浙江高二高中数学期末考试带答案解析

浙江高二高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.函数（）的图像关于点对称，则的增区间（）
A．B．
C．D．
3.已知函数，若对任意的，关于的方程都有3个不同的根，则
等于（）
A．1B．2C．3D．4
4.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（）
A．1B．2C．3D．4
5.右图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为（）
6.将一个棱长为的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则的最大值为（）
A．B．C．D．
7.如图，已知双曲线: 的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐
近线交于两点.若且，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
8.某学生对一些对数进行运算，如下图表格所示：
现在发觉学生计算中恰好有两地方出错，那么出错的数据是（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.设函数，则该函数的最小正周期为，在的最小值为．
2.设二次函数,,且时，恒成立，是区间上的增函数。

函数的解析式是；若,且，
，的取值范围是．
3.已知直线上存在唯一一点，满足点到直线的距离等于点到点的距离，则，点的坐标为 .
4.抛物线的准线方程是，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则．
5.圆的半径为，为圆周上一点，现将如图放置的边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点和点重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点第一次回到点的位置，则点走过的路径的长度为．
6.已知函数()若，且对任意，方程在总
存在两不相等的实数根，求的取值范围 .
7.如图所示的一块长方体木料中，已知，设为底面的中心，且，则该长方体中经过点的截面面积的最小值为．
三、解答题
1.在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，
，．
（1）若中点为．求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
2.在中，角的对边分别是，且满足，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积．
3.已知椭圆直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆相切，
为其左右焦点，为椭圆上的任意一点，的重心为，内心为，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知为椭圆上的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于两点，若的斜率满足，求直线的方程．
4.已知函数,，且为偶函数．设集合
．
（Ⅰ）若，记在上的最大值与最小值分别为,求；
（Ⅱ）若对任意的实数，总存在，使得对恒成立，试求的最小值.
5.已知动圆过定点，且与直线相切；椭圆的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点，是其一个焦点，又点在椭圆上.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程和椭圆的方程；
（2）过点作直线交轨迹于两点，连结，射线交椭圆于两点，求面积的最大值；
（3）过椭圆上一动点作圆的两条切线，切点分别为，求的取值范围.
浙江高二高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，可得，所以“”不是“”的充分条件；但是由，一定可以推得，所以“”是“”的必要条件，综上“”是“”的必要不充分条件，故选B.
【考点】充分条件、必要条件.
【思路点晴】本题是一个关于充分条件、必要条件的问题，属于容易题.一般的关于充分条件与必要条件判断问题，可按如下方法步骤进行判断：设是两个命题，如果由条件能推出结论成立，则是成立的充分条件，同
时是成立的必要条件；如果能够互推，则互为充要条件；如果能推出，但是不能推出，则
是的充分不必要条件，如果不能推出，但是能推出，则是的必要不充分条件；如果不能推出，
也不能推出，则是的既不充分也不必要条件.
2.函数（）的图像关于点对称，则的增区间（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数（）可化为，由于其图像关于点对称，所以，即，由于，可解得，所以，
进而可解得其增区间是，故选D.
【考点】1、单调区间；2、对称中心；3、辅助角公式.
3.已知函数，若对任意的，关于的方程都有3个不同的根，则
等于（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】本题可以用特殊值法判定，由于对任意的，关于的方程都有3个不同的根，不妨取，则，作出和的图象如图，由图可知，的图象和的图象在轴的左侧仅有一个交点，在轴的右侧仅有两个交点，故
总共有个交点，因此符合题意，故选C.
【考点】1、分段函数；2、函数与方程.
4.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】圆圆心是，半径是，而抛物线的准线是，由于抛物线的准线与圆相切，所以，解之得，故答案选B.
【考点】1、抛物线；2、准线；3、圆及圆的切线.
5.右图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为（）
【答案】B
【解析】易知该几何体的下部是一个棱长为的正方体，体积为，所以上部的体积为，再结合三视图中的B图知道，这是上部是一个四棱锥，其底面与下部的正方体上底面重合，其顶点在底面上的射影是正方体的内侧上边棱的中点，则此棱锥的体积为，符合题意，故应选B.
【考点】三视图.
6.将一个棱长为的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，设分别为四个小球的球心，则显然几何体是正四面体，棱长为，设是正四面体的外接球的球心，易知当正方体的对角线交点与点重合，并且对角线与平面垂直时正方体的
棱长最大，由于正方体的棱长为，可求得正四面体的高为，进而可求得正四面体的外接球的半径为，由，解得，故选D.
【考点】1、正方体；2、正四面体；3、球.
7.如图，已知双曲线: 的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点.若且，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由图易知是等边三角形，设的中点为，圆的半径为，则，且
，所以，，所以，即，从而可求得，故选B.
