柏拉图学派的主要数学成就

柏拉图学派的主要数学成就
数学与应用数学学号：20105031332
2010级3班姓名：丁梦利
柏拉图学派的代表人物是柏拉图，他年轻时曾跟随希腊哲学家苏格拉底学习哲学，受到逻辑思想影响，尔后成为雅典举世瞩目的大哲学家。

柏拉图从毕达哥拉斯学派吸收了许多数学观点，并运用到自己的学说中，因此，柏拉图的哲学提高了对数学科学的兴趣。

他充分认识到数学对研究哲学和宇宙的重要作用，并积极鼓励自己的朋友，学生学习和研究数学。

柏拉图在雅典建立了自己的学派和学园，据说在他的学园门口写着“不懂几何者不得入内。

”
柏拉图学派重视数学的严谨性，在教学中，坚持准确地定义数学概念，强调清晰地阐述逻辑证明，系统地运用分析方法和推理方法，例如，推理中，假设已知所求未知数，再以这个假设为基础，得出已知量和未知量应当存在的关系式的结论，归根到底是化求未知量。

柏拉图学派把这种方法运用到作几何图形上。

柏拉图学派，主张科学的任务是发现自然的结构，首次提出了应该把严格推理法则系统化，从而为数学走向新的阶段起到前导作用。

在柏拉图思想的影响下，学派中出现了一些对数学发展作出贡献的数学家。

例如，欧多克斯，曾是柏拉图的学生，创造性地排除了毕达哥拉斯学派只能适用于可通约量的算术方法，用公理法建立比例论，欧几里得《几可原本》第五卷《比例论》的大部分内容是欧多克斯的工作成果。

柏拉图的另一名学生是亚里士多德，被誉为形式逻辑的鼻祖，其思想影响西方数千年，他也非常重视数学的学习和研究，他所给出的点线面的定义，广为传播。

他还应用演绎逻辑的方法对许多数学问题做出了证明。

亚里士多德认为, 数学对象不可能分离独立存在于可感事物之外,第一个论证以柏拉图关于理念的在先性、分离性和要素的非组合性为前提, 推论出: 如果在可感的立体之外存在一个先于并且与可感事物相分离的另一种立体, 那末根据同样的道理, 在可感的面、线、点之外, 也应该独立存在着在先的面、线、点。

也就是说, 在可感的体、面、线、点之外还存在一组数学对象的体、面、线、点。

根据组合物是由在先的、独立存在的要素组成的, 以及面是由线组成的, 线是由点组成的, 就可以推出: 存在两套体、三套面、四套线、五套点。

那末数学家究
竟研究其中那一套呢?第二个论证说, 如果几何学的对象脱离可感事物而独立存在, 那么作为数学的一部分的天文学, 其对象也将脱离可感事物而独立存在, 可是, 天空及其各个部分怎么可能脱离可见的天空及其各部分而独立存在呢? 同样, 光学和声学的对象也将独立自存, 否则, 为什么有的对象能与可感对象相分离, 有的就不能呢?第三个论证是, 柏拉图认为, 数学对象是处于理念和可感事物的中间体。

根据这种观点,我们可以从理念与中间体之间再分离出另一类中间体, 它既不是数也不是点, 既不是空间量也不是时间。

如果这是不可能的, 那末数学对象也不可能与可感事物相分离而独立存在。

第七个论证是, 立体是一种本体, 因为它在某种意义上已经具有完整性了。

但是, 线怎么能够成为本体呢? 它既不是象灵魂那样作为一种形式, 也不是象立体那样作为一种质料。

因为我们没有关于把点、线、面放在一起的经验, 如果它们也是一种物质实体, 我们就应该看到把它们放在一起所组成的东西。

他说: “假定点、线、面的定义在先,但并不是所有定义上在先的东西在本体上也在先。

因为本体上在先的东西, 当它与其他事物分离时, 更具有独立存在的能力, 而事物在定义上先于那些其定义是由事物的定义合成的事物; 因此, 这两种属性不是共同扩张的。

