∑∞
=+13
1
n n ; (4)
∑∞
=-+1
2)1(2n n
n
; (5) ∑∞
=+11ln n n n
; (6)
∑∞
=-12)
1(n n
;
(7) ∑∞
=+11
n n
n ; (8)
0(1)21
n n n
n ∞
=-⋅+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为1a ,且0a >,故当1||1a <,即1a >时，级数收敛，当1
||1a
≥即01a <≤时，级数发散.
（2）
Q n S =+++L
1=
lim n n S →∞
=∞
∴
1
n ∞
=∑发散.
（3）113
n n ∞
=+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11
n n ∞
=∑发散，故原
级数
1
1
3n n ∞
=+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22
2n n n
n n n n ∞
∞-==⎛⎫
+--=+ ⎪⎝⎭∑∑ 而11
12n n ∞
-=∑,1(1)2m n
n ∞=-∑是公比分别为1
2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知111(1)2
2n n n n ∞
-=⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭∑收敛，即原级数收敛.
（5）Q ln
ln ln(1)1
n
n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞
=-∞,所以级数
1
ln 1n n
n ∞
=+∑发散.
（6）Q 2210,2n n S S +==-
∴
lim n n S →∞
不存在，从而级数1
(1)2n n ∞
=-∑发散.
（7）Q 1
lim lim
10n n n n U n
→∞
→∞+==≠
∴ 级数
1
1
n n n ∞
=+∑发散. （8）Q (1)(1)1
, lim 21212
n n n n n n U n n →∞--==++
∴ lim 0n x U →∞
≠，故级数1(1)21
n n n
n ∞
=-+∑发散.
2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：
(1) ∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13121n n n ； (2) ※
∑∞
=++1
)2)(1(1
n n n n ; (3) ∑∞
=⋅1
2sin n n n π
; (4)
π
cos
2
n n ∞
=∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞
∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112
3n n n ∞
=⎛⎫
+ ⎪⎝⎭∑收敛，且其
和为1+
12=3
2
. （2）Q
11121(1)(2)212n n n n n n ⎛⎫
=-+ ⎪++++⎝⎭
∴121112111211121122322342345212n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L
11112212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭
1lim 4n n S →∞
=
故级数收敛，且其和为14
. （3）πsin 2n U n n =,而π
sin
ππ2lim lim 0π222n n n U n
→∞→∞=⋅=≠，故级数1
πsin
2n n n ∞
=⋅∑发散. （4）π
cos 2
n n U =,而4lim limcos2π1k k k U k →∞→∞==,42lim limcos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-
故lim n n U →∞不存在，所以级数
π
cos
2
n n ∞
=∑发散. 3※
． 设
1n
n U
∞
=∑ (U n ＞0)加括号后收敛，证明
1
n
n U
∞
=∑亦收敛．
证：设
1
(0)n
n n U
U ∞
=>∑加括号后级数1
n n A ∞
=∑收敛，其和为S .考虑原级数1
n n U ∞
=∑的部分和
1
n k k S U ∞
==∑，并注意到0(1,2,)k U k >=L ，故存在0n ,使
1
1
n n k t k t S U A s ∞===<<∑∑
又显然1n n S S +<对一切n 成立，于是，{}n S 是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim n
n S →∞
存在，即原级数
1
n
n U
∞
=∑亦收敛.
习题9-2
1． 判定下列正项级数的收敛性：
(1) ∑∞
=++1n n n )2)(1(1
; (2)
∑
∞
=+1n n n 1; (3) ∑∞
=++1n n n n )2(2; (4)
∑
∞
=+1n n n )
5(12
；
(5) 1
11n
n a
∞
=+∑ (a ＞0); (6) ∑∞
=+1
n n
b
a 1
(a , b ＞0);
(7)
(
)
∑∞=--+1n a n a n 2
2 (a ＞0); (8)
∑∞
=-+1
n n
n 1
21
4
； (9) ∑∞
=⋅1n n
n n 23； (10) ※
∑∞
=1
n n
n n !; (11) ∑∞
=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅1
n n n )13(1074)
12(753ΛΛ; (12)
∑∞
=1
n n n
3； (13) ※
∑∞
=1n n n 22
)!(2； (14)
∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+1n n
n n 12; (15)
∑∞
=1
πn n
n
3sin
2
; (16) ∑
∞
=1
π
n n n n 2cos 3
2
．
解：（1）因为211
(1)(2)n n n <++而211n n
∞=∑收敛，由比较判别法知级数11(1)(2)n n n ∞
=++∑收
敛.
