高一数学人教A版必修四练习：第二章平面向量2.4.2含解析

( 本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题 ( 每题 5 分，共 20 分)
1．已知向量 a＝ ( 0，－ 2 3) ， b＝ ( 1，3) ，则向量 a 在 b 方向上的投影为 () A . 3 B ． 3
C．－ 3D．－3
向量 a 在 b 方向上的投影为a· b－ 6
分析：| b|＝2＝－3.选 D.
答案：D
2．设 x∈ R ，向量 a＝ ( x， 1) ， b＝ ( 1，－ 2) ，且 a⊥ b，则 | a＋ b| ＝ ()
A . 5 B. 10
C．2 5 D ．10
分析：由 a⊥b 得 a· b＝ 0，
∴x× 1＋ 1× ( － 2) ＝0，即 x＝2，
∴a＋ b＝ ( 3，－ 1) ，
∴| a＋ b| ＝32＋（－ 1）2＝ 10.
答案：B
3．已知向量a＝ ( 2， 1) ，b＝ ( － 1， k) ， a·(2a－ b) ＝ 0，则 k＝ ()
A．－ 12B．－ 6
C．6 D ．12
分析：2a－ b＝ ( 4， 2) － ( － 1，k) ＝ ( 5， 2－k) ，由 a·(2a－ b) ＝ 0，得 ( 2， 1) ·(5，2－ k) ＝ 0，∴ 10＋ 2－k＝ 0，解得 k＝ 12.
答案：D
4．a，b 为平面向量，已知 a＝( 4，3) ，2a＋b＝ ( 3，18) ，则 a，b 夹角的余弦值等于 () 8B．－
8
A. 6565
1616
C. 65D．－65
8＋ x＝ 3，x＝－ 5，分析：设 b＝ ( x，y) ，则 2a＋b＝ ( 8＋ x，6＋ y) ＝ ( 3，18) ，因此解得
y＝12，
6＋ y＝ 18，
a· b16
故 b＝ ( － 5， 12) ，因此 cos〈 a，b〉＝| a|| b|＝65.
答案：C
二、填空题 ( 每题 5 分，共 15 分)
5．已知 a＝ ( －1， 3) ， b＝ ( 1， t) ，若 ( a－ 2b) ⊥a，则 | b| ＝ ________．
分析：∵ a＝ ( － 1， 3) ， b＝ ( 1， t) ，∴a － 2b＝ ( －3 ， 3－ 2t) ．∵(a－ 2b) ⊥ a，∴(a －2b) ·a＝0，即 ( －3) × ( － 1) ＋ 3( 3－ 2t) ＝0，解得 t＝ 2，∴ b＝ ( 1，2) ，∴|b| ＝12＋ 22＝5.
答案：5
6．已知向量 a＝ ( 1， 3) ，2a＋b＝ ( － 1， 3) ，a 与 2a＋ b 的夹角为θ，则θ＝ ________．分析：∵ a＝( 1，3) ，2a＋b＝ ( － 1，3) ，∴|a| ＝2，| 2a＋ b| ＝ 2，a·(2a＋ b) ＝ 2，
a·（ 2a＋ b）1
，∴ θ＝π
∴cos θ＝
| a|| 2a＋ b|＝.
23
答案：π3
7．已知向量 a＝(3， 1) ， b 是不平行于x 轴的单位向量，且a· b＝ 3，则向量 b 的坐标为 ________．
1
分析：设 b＝( x，y)( y≠0) ，则依题意有
x2＋ y2＝ 1x＝2
，故 b＝
1 3 .
，解得32，2
3x＋y＝ 3
y＝2
答案：1， 3
22
三、解答题 ( 每题10 分，共20 分)
8．已知平面向量 a＝ ( 1，x) ， b＝ ( 2x＋ 3，－ x) ， x∈ R.
( 1) 若 a⊥ b，求 x 的值；
( 2) 若 a∥ b，求 | a－ b|.
分析：( 1) 若 a⊥ b，则 a· b＝ ( 1， x) ·(2x＋3，－ x) ＝1× ( 2x＋ 3) ＋ x( － x) ＝ 0，即 x2－ 2x－ 3＝ 0，解得 x＝－ 1 或 x＝ 3.
( 2) 若 a∥ b，则 1× ( － x) －x( 2x＋ 3) ＝0，
即 x( 2x＋4) ＝ 0，解得 x＝ 0 或 x＝－ 2.
