决策单调性优化dp——四边形不等式

决策单调性优化dp——四边形不等式
决策单调性优化 dp——四边形不等式
所谓的决策单调性指的就是最优决策点是单调的。

例如 dp ⽅程：
\[f_i=\min\{f_j+w(i,j) \} \]
设 \(j_i\) 为 \(i\) 的最优决策点。

如果有 \(\forall i,\forall i'<i,j_{i'}\le j_i\) ，那么我们就称这个 dp 满⾜决策单调性。

上⾯这个⽅程，满⾜最优决策单调递增。

1 四边形不等式
如果定义在整数域⼆元函数 \(w(x,y)\) 满⾜ \(\forall a\le b\le c\le d\) ，有 \(w(a,c)+w(b,d)\le w(a,b)+w(c,d)\)
即左上⾓加右下⾓⼩于等于左下⾓加右上⾓。

1.1 四边形不等式等价形式
如果定义在整数域的⼆元函数 \(w(x,y)\) 满⾜ \(\forall a<b\) ，有 \(w(a,b)+w(a+1,b+1)\le w(a+1,b)+w(a,b+1)\)
那么其满⾜四边形不等式，同时满⾜四边形不等式的函数也满⾜上⾯这个性质。

证明：
⾸先四边形不等式推上⾯这个式⼦是显然的，所以我们证上⾯这个式⼦推四边形不等式。

\[\forall a< c,w(a,c)+w(a+1,c+1)\le w(a+1,c)+w(a,c+1)\\ \forall a+1< c,w(a+1,c)+w(a+2,c+1)\le w(a+1,c+1)+w(a+2,c)\\ \]
两个式⼦相加可以得到：
\[w(a,c)+w(a+2,c+1)\le w(a,c+1)+w(a+2,c) \]
上⾯式⼦可以推⼴：
\[w(a,c)+w(b,c+1)\le w(a,c+1)+w(b,c) \]
其中：
\[a<b\le c \]
令 \(b=a\) 发现式⼦显然成⽴，所以：
\[a\le b\le c \]
同理对 \(c\) 进⾏上⾯这个操作，我们就可以得到四边形不等式。

1.2 ⼀维线性 dp 四边形不等式优化
在转移⽅程中 \(f_i=\min\limits_{0\le j< i}\{f_j+w(j,i) \}\) 中 \(w\) 满⾜四边形不等式，那么 \(f\) 具有决策单调性。

证明：
我们继续使⽤上⾯的定义，因为 \(j_i\) 是 \(f_i\) 最优决策，所以有：
\[\forall j<j_i, f_{j_i}+w(j_i,i)\le f_j+w(j,i) \]
设 \(i'>i\) ，那么我们有 \(j<j_i<i<i'\)
我们对上⾯这个式⼦使⽤四边形不等式并移项可以得到：
\[w(j_i,i')-w(j_i,i)\le w(j,i')-w(j,i) \]
把这个与第⼀个式⼦相加，我们可以得到：
\[f_{j_i}+w(j_i,i')\le f_j+w(j,i') \]
也就是说，以 \(j_{i'}\ge f_i\) 。

注意其实决策范围是多少都没有关系，只要 \(w\) 有定义就可以。

常见的决策范围都是不超过 \(i\) 。

1.3 ⼆维 dp 四边形不等式优化
假设这个 dp 的转移⽅程式为 \(f_{i,j}=\min\limits_{i\le k<j}\{f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j) \}\)，特别地，\(f_{i,j}=w_{i,i}=0\) 即是⼀个区间 dp 的转移⽅程，那么如果下⾯两个条件成⽴：
\(w\) 满⾜四边形不等式。

对于任意的 \(a\le b\le c\le d\) ，有 \(w(a,d)\ge w(b,c)\) ，那么 \(f\) 也满⾜区间不等式。

证明：
当 \(i+1=j\) 的时候，\(f_{i,j+1}+f_{i+1,j}=f_{i,i+2}+f_{i+1,i+1}=f_{i,i+2}\)
注意到 \(f_{i,i+2}\) 只有两种决策，且 \(f_{i,i+1}=w(i,i+1)\)
若 \(f_{i,i+2}\) 的最优决策是 \(i+1\) ，那么
\[f_{i,i+2}=f_{i,i+1}+f_{i+2,i+2}+w(i,i+2)\\ =w(i,i+1)+w(i,i+2)\ge w(i,i+1)+w(i+1,i+2)\\ =f_{i+1,i+2}+f_{i,i+1}=f_{i+1,j+1}+f_{i,j} \]
其中第⼆⾏不等式是因为条件 \(2\) ，第三⾏需要注意 \(i+1=j\) 。

若 \(f_{i,i+2}\) 的最优决策是 \(i\) ，那么
\[f_{i,i+2}=f_{i,i}+f_{i+1,i+2}+w(i,i+2)\\=w(i+1,i+2)+w(i,i+2)\ge w(i+1,i+2)+w(i,i+1)\\ =f_{i+1,i+2}+f_{i,i+1}=f_{i+1,j+1}+f_{i,j} \]
其中第⼆⾏不等式是因为条件 \(2\) ，第三⾏需要注意 \(j+1=i\) 。

