利用抽象函数的性质求函数解析式
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。
解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。
抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。
一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x , 求f(x)解：令u=1+sinx ，则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2) 故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤x ≤2)二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。
例2．.232|)(:|,)1(2)(),)(,(≥=-=x f x x f x f x f x f(x)y 求证且为实数即是实数函数设解:x x x f x x f x f x x 323)(,1)(2)1(,1--==-联立方程组，得得代换用322323|)(|≥+=∴x x x f三、待定系数法如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例3．已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x ,求f(x). 解：由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a≠0) 代入f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax 2+(2a+b)x+a+b+c f(x-1)= a(x-1)2+b(x-1)+c=ax 2+( b -2a)x+a-b+c ∴f(x+1)+ f(x-1)=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x 比较系数得：a=1,b= -2,c= -1 , f(x)=x 2-2x-1.四、赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
例4．对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解：令x=y=0，得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,∵f(1)≠0 ∴f(1)= . 令x=n,y=1，得f(n+1)=f(n)+2[f(1)]2=f(n)+即f(n+1)-f(n)= 12，故f(n)= 2n ，f(2001)= 20012例5．已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的实数a,b 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (3)若f(2)=2,u n =f(2n ) (n ∈N*),求证：u n+1>u n (n ∈N*). 解：(1)令a=b=0,得f(0)=0,令a=b=1,得f(1)=0.(2)f(x)是奇函数。
求抽象函数解析式的常用方法
求抽象函数解析式的常用方法
求抽象函数解析式是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的特性，从而更好地求解函数。
那么，求抽象函数解析式的常用方法有哪些呢？
首先，我们可以使用极限法来求抽象函数解析式。
极限法是一种求解函数的方法，它可以帮助我们求出函数的极限，从而求出函数的解析式。
其次，我们可以使用微积分的方法来求抽象函数解析式。
微积分是一种求解函数的方法，它可以帮助我们求出函数的导数，从而求出函数的解析式。
此外，我们还可以使用数学归纳法来求抽象函数解析式。
数学归纳法是一种求解函数的方法，它可以帮助我们求出函数的递推公式，从而求出函数的解析式。
总之，求抽象函数解析式的常用方法有极限法、微积分法和数学归纳法。
这些方法都可以帮助我们更好地理解函数的特性，从而更好地求解函数。
因此，在求抽象函数解析式时，我们应该根据实际情况选择合适的方法，以便更好地求解函数。
考点02 求函数解析式的3种方法(解析版)
专题二 函数考点2 求函数解析式的3种方法【方法点拨】求函数解析式的常用方法1. 待定系数法：已知函数的类型，利用所给条件，列出方程或方程组，用待定系数法确定系数.2. 配凑法或换元法：已知复合函数f[g(x)]=F(x)的解析式，把F(x)配凑成关于g(x)的表达式，再用x 代替g(x)，称为配凑法；或者，直接令g(x)=t ，解方程把x 表示成关于t 的函数，再代回，称为换元法，此时要注意新元t 的取值范围.3解方程组法(或赋值法)：已知关于f(x)与f(1/x)或f(-x)的表达式，可通过对自变量的不同赋值构造出不同的等式通过解方程组求出f(x).【高考模拟】1．已知()f x 是偶函数,且当0x >时,2()f x x x =-,则当0x <时,()f x 的解析式为（ ） A ．2()f x x x =-B ．2()f x x x =--C ．2()f x x x =+D ．