（2
）因为lim lim
10n n n U →∞
→∞
==≠，故原级数发散. （3）因为21
(1)(1)1n n n n n n n +>=+++，而111
n n ∞
=+∑发散，由比较判别法知，级数
1
2
(1)n n n n ∞
=++∑发散. （4）
3
2
1n
<
=
,
而
1
n ∞
=是收敛的p -
级数3
(1)2
p =
>,由比较判别法知,
级数
1
n ∞
=收敛.
（5）因为1
1
1lim lim lim(1)111n n n n n n n n a a a a
a
→∞→∞→∞+==-++ 11112001
a a a >⎧⎪⎪
==⎨⎪<<⎪⎩
而当1a >时，11n n a ∞
=∑收敛，故11
1n
n a
∞
=+∑收敛; 当1a =时，11
n n a
∞
=∑=
1
1n ∞
=∑发散，故1
1
1n
n a ∞
=+∑
发散; 当01a <<时1lim
101n n a →∞=≠+，故1lim
1n
n a →∞+发散; 综上所述，当01a <≤时，级数1lim 1n n a →∞+发散，当1
a >时，1
lim 1n
n a →∞+收敛. （6）因为1lim lim lim(1)1n n n n
n n n n
b a a b a b a b b →∞→∞→∞+==-++
1
1111
01b b a b >⎧⎪⎪==⎨+⎪<<⎪⎩ 而当1b >时, 1
1n n b ∞
=∑收敛，故11
n
n a b ∞
=+∑收敛; 当1b =时，1111n n n b ∞∞===∑∑发散，故而由0a >, 1
01a <<+∞+,故11n
n a b ∞
=+∑也发散; 当01b <<时，11
lim 0n n a b a →∞=≠+故1
1n n a b ∞
=+∑发散; 综上所述知，当01b <≤时，级数11n n a b ∞
=+∑发散;当b >1时，级数11
n
n a b
∞
=+∑收敛. （7
）因为n n n
→∞=
0n a ==>
而11n n ∞
=∑
发散，故级数1
0)n a ∞
=>∑发散.
（8）因为43443
1121lim lim 1212
n n n n n n n n →∞→∞++-==-
而31
1n n ∞
=∑收敛，故级数21121n n n ∞
=+-∑收敛.
（9）因为1113233
lim lim lim 1(1)232(1)2n n n n n n n n n
U n n U n n +++→∞→∞→∞⋅⋅==>+⋅+由达朗贝尔比值判别法知，级数1
32n
n
n n ∞
=⋅∑发散. （10）因为11(1)!1
lim lim lim(1)1(1)!n n n n n n n n
U n n e U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅=+=>+，由达朗贝尔比值判别
法知，级数1!
n
n n n ∞
=∑发散.
（11）因为1357(21)(23)4710(31)
lim
lim 4710(31)(34)357(21)n n n n
U n n n U n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+L L L L
232
lim
1343
n n n →∞+==<+,
由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.
（12）因为111311
lim lim lim 1333n n n n n n n
U n n U n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<，由达朗贝尔比值判别法知，
级数
13
n
n n
∞
=∑收敛. （13）因为2
222
1221(1)[(1)!]2(1)lim lim lim (!)22n n n n n n n n
U n n U n +++→∞→∞→∞++=⋅= 由2212121(1)2(1)1
lim lim lim 222ln 22ln 2
x x x x x x x x x +++→∞→+∞→+∞+++==⋅⋅
212
1lim 022(ln 2)x x +→+∞==⋅知2
121(1)lim lim 012n n n n n
U n U ++→∞→∞+==<
由达朗贝尔比值判别法知，级数
2
21
(!)2
n n n ∞
=∑
收敛.
（14
）因为1lim 1212n n n n →∞==<+，由柯西根值判别法知级数121n
n n n ∞
=⎛⎫
⎪+⎝⎭
∑收敛.
