2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习课件：第八章+立体几何+8.2

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3.柱、锥、台和球的表面积和体积
表面积 柱体(棱柱和 圆柱) 锥体(棱锥和 圆锥) 台体(棱台和 圆台) 球 S 表面积=S 侧+2S 底 S 表面积=S 侧+S 底 S 表面积=S 侧+S 上+S 下 S= 体积 V= V=
1 2
22
+ 22
+
22
=
故答案为 B.
4 3.所以几何体外接球的体积为3π· (
3) =4 3π.3 Nhomakorabea备知识·预案自诊 必备知识·预案自诊
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5.(2018辽宁大连调研,14)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几 何体的三视图,则剩余部分与挖去部分的体积之比为 1∶1 .
4 6
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1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”. (1)如果圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这 个圆柱的侧面积是2πS. ( × ) (2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为3πa2. ( × ) (3)若一个球的体积为 4 3 π,则它的表面积为12π. ( ) (4)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=120°,使△ABC绕直线BC旋转 一周所形成的几何体的体积为9π. ( × ) 2π (5)将圆心角为 ,面积为3π的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表 3 面积等于4π. ( )
A.1+ 2 C.2+ 2
B.1+2 2 D.2+2 2
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解析: (1)由三视图可知,该几何体是一个组合体,它由一个直四 棱柱挖去一个直三棱柱,该几何体的形状如图所示, 于是 S 左右=(2×2)×2=8,S 上下=(4×2-2×2×1)×2=14,
1 1 4 3 8 3 16 为 2,所以 V 圆锥=3×π×2 =3π,V 半球=2 × 3π×2 = 3 π,所以 V 剩余=V 半球-V 圆 8 = π,故剩余部分与挖去部分的体积之比为 1∶1. 锥 3
解析:由三视图可知半球的半径为 2,圆锥底面圆的半径为 2,高
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空间几何体的表面积 例1(1)(2018河南模拟,9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体 的表面积为( A )
A.34+4 2 C.32+4 2
B.34+2 2 D.36+2 2
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(2)(2018河南一模,6)《九章算术》是我国古代数学名著,在《九 章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为 “阳马”,若某“阳马”的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长 为1的两个全等的等腰直角三角形,则该“阳马”的表面积为( C )
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空间几何体的体积(多考向) 考向1 公式法求体积 例2(2018四川成都诊断,8)某几何体的三视图如图所示(单位:cm), 则该几何体的体积(单位:cm3)是( C )
A.2
B.4
C.6
D.8
解析:由三视图可得,该几何体是底面为直角梯形的柱体,其中棱 1 柱的高为2,底面积为 2 ×(1+2)×2=3,可得几何体的体积为 V=3×2=6,故选C.
1
S 前=4×2=8,S 后=(1×2)×2+( 2×2)×2=4+4 2, 所以表面积 S=8+14+8+(4+4 2)=34+4 2,故选 A.
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(2)由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥,如图所示;
主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形, 故四棱锥的底面是正方形,且边长为1,其中一条侧棱PD⊥底面 ABCD,且侧棱AD=1, 四棱锥的四个侧面都为直角三角形,且 PA=PC= 2, 四棱锥的表面积为 S=S 底面 ABCD+2S△PAD+2S△PAB
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对点训练2(2018黑龙江仿真模拟(十),8)在四棱锥P-ABCD中, PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PA=AB,该四棱锥被一平面截 去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分 体积的比值为( B )
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解析: (方法一)如图所示,连接A1C1,B1D1交于点O1, 连接B1D,EF,过点O1作O1H⊥B1D于点H. 因为EF∥A1C1,且A1C1⊈平面B1EDF,EF⫋平面B1EDF, 所以A1C1∥平面B1EDF. 所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离. 易知平面B1D1D⊥平面B1EDF, 又平面B1D1D∩平面B1EDF=B1D,所以O1H⊥平面B1EDF, 所以O1H等于四棱锥C1-B1EDF的高. 因为△B1O1H∽△B1DD1,
1 2 1 C. 4
A.
1 3 1 D. 5
B.
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解析:由三视图知,剩余部分的几何体是四棱锥 P-ABCD 被平面 QBD 截去三棱锥 Q-BCD(Q 为 PC 中点)后的部分,连接 AC 交 BD 于 O,连接 OQ,则 OQ∥PA,且 OQ=2PA,
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思考由三视图求解几何体体积的解题策略是什么? 解题心得1.若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥 体或台体,则可直接利用公式进行求解. 2.若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换 法、分割法、补形法等方法进行求解. 3.若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体 的直观图,然后根据条件求解.