2()f x x x =-+【答案】C【分析】利用()f x 是偶函数，()()f x f x -=，当0x <，()2f x x x -=+，即可求得答案 【解析】设0x <，则0x ->，当0x >时,()2f x x x =- ()2f x x x ∴-=+，()f x 是偶函数，则()()f x f x -=()2f x x x ∴=+ ()0x <故选C【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式，掌握解题方法，较为简单．2．已知幂函数()f x 的图象经过点()327，，则()f x 的解析式()f x =（ ）．A ．3xB ．3xC ．9xD ．3log x【答案】A【分析】 设幂函数解析式为()f x x α= ，将点()327，代入即可求解. 【解析】设幂函数为()f x x α= 函数经过点（3，27），273α∴= 解得3α=故()f x 的解析式()3f x x = 故选A【点睛】本题考查幂函数解析式的确定，是基础题；解题时需要认真审题，准确代入数值.3．若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为（ ）． A ．2()1x f x x =-+ B ．2()1x f x x =+ C ．21()1x f x x +=+ D ．2()1x f x x x =++ 【答案】B【解析】【分析】由奇函数得()()f x f x -=-，代入后求出解析式【解析】函数()21x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数 ()()f x f x ∴-=-，即()()00f f -=-，()00f =，001a a ==， 即()21x f x x bx =++()()11f f -=-，1122b b -=--+ 解得0b =则()21x f x x =+ 故选B【点睛】 本题考查了函数奇偶性的运用，当奇函数定义域取到零时有()00f =，然后再赋值法求出解析式，较为基础。
抽象函数问题求解的常用方法
例析抽象函数问题的求解策略抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。
抽象函数问题是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的衔接点。
由于这类试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识，因而备受高考命题者的青睐。
然而由于这类问题本身的抽象性及其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。
为使抽象函数问题解决有章可循，有法可依，本文主要介绍抽象函数问题的常见方法。
【方法荟萃】一、“赋值” 策略对于抽象函数，根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将变量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的。
【例1】若奇函数()()f x x R ∈，满足(2)1,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(1)f 等于（ ）A ．0B ．1C ．12-D ．12解：对于)2()()2(f x f x f +=+，令1-=x ，得)2()1()1(f f f +-=即1)1()1(+-=f f ， 从而1)1(2=f ，所以21)1(=f ，选D 。
【例2】设对任意实数1x 、2x ，函数)(x f y =)0,(≠∈x R x 满足)()()(211x x f x f x f ⋅=+。
（1）求证：0)1()1(=-=f f ；（2）求证：)(x f y =为偶函数。
解：（1）令121==x x ，得)1()11()1()1(f f f f =⨯=+，所以0)1(=f 。
令121-==x x ，得0)1()1()1(==-+-f f f ，所以0)1(=-f 。
（2）令x x x ==21，得)()(22x f x f =，令x x x -==21，得)()(22x f x f =-，从而我们有：)()(x f x f =-， 所以，)(x f y =为偶函数。
高中数学抽象函数题型汇编及答案
抽象函数常见题型汇编及答案抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知的定义域，求的定义域，解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。
例题1：设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为（2）由已知，得，解得，故的定义域为(二)已知的定义域，求的定义域。
解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。
解析：由，得，所以，故填(三)已知的定义域，求的定义域。
解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。
例题3：函数定义域是，则的定义域是_______ 解析：先求的定义域，的定义域是，，即的定义域是再求的定义域，，的定义域是(四)运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
