正方形专题复习【绝对精品】与正方形有关的六个常考模型

（1）∵四边形ABCD为正方形
∴∠OAB=∠OBC=45°，∠DAB=∠ABC=90°,OA=OB
∴∠MAB=∠CBN=90°
∴∠OAM=∠OBN=135°
∵∠EOF=90°,∠AOB=90°
∴∠OAM=∠BON
P
∴△AOM≌△OBN(ASA)
∴OM=ON
（2）过点O作OP⊥AB于点P,则AP=BP=OP=3
解：BE＝AF且BE⊥AF，理由： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°. 又∵DE＝CF，∴AE＝DF. ∴△ABE≌△DAF（SAS）． ∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF. ∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＋∠BAF＝90°. ∴∠AGB＝90°，即BE⊥AF.
教材母题：课本69页第14题
例4：如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°
如图三个边长均为11的正方形按如图所示的方式重叠在一起aa11aa22是其中两个正方形对角线的交点则阴影部分的面积是
模型一：正方形中相交垂线段问题
教材母题：课本68页第8题 例1.如图，ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF，要修
建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.
（2）由（1）知，FG=BE，连接CM，
∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，
∴BE=2CM=2，
探究：（1）如图②， 过点G作GP⊥BC于P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°， ∴四边形ABPG是矩形， ∴PG=AB，∴PG=BC，
解：（1）证明：在正方形ABCD中，
AO＝BO，∠AOB＝∠A1OC1＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°. ∴∠AOE＋∠EOB＝90°，∠BOF＋∠EOB＝90°.
∴∠AOE＝∠BOF.
在△AOE和△BOF中，
∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，∠OAE＝∠OBF
∴△AOE≌△BOF（ASA）．
（2）两个正方形重叠部分的面积等于 1 a2.理由如下：
模型三：正方形中过对角线交点的直角问题
例3.如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个 顶点，O A1交AB于点E，OC1交BC于点F． （1）求证：△AOE≌△BOF； （2）如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动，两个正方 形重叠部分的面积等于多少？为什么？
3.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交 CD于点G． （1）证明：△ADG≌△DCE； （2）连接BF，证明：AB＝FB．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC， 又∵AG⊥DE， ∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF， ∴∠DAG＝∠CDE， ∴△ADG≌△DCE（ASA）； （2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， 又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB， ∴△DCE≌△HBE（ASA）， ∴BH＝DC＝AB， 即B是AH的中点， 又∵∠AFH＝90°， ∴Rt△AFH中，BF＝ 1 AH＝AB．
（1）AE=DF，AE⊥DF． 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°． 在△ADE和△DCF中， AD=DC,∠ADC=∠C,DE=CF ∴△ADE≌△DCF（SAS）． ∴AE=DF，∠DAE=∠CDF， 由于∠CDF+∠ADF=90°， ∴∠DAE+∠ADF=90°． ∴AE⊥DF； （2）是 （3）成立 理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF 延长FD交AE于点G， 则∠CDF+∠ADG=90°， ∴∠ADG+∠DAE=90°． ∴AE⊥DF；
∵∠OPE=∠MAE，∠OEP=∠MAE,OE=EM
∴△PEO≌△AEM ∴AE=PE=1.5
在Rt△OEP中,由勾股定理得OE= OP 2 EP2 32 1.52 3 5
2
ON=OM=2OE= 3 5
在Rt△OMN中,由勾股定理得MN= OM 2 ON2 3 10
模型四：正方形中三垂直全等模型
变式5：如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF、BE． （1）请判断AF与BE的关系并给予证明； （2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF变为两个等腰三角形ADE和DCF，且 EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；
∴AB=3+4=7，OA=OB= 7 2
∴OA×OB= 49 ∴S四边形OEBF=2 S△AOB=
2
1 2
×OA×OB=
49 4
3.（导学216页第9题）已知：如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E、F
分别在AB、BC边上（AE<BE）,且∠EOF=90°，OE,DA的延长线交于点M，OF，AB的延 长线交于点N，连接MN. (1)求证：OM=ON; (2)若正方形ABCD的边长为6，OE=EM，求MN的长.
1. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，BE=CF，则图中
与∠AEB相等的角的个数是（ C ）
A.1 B.2 C.3 D.4
拓展 若AE与BF相交于点O，求∠AOB的度数.
2. 在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动． （1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系， 并说明理由； （2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？ （请你直接回答“是”或“否”，不须证明） （3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？ 请说明理由；
变式1：如图，ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，
且BE=AF，则BE⊥AF吗？
解：成立．理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD. 在Rt△ABE和Rt△DAF中，
BE＝AF，AB＝DA， ∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）． ∴∠ABE＝∠DAF. ∵∠DAF＋∠BAF＝90°， ∴∠ABE＋∠BAF＝90°. ∴∠AGB＝90°，即BE⊥AF.
