北京四十三中2016届九年级(上)期中数学试卷(解析版)

2015-2016学年北京四十三中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）
A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2﹣3
2．将y=x2+4x+1化为y=a（x﹣h）2+k的形式，h，k的值分别为（）
A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣5 D．﹣2，﹣5
3．抛物线y=2（x+3）2+5的对称轴为（）
A．直线x=3 B．直线x=﹣3 C．直线x=5 D．直线x=﹣5
4．抛物线的对称轴是x=2，则b的值是（）
A．2 B．1 C．4 D．﹣1
5．已知：如图，正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）
A．B．2 C．D．
6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）
A． B．C．D．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=．则cosB的值为（）
A．B．C．D．
8．如图，不能判定△ABC∽△DAC的条件是（）
A．∠B=∠DAC B．∠BAC=∠ADC C．AC2=DC•BC D．AD2=BD•BC
9．若二次函数y=（m+2）x2﹣3x+1与x轴有两个交点，则m的取值范围是（）
A．B．C．D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）
A．线段EF B．线段DE C．线段CE D．线段BE
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．若△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k，则△A1B1C1∽△ABC，且相似比为．
12．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为．
13．如图是小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该城墙高度CD=米．
14．若两个相似三角形对应边的比是2：5，那么这两个相似三角形面积的比是．
15．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．与x轴的另一个交点B．给出以下几个结论：①2a﹣b=0；②b＜0；③c＞0；④b2＞4ac ⑤点B的坐标是（1，0）．其中正确结论的序号是．
16．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE 与原三角形相似，那么AE=．
三、解答题（17～26，每题5分；27、28每题7分；29题8分）
17．计算：+4sin45°．
18．二次函数的对称轴为x=1，函数最小值为﹣1，且图象过点（0，7），求此二次函数解析式．
19．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，∠A=60°，求解直角三角形．
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，b=6，求解直角三角形．
21．用公式法求函数y=3x2﹣3x﹣的最小值．
22．二次函数过点（0，5），（﹣1，0），对称轴为x=2，求解析式．
23．在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=100m，∠C=50°，求AB．（保留1位小数）
（sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）
24．应用相似三角形的有关性质，设计方案测量旗杆的高度．要求画示意图，写出解题思路，不计算．
25．已知：如图所示，要在高AD=80mm，底边BC=120mm的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN，AD与PN交于E．求正方形的边长．
26．有这样一个问题：探究函数y=x2+的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y=x2+的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x …﹣3 ﹣2 ﹣1
1 2 3 …
﹣﹣
m …
y …
﹣﹣﹣
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．
27．如果关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，求实数a的值．
28．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
29．阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D（如图），
则sinB=，sinC=，即AD=c•sinB，AD=b•sinC，于是c•sinB=b•sinC，即=
同理有=，=
∴==…（*）
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论（*）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你补全答题卡上的解题思路．
2015-2016学年北京四十三中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）
A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2﹣3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】几何变换．
【分析】先确定抛物线y=5x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y=5x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到对应点的坐标为（﹣2，3），所以新抛物线的表达式是y=5（x+2）2+3．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
2．将y=x2+4x+1化为y=a（x﹣h）2+k的形式，h，k的值分别为（）
A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣5 D．﹣2，﹣5
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y=x2+4x+1，
y=x2+4x+4﹣4+1，
y=（x+2）2﹣3，
∴h=﹣2，k=﹣3，
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
3．抛物线y=2（x+3）2+5的对称轴为（）
A．直线x=3 B．直线x=﹣3 C．直线x=5 D．直线x=﹣5
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可确定抛物线的顶点坐标及对称轴．
【解答】解：由y=2（x+3）2+5可知，抛物线的顶点坐标为（﹣3，5），
∴抛物线对称轴为直线x=﹣3，
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质．关键是明确抛物线解析式的顶点式与顶点坐标，对称轴的联系．
4．抛物线的对称轴是x=2，则b的值是（）
A．2 B．1 C．4 D．﹣1
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据对称轴方程，列出关于b的方程即可解答．
【解答】解：∵抛物线的对称轴是x=2，
∴对称轴为x=b=2，
故选A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数对称轴公式，此题难度不大．
5．已知：如图，正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）
A． B．2 C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据网格特点和勾股定理求出OC、OD，根据余弦的概念计算即可．
【解答】解：由网格特点和勾股定理得，
OC=1，CD=2，
则OD==，
则cos∠AOB===，
故选：D．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）
A． B．C．D．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：根据题意得：AB==，AC=2，BC==，
∴BC ：AC：AB=1：：，
A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
B、三边之比：2：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选A．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=．则cosB的值为（）
A．B．C．D．
【考点】互余两角三角函数的关系．
【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．