例题4：函数的定义域是，求的定义域。
解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。
解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］【巩固2】 已知函数的定义域是，求函数的定义域。
解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12定义域是__。
解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x aa x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1 二、解析式问题1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
高中数学 抽象函数解法
抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的其它性质，如单调性、奇偶性、周期性及函数变换与图象的对称性之间的关系，或是求函数值、解析式等．抽象函数问题的解法，主要是“赋值法”、“变换法”和“特例法”。
一、“赋值法”。
把已知函数所满足的性质，即一般性的条件，赋予特殊的值，推出函数所必须满足的其它性质。
例1．已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且f(3)=0，对任意x∈R，都有f(x+6)=f(x)+f(6) 成立，则f(2007) = ( 0 )f(-3)=0，取x=-3代入f(x+6)=f(x)+f(6)得f(6) =0，f(x+6)=f(x)，周期为6…，选D。
例2．（2006重庆高考）已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)满足f(f(x)- x2+x)=f(x)- x2+x．（Ⅰ）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)= x0，求函数f(x)的解析表达式。
解：（I）取x=2，又f(2)=3得f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2，即f(1)=1。
又f(0)=a，故f(f(0)-02+0)= a-02+0，即f(a)=a。
（Ⅱ）又满足f(x0)= x0的实数x0唯一，由f(f(x)- x2+x)=f(x)- x2+x可知任意x∈R有f(x)- x2+x=x0。
在上式中令x=x0有f(x0)- x02+x0=x0。
再代f(x0)= x0得x0- x02=0，故x0=0或x0=1。
若x0=0，方程f(x)= x有两个根，故x0≠0。
若x0=1，则有f(x)= x2–x+1，二、“变换法”。
利用已知函数所满足的一般性的关系式，通过变量代换，推出所要求的关系式。
例3．下列命题正确的序号是__________①若f(x)满足f(a+x)=f(b－x)则y=f(x)的图象关于直线对称；②若f(a+x)+f(a－x)=2c则y=f(x)的图象关于点（a，c）中心对称．③函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线对称．④函数y=f(a+x)与y=-f(b-x)的图象关于点中心对称．解析：①②③④都正确。
微专题抽象函数题型归纳总结
抽象函数常见题型归纳总结抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知的定义域，求的定义域解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。
例题1：设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为（2）由已知，得，解得，故的定义域为(二)已知的定义域，求的定义域。
解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。
解析：由，得，所以，故填(三)已知的定义域，求的定义域。
解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。
例题3：函数定义域是，则的定义域是_______解析：先求的定义域，的定义域是，，即的定义域是再求的定义域，，的定义域是(四) 运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
例题4： 函数的定义域是，求的定义域。
解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】 已知函数的定义域是［1，2］，求f (x )的定义域。
解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f (x )的定义域是［1，4］ 【巩固2】 已知函数的定义域是，求函数的定义域。
解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12定义域是__。
