2021届高考物理三轮冲刺专题突破训练：磁场 (解析版)

磁场【原卷】
1.如图所示，正三角形的三条边都与圆相切，在圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，质子11H和氦核42He都从顶点A沿∠BAC的角平分线方向射入磁场，质子11H从C点离开磁场，氦核42He从相切点D离开磁场，不计粒子重力，则质子和氦核的入射速度大小之比为()
A．6∶1 B．3∶1
C．2∶1 D．3∶2
2.如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板，从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电、电荷量为q、质量为m、速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动，以下说法正确的是( )
A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上
B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心
C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长
D．只要速度满足v＝qBR
m
，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上
3.如图所示，纸面内有半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子
的电量为q,质量为m,速度为
qBR
v
m
，则以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心
B．对着圆心入射的质子，其在磁场中的运动时间最长
C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场
D．所有质子都以相同的速度射出磁场
4.（2020天津卷第7题）如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸
面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。

一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角45
θ=︒。

粒子经过磁场偏转后在N点（图中未画出）垂直穿过x轴。

已知OM a
=，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。

则（）
A. 粒子带负电荷
B. 粒子速度大小为qBa m
C. 粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D. N与O点相距1)a
+
5.（2019年北京卷16题）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。

一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。

下列说法正确的是
A．粒子带正电
B．粒子在b点速率大于在a点速率
C．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出
D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短
6.如图所示，真空中有一个半径r＝0.5 m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B＝2×10－3 T，方向垂直于纸面向外，在x＝1 m和x＝2 m之间的区域内有一个方向沿y轴正向的匀强电场区域，电场强度E＝1.5×103 N/C。

在x＝3 m处有一垂直x轴方向的足够长的荧光屏，从O点处向
不同方向发射出速率相同的比荷q
m
＝1×109 C/kg，且带正电的粒子，粒子的运
动轨迹在纸面内，一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场最右侧的A点离开磁场，不计重力及阻力的作用，求：
(1)沿y轴正方向射入的粒子进入电场时的速度和粒子在磁场中的运动时间；
(2)速度方向与y轴正方向成θ＝30°角(如图中所示)射入磁场的粒子，离开磁场时的速度方向；
(3)(2)中的粒子最后打到荧光屏上，该发光点的位置坐标。

7.如图所示，质量m＝8.0×10－25kg、电荷量q＝1.6×10－15C的带正电粒子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，且在与x方向夹角大于等于30°
的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v0＝2.0×107m/s。

现在某一区域内加一垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1 T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上，并且当把荧光屏MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。

求：(π＝3.14)
(1)粒子从y轴穿过的范围；
(2)荧光屏上光斑的长度；
(3)从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差；
(4)画出所加磁场的最小范围(用阴影表示)。

8.如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xOy平面内
有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场．在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相
同质量m、电荷量q(q>0)和初速度v的带电微粒．发射时，这束带电微粒分布
在0<y<2R的区间内．已知重力加速度大小为g.
(1)从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标
原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向．
(2)请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由．
(3)若这束带电微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由．
9.（2020浙江第23题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。

竖直平面内
存在边界为矩形EFGH、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，
探测板CD 平行于HG 水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。

a 、b 、c 三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界EH 水平射入磁场，b 束中的离子在磁场中沿半径为R 的四分之一圆弧运动后从下边界HG 竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D 点。

已知每束每秒射入磁场的离子数均为N ，离子束间的距离均为0.6R ，探测板CD 的宽度为0.5R ，离子质量均为m 、电荷量均为q ，不计重力及离子间的相互作用。

(1)求离子速度v 的大小及c 束中的离子射出磁场边界HG 时与H 点的距离s ；
(2)求探测到三束离子时探测板与边界HG 的最大距离max L ；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F 与板到HG 距离L 的关系。

10.（2020全国2卷第11题）如图，在0≤x ≤h ，y -∞<<+∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B 的大小可调，方向不变。

一质量为m ，电荷量为q （q >0）的粒子以速度v 0从磁场区域左侧沿x 轴进入磁场，不计重力。

（1）若粒子经磁场偏转后穿过y 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值B m ；
（2）如果磁感应强度大小为m 2
B ，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。