【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，得
cosB=sinA=，故A正确，
故选：A．
【点评】本题考查了互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的正弦等于它余角的余弦．
8．如图，不能判定△ABC∽△DAC的条件是（）
A．∠B=∠DAC B．∠BAC=∠ADC C．AC2=DC•BC D．AD2=BD•BC
【考点】相似三角形的判定．
【专题】常规题型．
【分析】已知有公共角∠C，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似．
【解答】解：已知△ABC和△DCA中，∠ACD=∠BAC；如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：
①∠DAC=∠B或∠ADC=∠BAC；
②AC2=DC•BC；
故选D．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形判定方法的运用．
9．若二次函数y=（m+2）x2﹣3x+1与x轴有两个交点，则m的取值范围是（）
A．B．C．D．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的定义．
【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数与△的关系进而求出答案．
【解答】解：∵二次函数y=（m+2）x2﹣3x+1与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac=9﹣4（m+2）=9﹣4m﹣8=1﹣4m＞0，且m+2≠0，
解得：m的取值范围是：m＜且m≠﹣2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出△的符号是解题关键．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）
A．线段EF B．线段DE C．线段CE D．线段BE
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论．
【解答】解：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G．
由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE＜时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误；由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd＞时，DE有最小值，故B正确；
∵CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误；
由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE＜时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．若△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k，则△A1B1C1∽△ABC，且相似比为．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似比的概念求出=k，根据比例的性质得到=，得到答案．
【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
∴=k，
∴=，
∴△A1B1C1∽△ABC，相似比为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比是解题的关键．
12．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为2．
【考点】位似变换．
【分析】直接利用位似图形的性质得出A1B1=AB，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，C1为OC的中点，AB=4，
∴A1B1=AB=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确应用位似图形的性质是解题关键．
13．如图是小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该城墙高度CD=8米．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】计算题．
【分析】根据入射角与反射角的关系得到∠APB=∠CPD，则可证明Rt△ABP∽Rt△CDP，然后利用相似比可计算出CD．
【解答】解：根据题意得∠APB=∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴=，即=，
∴CD=8（m）．
故答案为8．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．
14．若两个相似三角形对应边的比是2：5，那么这两个相似三角形面积的比是4：25．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比是2：5，
∴两个三角形的相似比是2：5，
∴这两个相似三角形面积的比4：25，
故答案为：4：25．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
15．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．与x轴的另一个交点B．给出以下几个结论：①2a﹣b=0；②b＜0；③c＞0；④b2＞4ac ⑤点B的坐标是（1，0）．其中正确结论的序号是①②③④⑤．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理点B坐标，由对称轴为x=﹣=﹣1可以判定①正确，由图象与x轴的交点，可以推出b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵对称轴为x=﹣=﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴b=2a，c＞0，
即2a﹣b=0，
故①③正确；
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b与a同号，
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∴b＜0，
故②正确；
又∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，
故④正确，
根据抛物线的对称性，可得点B坐标（1，0），
故⑤正确；
故答案为①②③④⑤．
【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，难度适中．
16．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE 与原三角形相似，那么AE=或．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】计算题．
【分析】两三角形有一公共角，再求夹此公共角的两边对应成比例即可．点E位置未确定，所以应分别讨论，△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED．
【解答】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE=；
第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE=．
故答案为：或．
【点评】考查相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．需注意的是边的对应关系．
三、解答题（17～26，每题5分；27、28每题7分；29题8分）
17．计算：+4sin45°．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式第一项利用立方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=3+3﹣2﹣16+2=﹣10．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．二次函数的对称轴为x=1，函数最小值为﹣1，且图象过点（0，7），求此二次函数解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】先根据二次函数的性质得到顶点坐标为（1，﹣1），则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣1，然后把（0，7）代入求出a即可．
【解答】解：根据题意得抛物线顶点坐标为（1，﹣1），
设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，
把（0，7）代入得a﹣1=7，解得a=8，
所以抛物线解析式为y=8（x﹣1）2﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
19．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，∠A=60°，求解直角三角形．