解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x aa x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1 一、解析式问题1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
求抽象函数解析式的几种方法及适用范围
求函数的解析式的几种方法一：方法名称：配凑法适用范围：已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解析式方法步骤：1把f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式2再把g(x)用h(x)代替例：的解析式。
已知求的解析式。
已知f(x+1)=x-3, 求f(x) 的解析式。
已知，求的解析式。
二：方法名称：换元法适用范围：已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解析式方法步骤：1先把形如f(g(x))内的g(x)设为t（换元后要确定新元t的取值范围）2在用一个只含有t的式子把x表示出来3然后把这个式子在解析式的右端的x中，使右边只含有t4再把t用h(x)代替。
例题：已知求的解析式。
已知f（）=x2+5x,则f(x)的解析式。
三方法名称：待定系数法适用范围：已知对应法则f(x)的函数模型（如一次函数，二次函数等）方法步骤：1先设出函数解析式（如f（x）=ax+b）2把解析式的左端用这个函数模型表示出来4求出函数模型的系数例：四方法名称：方程组法适用范围：一般等号左边有两个抽象函数（如f(x),f(-x)）。
等号右边也含有变量x。
方法步骤：将左边的两个抽象函数看成两个变量。
变换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求f（x）的解析式例:设f(x)满足关系式 ,求函数的解析式.五：方法名称：赋值法适用范围：一般包含一句话“对任意实数满足”方法步骤：一般的，已知一个关于x,y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数x或者y，得出关于x或者y的解析式。
例：。
抽象函数问题及解法
抽象函数问题及解法原创/O客本文谈及的抽象函数问题是高考的必考内容，是高中函数与大学函数的衔接内容。
打开窗子说亮话，是高中教材没有，高考要考，大学不教但要经常用的内容。
如果一个关于函数f(x)的题目，已知f(x)的性质及f(x)满足的关系式，求证f(x)的其他性质，题目做完了，我们还不知道f(x)的具体的解析式，这就是抽象函数问题.一般地，抽象函数是指没有（直接或间接）给出具体的解析式，只给出一些函数符号及其满足某些条件的函数.解决抽象函数问题，我们可以用函数性质、特殊化、模型函数、联想类比转化、数形结合等多种方法.（1）函数性质法.函数的特征是通过其性质（如单调性、奇偶性、周期性、特殊点等）反映出来的，抽象函数也如此. 我们可以综合利用上述性质，包括借助特殊点布列方程等来解决抽象函数问题.（2）特殊化法.特殊化法又叫特取法. 为达到我们预期的目的，将已知条件进行适当的变换，包括式子的整体变换与具体数字的代换. 如在研究函数性质时，一般将x换成-x或其他代数式；在求值时，用赋值法，常用特殊值0，1，-1代入.（3）模型函数法.模型函数在解决抽象函数问题中的作用非同小可. 一方面，可以用借助具体的模型函数解答选择题、填空题等客观题. 另一方面，可以用“特例探路”，联想具体的模型函数进行类比、猜想，为解答题等主观题的解决提供思路和方法. 一般地，抽象函数类型有以下几种：①满足关系式f(x+y)=f(x)+f(y) （ⅰ）的函数f(x)是线性型抽象函数. 其模型函数为正比例函数f(x)=kx (k≠0).事实上，f(x+y)=k(x+y)=kx+ky=f(x)+f(y).令x=y=0，得f(0)=0，故f(x)的图象必过原点.令y=-x，得0=f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.命题（ⅰ）可以推广为f(x+y)=f(x)+f(y)+b(b是常数），其模型函数为一次函数f(x)=kx-b(k ≠0).②满足关系式f(x+y)=f(x) f(y) （ⅱ）的函数f(x)是指数型抽象函数. 其模型函数为指数函数f(x)=a x(a>0，a≠1）.事实上，f(x+y)=a x+y=a x·a y=f(x) f(y).令x=y=0，得f(0)=1，故曲线f(x)必过点(0，1).命题（ⅱ）等价于f(x-y)=f(x) f(y).③满足关系式f(xy)=f(x)+f(y) (x，y∈R+) （ⅲ）的函数f(x)是对数型抽象函数. 其模型函数为对数函数f(x)=log a x(a>0，a≠1）.令x=y=1，得f(1)=0，故曲线f(x)必过点(1，0).命题（ⅲ）等价于f( xy)=f(x)-f(y) (x，y∈R+) .④满足关系式f(xy)=f(x) f(y)的函数f(x)是幂型抽象函数. 其模型函数为幂函数f(x)=x n.⑤满足关系式f(x+y)=f(x)+f(y) 1- f (x) f(y)的函数f(x)是正切型抽象函数. 其模型函数为正切函数f(x)=tan x.需要指出的是，不是每种抽象函数都可以找到在中学阶段所熟知的函数作模型函数. 抽象函数的种类还有很多，这里罗列的仅是常见的，尤其是类型①、②、③最常见.我们就上述方法的应用，先进行例说，再分类例说.