例求均匀带电圆柱体的场强分布-大学物理(课堂PPT)
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电场能量密度： we1 2E21 2D E1 2D 2
电场能量：
W
wedV
E2
dV 2
球对称带电体的电场能量的体积微元 dV4r2dr
柱对称带电体的电场能量的体积微元 dV2rldr 29
教材219，例1 球形电容器的内、外半径分 别为R1和R2 ，所带电荷为Q．若在两球壳
间充以电容率为 的电介质，问此电容器贮
大学物理A1复习
期末答疑时间和地点： 7月6-7日和8日上午
上午 8:30-11:30； 下午 2:30-5:00。 科技楼303A
1
第三章 动量定律和能量守恒定律 * 质点和质点系的动量定理 ** 质点系的动量守恒条件 ***质点和质点系的动能定理 **** 保守力和势能 ***** 质点系的功能原理 ******机械能守恒的条件和定律
解
E 2πε0r
(R1rR2)
Eb
max
2π ε0R1
求电势差
U
R2 dr
2 π ε 0 R1 r
ln R 2 2 π ε0 R1
-+
l
-
+ +
R1
- + R2
_
_
_
_ _
++++++++
_
_
_
33
U lnR2
2πε0 R1
单位长度的电场能量
We
1 2
0 E 2 dV
1 2
0
( R 2 R1
2
第四章 刚体的转动
定轴转动刚体运动的描述（刚体的定义）
整个刚体 ω d
的角量
dt
dω d2
dt d2t
刚体上某点 v rω e t
的线量
a t r
an rω 2
a re t rω 2 e n
3
第四章 刚体的定轴转动
对定轴的力矩（大小和方向） M r F
对定轴的转动定理（例2、3） MJ
长”同轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁
导率为 r 的磁介质.当两圆筒
通有相反方向的电流 I时，
I
试 求（1）磁介质中任意点
r
P 的磁感应强度的大小;
d
（2）圆柱体外面一点Q 的磁感强度.
I
R
r
42
先求H，再求磁感强度
解 rdR
lHdl I
BH0rI
2πd
2πdHI
d R
HdlII0
I
l
r
2πdH0, H0
d F Id l B
有限长导线的安培力
F ld F lId l B
注意： 对于矢量求积分一般方法是按分量积分。
45
45
教材271，例 2 求
如图不规则的平面载 流导线在均匀磁场中
y
dF
B
所受的力，已知
B
和 I. 解 取一段电流元
Idl
o
I
Idl
P
x
L
d F I d l B
d F x d F s in B I d ls in B I d y
解 分区；选球对称的高斯
面；使用高斯定理
(1)0rR
SE dS0
E0
S
O
Rr
Q
14
(2)
rR
EdSE4r2
Q
S2
ε0
E
Q 4πε0r2
er
r
OQ
s
15
例 设有一无限长均匀带电直线，单位长
度上的电荷，即电荷线密度为，求距
直线为r 处的电场强度.
解 高斯面的选取
+
E
λh
+
EdSE2πrh
其间充以相对电容率为r的电
介质. 设直导体和圆筒单位长 度上的电荷分别为+和- . 求： （1）电介质中的电场强度、
电位移；（2）两桶间（ R1和 R2）的电势差。
R2 R1
26
解 (1) SD dS l
D 2πrll D
2πr
E D
ε0εr 2πε0εrr
(R1rR2)
r
R2 R1
27
t1 t2M dtL 2L 1
质点角动量守恒条件
M0
5
o'
圆
锥 摆
T
m oR
p v
例：平面摆
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒．
6
第四章 刚体的转动
刚体对定轴的角动量 L J
刚体对定轴的角动量定理
M
dL
dt
t1 t2M dtL 2L 1
刚体或非刚体对定轴的角动量
R2
-Q
31
例2 圆柱形空气电容器 中，空气的击穿场强是，设 导体圆筒的外半径R2. 在空 气不被击穿的情况下，长圆 柱导体的半径R1 取多大值可 使电容器存储能量最多？
**本题的关键是如何写出 微元柱壳体积内的电场
能量。
-+
l
-
+ +
R1
- + R2
_
_
_
_ _
++++++++
_
_
_
32
利用高斯定理求电场强度
放一半径R3=5 cm的同心
金属球，若使球壳和球
q
均带有q=10-8 C的正电
q
荷，问两球体上的电荷 如何分布？球心电势为 多少？
R3 R2
R1
21
解 作球形高斯面 S 1
E10(rR3)
作球形高斯面 S 2
S2
E2dS
q ε0
q E24πε0r2 (R3rR2)
Rq1
S2 q
S1
R3
r
R2
R1
定理求场强。
SE dS10 q内
高斯定理中通量和电场强度与电荷之间的关系
(3)电场中任意点的电场强度等于该点处电势梯度的负值.