【考点】解直角三角形．
【分析】利用正弦，余弦的定义求解即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，∠A=60°，
∴∠B=30°，AC=，AB=4．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟记正弦，余弦的定义．
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，b=6，求解直角三角形．
【考点】解直角三角形．
【分析】本题需先求出斜边的长，然后根据ab的长求出∠A的度数，从而求出∠B的度数．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵a2+b2=c2，a=2，b=6，
∴c=，
∵tan，
∴∠A=30°，
∴∠B=90°﹣∠A
=90°﹣30°
=60°．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的有关知识，在解题时要根据解直角三角形列出式子求出结果是本题的关键．
21．用公式法求函数y=3x2﹣3x﹣的最小值．
【考点】二次函数的最值．
【分析】直接代入顶点坐标公式计算即可解答．
【解答】解：∵a=3，b=﹣3，c=﹣，
∴
=
=﹣2．
∴函数y=3x2﹣3x﹣的最小值为﹣2．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握顶点坐标公式是解决问题的关键．
22．二次函数过点（0，5），（﹣1，0），对称轴为x=2，求解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），则可设交点式y=a（x+1）（x ﹣5），然后把（0，5）代入求出a即可．
【解答】解：∵（﹣1，0）关于直线x=2的对称点为（5，0），
∴抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，0），（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），
把（0，5）代入得a•1•（﹣5）=5，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣5），即y=﹣x2+4x+5．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
23．在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=100m，∠C=50°，求AB．（保留1位小数）
（sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）
【考点】解直角三角形．
【分析】利用正切的定义求解即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=100m，∠C=50°，
∴AB=AC•tan∠C=100×tan50°=100×1.1918=119.18≈119.2．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟记正切的定义．
24．应用相似三角形的有关性质，设计方案测量旗杆的高度．要求画示意图，写出解题思路，不计算．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】在同一时刻阳光下测得旗杆和人的影子BE和DF的长，同时测得人的身高，利用同一时刻物高和影长成正比列出算式求解即可．
【解答】解：如图，在同一时刻阳光下测得旗杆和人的影子BE和DF的长，同时测得人的身高，
利用△ABE和△CDF相似列出比例式=，
代入数值求解即可．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形，难度不大．
25．已知：如图所示，要在高AD=80mm，底边BC=120mm的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN，AD与PN交于E．求正方形的边长．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】设正方形的边长为x，根据正方形的对边平行可得PN∥BC，然后判断出△APN和△ABC相似，再根据相似三角形对应高的比等于相似比列式进行计算即可得解．
【解答】解：设正方形的边长为x，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，即，
解得x=48，
所以，加工后正方形的边长为48mm．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比的性质，熟记性质并列出比例式是解题的关键．
26．有这样一个问题：探究函数y=x2+的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y=x2+的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是x≠0；
（2）下表是y与x的几组对应值．
1 2 3 …
x …﹣3 ﹣2 ﹣1
﹣﹣
y …
m …
﹣﹣﹣
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）该函数没有最大值．
【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的性质．
【分析】（1）由图表可知x≠0；
（2）根据图表可知当x=3时的函数值为m，把x=3代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；
（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．
【解答】解：（1）x≠0，
（2）令x=3，
∴y=×32+
=+=；
∴m=；
（3）如图
（4）该函数的其它性质：
①该函数没有最大值；
②该函数在x=0处断开；
③该函数没有最小值；
④该函数图象没有经过第四象限．
故答案为该函数没有最大值．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
27．如果关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，求实数a的值．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】计算题．
【分析】分类讨论：当a=0时，原函数化为一次函数，而已次函数与x轴只有一个公共点；当a≠0时，函数y=ax2+（a+2）x+a+1为二次函数，根据抛物线与x轴的交点问题，当△=（a+2）2﹣4a（a+1）=0时，它的图象与x轴只有一个公共点，然后解关于a的一元二次方程得到a的值，最后综合两种情况即可得到实数a的值．
【解答】解：当a=0时，函数解析式化为y=2x+1，此一次函数与x轴只有一个公共点；
当a≠0时，函数y=ax2+（a+2）x+a+1为二次函数，当△=（a+2）2﹣4a（a+1）=0时，它的图象与x轴只有一个公共点，
整理得3a2﹣4=0，解得a=±，
综上所述，实数a的值为0或±．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：当△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；当△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
28．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据题意易求y与x之间的函数表达式．
（2）已知函数解析式，设y=4800可从实际得x的值．
（3）利用x=﹣求出x的值，然后可求出y的最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得y=（8+4×），
即y=﹣x2+24x+3200；
（2）由题意，得﹣x2+24x+3200=4800．
整理，得x2﹣300x+20000=0．
解这个方程，得x1=100，x2=200．
要使百姓得到实惠，取x=200元．
∴每台冰箱应降价200元；
（3）对于y=﹣x2+24x+3200=﹣（x﹣150）2+5000，
当x=150时，
=5000（元）．
y
最大值
所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．借助二次函数解决实际问题．
29．阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D（如图），
则sinB=，sinC=，即AD=c•sinB，AD=b•sinC，于是c•sinB=b•sinC，即=
同理有=，=
∴==…（*）
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论（*）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你补全答题卡上的解题思路．
【考点】解直角三角形．
【专题】阅读型．
【分析】根据各边和它所对角的正弦的比相等，可以先求出sinB，再求出c即可解决问题．
【解答】解：因为a，b，∠A已知，所以利用可以求出sinB的值，
进而求出∠B，利用∠C=180°﹣∠A﹣∠B求出∠C，
再利用即可求出c=．
【点评】本题考查三角函数的定义、三角形的边角关系、理解题意利用题中结论是解题的关键．
2016年4月1日。