2022-2023 学年北师大版八年级数学上册尖子生同步培优试题：专题1

2022-2023 学年北师大版八年级数学上册尖子生同步培优试题
专题 1.2一定是直角三角形吗
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米
黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春•和平区校级期中）以下列各组线段为边，能组成直角三角形的是（）
A．6cm，12cm，13cm C．8cm，6cm，9cm B．cm，1cm，cm D．1.5cm，2cm，2.5cm
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，从而可以解答本题．
【解析】62+122≠132，故选项A不符合题意；
（）2+12≠（）2，故选项B不符合题意；
62+82≠92，故选项C不符合题意；
1.52+22＝
2.52，故选项D符合题意；
故选：D．
2．（2020秋•新都区期末）下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（）
A．9，12，15 B．7，24，25 C．15，36，39 D．12，15，20
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条边的长度能否构成直角三角形，从而可以解答本题．
【解析】92+122＝152，故选项A不符合题意；
72+242＝252，故选项B不符合题意；
152+362＝392，故选项C不符合题意；
122+152≠202，故选项D符合题意；
故选：D．
3．（2021春•海淀区校级期中）满足下列关系的三条线段a，b，c组成的三角形一定是直角三角形的是（）A．a＜b+c B．a＞b﹣c C．a＝b＝c D．a2＝b2+c2
【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【解析】A．如a＝3，b＝4，c＝6，符合a＜b+c，但是此时三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．如a＝3，b＝6，c＝4，符合a＜b+c，但是此时三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．如a＝b＝c＝2，三角形是等边三角形，但不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵a2＝b2+c2，
∴三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（2021春•蜀山区校级期中）下列条件中，不能判定ABC为直角三角形的是（
A．a：b：c＝5：12：13
）
B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
C．a＝9k，b＝40k，c＝41k（k＞0）
D．a＝32，b＝42，c＝52
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解析】A、因为a：b：c＝5：12：13，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝2：3：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°90°，故△ABC
是直角三角形；
C、因为（9k）2＝（41k）2﹣（40k）2，故△ABC是直角三角形；
D、因为（32）2＝（52）2﹣（42）2，故△ABC不是直角三角形．
故选：D．
5．（2021春•越秀区校级期中）下列各组数中，能称为勾股数的是（A．1，，2 B．1.5，2.5，2 C．9，12，15
）D．4，5，6
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解析】A、不是正整数，该组数不是勾股数，不符合题意．
B、1.5，2.5不是正整数，该组数不是勾股数，不符合题意．
C、由于92+122＝152，所以该数是勾股数，符合题意．
D、由于42+52≠62，所以该组数不是勾股数，不符合题意．
故选：C．
6．（2021春•路南区校级月考）已知a，b，c分别为△ABC的三边长，则符合下列条件的△ ABC中，直角三角形有（）
（1）a ，b ，c ；（2）a2＝（b+c）（b﹣c）；（3）∠A：∠B：∠C＝3：4：5；（4）a＝7，b ＝24，c＝25；（5）a＝2，b＝2，c＝4．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理进行逐项分析解答即可．
【解析】（1）由 a ，b ，c 可得，a2≠b2+c2，故△ABC不是直角三角形；
（2）由a2＝（b+c）（b﹣c）可得，a2+c2＝b2，故△ABC是直角三角形；
（3）由∠A：∠B：∠C＝3：4：5可得，∠C＝180°75°＜90°，故△ABC不是直角三角形；
（4）由a＝7，b＝24，c＝25可得，c2＝a2+b2，故△ABC为直角三角形；
（5）由a＝2，b＝2，c＝4可得，a+b＝c，故不能构成三角形．
故选：A．
7．（2021春•庐阳区校级期中）△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（）A．锐角三角形
B．以c为斜边的直角三角形
C．以b为斜边的直角三角形
D．以a为斜边的直角三角形
【分析】由题意可知：c2+b2＝a2，此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理．
【解析】由题意，a2﹣b2＝c2，
∴b2+c2＝a2，
此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理，
所以此三角形是以a为斜边的直角三角形．
故选：D．
8．（2021春•海珠区校级月考）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，AB＝5，BC＝12，CA ＝13，则下列结论不正确的是（）
A．△ABC是直角三角形，且AC为斜边
B．△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°
C．△ABC的面积是 30
D．△ABC是直角三角形，且∠C＝30°
