二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1)

集合、简易逻辑与不等式
一、 单选题
1．设有非空集合A 、B 、C ，若“a A ∈”的充要条件是“a B ∈且a C ∈”，则“a B ∈’是“a A ∈”的（ ）． A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】
先根据“a A ∈”的充要条件是“a B ∈且a C ∈”判断出()A B C =⋂，由此判断出A 是
B 的子集，从而判断出正确选项.
【详解】
由于“a A ∈”的充要条件是“a B ∈且a C ∈”，所以()A B C =⋂，所以A B ⊆，即若
a A ∈，则a B ∈，所以“a B ∈’是“a A ∈”的必要条件.
故选：B. 【点睛】
本小题主要考查充要条件的概念，考查用集合的观点理解充分、必要条件，属于基础题.
2．设约束条件1,5,1
2,
2y x y x y x ⎧
⎪≤+⎪≤-+⎨⎪⎪≥-+⎩
则1
y x +的最大值为（ ）
A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．4
【答案】D 【解析】
分析：画出可行域，
1
y x
+表示可行域里面的点(),x y 和()0,1-连线的斜率，由图可知25,33⎛⎫
⎪⎝⎭
和()0,1-连线的斜率最大，从而可得结果.
详解：
画出约束条件1,5,1
2,
2y x y x y x ⎧
⎪≤+⎪
≤-+⎨⎪⎪≥-+⎩
表示的可行域，如图所示
则
1
y x
+表示可行域里面的点(),x y 和()0,1-连线的斜率， 由图可知，可行域中的点25,33⎛⎫
⎪⎝⎭
和()0,1-连线的斜率最大， 最大值为4，故选D.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 3．“2
2a
b >”是“1
1
a b
<
”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】
试题分析：由指数函数2x
y =的单调性可知a b >，但由于,a b 的符号不能确定是否一致，所以22a
b >不能推出11a b <
，同理11a b
<也不能推出22a b >，所以“22a b >”是“
11
a b
<”的既不充分也不必要条件，故选D. 考点：充分条件与必要条件．
4．设x ，y 满足约束条件3603600x y x y y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数z x y =-的最小值是（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
【答案】A 【解析】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 结合目标还是的几何意义可知，目标函数在点33,22A ⎛⎫
⎪⎝⎭
处取得最小值， 其最小值为：min 33
022
z =-=. 本题选择A 选项.
点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.
5．若不等式210x kx k -+->对()1,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞
【答案】B 【解析】
不等式210x kx k -+->可化为()2
11x k x ->-
∵()1,2x ∈
∴2
111x k x x
-<=+-
∴1y x =+是一个增函数 ∴112k +=…
∴实数k 取值范围是(−∞,2]. 故选：B.
6．下列不是全称量词的是（ ）． A ．任意一个 B ．所有的
C ．每一个
D ．很多
【答案】D 【解析】 【分析】
根据全称量词的定义可判断得出选项. 【详解】
很明显A ，B ，C 中的量词均是全称量词，D 中的量词不是全称量词． 故选：D . 【点睛】
本题考查全称量词的定义，属于基础题.
7．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） A ．充分条件 B ．必要条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分也非
必要条件 【答案】B 【解析】
根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B ． 【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题。

二、填空题 8．不等式
501
x
x -≥-的解集是__________. 【答案】{}|15x x <≤ 【解析】
试题分析：原不等式化为55
0,011
x x x x -+-≥≤--，解得15x <≤. 考点：分式不等式.
9．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,4,5B =，则A B =I ______________. 【答案】{}2,4 【解析】
因为集合{1,2,3,4}A =，{2,4,5}B =，所以A B =I {2,4}，故填{}2,4.
点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．
10．已知集合{}{}{}2,3,1,,2,A B a A B A B ==⋂=⋃=若则 ． 【答案】{}1,2,3 【解析】 试题分析：因为
{}{}{}{}{}
2,3,1,,2,2,1,21,3,2A B a A B B B A B ==⋂=∴∈=⋃=Q 则
考点：本试题考查集合的交集、并集运算。