（15）因为ππ
2sin
sin 33lim lim 1π2π
33n n n
n n n n n
→∞→∞==⋅
而112233n
n n n n ∞
∞
==⎛⎫
= ⎪⎝⎭
∑∑是收敛的等比级数，它的每项乘以常数π后新得级数12π3n n n ∞=⋅∑仍收敛，
由比较判别法的极限形式知，级数
1
π
2sin
3n n
n ∞
=∑收敛. （16）因为
2
π
cos 322n n n n n ≤而与（12）题类似地可证级数1
2n n n ∞
=∑收敛，由比较判别法知级数
1
π
cos 32n
n n n ∞
=∑
收敛.
2． 试在(0，+∞)内讨论x 在什么区间取值时，下列级数收敛：
(1) ∑∞
=1
n n
n x ; (2)
n
n x n ∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛1
23． 解：（1）因为11lim lim lim 11n n n n n n n
U x n nx
x U n x n ++→∞→∞→∞=⋅==++
由达朗贝尔比值判别法知，当1x >时，原级数发散;
当01x <<时，原级数收敛; 而当1x =时，原级数变为调
1
1
n n ∞
=∑，它是发散的. 综上所述，当01x <<时，级数1
n
n x n ∞
=∑收敛.
（2）因为1
31
3(1)2lim
lim 2
2n n n n n n
x n U x
U x n ++→∞→∞
⎛⎫
+⋅ ⎪
⎝⎭==
⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
,由达朗贝尔比值判别法知，当12x >即
2x >时，原级数发散;
当012
x
<
<即02x <<时，原级收敛. 而当12x =即 2x =时，原级数变为31n n ∞=∑，而由3
lim n n →∞=+∞知31
n n ∞
=∑发散，综上所述，
当02x <<时，级数
31()2n
n x n ∞
=∑收敛.
习题9-3
1． 判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：
(1) ∑∞
=--1
121
)1(n n
n ; (2)
11
(1)2
(1)2n n n
n ∞
-=-+-⋅∑; (3) ∑∞
=12
sin n n nx
; (４) 1
1
1π
(1)sin πn n n n
∞
+=-∑; (5) ∑∞
=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-11210121
n n n ； (6)
∑∞
=+-1
)1(n n x n ; (7) ∑∞
=⋅1
!)
2sin(n n n x ．
解：（1）这是一个交错级数121n U n =
-, 1
lim lim 021
n n n U n →∞→∞==-, 111
2121n n U U n n +=>=-+ 由莱布尼茨判别法知1
1(1)21n
n n ∞
=--∑. 又1111(1)2121n n n n n ∞∞==-=--∑∑，由1
121lim 12n n n
→∞-=,及11n n ∞=∑发散，知级数1121
n n ∞
=-∑发散，所以级数
1
1
(1)21
n
n n ∞
=--∑条件收敛. （2）因为2111
(1)211
(1)22(1)2
n n n n n ----+-=+-⋅-⋅,故 11111
(1)21111
(1)22(1)22(1)2n n n n n n n n n ------+--=+≤+-⋅-⋅-⋅
1113
222n n n
-=
+=
而112n n ∞
=∑收敛，故132n n ∞
=∑亦收敛，由比较判别法知11(1)2(1)2n n n
n ∞-=-+-⋅∑收敛，所以级数11(1)2
(1)
2n n n n ∞
-=-+-⋅∑绝对收敛. （3）因为22sin 1,nx n n ≤而级数21
1n n ∞=∑收敛，由比较判别法知2
1sin n nx
n ∞
=∑收敛，因此，级数
2
1
sin n nx
n ∞
=∑绝对收敛. （4）因为1
21ππ
|(1)sin |sin πlim
lim 11π
n n n n n n n n
+→∞
→∞-==
而211n n
∞
=∑收敛，由比较判别法的极限形式知，级数111π|(1)
sin |πn n n n ∞
+=-∑收敛，从而级数1
1π
(1)sin πn n n
+-绝对收敛. （5）因为212121111111210210210n n n n n n ----≤+=+,而级数11
2n
n ∞
=∑收敛的等比级数1()2q =;由比值判别法，易知级数211110n n ∞-=∑收敛，因而2111
12
10n n n ∞
-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由比较判
别法知级数
211
11210n n n ∞
-=-∑
收敛，所以原级数211112
10n n n ∞
-=-∑绝对收敛. （6）当x 为负整数时，级数显然无意义；当x 不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收敛的，但因1
1
n x n ∞
=+∑发散，故原级数当x 不为负整数时仅为条件收敛.