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式解答即可．
【解析】∵AB＝5，BC＝12，CA＝13，
∴AB2＝25，BC2＝144，CA2＝169，
∴AB2+BC2＝CA2，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠B的对边为13最大，所以AC为斜边，∠ABC＝90°，
∴△ABC的面积是5×12＝30，
∵AB不等于AC的一半，
∴△ABC是直角三角形，但∠C≠30°，
故错误的选项是D，
故选：D．
9．（2021•玉州区模拟）已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b＝10，ab＝18，c＝8，则该三角形的形状是（）
A．等腰三角形C．钝角三角形B．直角三角形D．等腰直角三角形
【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．
【解析】∵c＝8，
∴c2＝64，
∵（a+b）2﹣2ab
＝100﹣36
＝64，
∴a2+b2＝c2，
∴此三角形是直角三角形．
故选：B．
10．（2021春•武昌区期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝24时，b+c的值为（）
a 6
8 8 10 12
35
37
14
48
…
…
…
b c
15
17
24
10 26 50
A．250 B．288 C．300 D．574
【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出b、c的值，再求出答案即可．
【解析】从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，•••，即24＝2×（10+2），b依次为8，15，24，35，48，•••，即当a＝24时，b＝122﹣1＝143，
c依次为10，17，26，37，50，•••，即当a＝24时，c＝122+1＝145，
所以当a＝24时，b+c＝143+145＝288，
故选：B．
二、填空题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021春•开福区期中）已知△ABC中，AC＝8，AB＝10，BC＝6，D是AB的中点，则CD＝5．【分析】根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出CD AB ，再求出答案即可．
【解析】
∵AC＝8，AB＝10，BC＝6，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵D为AB的中点，
∴CD AB 5，
故答案为：5．
12．（2021春•娄星区校级期中）△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件中能判断出是△ABC直角三角形的有（2）（3）（4）（5）．
（1）∠A：∠B：∠C＝3：4：5；（2）a：b：c＝5：4：3；（3）a2+b2＝c2；（4）∠A＝90°﹣∠B；（5）∠A+∠B＝∠C．
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断（2）（3），根据三角形内角和定理即可判断（1）（4）（5）．【解析】（1）∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C 180°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形；
（2）∵a：b：c＝5：4：3，
∴b2+c2＝a2，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（4）∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（5）∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
所以能判断出是△ABC直角三角形的有（2）（3）（4）（5），
故答案为：（2）（3）（4）（5）．
13．（2021春•广州校级期中）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，点D为BC的中点，则线段AD的长为．
【分析】根据勾股定理逆定理可证明△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半即可求解．
【解析】∵52+122＝132，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∵D为BC的中点，
∴AD BC ．
故答案为：．
14．（2021春•海珠区月考）若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是．
【分析】首先根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算出斜边上的高即可．
【解析】∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，
设最长边上的高为hcm，
根据三角形的面积公式得，5×12 13×h，
解得：h ．
故答案为：．
15．（2020秋•宝应县期末）已知△ABC的三边长分别为6、8、10，则最长边上的高为．【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断△ABC的形状，再根据等积法即可得到最长边上的高．
【解析】∵△ABC的三边长分别为6、8、10，62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，斜边长为10，
∴最长边上的高为：，
故答案为：．
16．（2020秋•朝阳区期末）如图所示的正方形网格中，A，B，C，D，P是网格线交点．若∠APB＝α，则∠BPC的度数为90°﹣α（用含α的式子表示）．
【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．
【解析】∵AP2＝32+32＝18，AC2＝36，PC2＝32+32＝18，
∴AC2＝AP2+PC2，
∴∠APC＝90°，