例如（2008·重庆），若定义域在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是（）A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C. f(x)+1为奇函数D. f(x)+1为偶函数这是线性型抽象函数问题. 联想模型函数f(x)=kx-1(k≠0），易知选C.如果此题改为解答题，题设条件不变，“判断并证明函数g(x)=f(x)+1的奇偶性”.那么我们首先联想模型函数，窥测解题方向，构建解题思路. 猜测g(x)是奇函数. 于是心中有“底”. 目标就是需要证明g(-x)+g(x)=0，即f(-x)+f(x)+2=0. 又抽象函数奇偶性问题，一般要先用赋值法确定f(0)的值，再用x，-x进行代换，进而得到g(-x)与g(x)的关系式.于是解答如下.g(x)是奇函数. 证明如下：令x1=x2=0，有f(0)=f(0)+f(0)+1，得f(0)=-1.再令x1=x，x2=-x，有f(0)=f(x)+f(-x)+1，即f(-x)+f(x)+2=0，从而g(-x)+g(x)= f(-x)+f(x)+2=0，所以函数g(x)是奇函数.1. 与单调性相关的问题例1已知函数f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)=-2. 求f(x)在区间[-3，3]上的最大值和最小值.解析联想模型函数f(x)=kx(k≠0)，猜想“f(x)是奇函数，且为减函数”.设m<n，则f(n)-f(m)=f((n-m)+m)-f(m)=f(n-m)+f(m)-f(m)=f(n-m).因为当x>0时，f(x)<0，而n-m>0，所以f(n-m)<0，即f(n)<f(m)，所以f(x)是减函数.根据最值定理，f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-3)，最小值为f(3).因为f(1)=-2，所以f(2)=f(1+1)=2f(1)=-4，f(3)=f(2)+f(1)=-6.又令x=y=0，得f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)，故f(0)=0，再令x=1，y=-1，得0=f(0)=f(1)+f(-1)，故f(-1)=2，f(-3)=f(-2)+f(-1)=3f(-1)=6.所以f(x)在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6.点评我们可以举出具有这种性质的一个函数y=-2x（x∈[-3，3]）.此外，我们还可以用奇偶性来证明单调性和求f(-3)的值. 由0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)，得f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.因此f(n)-f(m)=f(n)+f(-m)=f(n-m)<0，f(-3)=-f(3)=6.注意这两种证明抽象函数单调性的技巧，为创造条件利用关系式，前者是作自变量变换n=n-m +m ；后者是用奇偶性巧妙地实现了“-”向“+”的转化.例2 已知函数f (x )的定义域为R ，对任意m ，n ，均有f (m +n )=f (m )+f (n )-1，且f (-12)=0，当x >-12时，f (x )>0. 求证f (x )是单调递增函数，并举出具有这种性质的一个函数. 解 设m >n ，则m -n >0，m -n -12>-12， 所以f (m )-f (n )=f (n +m -n )-f (n )=[f (n )+f (m -n )-1]-f (n )=f (m -n )+f (-12)-1=f (m -n -12)>0，即f (m )>f (n ). 从而f (x )为单调递增函数. 具有这种性质的一个函数是y =2x +1.例3 已知函数f (x )的定义域是(0，+∞），且f (xy )=f (x )+f (y )，当x >1时，f (x )>0.（1）求f (1)，并证明f (x )在定义域上是增函数；（2）如果f (13)=-1，求满足f (x )-f (1x -2)≥2的x 的取值范围. 解 （1）令x =y =1，则f (1)=f (1)+f (1)，得f (1)=0.设0<m <n ，则f (n ) - f (m )= f (n m ·m ) - f (m )= [f (n m )+f (m )] - f (m )= f (n m )>0 (因为n m>1). 即f (m )<f (n). 所以f (x )在(0，+∞）上是增函数.（2）由f (1)=0， f (1)=f (1x ·x )=f (1x )+f (x )，得f (1x)=-f (x ). 有f (13)=-f (3)=-1，得f (3)=1，故2=f (3)+f (3)=f (9)， 有f (x )-f (1x -2)=f (x )+f (x -2)=f (x (x -2))， 所以原不等式可化为f (x (x -2))≥f (9)，于是从而所求x 的取值范围是[1+10，+∞）.点评 题（2）实质上是解抽象函数不等式. 一般地，先把不等式中的常数项化成某个函数值（如这里的2=f (9))，以便利用单调性“脱去”函数符号，转化成一般不等式. 特别注意抽象函数定义域. 不等式组的前两个不等式是定义域要求（这里也是单调区间的要求，因为只有同一个单调区间，才能“脱去”函数符号），第三个是单调性的逆用.