E （ V i V j V k ) gV r ad V
x y z
11
静电场（包括导体和电介质）
求电势
(1) 电势叠加法：当电荷分布已知时
点电荷系：
守恒条件
M0
刚体情况 非刚体情况
J 常矢量 转动惯量不变
J1 1J2 2 转动惯量可变
例：教材P121 茹可夫斯基转椅属后者 7
刚体的转动动能和动能定理
力矩做功 W 2 Md 1
刚体绕定轴转动的转动动能
Ek
1 2
J2
刚体绕定轴转动的动能定理
W12M d1 2J2 21 2J1 2
刚体绕定轴转动的动能改变与力矩做功有关， 而不是力做功
8
教材P125，例1和例2说明了 例1. *变力矩做功的计算； 例2. *质点与刚体发生非完全碰撞
过程的角动量守恒计算； **碰后复合体转动动能的计算； ***初、末态机械能的计算(势能 的参考点选择)。 延展: 最大力矩问题.
df
dl dr
or
R
o 30
a
v m '
9
第五章 静电场（包括导体和电介质）
两个物理量 两个基本方程
高斯定理：
EV
DE
S SE D d dS S 10q0内 q内静有电源场场是
静电场是
静电场环路定理：
Edl
L
0保守场
10
静电场（包括导体和电介质）
求电场强度
(1)利用点电荷的场强公式和场强叠加原理，通过
矢量积分求场强。
E
dE
4πdq0r2er
(2)在电荷分布有某些对称性的条件下，可通过高斯
磁通量 ΦsBdS
高斯定理
BdS 0
稳恒磁场 是无源场
36
磁场 n
安培环路定理 Bdl 0 Ii i1
载流长 直导线
长直螺 线管
螺绕环
环路 圆心在导线
上的圆环
矩形环路
同心圆环
环流 Bdl 2rB
Bdl lB
Bdl 2rB
37
教材258，例2 无限长载流圆
I
柱体的磁场
R R
解 （1）对称性分析
V
qi
i 4π0ri
连续带电体： V dq 电势零点在无穷远
4π 0r
(2) 场强积分法：当 E易于由高斯定理求出
"0" r r
Va a Edl
12
静电场（包括导体和电介质）
➢常见的电量分布的对称性：
均
球对称
柱对称
面对称
匀
点电荷
带
电
球面
的
球体
带电线 无
柱面 限 长
柱体
平面 无 限
平板 大
匀
点电荷
带
电
球面
的
球体
柱对称
带电线 无 柱面 限
长 柱体
面对称
平面 无 限
平板 大
D通量 计算
SD dS 4r2D
SD dS 2rlDSD dS 2SD
高斯面 的选择
同心球面
同轴柱面
由
DE再得到
E
轴垂直于平 面的柱面
20
教材201，例 有一外半径R1=10 cm，内半径
R2=7 cm 的金属球壳，在球壳中
d F y d F c o s B Id lc o s B Id x
46
Fx
0
dFxBI0dy0
y
B
l
Fy dFyBI0dxBIl
dF
I
Idl
22
v v qi
ÑS3 E3 dS
i
0
0
E 30(R 1rR 2)
S4
E4 dS
2q ε0
E4 4π2εq0r2 (rR1)
S4
R1 2q
S3
qq
q
R 33
rr
R2
R 11
R1
23
E10 (rR3) q
E24πε0r2 (R3rR2)
E 30 (R 1rR 2)
2q E4 4πε0r2 (rR1)
通量 SE dS 4r2E 计算 SD dS 4r2D
S SD E d dS S 2 2 rrllE DS SD E d dS S 2 2S SE D
高斯面 同心球面 的选择
同轴柱面
轴垂直于平 面的柱面 13
教材169,例 2: 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任意点的电场强度.