（7）因为
sin(2)1
!!
n x n n ⋅≤ 由比值判别法知11!n n ∞
=∑收敛(Q 1
(1)!
lim 01!
n n n →∞+=)，从而由比较判别法知1
sin(2)!n n x n ∞=⋅∑收
敛，所以级数1
sin(2)
!n n x n ∞
=⋅∑，绝对收敛.
2． 讨论级数
∑∞
=--1
1
1
)
1(n p n n
的收敛性(p ＞0)． 解：当1p >时，由于
1
1
111(1)
n p p n n n n ∞
∞-==-=∑∑收敛，故级数11
1(1)n p n n ∞
-=-∑绝对收敛. 当01p <≤时，由于111,(1)
n n p p u u n n +=
>=+ lim 0n n u →∞=,由莱布尼茨判别法知交错级数1
11(1)
n p n n ∞
-=-∑收敛，然而，当01p <≤时，11111(1)n p p n n n n
∞∞
-==-=∑∑发散，故此时，级数1
1
1
(1)n p
n n ∞
-=-∑条件收敛. 综上所述，当01p <≤时，原级数条件收敛;当p >1时，原级数绝对收敛.
3※
． 设级数
∑∞
=1
2n n
a
及
∑∞
=1
2
n n
b
都收敛，证明级数
∑∞
=1
n n
n b
a 及
()∑∞
=+1
2
n n n
b a
也都收敛．
证：因为2222
||||110||222
n n n n n n a b a b a b +≤≤
=+ 而由已知1n
n a ∞
=∑及2
1
n n b ∞
=∑都收敛，故221111,22n n n n a b ∞
∞==∑∑收敛，从而2211122n n n a b ∞
=⎛⎫
+ ⎪⎝⎭∑收
敛，由正项级数的比较判别法知
1n n
n a b
∞
=∑也收敛，从而级数
1
n n
n a b
∞
=∑绝对收敛.又由
2
2
2
()2,n n n n n n a b a a b b +=++及2
2
11,n n n n a b ∞
∞
==∑∑,以及1
n n n a b ∞
=∑收敛，利用数项级数的基本性
质知，2
2
1
(2)n
n n n n a
a b b ∞
=++∑收剑，亦即21
()n n n a b ∞
=+∑收敛.
习题9-4
1． 指出下列幂级数的收敛区间：
(1) ∑∞
=0
!n n
n x (0!=1)； (2)
∑∞
=0
!n n
n x n n ； (3) ∑∞
=⋅022n n n
n
x ； (4)
∑∞
=++-0
1212)1(n n n
n x ．
(5) ∑∞=⋅+0
2)2(n n n
n x ； (6)
∑∞
=-0)1(2n n n
x n
． 解：（1）因为1
1
1(1)!
lim
lim lim 01
1!
n n n n n
a n p a n n +→∞
→∞→∞+====+，所以收敛半径r =+∞，幂级数1!
n
n x n ∞
=∑的收敛区间为(,)-∞+∞. （2）因为-1
11lim lim lim 1e 11n n
n n n n n
a n p a n n +→∞→∞→∞⎛⎫===-= ⎪++⎝⎭，所以收敛半径1e r p ==. 当x =e 时，级数01!!e n n n n n n n n x n n ∞
∞===∑∑，此时11(1)n n n u e u n
+=+，因为1(1)n
n +是单调递增
数列，且1(1)n
n
+<e 所以
1
n n
u u +>1,从而lim 0n n u →∞≠，于是级数当x =e 时，原级数发散.
类似地，可证当x =-e 时，原级数也发散(可证lim ||0n n u →∞
≠),综上所述，级数
0!n
n
n n x n
∞
=∑的收敛区间为(-e,e).