求粒子在该点的运动方向与x 轴正方向的夹角及该点到x 轴的距离。

11.一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy平面内的截面如图所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的
大小为B，方向垂直于xOy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l′，
电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条形区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行。

一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入
电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出。

不
计重力。

（1）定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；
（2）求该粒子从M点射入时速度的大小；
，求该（3）若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为蟺
6
粒子的比荷及其从M点运动到N点的时间。

12.（2019全国1卷24）如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁
感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。

一带正电的粒子从静止开始经电压U
加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以
垂直于x轴的方向射出。

已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。

求
（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。

13.如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强
磁场分布在以直径A
2A
4
为边界的两个半圆形区域I、Ⅱ中，A
2
A
4
与A
1
A
3
的夹角为
60°。

一质量为m、带电量为+q的粒子以某一速度从I区的边缘点A
1
处沿与
A
1A
3
成30°角的方向射人磁场，随后该粒子以垂直于A
2
A
4
的方向经地圆心O进
入Ⅱ区，最后再从A
4
处射出磁场。

已知该粒子从射人到射出磁场所用的时间为t，求I区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)
磁场
1.如图所示，正三角形的三条边都与圆相切，在圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，质子11H和氦核42He都从顶点A沿∠BAC的角平分线方向射入磁场，质子11H从C点离开磁场，氦核42He从相切点D离开磁场，不计粒子重力，则质子和氦核的入射速度大小之比为()
A．6∶1 B．3∶1
C．2∶1 D．3∶2
【答案】A
【解析】设三角形的边长为L，根据几何关系可以得到磁场圆的半径为R＝
3
6
L，
质子进入磁场时的运动轨迹如图甲所示，
由几何关系可得r1＝R tan 60°＝1
2
L
氦核进入磁场时的运动轨迹如图乙所示，
由几何关系可得：r2＝R tan 30°＝1 6 L
粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m v2
r
，可得v＝
Bqr
m
，结
合两个粒子的轨迹半径与比荷可求得质子和氦核的入射速度大小之比为6∶1，故A正确．
2.如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板，从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电、
电荷量为q、质量为m、速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动，以下说法正确的是( )
A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上
B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心
C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长
D．只要速度满足v＝qBR
m
，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上
【答案】D
【解析】对着圆心入射的粒子，出射后不一定垂直打在MN上，与粒子的速度有关，故A错误；带电粒子的运动轨迹是圆弧，根据几何知识可知，对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线也一定过圆心，故B错误；对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心
角越小，由t＝θ
2πT知，运动时间t越小，故C错误；速度满足v＝
qBR
m
时，轨
迹半径r＝mv
qB
＝R，入射点、出射点、O点与轨迹的圆心构成菱形，射出磁场时
的轨迹半径与最高点处的磁场半径平行，粒子一定垂直打在MN板上，故D正确.
3.如图所示，纸面内有半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子
的电量为q,质量为m,速度为
qBR
v
m
，则以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心
B．对着圆心入射的质子，其在磁场中的运动时间最长
C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场
D．所有质子都以相同的速度射出磁场
【答案】AC
【解析】试题分析：由洛仑兹力提供质子做匀速圆周运动的向心力，从而求出质子在圆形磁场区域做匀速圆周运动的半径r恰好等于R，若质子朝着圆心射入磁场区域，则由几何关系求得该质子必从圆心的C点正下方射出，同时可以证明所有质子均从C点射出磁场，这是磁聚焦的原理．
首先可以确定朝着圆心射入的质子，其做匀速圆周运动的向心力由洛仑兹
力提供：
2
mv
qvB
R
=，将已知
qBR
v
m
=代入解得：r R
=；那么由几何关系知
道该质子最后从O点的正下方C点射出磁场．再假设从任意点E水平射入的质子，其做匀速圆周运动的圆心为D，连接两交点及两圆心．由于DE OC，且DE OC
=，则四边形DEOC是平行四边形，所以DC OE R
==，所以从任意点E
水平入射的质子也从O点的正下方C射出．由于磁场圆的半径与质子轨迹圆的
半径相等，所以朝着圆心方向射入的质子，必从O点的正下方射出磁场，故A
正确；质子在磁场中做圆周运动的速率v相同，质子运动轨迹越长，运动轨迹
对应的弦长越长，质子的运动时间越长，运动轨迹对应的最大弦长为磁场直径，对着圆心入射的质子运动轨迹对应的弦长不是直径，因此对着圆心入射的质子
在磁场中的运动时间不是最长的，故B错误；上述已证明，所有质子均从圆心
的正下方C点射出，故C正确；质子射出磁场时的速度大小相等，当速度方向
不同，速度是矢量，速度方向不同，速度不同，故D错误．
4.（2020天津卷第7题）如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。