d
BH0
同理可求 dr, B0
I
R
r
43
带电粒子在电场和磁场中受力
电场力 F eqE
z
Fm
磁场力（洛伦兹力） F m q v B
x
o
q+
B
v
y
运动电荷在电场 和磁场中受的力
F q E q v B
霍尔效应：会判断霍尔电压
IB
U H nqd
44
载流导线在磁场中受力
电流微元的安培力
2
) 2 2 rdr
r
1
0
2
R
ln( 2 )
4
R
0
1
Eb
max
2πε0R1
ma x2πε0E bR 1
We
πε0Eb2R12
lnR2 R1
-+
l
-
+ +
R1
- + R2
_
_
_
_ _
++++++++
_
_
_
34
We
πε0Eb2R12
lnR2 R1
d dW R1e πε0Eb 2R1(2lnR R1 21)0
0I B
2π R
oR r
解
0rR, Bdl 0 B0
rR,
llB dl 0I
B 0I
2π r
40
例4 无限大均匀带电(线密度为i)平面的磁场
d
c
a
i
b
0i B
2
or
解
b lB d l 2 aB d 2 lB a b 0 iab
B 0i
2
41
有磁介质的安培环路定理的应用
例1 有两个半径分别为 R和 r的“无限
S
ε0
E λ
2πε0r
h r+ o +
x+
y
16
例 求均匀带电圆柱体的场强分布，已知 R，
rR
E2rl0R2
r2l
rR
E2rl l 0
E
r 2 0 R 2
rR
2 0 r
r R
17
例 设有一无限大均匀带电平面，电荷面
密度为 ，求距平面为r处某点的电场强度.
解 对称性分析与
高斯面的选取
2ES σS
2q
q
q
R3 R2
R1
24
Vo 0 Edl
R 0 R R 213E E 31d dl l R R R 132 E E 42d dl l
q 112 ( )
4πε0 R3 R2 R1
2.31103V
2q
q
q
R3 R2
R1
25
教材209 ，例2 ： 图中是由半 径为R1的长直圆柱导体和同轴 的半径为R2的薄导体圆筒组成，
L
r
（2） rR
B
lB dl 0I
B 0I
2π r
0rR lB dl 0π πR r2 2I
I . dB
dI
B 0Ir
2π R2
B
38
B的方向与 I成右螺旋
0rR,
B
0Ir
2π R2
r R,
B 0I
2π r
IR
0I B
2π R
oR r
39
例3 无限长载流圆柱面的磁场
L1
r
IR
L2 r
(2)由 VR R 12E dl 得
V
RR122π
dr r
0r
2π
R21dr
r R1
0r
lnR2 2π0r R1
本题为有介 质的情况下， 如何计算电 场和电位差 的问题，需 要先求出电 位移矢量再 得电场强度， 最后用电场 强度求电势
28
静电场（包括导体和电介质）
电容器的能量
W1Q21CU 21QU 电容器的贮能公式 2C 2 2
E
ε0
E
E σ
S
2ε0
18
静电场（包括导体和电介质）
1. 导体的静电平衡条件 场强： E内 = 0 E表面 表面 或电势：导体是等势体 表面是等势面
2. 静电平衡时导体上的电荷分布 电荷仅在表面，导体内部无电荷
19
静电场（包括导体和电介质）
➢有导体或电介质情况下，电量分布对称的场计算：
均
球对称
存的电场能量为多少？
**本题的关键是如何写出 微元球壳体积内的电场 能量。
-Q
Q
R1
R2
30
解
E
1 4πε
Q r2
we 1 2εE2 3
电场能量：
W
wedV
E2
dV 2
球对称带电体的电场能量的体积微元 dV4r2dr
柱对称带电体的电场能量的体积微元 dV2rldr 29
教材219，例1 球形电容器的内、外半径分 别为R1和R2 ，所带电荷为Q．若在两球壳
间充以电容率为 的电介质，问此电容器贮
大学物理A1复习
期末答疑时间和地点： 7月6-7日和8日上午
上午 8:30-11:30； 下午 2:30-5:00。 科技楼303A
1
第三章 动量定律和能量守恒定律 * 质点和质点系的动量定理 ** 质点系的动量守恒条件 ***质点和质点系的动能定理 **** 保守力和势能 ***** 质点系的功能原理 ******机械能守恒的条件和定律