【考点】1、双曲线；2、渐近线；3、离心率；4圆；5、平面向量.
【思路点晴】本题是一个圆锥曲线与圆及平面向量的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是通过所给平面图形的数量关系，寻找的数量关系，之后再求离心率，而寻找关系的切入点是是等边三角形以及，再结合直角三角形的边角关系就可得到的关系，进而求得离心率.
8.某学生对一些对数进行运算，如下图表格所示：
现在发觉学生计算中恰好有两地方出错，那么出错的数据是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如上表所示，不妨设（5）正确，即，则易知，即此时（10）、（2）都是正确的；再设（6）正确，即，则，所以（9）也正确；再设（5）
正确，即，联立，解之得，从而
可得，，，即（1）、（4）、（7）是正确的，而，即（3）、（8）不正确，综上故选A.
【考点】对数的运算.
【思路点晴】本题主要考查的是对数的运算问题，属于难题.解决本题的基本思路是先从表中找出彼此等价的关系式，然后再找出三个独立的式子，并联立解出的值，再将解出的的值代入其余各式进行一一检验即可
得到答案.
二、填空题
1.设函数，则该函数的最小正周期为，在的最小值为．
【答案】,
【解析】函数的最小正周期是，再由，可得，所以，所以在的最小值为，故答案应填：，.
【考点】1、周期；2、最值.
2.设二次函数,,且时，恒成立，是区间上的增函数。

函数的解析式是；若,且，
，的取值范围是．
【答案】,
【解析】由，的，由时，恒成立知，即，联立与得，又是区间上的增函数，得，所以，因此，，，又,且知，，，可得，又，故其图象是圆上点之间的一段劣弧，不含两点，如图所示，平移动直线，当动直线经过点时即可得到.
【考点】1、二次函数；2、圆.
3.已知直线上存在唯一一点，满足点到直线的距离等于点到点的距离，则，点的坐标为 .
【答案】,
【解析】由题条件根据抛物线的定义知道，点在以点为焦点，以直线为准线的抛物线上，抛物
线的方程是，又已知直线上存在唯一一点，满足点到直线的距离等于点到点的距离，知道直线与抛物线必然相切，联立令可得，并解得点，故答案填.
【考点】1、抛物线；2、直线与抛物线的位置关系.
4.抛物线的准线方程是，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则．
【答案】,9
【解析】由方程知抛物线的准线方程是；再设，，则，可得，所以可求得直线方程是，联立抛物线，得，所以
，故答案应填.
【考点】1、抛物线；2、焦点；3、准线；4、点差法.
5.圆的半径为，为圆周上一点，现将如图放置的边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点和点重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点第一次回到点的位置，则点走过的路径的长度为．
【答案】
【解析】本题可以建立直角坐标系，的起始位置在原点，求当点第一次回到轴上时，点所走过的路径的
长度即可，如图所示，如图圆方程是，圆方程是，圆的方程是，而所求即为三段劣弧之和，而三段弧的长分别等于相应圆周长度的，所以
，故答案填.
【考点】1、圆的方程；2、弧长公式.
6.已知函数()若，且对任意，方程在总
存在两不相等的实数根，求的取值范围 .
【答案】
【解析】由于，则，当时可知恒成立，所以在
上是增函数，所以，即，因为对任意，方程
在总存在两不相等的实数根，只需和在上都有两个不同的根即可.若在上有两个不同的根，先将变形为，其中，分别作出，的图象，显然当即时两图像无公共点，所以，如图所示，由题知，解得①，若在上有两个不同的根，同理可解的
②，综合①②可得，故答案填.
【考点】1、方程的根；2、导数在函数研究中的应用；3、单调性.
【思路点晴】本题重在考查数形结合的思想方法，属于难题.解决本题的基本思路是将问题对任意，方程在总存在两不相等的实数根的问题转化为和在上都有两
个不同的根的问题，进而再转化为两函数图像有两个不同的交点问题即可，这是解决问题的切入点，只要突破了这一点，下面的问题便可迎刃而解.
7.如图所示的一块长方体木料中，已知，设为底面的中心，且，则该长方体中经过点的截面面积的最小值为．
【答案】
【解析】如图所示：作出过点的截面，显然为平行四边形，延长，并设，再
作于，连接，则，再作于，易知，在直角
中，可求得，由相似可得，从而，所以，所以，其中，所以当时截面面积
最小为，故答案填.
【考点】1、长方体；2、平行四边形的面积；3、二次函数求最值.
【思路点晴】本题是一个关于几何体的截面面积的最值问题，属于难题.解决本题的基本思路是首先应先做出过点的截面，并判断出该截面是平行四边形，接着再求出这个平行四边形的底边长和高，进而得到面积的表达式，最后再利用二次函数在闭区间上的最值求法即可得到截面面积的最小值.
