衡水金卷2018届高三四省第三次大联考数学理试题Word版含答案

2018届四省名校高三第三次大联考
理数
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数z 满足i i z i ()-1=（为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．21-
B ．21
C ．i 21-
D ．i 2
1
2.某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为3144cm ，则=
d （ ）
A ．cm 14
B ．cm 13
C ．cm 12
D ．cm 11 3.设集合{}
,20≤<∈=x R x M {}
,22x x R x N ≥∈=则（ ）
A ．M x N x ∈∈∀,
B ．N x M x ∈∈∀,
C ．M x N x ∈∉∃00,
D ．N x M x ∉∈∃00,
4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包量成等差数列，且较大的三份之和的7
1
等于较小的两份之和，问最小的一份为（ ） A ．
35 B ．310 C.65 D ．6
11 5.对任意实数x 有,...)1)((6
622105x a x a x a a x x a ++++=-+若,2302=-a a 则=a （ ）
A ．2
B ．2- C.
1123 D ．9
28-
6.双曲线)0(1222
>=-b b
y x 的一条渐近线截圆042
2=-+y y x 为弧长之比是21：的两部分，
则双曲线的离心率等于（ ）
A 2．
B ．3 C.2 D 3
7.阅读如图所示的程序，若运行结果为35，则程序中a 的取值范围是（ ）
A ．]76，（
B ．)7,6（ C.)7,6[ D ．），（76 8.设z
x
z n y 1
5
,21,23-===，则（ ）
A ．z y x <<
B ．x z y << C.y x z << D ．x y z << 9.设函数),0)(3cos(2)(πθθ<<+=x x f )('
x f 为)(x f 的导函数，若函数
)()()('x f x f x g +=的图像关于远点对称，则=θcos （ ）
A.21-
B ．23- C.2
1
D ．23
10.近年来,由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况，对S 城某大学的10000名(其中男生6000名,女生4000名)在校本科生.按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计.通过整理得到如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中,月消费金额超过2000元的女生有150人，根据上述数据和频率分布直方图,判断下列说法i 正确的是（ ）
参考数据与参考公式:
)
(02k K P ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
,)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=其中.d c b a n +++=
A ．月消费金额超过2000元的女生人数少于男生人数
B ．所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有4人
C ．样本数据的中位数约为1750元
D ．在犯错的概率不超过0.1%的情况下认为月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关 11. 如图，已知抛物线x y
E 4:2
=的焦点为F ,准线l 与x 轴交于K 点，过点K 的直线m 与抛物线E 相交于不同两点B A ,,且,2
3
=
AF 链接BF 并延长交准线l 于C 点，记ACF ∆与ABC ∆的面积分别为,,21S S 则
=2
1
S S ( )
A ．
74 B ．54 C.32 D ．10
7 12.设函数e x
e x
f x
()(=为自然数），,1)(nx x x g -=有下列命题： ①)(x f 有极小值;)1(e f =
②)..0(0∞+∈∃x 使得不等式)((2)()('
0'
0x g x x g x f +
≤为)(x g 的导函数）成立， ③若关于x 的方程0)(=-t x f 无解，则t 的取值范围为[);0e ，
④记)()()(x g x f x F λ-=，若)(x F 在)2,2
1(∈x 上有三个不同的极值点，则λ的取值范围为
).2,(e e
其中真命题的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个 C.3个 D ．4个
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若变量y x ,满足约束条件,2.0523,0,1y x z y x y x x -=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥+≤则z 的最小值为 ．
14.设{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若362a a =，则
=3
6
S S ． 15.已知直线三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）111C B A ABC -各项点都在同一球面上，且
1AA AC AB ==,ο120=∠BAC ,若此球的表面积等于π20，则=AB ．
16.如图，在ABC ∆中，已知P DC BD ,21−→−−→−=为AD 上一点，且满足,9
4
−→
−−→−−→−+=CB CA m CP 若
ABC ∆的面积为3，,3
π
=
∠ACB 则−→
−P C 的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数).sin 3(cos cos 2)(x x x x f += （1）当⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈12724ππ
x 时，求)(x f 的值域； （2）在ABC ∆中，若.sin 3sin ,3,1)(A B BC B f ==-=求ABC ∆的面积， 18.在如图所示的几何体中，⊥EA 平面ABCD 为等腰梯形，.2
1
//AC AD (1)证明：;CF AB ⊥
(2)当二面角D EF B --的余弦值为
10
10
时，求线段CF 的长，
19. 2018年6月14日,第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.某地方体育台组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四支热门球队进行竟猜,每位球迷可从四支球队中选出一支球队,现有三人参与竟猜.