（3）因为2111
lim
lim ()212
n n n n a n p a n +→∞
→∞===+,所以收敛半径为r =2. 当2x =时，级数22101
2n n n n x n n
∞
∞===⋅∑∑是收敛的p 一级数（p =2>1）;
当x =-2时，级数2201
1(1)2n n
n n n x n n ∞
∞
===-⋅⋅∑∑是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，
故它收敛.
综上所述，级数202n
n n x n
∞
=⋅∑的收敛区间为[-2,2].
（4）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理2求收敛半径，改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间.
令21(1)21n n
n x u n +=-+，则2
2121lim lim
23n n n n
u n x x u n +→∞→∞+=⋅=+. 当2
1x <时，即||1x <时，原级数绝对收敛.
当2
1x >时，即||1x >时，级数0
||n n u ∞
=∑发散，从而21
0(1)21n n
n x n +∞
=-+∑发散，当1x =时，
级数变为01(1)21n
n n ∞
=-+∑;当1x =-时，级数变为1
1(1)21n n n ∞
+=-+∑;它们都是交错级数，且
满足莱布尼茨判别法的条件，故它们都收敛.
综上所述，级数21
(1)21n n
n x n +∞
=-+∑的收敛区间为[-1,1].
（5）此级数为（x +2）的幂级数. 因为11lim
lim 2(1)2
n n n n a n p a n +→∞
→∞===+. 所以收敛半径1
2r p
=
=，即|2|2x +<时，也即40x -<<时级数绝对收敛.当|2|2x +>即4x <-或0x >时，原级数发散.
当4x =-时，级数变为
1
(1)n
n n
∞
=-∑是收敛的交错级数， 当x =0时，级数变为调和级数
11
n n
∞
=∑,它是发散的. 综上所述，原级数的收敛区间为[-4,0).
（6）此级数（x -1）的幂级数
12lim
lim 21
n n n n a n
p a n +→∞
→∞===+ 故收敛半径1
2r =
. 于是当1|1|2x -<即13
22x <<时，原级数绝对收敛.
当1|1|2x ->即12x <或3
2
x >时，原级数发散.
当3
2x =时，原级数变为01n n ∞
=∑是调和级数，发散.
当12x =时，原级数变为1
1(1)n n n ∞=-∑，是收敛的交错级数.
综上所述，原级数的收敛区间为13,
22⎡⎫⎪⎢⎣⎭
.
2． 求下列幂级数的和函数：
(1) ∑∞
=-1
)1(n n
n
n x ； (2)
∑∞
=-11
22n n nx
；
(3) n n x n n ∑
∞
=+1)
1(1
； (4) ∑∞
=+0
)12(n n
x
n ．
解：（1）可求得所给幂级数的收敛半径r =1.
设1
()(1)n
n
n x S x n ∞
==-∑,则
1
11
1()(1)(1)1n n n n n n x S x x n x ∞
∞
-=='⎡⎤'=-=-=-⎢⎥+⎣⎦∑∑ ∴001
()()d d ln(1) (||1)1x x S x S x x x x x x
-'===-+<+⎰⎰
又当x =1时，原级数收敛，且()S x 在x =1处连续.
∴1
(1)ln(1) (11)n
n
n x x x n ∞
=-=-+-<≤∑ （2）所给级数的收敛半经r =1，设21
1
()2n n S x nx
∞
-==
∑,当||1x <时，有
21
210
11
()d 2d 2d x
x x
n n n n S x x nx
x nx x ∞
∞
--====∑∑⎰
⎰
⎰
2
22
1
1n
n x x
x ∞
==
=-∑ 于是2222
2()1(1)
x x
s x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭ 又当1x =±时，原级数发散.
故
2122
1
22 (||1)(1)
n n x
nx x x ∞
-==
<-∑ （3）可求所给级数的收敛半径为1.
令1
11
1()(0)(1)(1)n n n n x x s x x n n x n n +∞
∞====≠++∑∑ 令11()(1)n n x g x n n +∞
==+∑,则1
1
1()1n n g x x x ∞
-=''==-∑
01
()d ()(0)d 1x
x
g x x g x g x x
''''=-=-⎰
⎰
(0)0,()ln(1)g g x x ''==--
()d ()(0)ln(1)d ,(0)0x
x
g x x g x g x x g '=-=--=⎰
⎰
所以0
()ln(1)d ln(1)ln(1)x
g x x x x x x x =-
-=+---⎰
;
所以1()11ln(1),||1,S x x x x ⎛⎫
=+--<
⎪⎝⎭
且0x ≠. 当1x ±时，级数为11(1)n n n ∞
=+∑和1
1(1)(1)n
n n n ∞
=-+∑,它们都收敛.且显然有(0)0S =.
