2020人教A版数学必修四 2.2.2

第二章 2.2 2.2.2
A 级 基础巩固
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( C )
A ．A
B →＝D
C → B ．A
D →＋AB →＝AC → C ．AB →－AD →＝BD →
D ．AD →＋CB →＝0
[解析] A 项显然正确，由平行四边形法知B 正确；C 项中AB →－AD →＝DB →
，故C 错误；D 项中AD →＋CB →＝AD →＋DA →
＝0，故选C ．
2．化简以下各式：
①AB →＋BC →＋CA →； ②AB →－AC →＋BD →－CD →； ③OA →－OD →＋AD →； ④NQ →＋QP →＋MN →－MP →. 结果为零向量的个数是( D ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
[解析] ①AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝AC →－AC →
＝0；
②AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →
＝0； ③OA →－OD →＋AD →＝(OA →＋AD →)－OD →＝OD →－OD →
＝0； ④NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PM →＋MN →＝NM →－NM →
＝0.
3．四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →
＝( A )
A ．a －b ＋c
B ．b －(a ＋c )
C ．a ＋b ＋c
D ．b －a ＋c
[解析] DC →＝DB →＋BC →＝AB →－AD →＋BC →
＝a －b ＋c .
4．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( A )
A ．AD →＋BE →＋CF →＝0
B ．BD →－CF →＋DF →＝0
C ．A
D →＋C
E →－C
F →＝0
D ．BD →－B
E →－FC →＝0
5．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →
|的取值范围是( C ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13]
D ．(3,13)
[解析] 由于BC →＝AC →－AB →，则有|AB →|－|AC →|≤|BC →|≤|AB →|＋|AC →|，即3≤|BC →
|≤13. 6．O 是四边形ABCD 所在平面上任一点，AB →∥CD →，且|OA →－OB →|＝|OC →－OD →
|，则四边形ABCD 一定为( D )
A ．菱形
B ．任意四边形
C ．矩形
D ．平行四边形
[解析] 由|OA →－OB →|＝|OC →－OD →|知|BA →|＝|DC →|，且AB →∥CD →
故四边形ABCD 是平行四边形．
二、填空题
7．若非零向量a 与b 互为相反向量，给出下列结论：①a ∥b ；②a ≠b ；③|a |≠|b |；④b ＝－a .其中所有正确命题的序号为__①②④__.
[解析] 非零向量a 、b 互为相反向量时，模一定相等，因此③不正确． 8．若向量a 、b 方向相反，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝__2__. 三、解答题
9．如图，已知向量a 和向量b ，用三角形法则作出a －b ＋a .
[解析] 作法：作向量OA →＝a ，向量OB →＝b ，则向量BA →
＝a －b . 如图所示；作向量AC →＝a ，则BC →
＝a －b ＋a .
10．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且|AB →|＝|AD →|＝1，OA →＋OC →
＝OB →＋OD →＝0，cos ∠DAB ＝12
，求|DC →＋BC →|与|CD →＋BC →
|.
[解析] ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →
＝0， ∴OA →＝CO →，OB →＝DO →.
∴四边形ABCD 为平行四边形． 又|AB →|＝|AD →
|＝1, ∴□ABCD 为菱形．
∵cos ∠DAB ＝1
2，∠DAB ∈(0，π)，
∴∠DAB ＝π
3，
∴△ABD 为正三角形．
∴|DC →＋BC →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|＝2|AO →|＝3，|CD →＋BC →|＝|BD →|＝|AB →
|＝1.
B 级 素养提升
一、选择题
1．在平面上有A 、B 、C 三点，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →
，若m 与n 的长度恰好相等，则有( C )
A ．A ，
B ，
C 三点必在一条直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角
D ．△ABC 必为等腰直角三角形
[解析] 以BA →，BC →为邻边作平行四边形，则m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →
＝DB →
，由m ，n 的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，故选C ．
2．下列各式结果是AB →
的是( B ) A ．AM →－MN →＋MB →
B ．A
C →－BF →＋CF →
C ．AB →－DC →＋CB →
D ．AB →－FC →＋BC →
[解析] AC →－BF →＋CF →＝AC →＋CF →－BF →＝AF →－BF →＝AF →＋FB →＝AB →
.
3．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →
|，则|AM →
|＝( C )
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
[解析] 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|可知，AB →与AC →垂直，故△ABC 为直角三角形，|AM →
|即斜边BC 的中线，所以|AM →
|＝2.
4．平面上有一个△ABC 和一点O ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .又OA →，BC →
的中点分别为D ，E ，则向量DE →
等于( B )
A ．1
2(a ＋b ＋c )
B ．1
2(－a ＋b ＋c )
C ．1
2
(a －b ＋c )
D ．1
2
(a ＋b －c )
[解析] DE →＝DO →＋OE →
＝－12a ＋12(b ＋c )＝12(－a ＋b ＋c )．
二、填空题
5．已知如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →
相等的向量有__①__.
①CF →；②AD →；③DA →；④BE →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →. [解析] OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →
； CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →≠CF →； CA →－CD →＝DA →≠CF →； AB →＋AE →＝AD →≠CF →.
6．已知|a |＝7，|b |＝2，且a ∥b ，则|a －b |＝__5或9__. [解析] 当a 与b 方向相同时，|a －b |＝|a |－|b |＝7－2＝5； 当a 与b 方向相反时，|a －b |＝|a |＋|b |＝7＋2＝9. 三、解答题
7．已知点B 是□ACDE 内一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a 、b 、c 表示向量CD →
、BC →、BE →、CE →及BD →.
[解析] ∵四边形ACDE 为平行四边形． ∴CD →＝AE →
＝c ； BC →＝AC →－AB →
＝b －a ； BE →＝AE →－AB →
＝c －a ； CE →＝AE →－AC →
＝c －b ； BD →＝BC →＋CD →
＝b －a ＋c .
8．如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OF →
＝f ，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：
(1)AC →； (2)AD →； (3)AD →－AB →； (4)AB →＋CF →； (5)BF →－BD →.
[解析] (1)AC →＝OC →－OA →
＝c －a . (2)AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋OD →
＝－a ＋d . (3)AD →－AB →＝BD →
＝d －b .
(4)AB →＋CF →＝OB →－OA →＋CO →＋OF →
＝b －a －c ＋f . (5)BF →－BD →＝OF →－OB →－(OD →－OB →
)＝f －b －d ＋b ＝f －d .。