一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角45
θ=︒。

粒子经过磁场偏转后在N点（图中
未画出）垂直穿过x 轴。

已知OM a =，粒子电荷量为q ，质量为m ，重力不计。

则（ ）
A. 粒子带负电荷
B. 粒子速度大小为
qBa
m
C. 粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D. N 与O 点相距1)a +
【答案】AD
【解析】A ．粒子向下偏转，根据左手定则判断洛伦兹力，可知粒子带负电，A 正确；
BC ．粒子运动的轨迹如图
由于速度方向与y 轴正方向的夹角45θ=︒，根据几何关系可知
1145OMO OO M ∠=∠=︒， 1OM OO a ==
则粒子运动的轨道半径为1r O M ==
洛伦兹力提供向心力2
v qvB m r
=
解得v m
=
，BC 错误；
D ．N 与O 点的距离为11)NO OO r a =+=，D 正确。

故选AD 。

5.（2019年北京卷16题）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。

一带电粒子垂直磁场边界从a 点射入，从b 点射出。

下列说法正确的是
A ．粒子带正电
B ．粒子在b 点速率大于在a 点速率
C ．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b 点右侧射出
D ．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短
【答案】C
【解析】根据左手定则，粒子带负电，A 错误；匀速圆周运动，速率不变，B 错误；若仅减小磁感应强度，根据半径公式qB
mv
r =
，则粒子做圆周运动的半径增大，所以粒子可能从b 点右侧射出，C 正确；若仅减小入射速率，根据半径公式qB
mv
r =
，则粒子做圆周运动的半径减小，如下图所示，则粒子在磁场中圆周运动的圆心角变大，根据π
θ2T
t =
，因为
qB m T π2=不变，圆心角变大，则运动时间变长，所以D 错误。

,
6.如图所示，真空中有一个半径r＝0.5 m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B＝2×10－3 T，方向垂直于纸面向外，在x＝1 m和x＝2 m之间的区域内有一个方向沿y轴正向的匀强电场区域，电场强度E＝1.5×103 N/C。

在x＝3 m处有一垂直x轴方向的足够长的荧光屏，从O点处向
不同方向发射出速率相同的比荷q
m
＝1×109 C/kg，且带正电的粒子，粒子的运
动轨迹在纸面内，一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场最右侧的A点离开磁场，不计重力及阻力的作用，求：
(1)沿y轴正方向射入的粒子进入电场时的速度和粒子在磁场中的运动时间；
(2)速度方向与y轴正方向成θ＝30°角(如图中所示)射入磁场的粒子，离开磁场时的速度方向；
(3)(2)中的粒子最后打到荧光屏上，该发光点的位置坐标。

[答案] (1)1×106 m/s 7.85×10－7 s (2)与x轴平行向右(3)(3 m,3 m)
[解析] (1)由题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R＝r
＝0.5 m，由Bqv＝mv2
R
，可得粒子进入电场时的速度为
v＝qBR
m
＝1×109×2×10－3×0.5 m/s＝1×106 m/s。

在磁场中运动的时间为
t
1＝
1
4
T＝
πm
2Bq
＝
3.14
2×109×2×10－3
s＝7.85×10－7 s。

(2)粒子的运动圆轨迹和磁场圆的交点O、C以及两圆的圆心O1、O2组成菱形，CO2和y轴平行，所以v和x轴平行向右，如图所示。

(3)粒子在磁场中转过120°角后从C点离开磁场，速度方向和x轴平行，做直线运动，再垂直电场线进入电场，如图所示：
在电场中的加速度大小为：
a＝Eq
m
＝1.5×103×1×109 m/s2＝1.5×1012 m/s2。

