四川省成都市彭州金光通济中学高三数学理月考试题含解析

四川省成都市彭州金光通济中学高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】L6：简单组合体的结构特征．
【分析】做本题时，需要将原图形在心中还原出来，最好可以做出图形，利用图形关系，就可以求解了．
【解答】解：棱长为2的正四面体ABCD的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图为△ABF，则图中AB=2，E为AB中点，则EF⊥DC，
在△DCE中，DE=EC=，DC=2，
∴EF=，
∴三角形ABF的面积是，
故选C．
2. 若，则该数列的前2011项的乘积
( )
A．3．B．-6． C．． D．．
参考答案：
A
略
3. 设函数，则的图象
A．在第一象限内
B．在第四象限内
C．与轴正半轴有公共点
D．一部分在第四象限内，其余部分在第一象限内
参考答案：
A
略
4. 已知集合，那么（）
A B C D
参考答案：
D
略
5. 若等边三角形ABC的边长为，该三角形所在平面内一点M满足，则
等于
A. B. C.1 D.2
参考答案：
A
==
=选A.
6. 给出下列命题：①分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线②同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b在面α内的射影为c，直线a⊥c，则a⊥b ④异面直线a , b所成的角为，过空间一定点P，作直线L，使L与
a ,
b 所成的角均为，这样的直线L有两条
其中真命题是( )
A. ①③
B. ①
C. ③④
D. ②④
参考答案：
B
①若AC、BD不异面，则ABCD共面,这与AB、CD异面矛盾
②将其中一条异面直线平移与另一条相交确定一个平面，则二直线垂直同一个面。

③没有a在α内的条件，不符合三垂线定理④三条
7. 已知向量，，，则
（A）（B）（C）20 （D）40
参考答案：
A
略
8. 若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为（）
A．2 B．C．D．﹣2
参考答案：
A
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算即可得出．【解答】解：如图所示，
A（，0），B（0，），C（﹣，0），
∴=（，），=（3，0），
∴=（，）+（3，0）=（2，），
∴=+=（，），
∴=﹣=（﹣1，），=﹣=（﹣，），
∴=﹣1×（﹣）+×=2，
故选：A．
9. 复数z＝i＋i2＋i3＋i4的值是（） A．－1B．0 C．1 D．i
参考答案：
答案：B
10. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）
A．4 B．8 C．D．
参考答案：
D
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】通过三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．
【解答】解：由题意三视图可知，几何体是四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2， 所以几何体的体积是： =．
故选D ．
【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力，空间想象能力．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 等差数列中，若
,
，则
.
参考答案：
略
12.
若实数x ，y 满足，且z=mx ﹣y （m ＜2）的最小值为﹣，则m= ．
参考答案：
﹣1
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断目标函数的最优解，求解即可． 【解答】解：实数x ，y 满足约束条件的可行域如图所示， z=mx ﹣y （m ＜2）的最小值为﹣， 可知目标函数的最优解过点A ，
由，解得A （，3），
∴﹣=a ﹣3， 解得m=1，
故答案为：﹣1
13. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinA=，b=
sinB ，则a= ．
参考答案：
【考点】HP ：正弦定理．
【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解． 【解答】解：∵sinA=，b=
sinB ，
∴由正弦定理可得：a===．
故答案为：
．
14. 有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为 ．(用数字作答）
参考答案：
48 15. 已知函数
的图象在
处的切线斜率为－4，则a =______．
参考答案：
4 【分析】
先对函数f （x ）求导，再根据图象在（0，f （0））处切线的斜率为﹣4，得f′（0）＝﹣4，由此可求a 的值.
【详解】由函数得，∵函数f（x）的图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，，.
故答案为：4
【点睛】本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题．
16. 过点（1，3）作直线l，若l经过点（a，0）和（0，b），且a，b∈N*，则可作出的l的个数
为条．
参考答案：
2
【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．
【分析】由l经过点（a，0）和（0，b）求出l的斜率，写出直线方程的点斜式，代入点（a，0）可
得=1，
求出满足该式的整数对a，b，则答案可求．
【解答】解：由题意可得直线L的表达式为y=（x﹣1）+3
因为直线l经过（a，0），可得+3=b 变形得=1，
因为a，b都属于正整数，所以只有a=2，b=6和a=4，b=4符合要求
所以直线l只有两条，即y=﹣3（x﹣1）+3和y=﹣（x﹣1）+3．
故答案为2．
17. 将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有种；若2本语文书不相邻排放，则不同的排放方案共
有种.（用数字作答）
参考答案：
48;72.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某学校为促进学生的全面发展，积极开展丰富多样的社团活动，根据调查，学校在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团，三个社团参加的人数如下表示所示：
为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人．
（I）求三个社团分别抽取了多少同学；
（Ⅱ）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．
参考答案：
解：（I）设出抽样比为x，则“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为：
320x，240x，200x
∵从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人
∴320x﹣240x=2
解得x=
故“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为：8人，6人，5人
（II）由（I）知，从“剪纸”社团抽取的同学共有6人，其中有两名女生，
则从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，共有=15种不同情况；
其中至少有1名女同学被选为监督职务的情况有=9种
故至少有1名女同学被选为监督职务的概率P==
略
19. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，且．（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求△的面积．
参考答案：
解：（Ⅰ）由已知得，…………………………… 3分所以，解得，所以．………… 6分
（Ⅱ）由余弦定理得，即①，
又，所以②，由①②得，…10分
所以△的面积．………………13分
20. （本小题满分12分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。

首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。

再次到达智能门时，系统会随机打开一个你
未到过的通道，直至走完迷宫为止。

令X 表示走出迷宫所需的时间。

（I ）求X 的分布列； （II ）求X 的数学期望．
参考答案：
必须要走到1号门才能走出，可能的取值为1，3，4，6
，
，，
分布列为：
（2）
小时
21. （本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】
如图，P 为圆外一点，PD 为圆的切线，切点为D ，AB 为圆的一条直径，过点P 作AB 的垂线交圆于C 、E 两点（C 、D 两点在AB 的同侧），垂足为F ，连接AD 交PE 于点G ．
（1）证明：PG=PD ；
（2）若AC=BD ，求证：线段AB 与DE 互相平分．
参考答案：
证明：（1）∵为圆的切线，切点为，为圆的一条直径，
∴，
，∴
，
∵∴在
中，
，即
，
∴．
∵，∴，即，∴；………………5分
（2）连接
，则
∵
，
为圆的一条直径，
∴
∴
，
∵
，∴
，∴
，
∴为圆的一条直径，∴线段
与
互相平分．………………10分
22. （12分）
某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中
第一、二周达标的员工评为优秀．
（1（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率. （i ）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为
、
，求
、
的分布列，若选平均受训时间
少的，则公司应选哪种培训方式？
（ii ）按（i ）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率．
参考答案：
解：（
1）甲组60人中有45人优秀，任选两人，
恰有一人优秀的概率为；--------------------------------------------3分
（2）（i ）
的分布列为
5
10
15
20
，----------------------------------------------6分的分布列为
4 8 12 26
，
∵，∴公司应选培训方式一；----------------------------------------------------9分（ii）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为，
则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为．-------------------------12分。