此外，我们可以写出满足题设条件的一个函数y =log 3x .2. 与奇偶性相关的问题例4（2002·北京）已知f (x )是定义域在R 上不恒为0的函数，且对任意a ，b ∈R 都满足f (a ·b )=af (b )+bf (a ). 求f (0)和f (1)，判断并证明f (x )的奇偶性.解 令a =b =0，则f (0·0）=0，即f (0)=0.令a =b =1，则f (1)=2 f (1)，即f (1)=0.x >0，x -2>0， 解得x ≥1+10.x (x -2)≥9.f (x )为奇函数，证明如下.令a =-1，b =x ，则f (-x )=-f (x )+xf (-1)，又f (1)=f ((-1)·(-1))=-f (-1)-f (-1)，即f (-1)=0，从而f (-x )=-f (x ).所以f (x )为奇函数.点评 当然，也可以只令a =-1，推得f (-b )=-f (b )而得结论.例5（2009·全国）函数f (x )的定义域为R . 若f (x +1)与f (x -1)都是奇函数，则（ ）A. f (x )是偶函数B. f (x )是奇函数C. f (x )=f (x +2)D. f (x +3)是奇函数解析 由f (x +1)是奇函数，知f (-x +1)=-f (x +1)， ①由f (x -1)是奇函数，知f (-x -1)=-f (x -1)， ②在①中，用x -1代换x ，得f (2-x )= -f (x )，在②中，用x +1代换x ，得f (-2-x )=-f (x )，所以f (2-x )= f (-2-x )，再用-2-x 代换x ，得f (4+x )=f (x )，知4为f (x )的周期.于是由②，f (-x -1+4)=-f (x -1+4)，即f (-x +3)=-f (x +3)，所以f (x +3)是奇函数，可知选D.点评 我们还可以构造模型函数f (x )=cosπx 2来解此选择题，可知选 D. 事实上f (x +3)=sin πx 2. 还有，由f (x +1)是奇函数，可令h (x )=f (x +1)，则h (-x )=-h (x )，即f (-x +1)=-f (x +1).此外，对上述变量代换法可以用换元法帮助理解. 例如，令t =x +1，则x =t -1，代入①式得f (2-t )=-f (t )，即f (2-x )=-f (x ). 注意这里的代换和换元的前提是，不能改变函数f (x )的定义域.例6（2014•全国）已知偶函数f (x )在[0，+∞)上单调递减，且f (2)=0，若f (x -1)>0，则x 的取值范围是 .解析 实际上是解抽象不等式f (|x -1|)>f (2).因为f (x )是偶函数，所以f (x -1)= f (|x -1|)，因为f (2)=0，f (x -1)>0，所以f (|x -1|)>f (2).又f (x )在[0，+∞)上单调递减， |x -1|，2∈[0，+∞)，所以|x -1|<2，解得-2<x -1<2，即-1<x <3综上可知，x 的取值范围是(-1，3).例7（2015•全国）设函数f ´(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (-1)=0，当x >0时，xf ´(x )-f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A. (-∞，-1)∪(0，1)B. (-1，0)∪(1，+∞)C. (-∞，-1)∪(-1，0)D. (0，1)∪(1，+∞)解析 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (-x )=-f (x ) ①，对等式两边求导，注意左边用复合函数求导法则，得[f (-x )]´=[ -f (x )]´ ，f ´(-x )•(-x )´=-f ´(x )，即f ´(-x ) =f ´(x ) ②.因为当x >0时，xf ´(x )< f (x )，故当x <0时，则-x >0，-xf ´(-x )< f (-x )，将①，②代入得-xf ´(x )<- f (x )，即xf ´(x )> f (x ) (x <0).由f (x )>0，知xf ´(x )>0，得f ´(x )<0 (x <0)，因此，f (x )在(-∞，0)上是减函数，又f (-1)=0，所以x <0时，由不等式f (x )>0，即f (x )> f (-1)，解得x <-1.由奇偶性与单调性的关系知，f (x )在(0，+∞)上也是减函数，又f (1)=-f (-1)=0，所以x >0时，由不等式f (x )>0，即f (x )> f (1)，解得0<x <1.综上可知，选A.评注（1）这里，我们由f (-x )=-f (x )，推得f ´(-x ) =f ´(x ). 这表明奇函数的导函数是偶函数. 同理可得，偶函数的导函数是奇函数.（2）另法. 我们可以构造辅助函数来解此题. 令g (x )=f (x )x ，得g ´(x )=xf ´(x )-f (x )x 2.当x >0时，g ´(x )<0，知g (x )单调递减. 由f (-1)=-f (1)及f (-1)=0，知g (1)=0，所以由不等式f (x )>0，即g (x )>g (1),解得0<x <1. 可证g (-x )=g (x )，g (x )是偶函数，知g (x )在(-∞，0)上是单调递增. 