∴∠BPC＝∠APC﹣∠APB＝90°﹣α，
故答案为：90°﹣α．
17．（2020秋•南关区校级期末）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为45°．
【分析】连接AC，利用勾股定理计算出AC2、BC2、AB2，然后利用勾股定理逆定理可判断出△ABC是直角三角形，进而可得答案．
【解析】连接AC，
由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，
BC2＝22+12＝5，
AB2＝12+32＝10，
∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
故答案为：45．
18．（2020秋•章丘区期末）在如图所示的方格中，连接格点AB、AC，则∠1+∠2＝45度．
【分析】根据勾股定理分别求出AD2、DE2、AE2，根据勾股定理的逆定理得到△ADE为等腰直角三角形，得到∠DAE＝45°，结合图形计算，得到答案．
【解析】由勾股定理得，AD2＝22+12＝5，DE2＝22+12＝5，AE2＝32+12＝10，
则AD2+DE2＝AE2，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°，
∴∠GAD+∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
故答案为：45．
三、解答题（本大题共 6小题，共 46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春•合川区校级月考）如图，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AD＝8，BD＝17，求△ABD的面积．
【分析】先根据∠C＝90°及AC、BC的长可求出AB的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，利用三角形的面积公式即可求解．
【解析】∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，
∴AB2＝AC2+CB2，
∴AB＝15．
∵AD＝8，BD＝17，
∴DB2＝AD2+AB2，
∴∠DAB＝90°，
∴△ABD的面积AB×AD＝60．
答：△ABD的面积为 60．
20．（2021春•天心区期中）如图是由边长均为 1的小正方形组成的网格，点 A，B，C都在格点上，∠BAC 是直角吗？请说明理由．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解析】∠BAC是直角．理由如下：
∵AB2＝12+22＝5，
AC2＝22+42＝20，
BC2＝52＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
∴∠BAC是直角．
21．（2021•海曙区模拟）如图，在 8×4的正方形网格中，按△ABC的形状要求，分别找出格点 C，且使 BC ＝5，并且直接写出对应三角形的面积．
【分析】利用勾股定理按△ABC的形状要求，分别找出格点 C，画出△ABC，根据正方形网格的特点计算出对应三角形的面积即可．
【解析】如图：
钝角三角形的面积：直角三角形的面积：钝角三角形的面积：5×4＝10；5×5＝12.5；6×4＝12．
故答案为：10，12.5，12．
22．（2020秋•沙县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是 AB上一点，BD＝9，CD＝12．（1）求证：CD⊥AB；
（2）求 AC长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，
∴BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2,
∴∠CDB＝90°,
∴CD⊥AB；
(2)解：∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+9,
∵∠ADC＝90°,
∴AC2＝AD2+CD2,
∴(AD+9)2＝AD2+122,
∴AD ∴AC ,
9 ．
23．（2020秋•高邮市期末）如图，已知等腰△ABC的底边 BC＝13cm，D是腰 BA延长线上一点，连接 CD，且 BD＝12cm，CD＝5cm．
（1）判断△BDC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出答案即可；
（2）根据勾股定理求出 AC，再求出△ABC的周长即可．
【解析】（1）△BDC是直角三角形，
理由是：∵BC＝13cm，BD＝12cm，CD＝5cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠D＝90°，
即△BDC是直角三角形；
（2）设 AB＝AC＝xcm，
在 Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，
即（12﹣x）2+52＝x2，
解得：x ，
∴AB＝AC （cm），
∵BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC 13 （cm）．
24．（2020秋•内江期末）如图，△ABC中，BC的垂直平分线 DE分别交 AB、BC于点 D、E，且 BD2﹣DA2 ＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若 AB＝8，AD：BD＝3：5，求 AC的长．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得 CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；（2）首先确定 BD的长，进而可得 CD的长，再利用勾股定理进行计算即可．
【解析】（1）证明：连接 CD，
∵BC的垂直平分线 DE分别交 AB、BC于点 D、E，
∴CD＝DB，
∵BD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，
∴AD＝3，BD＝5，
∴DC＝5，
∴AC 4．
专题 1.2 一定是直角三角形吗
