2022届新高考版数学小题狂练09(含解析)

小题专练09
解析几何(A)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的.
1.(考点:直线的斜率与倾斜角的关系,★)下列命题中,正确的是( ). A .若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大 B .若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α C .若直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是α
D .当直线的倾斜角α∈[0,π
2)∪(π
2
,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增
2.(考点:求直线的方程,★)已知直线l 过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l 的方程是( ). A .3x+2y-1=0 B .3x+2y+7=0 C .2x-3y+5=0 D .2x-3y+8=0
3.(考点:椭圆的标准方程,★)“-1<m<3”是“方程x 2
m+1+y 2
7-m =1表示椭圆”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
4.(考点:求双曲线的渐近线方程,★)若双曲线x 2a
2-y 2
b
2=1(a>0,b>0)的离心率为5
3
,则该双曲线的渐近线方程为
( ). A .y=±4
5
x B .y=±5
4
x
C .y=±43x
D .y=±3
4x
5.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,√3),且双曲线的一个焦点在
抛物线y 2=4√7x 的准线上,则该双曲线的方程为( ). A .x 221-y 2
28=1 B .x 228-y 2
21=1 C .x 23-y 2
4=1 D .x 24-y 2
3=1
6.(考点:求双曲线的离心率,★★)已知双曲线C :x 2a 2-y 2
b 2=1(a>0,b>0),以点P (b ,0)为圆心,a 为半径作圆P ,圆P 与双
曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若∠MPN=90°,则双曲线C 的离心率为( ). A .√2
B .√3
C .√5
2 D .√7
2
7.(考点:抛物线定义的应用,★★)已知F 是抛物线x 2=6y 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=9,则线段
AB 的中点到x 轴的距离为( ).
A .3
B .92
C .4
D .3
2
8.(考点:点差法的应用,★★★)已知椭圆x 236
+y 2
9
=1的一条弦被点A (4,2)平分,则此弦所在的直线方程是( ).
A .x-2y=0
B .x+2y=4
C .2x+3y=14
D .x+2y=8
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对
的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:直线方程的应用,★★)下列说法正确的是( ). A .当x 1≠x 2,y 1≠y 2时,过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的直线方程为y -y 1
y 2-y 1
=x -x 1
x
2-x 1
B .点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)
C .直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D .经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0
10.(考点:圆的对称性的应用,★★)已知圆O 的方程为x 2+y 2-4x-1=0,则圆O ( ). A .关于点(2,0)对称 B .关于直线y=0对称 C .关于直线x+3y-2=0对称 D .关于直线x-y+2=0对称
11.(考点:双曲线的简单几何性质的应用,★★)已知双曲线E :x 24-y 2
12=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是双曲线右
支上的一点,则下列结论正确的是( ). A .|PF 1|-|PF 2|=4
B .双曲线E 的离心率是√3
C .|PF 1|的最小值是6
D .点P 到两渐近线的距离的乘积是3
12.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 且斜率为√3的直线l 与抛
物线C 交于A ,B 两点(点A 在第一象限),与抛物线的准线交于点D ,若|AF|=8,则下列结论正确的是( ). A .p=4
B .DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA
⃗⃗⃗⃗⃗ C .|BD|=2|BF| D .|BF|=4
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:抛物线的应用,★)已知抛物线y 2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y 2=16相切,则p 的值为 . 14.(考点:直线与圆的位置关系,★★)已知a ,b 为正实数,直线x+y+1=0截圆(x-a )2+(y-b )2=4所得的弦长为2√2,
则ab 的最大值为 .
15.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线C :x 24-y 2
b 2=1(b>0)的左、右顶点分别为A ,B ,点P 在双曲线C 上,且
直线PA 与直线PB 的斜率之积为1,则该双曲线C 的焦距为 .
16.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l :y=4x+b 截抛物线C 所得的
弦长为17,设点A 为抛物线C 上的动点,点B (2,6),过点A 作抛物线C 的准线l 1的垂线,垂足为D ,则p 的值为 ,|AB|+|AD|的最小值为 .