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4.(2018河北武邑中学四模,7)如图,网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的三视图,则这个几何体的外接球体积为 ( B )
A.4π C.3π
4
B.4 3π D.3π
8
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=1+2× ×1×1+2× ×1× 2=2+ 2,故选 C.
1 2
1 2
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思考求几何体的表面积的关键是什么? 解题心得1.以三视图为载体考查几何体的体积,解题的一般思路 是根据三视图想象原几何体的形状构成,并从三视图中发现几何体 中各元素间的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解. 2.求旋转体体积的一般思路是理解所得旋转体的几何特征,确定 得到计算体积所需要的几何量. 3.计算柱、锥、台的体积的关键是根据条件找出相应的底面积 和高. 4.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们 是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法,应熟练掌握.
8.2
空间几何体的表面积与体积
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1.多面体的表(侧)面积 因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就 所有侧面的面积之和 是 ,表面积是侧面积与底面面积之 和. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆 侧面 展开图 侧面积公式 S 圆柱侧= 2πrl S 圆锥侧= πrl S 圆台侧 = π(r1+r2)l 柱 圆 锥 圆 台
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解析:由题得几何体原图为四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是边长 为 2 的正方形,且 PA⊥底面 ABCD,PA=2.把几何体放在边长为 2 的 正方体中,P,A,B,C,D 恰好是正方体的五个顶点,所以正方体的外接 球和四棱锥的外接球是同一个球,所以四棱锥的外接球半径为
1 3
1 Sh 3
4πR2
V= (S 上+S 下+ S上 S下 )h V=
4 3 πR 3
Sh
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1.与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. 2.长方体的外接球 (1)球心:体对角线的交点.
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(2)(2018广东深圳二模,6)一个几何体的三视图如图所示,其中俯 视图与左视图均为半径是2的圆,则这个几何体的表面积是( A )
A.16π B.14π
C.12π
D.8π
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对点训练1(1)(2018东北师范大学附属中学五模,7)一个几何体的 三视图如图所示,其中主视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面 积为( C )
A.2+( 5+1)π C.2+
5 1 + 2 2
B.2+ π D.
5 +1 π 2 5 1 + π 2 2
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2.(2018山东春季联考,19)已知矩形ABCD,AB=2BC,把这个矩形分 别以AB、BC所在直线为轴旋转一周,所成几何体的侧面积分别记 为S1、S2,则S1与S2的比值等于 ( B ) 1 A. 2 B.1 C.2 D.4 解析:设BC=a,AB=2a,所以S1=2π(2a)· a,S2=2π(a)· 2a, ∴S1∶S2=1∶1,故选B. 3.(2018全国1,文5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过 直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆 柱的表面积为( B ) A.12 2π B.12π C.8 2π D.10π 解析:过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面, 设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所 以 2r=l=2 2,r= 2 ,所以圆柱的表面积为2πrl+2πr2=8π+4π=12π.
(2)半径:r=
a 2 +b 2 +c 2 2
(a,b,c 为长方体的长、宽、高).
6
3.正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分) (1)外接球:球心是正四面体的中心;半径 r= a(a 为正四面体的棱长). (2)内切球:球心是正四面体的中心;半径 r=12 a(a 为正四面体的棱长).
1 1 3 1 3 1 3 剩余部分的体积为: a - a = a , 3 12 4 1 3 ������ 1 12 1
设 PA=AB=a,则 VP-ABCD=3a3,VQ-BCD=3 × 2a2×2a=12a3, 则所求的体积比值为: 1
4
1
1
1
1
������3
= 3.故选 B.
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解析: (1)由三视图可知,其对应的几何体是半个圆锥,圆锥的底 面半径为 r=1,圆锥的高 h=2,其母线长 l= 12 + 22 = 5,则该几何体
1 1 2 的表面积为:S=2×π×1 +2×π×1× 1 5 1 5 + 2×2×2=2+( 2 + 2)π.故选 C. 1 (2)由三视图知:几何体是球体切去 后余下的部分,球的半径为 4 1 2,几何体的表面积 S=(1- )×4π×22+π×22=16π.故选 A. 4
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考向2 割补法求体积 例3(2018广东广州调研,14)已知E,F分别是棱长为a的正方体 ABCD-A 1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,则四棱锥C1-B1EDF的体积 1 3 为 6a .
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