自然界中的斐波那契数

五、自然界中的费氏数：
自然界中到处可见费氏数列的踪迹。

树技上的分枝数，多数花的瓣数都是费氏数：火鹤 1、百合 3、梅花 5、桔梗常为 8、金盏花 13、…等等。

费氏数列也出现在松果上。

一片片的鳞片在整粒松果上顺着两组螺线排列：一组呈顺时针旋转，另一组呈反时针，网页上的图；仔细瞧瞧，顺时针螺线的排列数目是 8，反时针方向则为 13，而另一组常出现的数字是「5 及 8」。

向日葵也是一样，常见的螺线数目为「34 及 55」，较大的向日葵的螺线数目则为「89 及 144」，更大的甚至还有「144 及 233」。

这些全都是费氏数列中相邻两项的数值。

数数看，下图这朵向日葵的螺线数目是多少？
为什么呢？
植物是以种子和嫩芽开始生长；种子发芽后，很多细根会长出来，并且向地底下生长，而嫩芽则是迎向阳光。

如果用显微镜观察新芽的顶端，你可以看到所有植物的主要征貌的生长过程——包括叶子、花瓣、萼片、小花（floret）等等。

在顶端的中央，有一个圆形的组织称为「顶尖」（apex）；而在顶尖的周围，则有微小隆起物一个接一个的形成，这些隆起则称为「原基」（primordium）。

成长时，每一个原基自顶尖移开（顶尖从隆起处向外生长，新的原基则在原地）；最后，这些隆起原基会长成叶子、花瓣、萼片等等。

每个原基都希望生成的花、蕊、或叶片等等，之后能够获得最大的生长空间。

例如叶片希望得到充足的阳光，根部则希望得到充足的水份，花瓣或花蕊则希望充份地自我展现好吸引昆虫来传粉。

因此，原基与原基隔得相当开，由于较早产生的原基移开的较远，所以你可以从它与顶尖之间的距离，来推断出现的先后次序。

另人惊奇的是，我们若依照原基的生成时间顺序描出原基的位置，便可画出一条卷绕得非常紧的螺线——称为「生成螺线」（generative spiral）。

之前我们提到过的左右旋螺线，虽然能够明显到让人一眼看出（植物学家称之为「斜列线」，parastichy），但那并不是植物的原基生长模式的实际表征；就某种程度而言，这些螺线只是视学上的错觉。

人的眼睛之所以能分辨出斜列线，是因为斜列线是由相邻的原基所形成。

晶体学先驱布拉菲兄弟（Auguste and Louise Bravais）发现原基沿生成螺线交错排列的数学规则。

他们量测相邻两原基之间的角度，发现量得的各个角度非常相近；这些角的共同值就称为「发散角」（divergence angle）。

想象从原基的中心各画一条直线连到顶尖的中心，然后测量这两条线的夹角。

如下图中编号 29 的原基与编号 30 的原基之间的角度，及编号 30 与 31 的原基之间的角度。

他们并且发现发散角往往非常接近 137.5 度（或 222.5 度，如果从另一边量起），也就是――「黄金角」。

如果我们将一个圆分成两个弧，而两个弧的长度比为黄金比例，小弧的圆心角我们称之为黄金角。

如下图：
由此可知，圆周与大弧长度的比亦为黄金比例，而大弧的圆心角之弪度量即为。

那么黄金角有多大呢？经过计算：360? – 360?/Φ大约是 137.5 度。

1907年，数学家易特生（G. Van Iterson）在一条绕得很紧的螺在线，每隔 137.5 度画一个点。

结果他发现，由于这些点的排列方式特殊，因此眼睛会看到两组互相交错的螺线——一组是顺时钟旋转，另一组是逆时钟（如下图）。

又因为费布纳西数与黄金数密切相关，所以两组螺线的数目是相邻的费布纳西数。

究竟是哪些费布纳西数，则要看螺线的旋转有多紧密。

六、菠萝与费氏数列：
除了在松果的鳞片、向日葵上的小花可以看到明显的生成螺线外，菠萝上的生成螺线更是清楚可数，因为它的外皮可被分成一些几乎是六角形的小格子，如下图。

其中有五条较平缓的平行螺线往右上旋，有八条较陡的平行螺线往左上旋，另外还有更陡的十三条平行螺线是往右上旋。

如果我们将菠萝视为一个圆柱体，并延着一条垂直线将它切开摊平，便得到一个长方形，其左右两边表示的是同一条线圆柱体被切开的地方。

我们令左方的边为 x = 0，而右方的边为 x = 1，下方的边是 y = 0。

七、为什么是 137.5 度？
大自然的机制使得原基的生长遵循着有效率堆排的几何原理。

一九七九年，数学家伏格（H. Vogel）以电脑模拟原基的生长情形，他用圆点来代表向日葵的原基，在发散角为固定值的假设下，试图找出最佳的发散角使这些圆点尽可能紧密地排在一起。

他的电脑实验显示，当发散角小于 137.5 度，圆点间就会出现空隙，而只会看到一组螺线；同样的，如果发散角超过 137.5 度，圆点间也会出现空隙，但是这次看到的是另一组螺线。

因此，如果要使圆点排列没有空隙，发散角就必须是黄金角；而这时，两组螺线就会同时出现。

简言之，要使花头最密实、最坚固，最有效的堆排方式是让发散角等于黄金角。

下面的图是用数学软件模拟伏格的实验结果：
发散角为137.6度
发散角为137.4度
发散角为137.5度
事实上，如果我们选用的发散角是三百六十度的有理数倍，就必定会得到一组径向直线。

由于直线之间都有空隙，所以原基就无法排列得很紧密。

结论是：想要以最有效的方式填满一个平面，发散角就必须是三百六十度乘以某个无理数，也就是乘以不能表示为分数的数。

但是要用哪一个无理数呢？实数不是有理数就是无理数，不过，某些无理数却比其他无理数更
［无理］些。

数论学家很早就知道，最［无理］的无理数就是黄金数，它很难以有理数近似，如果我们能将近似的困难程度量化，将会发现它是最差的一个，这就是说黄金发散角会使原基排列得最致密。

费氏数列相邻两项的比值趋近于黄金比值，由黄金矩形又可描出等角螺线，等角螺线又出现在松果、菠萝、雏菊、向日葵等，而它们的左右旋螺线数自又是费氏数列相邻的两项，自然之造物真令人叹为观止！。