因为如果属性不是脱离其本体而独立自存的(例如,…运动的‟或…苍白的‟) , 那末…苍白的‟在定义上就先于苍白的人, 而在本体上却不是在先的。

因为它不可能分离独立存在, 而总是跟随着具体事物, 我所说的具体事物是指苍白的人。

因此很清楚, 抽象的结果并不是在先的, 由于加上一些决定性因素而产生的那些东西, 也不是在后的, 因为我们所说的苍白的人, 正是由于把一个决定性因素加给…苍白的‟”。

哲理数学的提出, 说明柏拉图认为数学还具有哲理性的一面, 更倾向于把数学在认识中的阶梯地位提升到理性的阶段。

这就为他提出理念数论奠定了思想基础。

同时, 他又把毕达哥拉斯学派的…数本说‟(数为万物之本原) 与理念论结合起来, 提出一种不成文的学说——理念数论。

它其所以称为不成文的学说是, 因为它只是在学园内部讲课时提出的, 既未正式发表也不成体系, 我们只能在亚里士多德的批判中略知梗概。

他认为, 构成物质世界的火、土、水、气四种元素都是物体, 而每一种物体都占有体积,都是立体。

立体必然被一些平面所包围, 每一个平面直线图形都是由三角形组成。

原始的三角形有两种: 等边直角三角形和不等边直三角形。

所以, “我们假设, 这些三角形是火和其他物体的原始元素”。

接
着, 他分别按照这两种三角形的不同组合和连接, 构造出四种立方体: 角锥体、立方体、八面体和二十面体。

然后, 根据这些立体图形的稳定性、体积的大小以及立体角的大小, 结合四种元素的物理特点, 分别把它们指派给火、土、气和水。

他说: “我们把已经说明过其形成的那些图形分配给火、土、水和气。

我们把立方体指派给土,因为在四种物体中土是最稳定的, 而且最具有可塑性的, 其基面最稳定的图形必定最符合那种描述; 我们开头假定, 如果取这些三角形作基面, 那么依性质, 等边三角形的面比不等边三角形的面更稳定; 而且, 由这两种三角形合成的两个等边面, 其正方形无论从局部看还是从整体上看, 都必然比三角形具有更稳定的基面。

因此, 我们将尽可能维持我们的理由, 如果我们把这种图形指派给土; 剩下的, 把最小变动的图形指派给水, 把最不稳定的图形指派给火, 把稳定性方面居中的图形指派给气。

另一方面, 我们把最小的立体指派给火, 把最大的立体指派给水, 把大小适中的立体指派给气。

其次, 把最尖的角指派给火, 接着分别指派给气和水。

现在在所选取的图形中, 面数最少的图形角锥体必定是最不稳定的, 因为它的棱和角是最尖锐的。

第二种立体是八面体, 它在这些关系中处于第二位,第三种立体是二十面体, 它处于第三位”。

因此, “可以把角锥体看作火的元素或种子; 把依次生成的第二种立体图形(八面体) 看作气元素; 把第三种立体图形(二十面体) 看作水的元素”。

为什么这四种立体图形能够分别被看作土、水、火、气的元素呢? 因为“我们必须设想,这些立体是如此之小, 以致任何一种单个立体图形都是因为其小性，而看不见的,尽管把一定数目的立体图形聚合在一起时是看得见的。

关于它们的数目、运动和性质, 我们必须假定, 上帝按照适当的比例调整它们, 使得它们成为最精确、最完美的东西”。

综上所述, 柏拉图是在寻找如何从可见世界进入可知世界的过程中建立他的数学哲学的:数学是使灵魂脱离变化世界进入实在世界的学问; 数学对象具有居间的性质, 数学家的心理状态是介乎理性与意见之间的理智; 由于数学研究的对象和方法存在着局限性, 所以它虽然对实在有了某种认识, 但只是象做梦似地看见实在; 数学对象是存在的, 但它是分离独立存在于可感事物之外的。

他在晚年为克服理念论的困难, 把理念论与毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的理论结合起来, 提出一种不成文的理念数论, 构造了物质元素的几何结构形式。