(1)若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的,求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率;
(2)若三人中有一名女球迷,假设女球迷选择德国队的概率为
3
1
,男球迷选择德国队的概率为5
2
，记ε为三人中选择德国队的人数,求ε的分布列和数学期望. 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点),0,1(F 过直线2:=x l 左侧的动点P 作l PH ⊥于点HPF H ∠.的角平分线交x 轴于点M ,且.2MF PH =记动点P 的轨迹为曲线，
Γ （1）求曲线Γ的方程；
（2）过点F 作直线m 交曲线Γ于B A ,两点，点C 在l 上，且x BC //轴，试问：直线AC 是否恒过定点？请说明理由.
21. 设函数).)(1(1)1()(R a x a nx x x f ∈--+= （1）当1=a 时，求)(x f 的单调区间；
（2）若0)(≥x f 对任意[),1+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当）
，（2
0π
θ∈时，试比较)(tan 12
1
θn 与)4
tan(π
θ-的大小，并说明理由.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中.曲线C 的极坐标方程为.sin 6θρ=点P 的极坐标为).4
,2(π
以极点为坐标原
点，极轴为x 轴正半轴.建立平面直角坐标系， (1)求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标;
(2)过点P 的直线l 与曲线C 相交于B A ,两点.若,2PB PA =,求AB 的值. 23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.1
25
6)(,122)(--=
-++=x x x g x a x x f
（1）当3=a 时，解不等式;6)(≤x f
（2）若对任意.25,11⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈x 都存在R x ∈2，使得)()(21x f x g =成立，求实数a 的取值范围，
2018届四省名校高三第三次大联考理数参考答案
一、选择题
1-5:BCBAB 6-10:CACDD 11、12：CC 二、填空题
13. 3- 14.3 15. 2 16.
3
4
三、解答题
17，解：(1)1
()22(cos 21)22f x x x ⎤=++⎥⎣⎦
2sin(2) 1.6x π
=++
7,.2412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q
42,.643x π
ππ⎡⎤∴+
∈⎢⎥⎣⎦
当26
2x π
π
+
=
，即6x π
=
时，()f x 取得最大值3；
当.3462ππ=+x 即12
7π
=
x 时，)(x f 取得最小值31-，故)(x f 的值域为[]
33-1，. （2）设ABC ∆中C B A ..所对的边分别为.,,c b a
.
1)6
2sin(,1)(-=+∴-=π
B B f Θ 0,B π<<Q 即
22.6
6
6
B π
π
π
π<+
<+
,2362ππ
=+
∴B 得.3
2
π=B 又.3=BC Θ即,sin 3sin ,3A B a ==即.3,3=∴=b a b 由正弦定理得
.sin sin B b A a =解得.2
1
sin =A 0...
3
6
6A A C π
π
π<<∴=
∴=
Q
.4
33213321sin 21=⨯⨯⨯==
∴∆C ab S ABC 18.解：（1）由题知⊥EA 平面ABCD ,
⊂BA 平面ABCD ,
.AE BA ⊥Θ
过点.A 作BC AH ⊥于H 点，在ABH Rt ∆中，,2
1
,60==∠BH ABH ο得.1=AB 在ABC ∆中，
.360cos 2222=•-+=οBC AB BC AB AC
,222BC AC AB =+∴ ,AC AB ⊥∴且.A EA AC =⋂
⊥∴AB 平面.ACFE
又⊂CF Θ平面.,CF AB ACFE ⊥∴
(2) 以A 为坐标原点，AE AC AB ..分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，
设(0),AE a a =>
则).0.2
3
.21()..23.
