等差数列的前n项和(含应用)ppt1

练习
甲、乙两物体分别从相距70米的两处同时 运动，甲第1分钟走2米，以后每一分钟比 前1分钟多走1米，乙每分钟走5米. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返， 都继续以原来的方式运动，那么开始 运动几分钟后相遇？
3. 一幢大楼共有n层，现每层指定 一人到第k层去开会，问k为何值时，才 能使n层楼的开会人员上、下楼梯所走 的台阶和最小？（假设每层楼梯的台阶 数都相同）
这位长跑运动员７天共跑了多少米？
公式应用
变用公式
例２ 等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少 项的和为54？ 本例已知首项，前n项和、并且可以求出公差， 利用公式2求项数。 事实上，在两个求和公式中各包含四个元素， 从方程的角度，知三必能求余一。 变式练习
在等差数列an 中，a1 20, an 54, Sn 999, 求n.
;
n(2ak ) 若1 n 2k , 则S n nak 2
na中
练习：在等差数列an 中， 1.已知a3 a99 200, 求S101 2.已知a4 7, 求S7 3.已知a15 a12 a9 a6 20, 求S 20
4.数列的前4项和为21, 末四项和为67，前n 的和为286，求n
等差数列的前n项和
1 2 3 4
100 ?
1 2 3 4 100 ?
这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非 常高明，回忆他是怎样算的？
高斯算法的高明之处在于他发现这 100个数可以分为50组，第一个数与最后 一个数一组，第二个数与倒数第二个数 一组，第三个数与倒数第三个数一 组，…，每组数的和均相等，都等于101， 50 个 101 就等于 5050 了 . 高斯算法将加法 问题转化为乘法运算，迅速准确得到了 结果.
2
练习： 1.已知an 为等差数列，S n m, S m n, 则S n m
2.凸n边形，各内角的度数成等差数列， 公差为10 , 最小的角为 100 ，则n
一、对Sn的理解
n(a1 an ) n(n 1)d Sn na1 2 2
a1 a2 (5)数列bn 满足bn n an ,
思考： 1.在数列an 中，a1 1, a2 2, 且an 2 an 1 (1) (n N ),
n
则S100
例题2.若数列an , 前n项的和为Sn , 证明 : Sn , S2 n Sn , S3n S2 n成等差数列.
例题3.在等差数列an 中，a1 60, a17 12, 求数列| an |的前n的和.
'''
且aa 12, S12 0, S13 0. 3 10 且 1, a11 (1)求公差 d的取值范围； 则数列 1S,nS 2中最小的正项为第几项？ (2) 指出S , , S12中哪个最大，说明理由.
已知等差数列{an}的首项 a1 < 0， 若它的前 n 项和 Sn 满足 S3=S11，问 Sn 何时取得最小值？
则数列bn 为等差数列.
例题1.一个等差数列的前12项和为354, 前 12 中偶数项和与奇数项和之比为32:27, 求公差.
' 例题1. 含2n 1项等差数列，
求其奇数项和与偶数项和之比.
(1)当项数为2n时，S偶 S奇 nd ; S奇 an . S偶 an 1
(2)当项数为2n 1时，S奇 S偶 an ; S奇 n . S偶 n 1
等差数列应用题
Hale Waihona Puke 1. 一梯形的上、下底长分别是12cm， 22cm，若将梯形的一腰10等分，过每 一个分点作平行于底边的直线，求这 些直线夹在两腰之间的线段的长度的和.
【解题回顾】本题易误认为答案是 187cm，即将梯 形的上、下底也算在了其中.
2.某村2002年底全村共有1000人，全年工
农业总产值为840万元.
问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱 妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建 而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世 界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图 案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相 同大小的圆宝石镶饰而成 ，共有 100 层 （见左图），奢靡之程度，可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
3 2 1 21 20 19
获得算法：
(1 21) 21 s21 2
21 1
探究发现
问题2：求1到n的正整数之和。
即 sn 1 2 3 (n 1) n
sn 1
2 3

(n 1) n 2 1
等差数列前n项和公式的 应用
一、对Sn的理解
n(a1 an ) n(n 1)d Sn na1 2 2
(1)在五个基本元素中“知三求二”. (2)已知a1 , an时选用公式一，并注意结合
等差数列的性质.