当x <0时，同理，由g (x )<g (-1)解得x <-1. 一般地，题目条件出现“xf ´(x )-f (x )<0( >0)”时，可以考虑构造辅助函数g (x )=f(x )x；出现“xf ´(x )+f (x )<0( >0)”时，可以考虑构造辅助函数 h (x )=xf (x ).（3）为加深对此题的理解，我们可以举出这类函数的一个特例：它的图象如图1.3. 与周期性相关的问题例8（2001·全国）设f (x )是定义域在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1，x 2∈[0，12 ]，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)f (x 2)，且f (1)=a >0. 求f (12)，f (14)，并证明f (x )是周期函数.解 由题设得a =f (1)=f (12+12)=f (12)f (12)，即f (12)=21a . 21a = f (12)=f (14+14)=f (14)f (14)，即f (14)=41a . 因为f (x )是偶函数，所以f (-x )= f (x )，又f (x )图象关于直线x =1对称，得f (1+x )=f (1-x )，用x +1代换x ，得f (2+x )=f (-x )，于是f (2+x )=f (x )，所以f (x )是周期函数.例9 设函数f (x )定义在R 上，且对任意的x 有f (x )=f (x +1)-f (x +2)，求证f (x )是周期函数，并找出它的一个周期.解 因为f (x )=f (x +1)-f (x +2)，所以f (x +1)= f (x +2)-f (x +3)，两式相加，得f (x )= -f (x +3)，即f (x +3)= - f (x ).因此，f (x +6)=f ((x +3)+3)=-f (x +3)=-(-f (x ))=f (x ).所以，f (x )是周期函数，它的一个周期是6.点评 对于由关系式f (x +3)= - f (x )，推得f (x +6)=f (x ). 这个我们可以这样理解，“自变量每增加3，函数值反号一次”. 我们增加6，反号两次，不就“负负得正”了吗. 类似的还有f (x +2)=-x +1，x >0， 0， x =0， -x -1， x <0. f (x )= 图1±1f(x )，可得f (x +4)=f (x )等. 例10（2011·上海）设g (x )是定义在R 上的以1为周期的函数，若函数f (x )=x +g (x )在区间[3，4]上的值域为[-2，5]，求f (x )在区间[-10，10]上的值域.解 由g (x +1)=g (x )，知g (x +n )=g (x )，n ∈Z .所以f (x +n )=x +n + g (x +n )=x +g (x )+n =f (x )+n ，n ∈Z .因为x ∈[3，4]时，f (x )∈[-2，5]，故当x ∈[-10，-9]时，x +13∈[3，4]，有f (x +13)∈[-2，5]，即f (x )+13∈[-2，5]，所以f (x )∈[-15，-8].当x ∈[-9，-8]时，x +12∈[3，4]，同理，f (x )∈[-14，-7].……当x ∈[9，10]时，x -6∈[3，4]，从而f (x -6)∈[-2，5]，即f (x )-6∈[-2，5]，所以f (x )∈[4，11].综上，当x ∈[-10，10]时，有f (x )∈[-15，-8]∪[-14，-7]∪…∪[4，11]=[-15，11].所以f (x )值域为[-15，11].4. f (x )=af (x +b )的问题关于已知f (x )所满足的方程求f (x )的解析式问题，我们在7.3节讲述过. 我们现在来研究函数f (x )满足关系式f (x )=af (x +b )，求解与f (x )相关的问题.例11（2010·广东）已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )=kf (x +2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间[0，2]上有表达式f (x )=x (x -2).（1）求f (-1)，f (2. 5)的值；（2）写出f (x )在[-3，3]上的表达式，并讨论f (x )在[-3，3]上的单调性.解析 （1）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2)，故f (1)=-1，f (12)=-34. 又x ∈R 时，f (x )=kf (x +2)（k <0）， 所以f (-1)=kf (-1+2)=kf (1)=-k ; f (2. 5)=f (2+12)=1k f (12)=-34k. （2）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2)，设-2≤x <0，则0≤x +2<2，有f (x +2)=(x +2)(x +2-2)=x (x +2)，所以f (x )=kf (x +2)=k x (x +2).设-3≤x <-2，则-1≤x +2<0，有f (x +2) =k (x +2)(x +4)，所以f (x )=kf (x +2)=k 2(x +2)(x +4). 