0()..0.0().0.0.1(-D a F a E B )..23.1()..0.1(a BF a BE -=-=∴−→
−−→
−)..0.2
1
().,23,21(a DF a DE =-=−→
−−→
−
设),,(z y x n =为平面BEF 的一个法向量，
则.023.0=++-==+-=⎪⎩
⎪⎨⎧••−→
−−→
−az y x az x BF n BE n 令.a x =得).1.0.(a n =
同理可求得平面DEF 的一个法向量).1.0.2(-=a m
.10
101
4112.cos 222=
+⨯+-=
•=∴a a a n
m n
m n m 化简得01542
4=+-a a ，
解得1=a 或2
1=
a ， Θ二面角D EF B --为锐二面角，经验证2
1
=
a 舍去，.1=∴a 作AC FM ⊥于M 点，则M 为AC 中点，
2
722=
+=∴CM FM CF . 19.解: (1)设恰好有两支球队被人选择为事件A .由于三人等可能的选择四支球队中的任意一支,有34种不同选择.
每种选择可能性相等.故恰好有两支球队被人选择有2
42
3A C 种不同选择，
所以.16
9
4)(32
423==A C A P (2)由题知0.1.2.3.=ε且.25
6
)53(32)0(2=⨯=
=εP .2511258253535232)53(31)1(1
22=+=⨯⨯⨯+⨯==C P ε
.154758254)52(32535231)2(21
2=+=•+⨯⨯⨯==C P ε
.75
4
)52(31)3(2=⨯==εP
ε∴的分布列为
.15
753152251250)(=⨯+⨯+⨯+⨯
=∴εE 20.解：（1）设).,(y x P 由题可知.PF MF =
所以
.2
2
=
=
PH
MF PH
PF 即
.2
2
2)1(22=-+-x y x 化简整理得.1222=+y x 即曲线Γ的方程为.12
22
=+y x
(2)法一：由椭圆对称性知，直线AC 经过x 轴上一定点，记为点N ,
当直线m 的斜率不存在时，).22.2().22.1(),22.
1(--C B A 得).0.23(N 下证明直线AC 恒过点).0.2
3(N
当直线m 的斜率存在时，
设直线m 的方程为).1(-=x k y 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.12
).1(22y x x k y 得2222
(12)42(1)0.0k x k x k +-+-=∆>恒成立，
记)..()..(2211y x B y x A 则)..2(2y C .21)1(221422212221k
k x x k k x x +-=•+=+∴ 由21≤x 得.02
31≠-x ∴直线CN AN .的斜率分别为).1(22
32.32)1(223
221111
-=-=--=-=x k y k x x k x y k CN AN .3
2)32)(1()1(21121-----=-∴x x x x k k k CN AN 121(1)(1)(23)x x x ----Q
12123()24x x x x =+--
22221124(1)4(12)0.12k k k k
⎡⎤=---+=⎣⎦+ .0=-∴CN AN k k 即.CN AN k k =即C N A ..三点共线，
∴直线AC 经过定点).0.2
3(N 法二：由已知可得直线m 的斜率不为0，∴可设直线m 的方程为.1+=ny x 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=.12
.122y x ny x 消去.x
得22(2)210.0n y ny ++-=∆>恒成立，记)..()..(2211y x B y x A 则)..2(2y C 则.1.2
1.2211221221+=+-=+-=+ny x n y y n n y y ∴直线AC 的斜率为.2121--=
x y y k 直线AC 的方程为).2(21212---=-x x y y y y 即.)2(22211212
1⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--+---=y y x y x x y y y 又.2
1)2
(22222)1()2(222222122112=++++=-+--=--y n n n n
y y n n ny y y y x y ∴直线AC 的方程为).2
3(2)212(2121121---=+---=x x y y x x y y y ∴直线AC 过定点).0.2
3(N 21.解：（1）当1=a 时，.11)().1(1)1()('x nx x f x nx x x f +
=--+= 设1()1.(0)g x nx x x =+
> 则∴-=.1)(2'x
x x g 当)1.0(∈x 时，)(x g 单调递减， 当).1(∞+∈x 时，)(x g 单调递增，min ()(1)10.g x g ==>
'()0,()f x f x ∴>在区间()0,+∞上单调递增，无单调递减区间.