答案解析：
1.(考点:直线的斜率与倾斜角的关系,★)下列命题中,正确的是( ). A .若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大 B .若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α C .若直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是α
D .当直线的倾斜角α∈[0,π
2)∪(π
2
,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增
【解析】当直线的倾斜角α∈[0,π
2)∪(π
2
,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故A 错误,D 正确;
当α=π
2时,斜率不存在,故B 错误;只有当α∈[0,π
2)∪(π
2,π)时,直线的倾斜角才是α,故C 错误.故选D . 【答案】D
2.(考点:求直线的方程,★)已知直线l 过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l 的方程是( ). A .3x+2y-1=0 B .3x+2y+7=0 C .2x-3y+5=0 D .2x-3y+8=0
【解析】因为直线2x-3y+4=0的斜率为2
3
,所以直线l 的斜率为-3
2
,
所以直线l 的方程为y-2=-3
2(x+1),即3x+2y-1=0. 【答案】A
3.(考点:椭圆的标准方程,★)“-1<m<3”是“方程x 2
m+1+y 2
7-m =1表示椭圆”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
【解析】因为方程x 2
m+1+y 2
7-m =1表示椭圆,所以{m +1>0,
7-m >0,m +1≠7-m ,
解得-1<m<3或3<m<7.故“-1<m<3”是“方程
x 2m+1+y 2
7-m =1表示椭圆”的充分不必要条件. 【答案】A
4.(考点:求双曲线的渐近线方程,★)若双曲线x 2a
2-y 2
b
2=1(a>0,b>0)的离心率为5
3
,则该双曲线的渐近线方程为
( ). A .y=±4
5x B .y=±5
4x C .y=±4
3
x D .y=±3
4
x
【解析】因为双曲线的离心率为53,即e=c a =5
3, 所以c=5
3a ,
又c 2=a 2+b 2,所以b=43
a ,所以
b a =4
3
,
所以该双曲线的渐近线方程为y=±4
3x. 【答案】C
5.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,√3),且双曲线的一个焦点在
抛物线y 2=4√7x 的准线上,则该双曲线的方程为( ). A .x 221-y 2
28
=1 B .x 228-y 2
21
=1
C .x 23-y 24=1
D .x 24-y 2
3=1
【解析】由题意可得√3=2b
a . ①
因为抛物线y 2=4√7x 的准线是x=-√7,所以c=√7,即a 2+b 2=c 2=7. ② 联立①②,解得{a =2,
b =√3,
所以双曲线的方程为x 24-y 2
3=1. 【答案】D
6.(考点:求双曲线的离心率,★★)已知双曲线C :x 2a 2-y 2
b 2=1(a>0,b>0),以点P (b ,0)为圆心,a 为半径作圆P ,圆P 与双
曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若∠MPN=90°,则双曲线C 的离心率为( ).
A .√2
B .√3
C .√5
2 D .√7
2
【解析】设双曲线C 的一条渐近线为bx-ay=0,且与圆P 交于M ,N 两点,
因为∠MPN=90°,所以圆心P 到直线bx-ay=0的距离为2
√a 2+b
2=b 2c =√22a ,即2c 2-2a 2=√2ac ,因为e=c
a >1,解得e=√2.
【答案】A
7.(考点:抛物线定义的应用,★★)已知F 是抛物线x 2=6y 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=9,则线段
AB 的中点到x 轴的距离为( ). A .3 B .9
2 C .4 D .3
2
【解析】由题意可得F (0,3
2),抛物线的准线方程为y=-3
2.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|=y 1+y 2+3=9,解得y 1+y 2=6,
∴线段AB 中点的纵坐标为3,
即线段AB 的中点到x 轴的距离为3. 【答案】A
8.(考点:点差法的应用,★★★)已知椭圆x 236
+y 2
9=1的一条弦被点A (4,2)平分,则此弦所在的直线方程是( ).
A .x-2y=0
B .x+2y=4
C .2x+3y=14
D .x+2y=8
【解析】设过点A 的直线与椭圆相交于E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)两点,
则有x 1236+y 129=1,x 2236+y 2
2
9=1,
两式相减得
(x 1-x 2)(x 1+x 2)36
+
(y 1-y 2)(y 1+y 2)
9
=0.
又∵A 为弦EF 的中点,且A (4,2),∴x 1+x 2=8,y 1+y 2=4,
∴836(x 1-x 2)+4
9(y 1-y 2)=0, ∴k EF =y 1-y 2x 1
-x 2
=-1
2,
∴过点A 且被该点平分的弦所在直线的方程是y-2=-1
2(x-4),即x+2y-8=0.
【答案】D
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对
的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:直线方程的应用,★★)下列说法正确的是( ). A .当x 1≠x 2,y 1≠y 2时,过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的直线方程为y -y 1
y 2-y 1
=x -x 1
x
2-x 1
B .点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)
C .直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D .经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 【解析】对于A,当x 1≠x 2,y 1≠y 2时,过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的直线方程为y -y 1
y
2-y 1
=x -x 1
x
2-x 1
,故A 正确;
对于B项,点(0,2)与(1,1)的中点坐标为(1
2,3
2
),满足直线方程y=x+1,并且两点连线的斜率为-1,所以点(0,2)关于
直线y=x+1的对称点为(1,1),所以B正确;
对于C项,直线x-y-2=0在两坐标轴上的截距分别为2,-2,故直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是1
2×2×2=2,所以C正确;
对于D项,经过点(1,1),且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0或y=x,所以D不正确.
【答案】ABC
10.(考点:圆的对称性的应用,★★)已知圆O的方程为x2+y2-4x-1=0,则圆O().
A.关于点(2,0)对称
B.关于直线y=0对称
C.关于直线x+3y-2=0对称
D.关于直线x-y+2=0对称
【解析】x2+y2-4x-1=0⇒(x-2)2+y2=5,所以圆心O的坐标为(2,0).
