近年高考数学考点突破——数列：等比数列及其前n项和学案(2021年整理)

2019高考数学 考点突破——数列：等比数列及其前n 项和学案
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2019高考数学 考点突破——数列：等比数列及其前n 项和学案
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等比数列及其前n 项和
【考点梳理】
1．等比数列的有关概念
（1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为
1n n
a a ＝q （n∈N *
，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即
G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1。

(2）前n 项和公式:
S n ＝错误!
3．等比数列的常用性质 （1）通项公式的推广:a n ＝a m ·q
n －m
(n ，m ∈N ＊
)．
（2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k （m ,n ,p ，q ，k ∈N *
）,则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 错误!； （3)若数列｛a n ｝，｛b n ｝(项数相同）是等比数列,则｛λa n }，错误!,｛a 错误!｝，{a n ·b n ｝，错误!（λ≠0)仍然是等比数列;
(4)在等比数列｛a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n
＋k
,a n ＋2k ，a n ＋3k ,…为等比数列，公比为q k
.
【考点突破】
考点一、等比数列的基本运算
【例1】(1）设等比数列｛a n｝满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.
(2）在数列｛a n｝中，a1＝2，a n＋1＝2a n，S n为{a n}的前n项和.若S n＝126,则n＝________。

[答案］ (1）－8 (2) 6
［解析] （1）由{a n}为等比数列,设公比为q。

由错误!得错误!
显然q≠1，a1≠0，
错误!得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1,
所以a4＝a1q3＝1×（－2）3＝－8。

(2）由a n＋1＝2a n,知数列｛a n｝是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列,由S n＝错误!＝126，解得n＝6.
【类题通法】
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n,q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解。

2。

等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q＝1时，{a n}的前n项和S n＝na1；当q≠1时，{a n}的前n项和S n＝错误!＝错误!.
【对点训练】
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1．在等比数列｛a n｝中，a3＝7,前3项和S3＝21，则公比q的值为（）A．1 B．－错误!
C．1或－错误!D．－1或错误!
［答案] C
[解析］根据已知条件得错误!
②÷①得错误!＝3。

整理得2q2－q－1＝0,
解得q＝1或q＝－1
2。

2．已知数列{a n}是递增的等比数列，a1＋a4＝9,a2a3＝8,则数列{a n}的前n 项和等于__________．
［答案］ 2n－1
［解析] 设等比数列的公比为q，则有错误!
解得错误!或错误!
又｛a n}为递增数列，∴错误!∴S n＝错误!＝2n－1。

考点二、等比数列的判定与证明
【例2】已知数列｛a n}的前n项和为S n，数列｛b n｝中，b1＝a1，b n＝a n－a n －1
(n≥2)，且a n＋S n＝n.
(1)设c n＝a n－1,求证：{c n}是等比数列;
(2)求数列{b n｝的通项公式．
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［解析］（1)∵a n＋S n＝n，①
∴a n＋1＋S n＋1＝n＋1，②
②－①得a n＋1－a n＋a n＋1＝1，即2a n＋1＝a n＋1，∴2（a n＋1－1)＝a n－1，即2c n＋1＝c n.
由a1＋S1＝1得a1＝错误!,∴c1＝a1－1＝－错误!，从而c n≠0，∴错误!＝错误!。

∴数列｛c n}是以－1
2
为首项,错误!为公比的等比数列.
（2）由（1)知c n＝－错误!×错误!n－1＝－错误!n，
又c n＝a n－1,∴a n＝c n＋1＝1－错误!n，
∴当n≥2时,
b n＝a n－a n
－1
＝1－错误!n－错误!＝错误!n。

又b1＝a1＝错误!,适合上式，故b n＝错误!n。

【类题通法】
证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可。

【对点训练】
已知数列｛a n}的前n项和S n＝1＋λa n，其中λ≠0。

（1)证明{a n｝是等比数列，并求其通项公式；
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（2）若S5＝错误!，求λ。

［解析] （1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，
故λ≠1，a1＝
1
1－λ
,故a1≠0.
由S n＝1＋λa n，S n＋1＝1＋λa n＋1得a n＋1＝λa n＋1－λa n,
即a n＋1（λ－1）＝λa n。

由a1≠0，λ≠0得a n≠0，所以错误!＝错误!.
因此｛a n}是首项为错误!,公比为错误!的等比数列，
于是a n＝错误!错误!n－1.
（2)由（1)得S n＝1－错误!n.
由S5＝错误!得1－错误!5＝错误!，即错误!5＝错误!.
解得λ＝－1.
考点三、等比数列的性质及应用
【例3】(1）等比数列｛a n}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18,则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（）
A．12 B．10 C．8 D．2＋log35 (2）已知数列{a n｝是等比数列，S n为其前n项和,若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝( ）
A．40 B．60 C．32 D．50
［答案] (1) B (2） B
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［解析］（1）由等比数列的性质知a5a6＝a4a7,又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6
＝9,则原式＝log3(a1a2…a10)＝log3（a5a6)5＝10。

(2)由数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6,S12－S9是首项为4,公比为2的等比数列，则S9－S6＝a7＋a8＋a9＝16，S12－S9＝a10＋a11＋a12＝32，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.
【类题通法】
1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件,利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q”，可以减少运算量,提高解题速度。

2。

在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.
【对点训练】
1．在正项等比数列{a n}中，a1 008·a1 009＝错误!，则lg a1＋lg a2＋…＋lg a2
＝( ）
016
A．2 015 B．2 016
C．－2 015 D．－2 016
［答案] D
［解析］ lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝lg a1a2…a2 016＝lg（a1 008·a1 009）1 008
＝lg错误!1 008＝lg错误!1 008＝－2 016，故选D.
2．设等比数列{a n｝的前n项和为S n,若错误!＝3，则错误!＝________.
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[答案］错误!
[解析］法一由等比数列的性质S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已
知得S6＝3S3，∴错误!＝错误!，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴错误!＝错误!。

法二因为{a n}为等比数列，由错误!＝3，设S6＝3a,S3＝a，所以S3,S6－S3，S
－S6为等比数列，即a，2a，S9－S6成等比数列，所以S9－S6＝4a,解得S9＝7a，9
所以错误!＝错误!＝错误!。

3．设等比数列｛a n}中,前n项和为S n,已知S3＝8,S6＝7，则a7＋a8＋a9等于
（）
A．错误!B．－错误!C．错误!
D．错误!
［答案]A
［解析] 因为a7＋a8＋a9＝S9－S6,且公比不等于－1，在等比数列中，S3，S
－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以有8(S9－S6) 6
＝（－1)2,S9－S6＝错误!,即a7＋a8＋a9＝错误!。

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