∴AF=BE，∠ABE=∠DAF． ∵∠DAF+∠BAF=90°， ∴∠ABE+∠BAF=90°， ∴∠AMB=90°， ∴AF⊥BE． （3）所画图形如图3， 第（1）问的结论成立，理由如下： ∵AE=DF，ED=FC，AB=CD ∴△AED≌△DFC（SSS）， ∴∠EAD=∠FDC． ∴∠BAD+∠EAD=∠ADC+∠FDC． 即∠BAE=∠ADF． ∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴AF=BE， ∴∠ABE=∠DAF． ∵∠DAF+∠BAF=90°， ∴∠ABE+∠BAF=90°， ∴∠AMB=90°， ∴AF⊥BE．
（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论是否仍 然成立？请直接写出判断结果．
解：（1）AF=BE；AF⊥BE． 理由如下：如图1所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD， ∵△ADE和△DCF是等边三角形， ∴∠DAE=∠CDF=60°，AE=AD，DF=CD， ∴AE=DF，∠BAE=∠ADF=150°， ∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴AF=BE，∠ABE=∠DAF． ∵∠DAF+∠BAF=90°， ∴∠ABE+∠BAF=90°， ∴∠AMB=90°， ∴AF⊥BE； （2）第（1）问中的结论仍然成立，理由如下： 如图2所示： 在正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD． ∵EA=ED=FD=FC， ∴△AED≌△DFC（SSS）， ∴∠EAD=∠FDC． ∴∠BAD+∠EAD=∠ADC+∠FDC． 即∠BAE=∠ADF． ∴△BAE≌△ADF（SAS）
∴FG=2
应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，
∴ME=3，
同探究（1）得，CG=BE=6，
∵BE⊥CG，
∴S四边形CEGM=
1 2
CG×ME=
1 2
×6×3=9
同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，
在△PGF和△CBE中，
∠PGF=∠CBE，PG=BC，∠GPF=∠BCE=90°
∴△PGF≌△CBE（ASA），
如图，正方形ABCD中，对角线交于点O， ∠EOF=90°，OE，OF分别与DA，AB的延 长线交于点G，H. ①△AOG≌△BOH ②△BOE≌△COF ③△OGH是等腰直角三角形 ④
1.如图，三个边长均为1的正方形按如图所示的方式重叠在一起， A1、A12是其中两个正方形对角线的交点，则阴影部分的面积 是2 .
变式2：如图，ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，
且BE⊥AF，则BE=AF成立吗？
解：成立．理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°. 又∵BE⊥AF，∴∠AGB＝90°. ∴∠ABE＋∠BAF＝90°. ∵∠DAF＋∠BAF＝90°， ∴∠ABE＝∠DAF. ∴△ABE≌△DAF（ASA）． ∴BE＝AF.
2.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别
交AB、BC于E、F.
（1）∵四边形ABCD为正方形
（1）求证：△OEF是等腰直角三角形. ∴∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°
（2）若AE=4，CF=3，求EF的长.
又∵DE⊥OF
（3）四边形OEBF的面积．
模型归纳：
如图，正方形ABCD中，分别连接两组对边上的两点，得到的两条线段 （如图1中的AF与BE，图2中的AF与GE，图3中的HF与GE）满足： 若垂直，则相等； 若相等，则垂直； 若AE=DF，则垂直且相等.
图2思路：过点B作BM//GE交AD于点M 图3思路：过点B作BM//GE交AD于点M，过点A作AN//HF交CD于点N
∴BE=FG，
模型二：正方形与等边三角形 教材母题：67页第1（3）题 例2.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接
BE，则∠AEB的度数为_1__5_°___.
变式1：在正方形ABCD的外侧，以正方形ABCD的一边作等边三角
形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为_1_5_°__或__7_5_°_.
变式2：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形 DCE，若∠AED=15°，则∠EAC的度数为__3_0_°___.
变式3：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边
பைடு நூலகம்
三角形ADE，连接BE，CE，则
（1）求证：BE=CE
（2）求∠CEB的度数.
变式4：（导学95页3题）如图，在边长为2的 正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE， 连接BE，则△ABE的面积等于___1____。
∴∠EOF=90° ∴∠EOB=∠FOC
∴△BEO≌△CFO
∴OE=OF
又∠EOF=90°
∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）∵△BEO≌△CFO(已证)
∴BE=CF
又∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BF
在Rt△BEF中，EF2=BE2+BF2 =CF2+AE2=32+42=25
∴EF=5
（3）∵AE=4，BE=3，
4
∵△AOE≌△BOF，
∴S四边形OEBF＝S△EOB＋S△BOF＝S△EOB＋S△AOE＝S△AOB＝
1 4
S正方形ABCD＝14
a2.
模型归纳：
如图，正方形ABCD中，对角线交于点O， ∠EOF=90°，点E，F分别在AB，BC上. ①△AOE≌△BOF ②△BOE≌△COF ③△OEF是等腰直角三角形 ④ S四边形OEBF=S△AOB
2
4.在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE． 【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明） 【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G． （1）求证：BE=FG． （2）连结CM，若CM=1，则FG的长为 ． 【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、 MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为 ．