点评：解决该试题的关键是利用集合的交集中的公共元素来求解参数a 的值，然后结合交集和并集的概念来求解运算，属于基础题。

11．若集合{}3A x x =>，集合{}
B x x a =≥，且B A Ü，则a 的取值范围是______． 【答案】3a > 【解析】 【分析】
根据绝对值不等式得出集合A ，由B A Ü可得出a 的取值范围. 【详解】
由3x >得3x >或3x <-，所以()(),33,A =-∞-⋃+∞，因为{}
B x x a =≥，所以要使B A Ü，则需3a >，示意图如下图所示：
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法和集合间的包含关系，运用数形结合的思想是解决此类问
题的常用方法，属于基础题.
12．若,x y 满足约束条件10:3030x y x y x -+≥⎧⎪
Ω+-≥⎨⎪-≤⎩
，则(,)x y ∀∈Ω，都有2260
ax y a -+-≥成立；则a 的取值范围是__________. 【答案】10.3
a ≥ 【解析】 【分析】
根据约束条件画出可行域，设()()226223z ax y a a x y =-+-=+-+，再利用z 的几何意义求最小值大于等于0，可求得a 的范围. 【详解】
根据约束条件画出可行域如图所示，根据题意设
()()226223z ax y a a x y =-+-=+-+，则目标直线过定点()2,3--，由图像可知，
当目标函数过点()1,2C 时取到最小值，对(),x y ∀∈Ω，都有2260ax y a -+-≥成立，故()()10
122230,.3
a a +-+≥∴≥ 即答案为10.3
a ≥. 【点睛】
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．
13．设集合{}24A =，
，{}
2
2(B a =，其中0)a <，若A B =，则实数a =____． 【答案】2-. 【解析】 【分析】
根据集合相等的概念得到a 的方程，解方程即得结果. 【详解】
因为A=B,所以24
, 2.0
a a a ⎧=∴=-⎨
<⎩故答案为：2- 【点睛】
本题主要考查集合相等的概念，集合中求出参数的值之后，一定要代入原题检验，保证参数的值满足已知的每一个条件和集合元素的互异性. 14．已知1a >，当a =________时，代数式2
1
a a +
-有最小值.
【答案】1【解析】 【分析】 先将2
1a a +
-变形为2111
a a -+
+-，根据均值定理，不等式
2
11111a a -+
+≥=-等号成立的条件是211a a -=
-，解方程，即可. 【详解】
1a >Q 2
10,
01
a a ∴->>-
22
111111a a a a ∴+
=-++≥=-- 当且仅当2
11
a a -=
-时，等号成立.
即1a =1a =-2
1
a a +
-有最小值.
1a ∴=+
故答案为：1+【点睛】
本题考查均值定理的取等条件，属于较易题.
15．“常数列是等差数列”是________命题；“常数列是等比数列”是________命题．(填“真”或“假”)
【答案】真假
【解析】
【分析】
由等差数列定义知常数列的公差为0，常数列的项为0时不是等比数列. 【详解】
“常数列是等差数列”是真命题，此时等差数列的公差为0；
“常数列是等比数列”是假命题，当数列为常数0时不是等比数列．
【点睛】
本题主要考查了等差等比的定义，需要注意等比数列的项不能出现0.
16．已知x，y满足
1
4
x
x y
ax by c
≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪++≤
⎩
，且目标函数2
z x y
=+的最大值为7，最小值
为4，则a b c
a
++
=________．
【答案】2
-
【解析】
【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．
【详解】
画出可行域如图：
由题意得：
目标函数z＝2x+y在点B取得最大值为7，
在点A处取得最小值为1，
∴A（1，﹣1），B（3，1），
∴直线AB的方程是：x﹣y﹣2＝0，
∴则a b c
a
++
=-2．
故答案为：﹣2． 【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题．
三、解答题
17．设集合,A B 是非空集合M 的两个不同子集．
（1）若{}12,M a a =，且A 是B 的子集，求所有有序集合对(),A B 的个数； （2）若{}123,,,...,n M a a a a =，且A 的元素个数比B 的元素个数少，求所有有序集合对(),A B 的个数．
【答案】（1）5（2）
2222
n n
n
C - 【解析】 【分析】
（1）分集合B 含有2个元素或1个元素进行讨论分析，根据定义，利用列举法即可得到结果；（2）根据有序集合对的定义，
()()()()
001122111...1n n n n n n n n n n C C C C C C C C -+-+-++- ()()()
()()
222
2
01
2
012......n
n
n
n
n
n
n n n n
C C C C C
C C C =++++-++++，利用二项式定理可得结果 ． 【详解】
（1）若集合B 含有2个元素，即{}12,B a a =， 则A ＝∅，{}{}12,a a ，则(A ，B)的个数为3；
若集合B 含有1个元素，则B 有1
2C 种，不妨设{}1B a =，则A ＝∅，
此时(A ，B)的个数为1
2C ×1＝2.
综上，(A ，B)的个数为5. （2）集合M 有2n 子集，又集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集， 则不同的有序集合对(A ，B)的个数为()
2
2
1n
n
-，
若A 的元素个数与B 的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A ，B)的个数为
()()()()
001122111...1n n
n n n n n n n n C C C C C C C C -+-+-++-
()()()
()()
222
2
1
2
012......n
n
n
n
n
n
n n n n
C C C C C
C C C =++++-++++， 又()
()11n
n
x x ++的展开式中n x 的系数为()()()()2
2
2
2
01
2...n n n n n C C C C ++++，
且()
()
()2111n
n
n
x x x ++=+的展开式中n x 的系数为2n
n C ，
()()()
()
2
2
2
2
1
2
2...n
n
n
n
n
n
n
C C C C C ∴++++=， 012...2n
n n n n n C C C C ++++=Q ，所以当A 的元素个数与B 的元素个数一样多时， 有序集合对(A ，B)的个数为22n n
n C -，
所以，A 的元素个数比B 的元素个数少时，有序集合对(A ，B)的个数为
()(
)2222212
2
2
2
n n n n
n
n
n n C C ----= . 【点睛】
本题考查集合的概念与运算、二项式定理的应用、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
18．非空集合()(){}
2
|312310A x x a x a =-++-<，集合
(){}
223|220B x x a a x a a =-++++<
（Ⅰ）当3a =时，求A B I ；
（Ⅱ）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（I ）{}|38A B x x =<<I ；（Ⅱ）(]1,11,22⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
U 【解析】 【分析】
（I ）当3a =时，解一元二次不等式求得集合,A B ，由此求得两个集合的交集. （II ）解一元二次不等式求得集合B ，根据q 是p 的必要条件得到A B ⊆，对a 分成
1,1,1a a a =><三种情况进行分类讨论，由此求得a 的取值范围.
【详解】
（I ）当3a =时，{}2|10160A x x x =-+<()(){}
|280x x x =--< {}|28x x =<<；
{}2|14330B x x x =-+<()(){}|3110x x x =--<
{}|311x x =<<；
故{}|38A B x x =<<I .
（Ⅱ）()(){}|2310A x x x a =---<⎡⎤⎣⎦.
()(){}
2|20B x x a x a ⎡⎤=--+<⎣⎦. ∵22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝
⎭， ∴22a a +>.
∴{}
2|2B x a x a =<<+.
∵q 是p 的必要条件，∴A B ⊆.
①当1a =时，312a -=， A =∅，不符合题意；
②当1a >时，312a ->，
{}|231A x x a =<<-，要使A B ⊆，
需要212312a a a a >⎧⎪≤⎨⎪-≤+⎩
∴12a <≤.
③当1a <时，312a -<，
{}|312A x a x =-<<，要使A B ⊆，
需要213122a a a a <⎧⎪≤-⎨⎪≤+⎩
∴112
a ≤<. 综上所述，实数a 的范围是(]1,11,22⎡⎫
⎪⎢⎣⎭U .
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据必要条件求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
19．已知全集{|06}U x N x =∈<≤，集合{|15}A x N x =∈<<，集合
{|26}B x N x =∈<<．
求（1）()U C A B ⋃；
（2）()()U U C A C B ⋂．
【答案】（1）13456｛，，，，｝
（2）{}1,6 【解析】
试题分析：（1）本题考察的是集合的运算，先根据题目条件，找出集合,A B U 及，找出A 的补集，即可确定出两集合的并集。