故111ln(1)(1,0)(0,1)
()00,1x x S x x x x ⎧⎛⎫
+--∈-⋃⎪ ⎪=⎝⎭
⎨⎪=±⎩
. （4）可求得所给级数的收敛半径为r =1且1x ±时，级数发散，设1
()n n S x nx
∞
-==
∑,
则
1
()d .1x
n n s x x x x
∞
===
-∑⎰
于是211()()1(1)S x x x '==--,即1
2
1
1(1)n n nx x ∞
-==-∑. 所以
1
1
1
(21)2n
n n n n n n x
x nx
x ∞
∞
∞
-===+=+∑∑∑
22
1112(1)1(1)x
x x x x +=⋅+=--- (||1)x <
3． 求下列级数的和：
(1) ∑∞
=12
5
n n n ； (2)
∑∞
=-12
)12(1
n n
n ；
(3) ∑∞
=--1122
1
2n n n ； (4)
1
(1)
2n
n n n ∞
=+∑． 解：（1）考察幂级数
21
n
n n x
∞
=∑，可求得其收敛半径1r = ，且当1x ±时，级数的通项2n
n u n x =，
2
lim ||lim n n n u n →∞
→∞
==+∞，因而lim 0n n u →∞
≠，故当1x ±时，级数21
n n n x ∞
=∑发散，故幂级数
21
n
n n x
∞
=∑的收敛区间为（-1，1）.
设21() (||1)n
n S x n x
x ∞
==
<∑，则211
()n n S x x n x ∞
-==∑
令2
1
11
()n n S x n x
∞
-==
∑,则
110
1
1
()d x
n
n n n S x x nx x nx ∞∞
-====∑∑⎰
.
再令1
21
()n n S x nx
∞
-==
∑,则
20
1
()d 1x
n n x S x x x x
∞
===
-∑⎰
. 故221()(||1)1(1)
x S x x x x '
⎛⎫==< ⎪--⎝⎭，从而有120()d (1)x x S x x x =-⎰. 123
1() (||1)(1)(1)x x
S x x x x '⎛⎫+==< ⎪--⎝⎭
于是 2
13
()() (||1)(1)
x x S x xS x x x +==<- 取15x =，则22
3111()
11555()5532115n n n S ∞
=+===⎛⎫
- ⎪⎝⎭
∑. （2）考察幂级数
211
21
n n x n ∞
=-∑，可求得收敛半径r =1，设 2211111() (||1)2121
n
n n n S x x x x x n n ∞
∞
-====<--∑∑
令21111()21n n S x x n ∞
-==-∑,则2212
1
1()1n n S x x x ∞
-='==-∑. 120
0d 11()d ln 1-21x
x
x x S x x x x
+'==-⎰
⎰
即 1111()(0)ln (,(0)0)21x
S x S s x
+-=
=-. 于是 111()ln ,(||<1)21x
S x x x
+=-，从而
11()()ln (||1)21x x
S x xS x x x
+==<-
取x =
则11(21)2
1n n S n ∞
===-∑
=
（3）考察幂级数
21
1
(21)n n n x
∞
-=-∑，可求得其级数半经为r =1,因为
21
21
211
1
1
(21)2n n n n n n n x
nx
x ∞
∞
∞
---===-=-∑∑∑
令21
11
()2n n S x nx
∞
-==
∑，则
22120
1
()d 1x
n
n x S x x x
x
∞
===-∑⎰
. 所以21222
2() (||1)1(1)x x
S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭
,于是
21
21
211
1
1
(21)2n n n n n n n x
nx
x ∞
∞
∞
---===-=-∑∑∑
3
22222
2 (||1)(1)1(1)x x x x x x x x +=
-=<--- 取1
2
x =
，得 3212111()
1211022
12291()2n n n S ∞-=+-⎛⎫=== ⎪⎛⎫⎝⎭-
⎪⎝
⎭∑.