粒子穿出电场时有：
v y ＝at2＝a×
Δx
v
＝1.5×106 m/s，
tan α＝v
y
v
x
＝
1.5×106
1×106
＝1.5。

在磁场中y1＝1.5r＝1.5×0.5 m＝0.75 m。

在电场中侧移为：
y
2＝
1
2
at
2
2＝
1
2
×1.5×1012×
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
1×106
2 m＝0.75 m。

飞出电场后粒子做匀速直线运动
y
3
＝Δx tan α＝1×1.5 m＝1.5 m，
y＝y
1
＋y2＋y3＝0.75 m＋0.75 m＋1.5 m＝3 m。

则该发光点的坐标为(3 m,3 m)。

7.如图所示，质量m＝8.0×10－25kg、电荷量q＝1.6×10－15C的带正电粒子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，且在与x方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v0＝2.0×107m/s。

现在某一区域内加一垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1 T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上，并且当把荧光屏MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。

求：(π＝3.14)
(1)粒子从y轴穿过的范围；
(2)荧光屏上光斑的长度；
(3)从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差；
(4)画出所加磁场的最小范围(用阴影表示)。

【答案】(1)0～0.17 m (2)0.09 m (3)7.7×10－9 s (4)见解析
【解析】设粒子在磁场中运动的半径为R，
由牛顿第二定律得
qv
0B＝m
v
2
R
，
即R＝mv
0 qB
解得R＝0.1 m
当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变，说明粒子出射方向平行，且都沿－x方向，所加磁场为圆形，半径为R＝0.1 m。

(1)如图所示，初速度沿y轴正方向的粒子直接过y
轴。

速度方向与x轴正方向成30°角的粒子，转过的圆心
角∠OO2B为150°，
则∠OO2A＝120°
粒子从y轴穿过的范围为0～3R，
即0～0.17 m。

(2)初速度沿y轴正方向的粒子，y C＝R 由(1)知∠O2OA＝θ＝30°
y
B
＝R＋R cos θ
则荧光屏上光斑的长度
l＝y
B
－y C＝0.09 m。

(3)粒子运动的周期
T＝2πR
v
＝
2πm
qB
＝π×10－8 s
从B点和C点射出的粒子在磁场中运动的时间差
t
1＝
5
12
T－
1
4
T＝
1
6
T
出磁场后，打到荧光屏上的时间差
t
2＝
R 2v0
从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差
t＝t
1
＋t2＝7.7×10－9 s。

(4)如图阴影部分所示。

8.如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场．在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q>0)和初速度v的带电微粒．发射时，这束带电微粒分布在0<y<2R的区间内．已知重力加速度大小为g.
(1)从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标
原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向．
(2)请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由．
(3)若这束带电微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由．
【答案】(1)E＝mg
q
方向沿y轴正方向，
mv
qR
方向垂直于纸面向外 (2)
见解析
(3)与x轴相交的区域范围是x>0
【解析】(1)带电粒子平行于x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受
重力和电场力平衡．设电场强度大小为E，由mg＝qE，可得E＝mg
q
，方向沿y
轴正方向．带电微粒进入磁场后，将做圆周运动．且r＝R，如图所示，设磁感
应强度大小为B.由qvB＝mv2
R
，得B＝
mv
qR
，方向垂直于纸面向外．
(2)这束带电微粒都通过坐标原点．
方法一：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的Q点，如图所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图的虚线半圆，此圆的圆心是坐标原点．
方法二：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动．如图所示，P点与O′点的连线与y轴的夹角为θ，其圆心Q的坐标为(－R sinθ，R cosθ)，圆周运动轨迹方程为
(x＋R sinθ)2＋(y－R cosθ)2＝R2，得x＝0，y＝0；或x＝－R sinθ，y＝R(1＋cosθ)．
(3)这束带电微粒与x轴相交的区域是x>0.
带电微粒在磁场中经过一段半径为r′的圆弧运动后，将在y轴的右方(x>0)的区域离开磁场并做匀速直线运动，如图所示．靠近M点发射出来的带
电微粒在穿出磁场后会射向x轴正方向的无穷远处，靠近N点发射出来的带电
微粒会在靠近原点之处穿出磁场．所以，这束带电微粒与x轴相交的区域范围
是x>0.
9.（2020浙江第23题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。

竖直平面内
存在边界为矩形EFGH、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板CD平行于HG水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。

a、b、c三束
宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界EH水平射入
磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界HG竖
直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。