三、解答题
1.在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，
，．
（1）若中点为．求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）要证线面平行，可以先证线线平行，即平面外的一条直线与平面内的一条直线
平行，进而可证直线与平面平行；（2）可以利用等体积法先求出点到平面的距离，再求出
的长，最后就可求出直线与平面所成角的正弦值.
试题解析：证明（1）取PC的中点F，连结DF，EF
∵,且AD=EF,所以ADFE为平行四边形．
∴,且AE不在平面PCD内，,DF在平面PCD内，
所以
（2）等体积法
令点B到平面PCD的距离为h,
又
所以
直线BD与平面PCD所成角的正弦值．
【考点】1、线面平行；2、线面角.
2.在中，角的对边分别是，且满足，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）首先根据已知条件并结合正弦定理、余弦定理得到与，与的关系，再利用余弦定理即可得到的值；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论先求出的值，再求出的值，最后利用就可求出的面积.
试题解析：（Ⅰ），
化简得：，联立，得
（Ⅱ）由，有，
）
【考点】1、正弦定理，余弦定理；2、三角形的面积公式.
3.已知椭圆直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆相切，
为其左右焦点，为椭圆上的任意一点，的重心为，内心为，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知为椭圆上的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于两点，若的斜率满足，求直线的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）如下图所示：先利用三角形的面积的两种表示方法得出的关系式，再利用直线直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆相切，得出的值，联立，就可求出的值，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）先设出直线的方程，然后联立椭圆方程，并结合韦达定理就可求出直线
的斜率，进而得出直线的方程.
试题解析：（Ⅰ）设，，则
又，，，
，故．
又直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆相切，，
，．．
（Ⅱ）若直线斜率不存在，显然不合题意；
则直线的斜率存在．
设直线为，直线和椭圆交于，．
将代入中得到：
依题意：得或
由韦达定理可知：
又
而
从而
求得符合．
故所求直线的方程为：
【考点】1、椭圆、焦点；2、三角形重心、内心；3、切线；4、直线方程.
4.已知函数,，且为偶函数．设集合
．
（Ⅰ）若，记在上的最大值与最小值分别为,求；
（Ⅱ）若对任意的实数，总存在，使得对恒成立，试求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）首先根据为偶函数，求出的值，然后就可求出在上的最大值与最小值，进而可以得到的值；（Ⅱ）首先求出在上的最大值，问题就转化为在上，再结合对的讨论就可得到的范围，进而得到的最小值.
试题解析：（1）为偶函数，
所以．
在区间上，
（2）设
所以的最大值为依题意原命题等价于在上，总存在两个点，使得
即只需满足在上
因为对任意的都成立，所以当也成立，由（１）知
当时，，下面证明在上总存在两点使得
成立.
当时，在上是增函数
所以
当时，在上是减函数
所以
综上所述，的最小值为.
【考点】1、偶函数；2、二次函数；3、极端不等式恒成立.
【思路点晴】本题是一个函数的奇偶性、单调性与极端不等式恒成立结合的综合性问题，属于难题.解决本题的基
本思路是，（Ⅰ）首先根据是偶函数求出的值，之后就可以得到的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的
基础上先将问题转化为，再结合对的讨论就可得到的范围，进而得到的最小值.
5.已知动圆过定点，且与直线相切；椭圆的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点，是其一个
焦点，又点在椭圆上.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程和椭圆的方程；
（2）过点作直线交轨迹于两点，连结，射线交椭圆于两点，求面
积的最大值；
（3）过椭圆上一动点作圆的两条切线，切点分别为，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）根据动点到定点的距离等于到定直线的距离，就可以求出动圆圆心的轨迹的方程，再根据椭圆的焦点以及经过点，就可以求出椭圆的方程；（2）首先将直线与轨迹联立，结
合韦达定理可以判断出，从而得，进一步可得到的表达式，并结合配方法就可以得到面
积的最大值；（3）根据数量积的定义先把用表示出来，再根据的范围，就可以求出的
取值范围.
试题解析：（1）由条件易得轨迹
（2）设直线的方程为，并设，则
所以，从而，
设直线方程为，则方程为，由消得，所以
，同理得，
所以
令，，
所以当即，
（3）设，则，因为，所以
，因为，所以
.
【考点】1、抛物线，椭圆；2、三角形的面积；3、向量的数量积.
【思路点晴】本题是一个有关圆锥曲线方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，对于⑴可直接根据
抛物线、椭圆的定义求其方程；对于（2）首先将直线与轨迹联立，结合韦达定理可以判断出，从而得，进一步可得到的表达式，并结合配方法就可以得到面积的最大值；对于（3）可根据数量积的
定义先把用表示出来，再根据的范围，就可以求出的取值范围.。