（4）考察幂级数
1
(1)n
n n n x
∞
=+∑，可求得其收敛半径r =1.
设1
()(1) (||1)n
n S x n n x
x ∞
==
+<∑
则
1
2
1
1
1
()d x
n n n n S x x nx
x
nx
∞
∞
+-====∑∑⎰
.
又设1
11
()n n S x nx
∞
-==
∑则
10
1
()d 1x
n n x S x x x x
∞
===
-∑⎰
. 从而12
1()1(1)x S x x x '
⎛⎫== ⎪--⎝⎭
, 2
2
12
()d ()(1)x
x S x x x S x x ==-⎰
223
2() ||1(1)(1)
x x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭ 取1
2
x =
，则 311
21(1)2822112n n n n S ∞=⨯
+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫
- ⎪⎝⎭
∑ 习题9-5
1． 将下列函数展开成x 的幂级数： (1) 2cos
2
x ; (2) 2sin x ； (3) 2
x x -e ; (4) 211x -； (5)πcos()4
x -． 解：（1）22
01cos 11cos (1)2222(2)!
n
n n x x x n ∞=+==+-∑ 21
1(1)
(-)2(2)!n
n
n x x n ∞
==+-∞<<+∞∑ （2）21
01sin (1) ()2(21)!2n n n x x x n +∞=⎛⎫
=--∞<<+∞ ⎪
+⎝⎭
∑
（3）2
22100
11e
()(1) ()!!x n
n n n n x x x x x n n ∞
∞
-+===-=--∞<+∞∑∑
（4）
211111211x x x ⎡⎤
=+⎢⎥--+⎣⎦
000
2011(1)221[(1)]
2 ||1
n n n
n n n n n
n n n x x x x x x ∞∞
==∞=∞
==+-=+-=<∑∑∑∑
（5）πππcos cos cos sin sin 444
x x x ⎛⎫-
=+ ⎪⎝
⎭
221
0(cos sin )2
(1) ()2(2)!(21)!n n n n x x x x
x n n +∞==
+⎡⎤=-+-∞<<+∞⎢⎥+⎣⎦
∑ 2． 将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间：
(1)
x -31,在x 0＝１； (2) cos x,在x 0=3
π
; (3) 3412++x x ,在x 0=1; (4) 21
x
, 在x 0＝３．
解：（1）因为111
1
3212
x x =⋅
---,而 0111 (||112212
n
n x x x ∞
=--⎛⎫
=< ⎪-⎝⎭-∑即13x -<<). 所以100111(1) (13)3222
n
n
n n n x x x x ∞∞
+==--⎛⎫=⋅=-<< ⎪-⎝⎭∑∑.
收敛区间为：（-1，3）. （2）π
ππ2π2cos cos ()cos cos()sin sin()3
33333x x x x ⎡⎤=+-=---⎢
⎥⎣⎦
22100()()133(1)(1)2(2)!2(21)!
n n n n n n x x n n ππ
+∞
∞
==--=-+-+∑∑
221011(1)()[)2(2)!3(21)!3n
n n n x x n n ππ∞+=⎡⎤=--+-⎢
⎥+⎣⎦
∑ ()x -∞<<+∞ 收敛区间为(,)-∞+∞.
（3）
211111111
()11
43213481124
x x x x x x =-=⋅-⋅
--++++++ 00
1111(1)(1)4284n n
n n n n x x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑
2230
1
1(1)(1)22n n n n n x ∞
++=⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∑
由
112x -<且1
14
x -<得13x -<<，故收敛区间为（-1，3） （4）因为011113(1)()333313n n
n x x x ∞=-=⋅=-⋅-+∑ 1
(3)(1)3n
n
n n x ∞
+=-=-∑ 而21
011(3)(1)3n n n n x x x ∞+=''⎡⎤-⎛⎫=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
∑ 1
11(1)(3)3
n n n n n x ∞
-+=-=-⋅-∑
11
11(1)(3)3n n n n n x +∞
-+=-=-∑ 2
(1)(1)(3)3n n n n n x ∞
+=-+=-∑ 由
3
13
x -<得06x <<. 故收敛区间为（0，6）.。