已知每束每秒射入磁场的离子数均
为N，离子束间的距离均为0.6R，探测板CD的宽度为0.5R，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。

(1)求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界HG时与H点的距离s；
L；
(2)求探测到三束离子时探测板与边界HG的最大距离max
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力
的竖直分量F与板到HG距离L的关系。

【答案】(1)qBR
v m
=
，0.8R ；(2)max 415L R =；(3)当4015L
R <时：1 2.6F NqBR =；当4
0.415
R L R <时：2 1.8F NqBR =；当0.4L R >时：3F NqBR =
【解析】(1)离子在磁场中做圆周运动2
mv qvB R =
得粒子的速度大小qBR
v m
=
令c 束中的离子运动轨迹对应的圆心为O ，从磁场边界HG 边的Q 点射出，则
由几何关系可得0.6OH R =，0.8s HQ R ===
(2)a 束中的离子运动轨迹对应的圆心为O ’，从磁场边界HG 边射出时距离H
点的距离为x ，由几何关系可得'0.6HO aH R R =-=， 0.8x R == 即a 、c 束中的离子从同一点Q 射出，离开磁场的速度分别于竖直方向的夹角为β、α，由几何关系可得αβ=
探测到三束离子，则c 束中离子恰好达到探测板的D 点时，探测板与边界
HG 的距离最大，max tan R s OH
L s
α-=
=
则max 415
L R =
(3)a 或c 束中每个离子动量的竖直分量z cos 0.8p p qBR α== 当4
015
L
R <时所有离子都打在探测板上，故单位时间内离子束对探测板的平均作用力1z 2 2.6F Np Np NqBR =+= 当
4
0.415
R L R <时， 只有b 和c 束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为z 2 1.8F Np Np NqBR =+=
当0.4L R >时， 只有b 束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为3F Np NqBR ==。

10.（2020全国2卷第11题）如图，在0≤x ≤h ，y -∞<<+∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B 的大小可调，方向不变。

一质量为m ，电荷量为q （q >0）的粒子以速度v 0从磁场区域左侧沿x 轴进入磁场，不计重力。

（1）若粒子经磁场偏转后穿过y 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值B m ；
（2）如果磁感应强度大小为
m
2
B ，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。

求粒子在该点的运动方向与x 轴正方向的夹角及该点到x 轴的距离。

【答案】（1）磁场方向垂直于纸面向里；0m =
mv B qh ；（2）π
6
α=；
(2y h =-
【解析】（1）由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里。

设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R ，根据
洛伦兹力公式和圆周运动规律，有2
0v qv B m R
=①
由此可得0
mv R qB
=
② 粒子穿过y 轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y 轴正半轴上，半径应满足R h ≤③
由题意，当磁感应强度大小为B m 时，粒子的运动半径最大，由此得
m =
mv B qh
④ （2）若磁感应强度大小为
m
2
B ，粒子做圆周运动的圆心仍在y 轴正半轴上，
由②④式可得，此时圆弧半径为2R h '=⑤
粒子会穿过图中P 点离开磁场，运动轨迹如图所示。

设粒子在P 点的运动方向与x 轴正方向的夹角为α，
由几何关系1
sin 22h h α=
=⑥ 即π6
α=⑦ 由几何关系可得，P 点与x 轴的距离为2(1cos )y h α=-⑧
联立⑦⑧式得(2y h =-⑨
11.一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy 平面内的截面如图所示：中间是磁场区域，其边界与y 轴垂直，宽度为l ，磁感应强度的大小为B ，方向垂直于xOy 平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l ′，电场强度的大小均为E ，方向均沿x 轴正方向；M 、N 为条形区域边界上的两点，它们的连线与y 轴平行。

一带正电的粒子以某一速度从M 点沿y 轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M 点入射的速度从N 点沿y 轴正方向射出。

不计重力。

（1）定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹； （2）求该粒子从M 点射入时速度的大小；
（3）若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为蟺
，求该
6
粒子的比荷及其从M点运动到N点的时间。

【解析】（1）粒子运动的轨迹如图（a）所示。

（粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对称）
（2）粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动。

设粒子从M 点射入时速度的大小为v0，在下侧电场中运动的时间为t，加速度的大小。