当 x ＝ 0 时， a ＝ ( 1， 0) ， b ＝ ( 3， 0) ， a － b ＝( － 2， 0) ， | a － b| ＝ 2.
当 x ＝－ 2 时， a ＝ ( 1，－ 2) ， b ＝ ( －1， 2) ，
a －
b ＝( 2，－ 4) ， | a － b| ＝ 4＋ 16＝ 2 5.
9．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( 1， 4) ，B( － 2，3) ， C( 2，－ 1) ． ( 1) → →→ → ；
求AB ·AC 及| AB
＋AC|
( 2)
→ → →
设实数 t 知足 ( AB － tOC) ⊥ OC ，求 t 的值．
分析： → →
，
( 1) ∵AB ＝ ( －3，－ 1) ， AC ＝ ( 1，－ 5)
→ →
∴AB ·AC ＝－ 3× 1＋ ( － 1) ×( － 5) ＝2.
→ →
∵AB ＋ AC ＝ ( － 2，－ 6) ，
→ → 4＋ 36＝ 2 10.
∴| AB ＋ AC| ＝
→
→ →
→
| 2
→
→
(或| AB
|＝ |AB|2
＋| AC ＋2AB · AC
＝ 10＋ 26 ＋2×2
＋ AC
＝2 10)
→ → →
( 2) ∵AB － tOC ＝ ( － 3－ 2t ，－ 1＋ t) ， OC ＝ ( 2，－ 1) ， → → →
且 ( AB － tOC) ⊥ OC ，
→ → →
∴( AB － tOC) · OC ＝0，
∴( － 3－ 2t) ×2＋ ( － 1＋ t) ·(－ 1) ＝0，
∴t ＝－ 1.
能力测评
10．已知 A( －2， 1) ，B( 6，－ 3) ， C( 0， 5) ，则△ ABC 的形状是 ( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
分析：
→
→
→
→ →
由题设知 AB
，AC ＝ ( 2，4) ，BC ＝ ( － 6，8) ，∴ AB ·AC ＝ 2× 8＋ ( －
＝( 8，－ 4)
→
→
4) × 4＝ 0，即 AB ⊥ AC.
∴∠BAC ＝ 90°，
故 △ ABC 是直角三角形．
答案：
A
11．与向量 a＝7， 11，－7
的夹角相等，且模为 1 的向量是 ________．22， b＝22
a· e＝ b· e
分析：设知足题意的向量为e＝ ( x， y) ，则联立可求．
| e| ＝ 1，
答案：
4，－3或－4，3
5555
12．已知向量a＝ ( － 2，2) ， b＝ ( 5， k) ．
( 1) 若 a⊥ b，求 k 的值；
( 2) 若 | a＋ b| 不超出 5，求 k 的取值范围．
分析：( 1) ∵ a⊥ b，∴ a· b＝ 0，
即 ( － 2， 2) ·(5， k) ＝ 0，( － 2) × 5＋ 2k＝ 0? k＝
5. ( 2) a＋b＝ ( 3， 2＋ k) ，∵|a＋ b| ≤ 5，
∴| a＋ b| 2＝32＋( 2＋ k) 2≤ 25，得－ 6≤k≤ 2.
13．已知 a， b， c 是同一平面内的三个向量，此中a＝( 1， 2) ．( 1) 若 | c| ＝ 25，且 c∥a，求 c 的坐标；
( 2) 若 | b| ＝
5
，且 a＋2b 与 2a－ b 垂直，求 a 与 b 的夹角θ. 2
分析： ( 1) 设 c＝ ( x， y) ，∵|c| ＝ 25，∴ x2＋ y2＝ 2 5，∴x2＋ y2＝ 20.
由 c∥ a 和 | c| ＝ 2 5，
1· y－ 2· x＝ 0，x＝ 2，x＝－ 2，
可得解得或
x2＋ y2＝ 20，y＝ 4，y＝－ 4.
故 c＝ ( 2， 4) 或 c＝ ( － 2，－ 4) ．
( 2) ∵(a＋ 2b) ⊥(2a－ b) ，∴(a＋2b) ·(2a－ b) ＝ 0，
即 2a2＋ 3a· b－ 2b2＝ 0，
55
∴2× 5＋ 3a· b－ 2×4＝ 0，整理得a·b＝－2，
a· b
∴cos θ＝| a|| b|＝－ 1.
又θ∈[0，π] ，∴ θ＝π.。