解
E 2πε0r
(R1rR2)
Eb
max
2π ε0R1
求电势差
U
R2 dr
2 π ε 0 R1 r
ln R 2 2 π ε0 R1
-+
l
-
+ +
R1
- + R2
_
_
_
_ _
++++++++
_
_
_
33
U lnR2
2πε0 R1
单位长度的电场能量
We
1 2
0 E 2 dV
1 2
0
( R 2 R1
2
第四章 刚体的转动
定轴转动刚体运动的描述（刚体的定义）
整个刚体 ω d
的角量
dt
dω d2
dt d2t
刚体上某点 v rω e t
的线量
a t r
an rω 2
a re t rω 2 e n
3
第四章 刚体的定轴转动
对定轴的力矩（大小和方向） M r F
对定轴的转动定理（例2、3） MJ
长”同轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁
导率为 r 的磁介质.当两圆筒
通有相反方向的电流 I时，
I
试 求（1）磁介质中任意点
r
P 的磁感应强度的大小;
d
（2）圆柱体外面一点Q 的磁感强度.
I
R
r
42
先求H，再求磁感强度
解 rdR
lHdl I
BH0rI
2πd
2πdHI
d R
HdlII0
I
l
r
2πdH0, H0
d F Id l B
有限长导线的安培力
F ld F lId l B
注意： 对于矢量求积分一般方法是按分量积分。
45
45
教材271，例 2 求
如图不规则的平面载 流导线在均匀磁场中
y
dF
B
所受的力，已知
B
和 I. 解 取一段电流元
Idl
o
I
Idl
P
x
L
d F I d l B
d F x d F s in B I d ls in B I d y
解 分区；选球对称的高斯
面；使用高斯定理
(1)0rR
SE dS0
E0
S
O
Rr
Q
14
(2)
rR
EdSE4r2
Q
S2
ε0
E
Q 4πε0r2
er
r
OQ
s
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例 设有一无限长均匀带电直线，单位长
度上的电荷，即电荷线密度为，求距
直线为r 处的电场强度.
解 高斯面的选取
+
E
λh
+
EdSE2πrh
其间充以相对电容率为r的电
介质. 设直导体和圆筒单位长 度上的电荷分别为+和- . 求： （1）电介质中的电场强度、
电位移；（2）两桶间（ R1和 R2）的电势差。
R2 R1
26
解 (1) SD dS l
D 2πrll D
2πr
E D
ε0εr 2πε0εrr
(R1rR2)
r
R2 R1
27
t1 t2M dtL 2L 1
质点角动量守恒条件
M0
5
o'
圆
锥 摆
T
m oR
p v
例：平面摆
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒．
6
第四章 刚体的转动
刚体对定轴的角动量 L J
刚体对定轴的角动量定理
M
dL
dt
t1 t2M dtL 2L 1
刚体或非刚体对定轴的角动量
R2
-Q
31
例2 圆柱形空气电容器 中，空气的击穿场强是，设 导体圆筒的外半径R2. 在空 气不被击穿的情况下，长圆 柱导体的半径R1 取多大值可 使电容器存储能量最多？
**本题的关键是如何写出 微元柱壳体积内的电场
能量。
-+
l
-
+ +
R1
- + R2
_
_
_
_ _
++++++++
_
_
_
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利用高斯定理求电场强度
放一半径R3=5 cm的同心
金属球，若使球壳和球
q
均带有q=10-8 C的正电
q
荷，问两球体上的电荷 如何分布？球心电势为 多少？
R3 R2
R1
21
解 作球形高斯面 S 1
E10(rR3)
作球形高斯面 S 2
S2
E2dS
q ε0
q E24πε0r2 (R3rR2)
Rq1
S2 q
S1
R3
r
R2
R1
定理求场强。
SE dS10 q内
高斯定理中通量和电场强度与电荷之间的关系
(3)电场中任意点的电场强度等于该点处电势梯度的负值.