所以不管决策是什么，我们都可以得到：\(f_{i,j+1}+f_{i+1,j}\ge f_{i+1,j+1}+f_{i,j}\)
综上，我们可以得出：当 \(j+1=i\) 时，\(f\) 满⾜四边形不等式。

接下来我们使⽤归纳法，假设当 \(j-i<k\) 的时候四边形不等式对 \(f_{i,j}\) 成⽴，考虑 \(j-i=k\) 的情况，设 \(f_{i,j+1}\) 以 \(x\) 为最优决策，\(f_{i+1,j}\) 以 \(y\) 为最优决策。

不妨设 \(i+1\le x\le y\)，
根据最优性，我们有：
\[f_{i,j+1}+f_{i+1,j}=f_{i,x}+f_{x+1,j+1}+w(i,j+1)+f_{i+1,y}+f_{y+1,j}+w(i+1,j)\tag1 \]
因为对于 \(f_{i,j}\) 和 \(f_{i+1,j+1}\) \(x,y\) 可能并不是最优决策，所以我们有：
\[f_{i,j}+f_{i+1,j+1}\le f_{i,x}+f_{x+1,j}+w(i,j)+f_{i+1,y}+f_{y+1,j+1}+w(i+1,j+1)\tag{2} \]
因为 \(w\) 满⾜四边形不等式，所以 \(w(i,j+1)+w(i+1,j)\ge w(i,j)+w(i+1,j+1)\)
根据归纳假设，我们也有：
\[f_{x+1,j+1}+f_{y+1,j}\ge f_{x+1,j}+f_{y+1,j+1} \]
这是由于我们的不妨设。

所以我们⽐较⼀下 \((1)\) 式和 \((2)\) 式，不难得出：
\[f_{i,j+1}+f_{i+1,j}\ge f_{i,j}+f_{i+1,j+1} \]
我们现在关注⼀下不妨设，注意到 \(y\ge i+1\) 但是 \(x\ge i\) ，如果 \(x=i\) ，这样是平凡的。

因为这时 \(f_{i,j+1}=f_{i+1,j+1}\) ，我们很容易证明定理成⽴。

那么其实如果⽅程式不是区间 dp 的形式也可以类似证明。

我们现在证明这个东西他有决策单调性：即如果 \(f\) 满⾜四边形不等式，则 \(f\) 满⾜决策单调性，换句话说，如果记 \(p_{i,j}\) 为 \(f_{i,j}\) 的最优决策，那么对于任意 \(i<j\) ，有 \(p_{i,j-1}\le p_{i,j}\le p_{i+1,j}\)
证明：
记 \(p=p_{i,j}\) ，那么对于任意的 \(i< k\le p\) ，因为 \(f\) 满⾜四边形不等式，我们有：\(f_{i,p}+f_{i+1,k}\ge f_{i,k}+f_{i+1,p}\) ，移项可以得到：\(f_{i+1,k}-f_{i+ 1,p}\ge f_{i,k}-f_{i,p}\) ，
根据 \(p\) 的最优性，我们还有：\(f_{i,k}-f_{k+1,j}\ge f_{i,p}+f_{p+1，j}\) ，因此，我们有：
\[f_{i+1,k}+f_{k+1,j}+w(i+1,j)-f_{i+1,p}-f_{p+1,j}-w(i+1,j)\\ =f_{i+1,k}-f_{i+1,p}+f_{k+1,j}-f_{p+1,j}\\ \ge f_{i,k}-f_{i,p}+f_{k+1,j}-f_{p+1,j}\\ =f_{i,k}+f_{k+1,j}-f_{i,p} -f_{p+1,j}\ge 0 \]
这意味着，对于 \(f_{i+1,j}\) 来说 \(p\) ⽐任意 \(k<p\) 更优，因此可以证明：\(p_{i+1,j}\ge p_{i,j}\) ，同理有：
\(p_{i,j-1}\le p_{i,j}\)
1.3.1 ⼆维特例
在⽅程：\(f_{i,j}=\min\limits_{}f_{k,j-1}+w(k+1,i)\) 中有和上⾯类似的性质。

⼀般来说，在考试中，通常是打表找规律来发现决策单调性，多试⼏个数据，输出⼀下最优决策。

如果其他优化都试过了不妨打表找找规律。

但实际上可以证明上述 dp 也具有决策单调性。

不过考场上证明真的⼗分费时间，不如打表找规律。

1.4 四边形不等式例题
1.4.1 P3515 [POI2011]Lightning Conductor
\(\min\) 变 \(\max\) ，\(\le\) 变 \(\ge\) 。

这是⼀道⼀维的四边形不等式题⽬。

1.4.2 P1912 [NOI2009] 诗⼈⼩G
仍然是⼀维。

1.4.3 P4767 [IOI2000]邮局。