（2）.1)(111)('a x g a x
nx x f -+=-++=∴由（1）可知)(x g 在区间[)∞+1.上单调递增， 则.1)1()(=≥g x g 即)('x f 在区间[)∞+1.上单调递增，且.2)1('a f -=
①当2≤a 时，.0)('
≥x f )(x f 在区间[)∞+1.上单调递增， 0)1()(=≥∴f x f 满足条件.
②当2a >时，设).1(111)(≥-++=x a x nx x h 则.111)(22'x
x x x x h -=-= )(x h ∴在区间[)∞+1.上单调递增，且(1)20.()10.n n h a h e e -=-<=+>
[)
..10n e x ∈∃∴使得.0)(0=x h
∴当[)0.1x x ∈时，()0.()h x f x <单调递增，即),1(0x x ∈时，()(1)0.f x f <=不满足题意，
综上所述，实数a 的取值范围为(].2-，
∞ （3）由（2）可知，取.2=a
当1x >时，()(1)12(1)0.f x x nx x =+-->∆即
11ln .21x x x ->+ 当01x <<时，1 1.x
> 1111111.12211nx x x n x x x
--∴>⇔<++ 又.1
tan 1tan )4tan(+-=-θθπθΘ ∴当04πθ<<时，10tan 1.1(tan )tan();24
n πθθθ<<<- 当4πθ=时，);4
tan()(tan 121,1tan πθθθ-==n 当42
ππθ<<时，tan 1θ>. 11(tan )tan()24
n πθθ>-. 22.解：（1）,sin 6θρ=即.sin 62
θρρ=
由.sin ,cos θρθρ==y x 有.622y y x =+ ∴曲线C 的直角坐标方程为.9)3(22=-+y x
P 点的直角坐标为
），，（11 （2）设直线l 的参数方程时t t y t x (sin 1.cos 1⎩⎨
⎧+=+=θθ为参数）， 将其代入.0622=-+y y x 可得.04)sin 2(cos 22=--+t t θθ 记2,1t t 为方程的两根，
由0.φ∆得[).40.21-=∴∈t t ，
πθ.2.221t t PB PA -=∴=Θ或.212t t -= 当212t t -=时，2.2221-==t t 或.2.2221=-=t t .2321=-=∴t t AB
当122t t -=时，同理.23.23=∴=AB AB
23.解：（1）当3=a 时，.1232)(-++=x x x f
3,()62(23)12 6.
x f x x x ⎧<-⎪≤⇔⎨⎪-++-≤⎩ 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-++≤≤-6
)21(322123x x x 或12(23)(21)6
x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩ 解得12≤≤-x 即不等式解集为{}
.12≤≤-x x (2).1122122)(+=+-+≥-++=a x a x x a x x f Θ 当且仅当0)12)(2(≤-+x a x 时，取等号， )(x f ∴的值域为[)..1∞++a 又12231256)(--=--=x x x x g 在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡251.上单调递增. ).2
5()()1(g x g g ≤≤∴ 即)(x g 的值域为.251.⎥⎦⎤⎢⎣⎡要满足条件，必有[)..125.1∞++⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡a .11≤+∴a 解得.02-≤≤a
a ∴的取值范围为[].2.0-。