对于A项,圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,所以A选项正确;
对于B项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,所以B选项正确;
对于C项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线x+3y-2=0过圆心,所以C选项正确;
对于D项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线x-y+2=0不过圆心,所以D选项不正确.
【答案】ABC
11.(考点:双曲线的简单几何性质的应用,★★)已知双曲线E:x2
4-y2
12
=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右
支上的一点,则下列结论正确的是().
A.|PF1|-|PF2|=4
B.双曲线E的离心率是√3
C.|PF1|的最小值是6
D.点P到两渐近线的距离的乘积是3
【解析】由双曲线E:x 2
4-y2
12
=1,得a2=4,b2=12,c2=a2+b2=16,解得a=2,b=2√3,c=4,
由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=4,所以A正确;
离心率e=c
a =4
2
=2,所以B错误;
当点P在右顶点时,|PF1|取得最小值,即|PF1|min=a+c=6,所以C正确;
因为双曲线的渐近线方程为y=±b
a
x=±√3x,
设点P(x0,y0),则x02
4-y02
12
=1,即3x02-y02=12,
则点P 到直线y=√3x 和y=-√3x 的距离的乘积为|√3x 0-y 0|
2
×
|√3x 0+y 0|2
=
|3x 02-y 0
2|4
=124
=3,所以D 正确.
【答案】ACD
12.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 且斜率为√3的直线l 与抛
物线C 交于A ,B 两点(点A 在第一象限),与抛物线的准线交于点D ,若|AF|=8,则下列结论正确的是( ). A .p=4
B .DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA
⃗⃗⃗⃗⃗ C .|BD|=2|BF| D .|BF|=4 【解析】如图所示,
分别过点A ,B 作抛物线C 的准线m 的垂线,垂足分别为点E ,M.
抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ,则|PF|=p ,由于直线l 的斜率为√3,其倾斜角为60°,又∵AE ∥x 轴,∴∠
EAF=60°,由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则△AEF 为等边三角形,
∴∠EFP=∠AEF=60°,则∠PEF=30°,
∴|AF|=|EF|=2|PF|=2p=8,解得p=4,故A 选项正确;
∵|AE|=|EF|=2|PF|,又PF ∥AE ,∴F 为AD 的中点,则DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA
⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 选项正确; ∵∠DAE=60°,∴∠ADE=30°,∴|BD|=2|BM|=2|BF|,故C 选项正确; ∵|BD|=2|BF|,∴|BF|=1
3|DF|=1
3|AF|=8
3,故D 选项错误.
【答案】ABC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:抛物线的应用,★)已知抛物线y 2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y 2=16相切,则p 的值为 . 【解析】抛物线的准线方程为x=-p
2
,准线与圆相切,则3+p
2
=4,解得p=2.
【答案】2
14.(考点:直线与圆的位置关系,★★)已知a ,b 为正实数,直线x+y+1=0截圆(x-a )2+(y-b )2=4所得的弦长为2√2,
则ab 的最大值为 .
【解析】由题意可得圆心(a ,b )到直线x+y+1=0的距离d=√22-(2√22)2
=√2,故√
2
=√2.
又a ,b 为正实数,故a+b=1,所以ab ≤(
a+b 2
)2=14,当且仅当a=b=1
2时取等号.
【答案】1
4
15.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线C :x 24-y 2
b
2=1(b>0)的左、右顶点分别为A ,B ,点P 在双曲线C 上,且
直线PA 与直线PB 的斜率之积为1,则该双曲线C 的焦距为 . 【解析】由双曲线方程可知A (-2,0),B (2,0), 设P (x 0,y 0),则k PA ·k PB =y 0
x
+2·y 0
x
-2=y 0
2x 0
2-4
=1,即x 02-y 02
=4. 又x 024-y 0
2b 2=1,∴b 2=4,∴c 2=a 2+b 2=8,∴双曲线C 的焦距2c=4√2. 【答案】4√2
16.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l :y=4x+b 截抛物线C 所得的
弦长为17,设点A 为抛物线C 上的动点,点B (2,6),过点A 作抛物线C 的准线l 1的垂线,垂足为D ,则p 的值为 ,|AB|+|AD|的最小值为 .
【解析】抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为(p
2,0),直线l 过焦点,故b=-2p ,即直线l :y=4x-2p.
设直线l 与抛物线C 交点的横坐标分别为x 1,x 2,联立{y 2=2px ,
y =4x -2p ,
得8x 2-9px+2p 2=0,所以x 1+x 2=98p ,
故x 1+x 2+p=17
8
p=17,解得p=8,所以y 2=16x.
易知点B (2,6)在抛物线外,所以|AB|+|AD|=|AB|+|AF|≥|BF|=2√10,当B ,A ,F 三点共线时等号成立. 【答案】8 2√10。