E （ V i V j V k ) gV r ad V
x y z
11
静电场（包括导体和电介质）
求电势
(1) 电势叠加法：当电荷分布已知时
点电荷系：
守恒条件
M0
刚体情况 非刚体情况
J 常矢量 转动惯量不变
J1 1J2 2 转动惯量可变
例：教材P121 茹可夫斯基转椅属后者 7
刚体的转动动能和动能定理
力矩做功 W 2 Md 1
刚体绕定轴转动的转动动能
Ek
1 2
J2
刚体绕定轴转动的动能定理
W12M d1 2J2 21 2J1 2
刚体绕定轴转动的动能改变与力矩做功有关， 而不是力做功
8
教材P125，例1和例2说明了 例1. *变力矩做功的计算； 例2. *质点与刚体发生非完全碰撞
过程的角动量守恒计算； **碰后复合体转动动能的计算； ***初、末态机械能的计算(势能 的参考点选择)。 延展: 最大力矩问题.
df
dl dr
or
R
o 30
a
v m '
9
第五章 静电场（包括导体和电介质）
两个物理量 两个基本方程
高斯定理：
EV
DE
S SE D d dS S 10q0内 q内静有电源场场是
静电场是
静电场环路定理：
Edl
L
0保守场
10
静电场（包括导体和电介质）
求电场强度
(1)利用点电荷的场强公式和场强叠加原理，通过
矢量积分求场强。
E
dE
4πdq0r2er
(2)在电荷分布有某些对称性的条件下，可通过高斯
磁通量 ΦsBdS
高斯定理
BdS 0
稳恒磁场 是无源场
36
磁场 n
安培环路定理 Bdl 0 Ii i1
载流长 直导线
长直螺 线管
螺绕环
环路 圆心在导线
上的圆环
矩形环路
同心圆环
环流 Bdl 2rB
Bdl lB
Bdl 2rB
37
教材258，例2 无限长载流圆
I
柱体的磁场
R R
解 （1）对称性分析
V
qi
i 4π0ri
连续带电体： V dq 电势零点在无穷远
4π 0r
(2) 场强积分法：当 E易于由高斯定理求出
"0" r r
Va a Edl
12
静电场（包括导体和电介质）
➢常见的电量分布的对称性：
均
球对称
柱对称
面对称
匀
点电荷
带
电
球面
的
球体
带电线 无
柱面 限 长
柱体
平面 无 限
平板 大
匀
点电荷
带
电
球面
的
球体
柱对称
带电线 无 柱面 限
长 柱体
面对称
平面 无 限
平板 大
D通量 计算
SD dS 4r2D
SD dS 2rlDSD dS 2SD
高斯面 的选择
同心球面
同轴柱面
由
DE再得到
E
轴垂直于平 面的柱面
20
教材201，例 有一外半径R1=10 cm，内半径
R2=7 cm 的金属球壳，在球壳中
d F y d F c o s B Id lc o s B Id x
46
Fx
0
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y
B
l
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dF
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ÑS3 E3 dS
i
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E4 4π2εq0r2 (rR1)
S4
R1 2q
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q
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rr
R2
R 11
R1
23
E10 (rR3) q
E24πε0r2 (R3rR2)
E 30 (R 1rR 2)
2q E4 4πε0r2 (rR1)
通量 SE dS 4r2E 计算 SD dS 4r2D
S SD E d dS S 2 2 rrllE DS SD E d dS S 2 2S SE D
高斯面 同心球面 的选择
同轴柱面
轴垂直于平 面的柱面 13
教材169,例 2: 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任意点的电场强度.