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 100 分，试题共 24 题，选择 10 道、填空 8 道、解答 6 道．答卷前，考生务必用 0.5 毫 米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
1．（2021 春•和平区校级期中）以下列各组线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A ．6cm ，12cm ，13cm C ．8cm ，6cm ，9cm
B ． cm ，1cm ， cm D ．1.5cm ，2cm ，2.5cm
2．（2020 秋•新都区期末）下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ A ．9，12，15 B ．7，24，25 C ．15，36，39 D ．12，15，20
3．（2021春•海淀区校级期中）满足下列关系的三条线段a ，b ，c 组成的三角形一定是直角三角形的是（ A ．a ＜b+c B ．a ＞b ﹣c C ．a ＝b ＝c
D ．a 2＝b 2+c 2 ） ） 4．（2021 春•蜀山区校级期中）下列条件中，不能判定 ABC 为直角三角形的是（ A ．a ：b ：c ＝5：12：13 ）
B ．∠ A ：∠ B ：∠
C ＝2：3：5 C ．a ＝9k ，b ＝40k ，c ＝41k （k ＞0）
D ．a ＝32，b ＝42，c ＝52
5．（2021 春•越秀区校级期中）下列各组数中，能称为勾股数的是（ ） A ．1， ，2 B ．1.5，2.5，2 C ．9，12，15
D ．4，5，6
6．（2021 春•路南区校级月考）已知 a ，b ，c 分别为△ ABC 的三边长，则符合下列条件的△ ABC 中，直 角三角形有（ ） （1）a
；（2）a 2＝（b+c ）（b ﹣c ）；（3）∠ A ：∠ B ：∠ C ＝3：4：5；（4）a ＝7，
b ＝24，
c ＝25； （5）a ＝2，b ＝2，c ＝4．
A ．2 个
B ．3 个
C ．4 个 ，b
，c
D ．5 个
7．（2021 春•庐阳区校级期中）△ ABC 的三边为 a ，b ，c 且（a+b ）（a ﹣b ）＝c 2，则该三角形是（ A ．锐角三角形
）
B．以 c 为斜边的直角三角形
C．以 b 为斜边的直角三角形
D．以 a 为斜边的直角三角形
8．（2021 春•海珠区校级月考）△ ABC 中，∠ A、∠ B、∠ C 的对边分别是 a、b、c，AB＝5，BC＝12，CA＝13，则下列结论不正确的是（）
A．△ ABC 是直角三角形，且 AC 为斜边
B．△ ABC 是直角三角形，且∠ ABC＝90°
C．△ ABC 的面积是 30
D．△ ABC 是直角三角形，且∠ C＝30°
9．（2021•玉州区模拟）已知三角形的三边长分别为 a，b，c，且 a+b＝10，ab＝18，c＝8，则该三角
形的形状是（A．等腰三角形C．钝角三角形）
B．直角三角形
D．等腰直角三角形
10．（2021 春•武昌区期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当 a＝24 时，b+c 的值为（）
a b 6
8
8 10
24
12
35
37
14
48
…
…
…
15
17
c 10 26 50
A．250 B．288 C．300 D．574
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021 春• 开福区期中）已知△ ABC 中，AC＝8，AB＝10，BC＝6，D 是 AB 的中点，则 CD＝．
12．（2021 春•娄星区校级期中）△ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 所对的边分别为 a，b，c，下列条件中能判断出是△ ABC 直角三角形的有．
（1）∠ A：∠ B：∠ C＝3：4：5；（2）a：b：c＝5：4：3；（3）a2+b2＝c2；（4）∠ A＝90°﹣∠ B；
（5）∠ A+∠ B＝∠ C．
13．（2021 春•广州校级期中）如图，在△ ABC 中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，点 D 为 BC 的中点，则线段 AD 的长为．
14．（2021 春• 海珠区月考）若一三角形三边长分别为 5、12、13，则这个三角形长是 13 的边上的高是．
15．（ 2020秋• 宝应县期末）已知△ ABC的三边长分别为 6、8、10，则最长边上的高为．
16．（2020 秋•朝阳区期末）如图所示的正方形网格中， A，B，C，D，P 是网格线交点．若∠ APB＝α，则∠ BPC 的度数为（用含α的式子表示）．
17．（2020 秋•南关区校级期末）如图，每个小正方形的边长为 1，则∠ ABC 的度数为°．18．（2020 秋•章丘区期末）在如图所示的方格中，连接格点 AB、AC，则∠ 1+∠ 2＝度．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 46 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021 春•合川区校级月考）如图，∠ C＝90°，AC＝12，BC＝9，AD＝8，BD＝17，求△ ABD 的面积．
20．（2021 春•天心区期中）如图是由边长均为 1 的小正方形组成的网格，点 A，B，C 都在格点上，∠ BAC 是直角吗？请说明理由．
21．（2021•海曙区模拟）如图，在 8×4 的正方形网格中，按△ ABC 的形状要求，分别找出格点 C，且使BC＝5，并且直接写出对应三角形的面积．
22．（2020 秋•沙县期末）如图，在△ ABC 中，AB＝AC，BC＝15，D 是 AB 上一点，BD＝9，CD＝12．（1）求证：CD⊥AB；
（2）求 AC 长．
23．（2020 秋•高邮市期末）如图，已知等腰△ ABC 的底边 BC＝13cm，D 是腰 BA 延长线上一点，连接CD，且 BD＝12cm，CD＝5cm．
（1）判断△ BDC 的形状，并说明理由；
（2）求△ ABC 的周长．
24．（2020 秋•内江期末）如图，△ ABC 中，BC 的垂直平分线 DE 分别交 AB、BC 于点 D、E，且 BD2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠ A＝90°；
（2）若 AB＝8，AD：BD＝3：5，求 AC 的长．。