若 p q 1 n , 则S n
n ( a p aq ) 2
n(a1 an ) n(n 1)d Sn na1 2 2
(3)当已知a1 , d , n时，选用公式二. d 2 d (4) Sn n (a1 )n 2 2 当d 0时，是关于n的常数项为0的
二次函数式，有(n, S n )点在函数 y Ax Bx的图象上.
a1
图形直观 追问学生：为什么在等差数列中有 等差数列的性质 (如果 n p q, 那么am an ap aq .) a2 an1 a1 m a n,
探究发现
如何求等差数列an 的前n项和Sn ? 问题4：
Sn a1 (a1 d ) Sn an (an d ) [a1 （n 1)d ] [an (n 1)d ]
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？ 这是求奇数个项和的问题，不
能简单模仿偶数个项求和的办法， 需要把中间项11看成首、尾两项 1和21的等差中项。 通过前后比较得出认识：高 斯“首尾配对” 的算法还得分 奇、偶个项的情况求和。 进而提出有无简单的方法？
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
公式应用
知三求二
例３ 在等差数列an 中，已知d 20, n 37, Sn 629,
求a1及an .
本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知 元。 可以使用公式2，先求出首项，再使用通项公式求尾 项。也可以使用公式1和通项公式，联列方程组求解。 事实上，在求和公式、通项公式中共有首项、公差、 项数、尾项、前n项和五个元素，如果已知其中三个， 联列方程组，就可求其余二个。
2Sn n(a1 an )
an a1 (n 1)d
n(a1 an ) 公式1 Sn 2
n(n 1) 公式2 Sn na1 d 2
公式记忆
公式应用
选用公式
例１ 某长跑运动员７天里每天的训练量（单位：m） 是： 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500
5.等差数列an 、 bn , 满足 an an 7n 1 ,则 bn 4n 27 bn 2 4 6.等差数列5, 4 ,3 , , 第n项到第n 6项 7 7 的和为T，则当 | T | 最小时，n a1 a2 b1 b2
一、对Sn的理解
课堂小结
•回顾从特殊到一般的研究方法；
•体会等差数列的基本元表示方法，逆序相加的算法， 及数形结合的数学思想； •掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。
作业布置
A必做题：课本42页，练习１、２、３,4； B选做题：在等差数列中，
1、已知a2 a5 a12 a15 36, 求S16 ; 2、已知a6 20, 求S11.
本课小结
1、解应用题的程序
审题 建模 解模 还原
2、凡涉及利息、产量、价格、繁殖等与
增长率有关的问题及经济计划、市场
预测等，通常设计为“数列模型”，
将
若从2003年起该村每年的工农业总产值 较上年增加14万元，每年人口较上年净增 数相同，要使该村人均产值年年都增长， 那么该村每年人口的净增不超过多少人?
练习
教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款， 它享受整存整取的利率，利息免税.假设 零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.1 0 00 . (1)欲在3年后一次支取本息合计2万元，每 月大约存入多少元？ (2)零存整取3年教育储蓄每月最多存入多 少元？此时3年后本息合计约多少元？ (精确到1元)(教育储蓄存款总额不超过2万元)
sn n (n 1) (n 2) 2 sn (1 n) (1 n)
n
(1 n)
n(n 1) sn 2
探究发现
如何求等差数列an 的前n项和Sn ? 问题3：
sn a1 a2 a3
an
sn an a n 1 an 2 n(a1 an ) sn 2
3 2 205 思考：已知数列an 的前n项和Sn n n, 2 2 求数列| an |的前n项和Tn
例题4.数列an 是等差数列a1 50, d 0.6. (1)从第几项开始有an 0? (2)求此数列前n项和的最大值.
4 .设等差数列 等差数列an n项的和Sn有最大值， 例题4. a的前 Sn , n 的前n项和为