（2）由（1）中确定出的,A B U 及，分别求出,A B 的补集，找出两补集的公共元素，即可得到所求答案。

试题解析：（Ⅰ）{}{}1
23456234156.U U A C A ==∴=Q ，，，，，，｛，，｝，，， {}345()13456.U B C A B =∴⋃=Q 又，，，｛，，，，｝
（Ⅱ）{}{}{}156126()()16.U U U U C A C B C A C B ==∴⋂=Q ，，，，，，，
考点：集合运算
20．设语句q (x )：cos ()2x π
-＝sin x ：
(1)写出q ()2π，并判定它是不是真命题；
(2)写出“∀a ∈R ，q (a )”，并判断它是不是真命题．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）直接将x 换成2
π代入命题即可，由三角函数值可验证命题为真； （2）由三角函数的诱导公式可知命题为真.
试题解析：
(1)q ：cos ＝sin ，
因为cos 0＝1，sin ＝1，
所以q 是真命题．
(2)∀a ∈R ，q (a )：cos ＝sin a ，
因为cos ＝cos
＝sin a ， 所以“∀a ∈R ，q (a )”是真命题．
21．若3x ≥不等式
(1)12a x x --＜恒成立，求实数a 的取值范围。

【答案】1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】
恒成立的条件下由于给定了x 的范围，故可考虑对a 进行分类，同时利用参变分离法求解a 的范围.
【详解】
由题意得
(1)0a ≤,3x ≥时，
102x x --＞ (1)12
a x x --＜恒成立 (2)0a ＞,等价于12
x a x --＜ 又2111112
x y x x -==-≥-- ∴12
a < ∴实数a 的取值范围是1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【点睛】
含有分式的不等式恒成立问题，要注意到分母的正负对于不等号的影响；若是变量的范围给出了，可针对于变量的范围做具体分析，然后去求解参数范围.
22．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3,5A =，{}3,5,6B =．
（Ⅰ）求A B I ；
（Ⅱ）求()U A B U ð．
【答案】（Ⅰ）{}3,5A B =I ;（Ⅱ）{}()3,4,5,6U A B =U ð
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据交集定义即可求出A B ⋂。

（Ⅱ）根据补集定义即可求出U A ð ，再根据并集定义可求出()U A B U ð .
试题解析：
解：（Ⅰ）{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3,5A =，{}3,5,6B =．
∴{}3,5A B ⋂=，
（Ⅱ）(){}4,6U A =ð，
∴(){}3,4,5,6U A B ⋃=ð。