d
BH0
同理可求 dr, B0
I
R
r
43
带电粒子在电场和磁场中受力
电场力 F eqE
z
Fm
磁场力（洛伦兹力） F m q v B
x
o
q+
B
v
y
运动电荷在电场 和磁场中受的力
F q E q v B
霍尔效应：会判断霍尔电压
IB
U H nqd
44
载流导线在磁场中受力
电流微元的安培力
2
) 2 2 rdr
r
1
0
2
R
ln( 2 )
4
R
0
1
Eb
max
2πε0R1
ma x2πε0E bR 1
We
πε0Eb2R12
lnR2 R1
-+
l
-
+ +
R1
- + R2
_
_
_
_ _
++++++++
_
_
_
34
We
πε0Eb2R12
lnR2 R1
d dW R1e πε0Eb 2R1(2lnR R1 21)0
0I B
2π R
oR r
解
0rR, Bdl 0 B0
rR,
llB dl 0I
B 0I
2π r
40
例4 无限大均匀带电(线密度为i)平面的磁场
d
c
a
i
b
0i B
2
or
解
b lB d l 2 aB d 2 lB a b 0 iab
B 0i
2
41
有磁介质的安培环路定理的应用
例1 有两个半径分别为 R和 r的“无限
S
ε0
E λ
2πε0r
h r+ o +
x+
y
16
例 求均匀带电圆柱体的场强分布，已知 R，
rR
E2rl0R2
r2l
rR
E2rl l 0
E
r 2 0 R 2
rR
2 0 r
r R
17
例 设有一无限大均匀带电平面，电荷面
密度为 ，求距平面为r处某点的电场强度.
解 对称性分析与
高斯面的选取
2ES σS
2q
q
q
R3 R2
R1
24
Vo 0 Edl
R 0 R R 213E E 31d dl l R R R 132 E E 42d dl l
q 112 ( )
4πε0 R3 R2 R1
2.31103V
2q
q
q
R3 R2
R1
25
教材209 ，例2 ： 图中是由半 径为R1的长直圆柱导体和同轴 的半径为R2的薄导体圆筒组成，
L
r
（2） rR
B
lB dl 0I
B 0I
2π r
0rR lB dl 0π πR r2 2I
I . dB
dI
B 0Ir
2π R2
B
38
B的方向与 I成右螺旋
0rR,
B
0Ir
2π R2
r R,
B 0I
2π r
IR
0I B
2π R
oR r
39
例3 无限长载流圆柱面的磁场
L1
r
IR
L2 r
(2)由 VR R 12E dl 得
V
RR122π
dr r
0r
2π
R21dr
r R1
0r
lnR2 2π0r R1
本题为有介 质的情况下， 如何计算电 场和电位差 的问题，需 要先求出电 位移矢量再 得电场强度， 最后用电场 强度求电势
28
静电场（包括导体和电介质）
电容器的能量
W1Q21CU 21QU 电容器的贮能公式 2C 2 2
E
ε0
E
E σ
S
2ε0
18
静电场（包括导体和电介质）
1. 导体的静电平衡条件 场强： E内 = 0 E表面 表面 或电势：导体是等势体 表面是等势面
2. 静电平衡时导体上的电荷分布 电荷仅在表面，导体内部无电荷
19
静电场（包括导体和电介质）
➢有导体或电介质情况下，电量分布对称的场计算：
均
球对称
存的电场能量为多少？
**本题的关键是如何写出 微元球壳体积内的电场 能量。
-Q
Q
R1
R2
30
解
E
1 4πε
Q r2
we 1 2εE2 3