设2<x ≤3, 则0<x -2≤1，又f (x -2)=kf (x )，所以f (x )=1k f (x -2)=1k(x -2)(x -4).因为k <0，由二次函数性质知，f (x )在[-3，-1]，[1，3]上为增函数；在[-1，1]上为减函k 2(x +2)(x +4)，-3≤x <-2， k x (x +2)， -2≤x <0， x (x -2)， 0≤x ≤2， 1k (x -2)(x -4)， 2<x ≤3. 综上所述，f (x )=数. （图2）例12（2003·上海）已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x +T )=Tf (x )成立.（1）函数f (x )=x 是否属于集合M ，说明理由；（2）设函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，证明：f (x )=a x ∈M . 解 （1）对于非零常数T ，f (x +T )=Tf (x )=Tx ，因为对任意x ∈R ，x +T = Tx 不能恒成立，所以f (x )=x M .（2）因为函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T .于是对于f (x )=a x 有f (x +T )=a x +T = a T ·a x = T ·a x = Tf (x )，所以f (x )=a x ∈M .所以方程组 有解，消去y 得a x =x ， y =a x ， y =x。
抽象函数几类问题的解题方法与技巧
一、求解析式的一般方法 1、换元法例1：已知f(x+1)=x 2-2x 求f(x)解：令t=x+1则x=t-1 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t 2-4t-3∴f(x)=x 2-4x-3换元法是解决抽象函数问题的基本方法，换元法包括显性换元法和隐性换元法。
2、方程组法例2：若函数f(x)满足f(x)+2f(x1)=3x ，求f(x) 解：令x=x 1则f(x 1)+2f(x)= x 3 f(x)+2f(x 1)=3x ＝＞f(x)= x 2-x2f(x)+f(x 1)=x 3∴f(x)= x2-x例3 .例43、待定系数法例5：如果f[f(x)]=2x-1则一次函数f(x)=______ 解：f(x)是一次函数∴不妨设f(x)=ax+b(a ≠0)则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b 又已知f[f(x)]=2x-1例6：已知f(x)是多项式函数，解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
二、判断奇偶性的一般方法在奇偶性的求解中，常用方法是赋值法，赋值法中常见的赋值有-1、0、1。
例7 定义在（-1、1）上的函数f(x)满足。
（1）对任意x、y∈ (-1、1) 都有f(x)+f(y)=f()（2）当x∈ (-1、0) 时,有f(x)＞0求证（I）f(x)是奇函数,（II）f(证明：（1）令x=y=0，则2f(0)=f(0) ∴f(0)=0令y=-x，则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(=f(0)=0∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数例8定义在R上的函数f(x)，对任意 x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0（1）求证f(0)=1 （2）求证y=f(x)是偶函数证明：（1）令x=y=0∴f(0)+f(0)=2×f(0)2∵f(0)≠0∴f(0)=1(2)令x=0则f(0+y)+ f(0-y)=2 f(0)f(y)f(y)+f(-y)=2f(y) ＝＞f(-y)=f(y) ＝＞y=f(x)是偶函数例9.对任意实数x,y ，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+1)=f(0)+2f[(1)]2,三、单调性的求解方法例6：定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x 、y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x ＞0时，f(x)＜0恒成立。
求抽象函数解析式的几种方法及适用范围
求函数的解析式的几种方法一：方法名称：配凑法适用范围：已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解析式方法步骤：1把f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式2再把g(x)用h(x)代替例：的解析式。
已知求的解析式。
已知f(x+1)=x-3, 求f(x) 的解析式。
已知，求的解析式。
二：方法名称：换元法适用范围：已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解析式方法步骤：1先把形如f(g(x))内的g(x)设为t（换元后要确定新元t的取值范围）2在用一个只含有t的式子把x表示出来3然后把这个式子在解析式的右端的x中，使右边只含有t4再把t用h(x)代替。
例题：已知求的解析式。
已知f（）=x2+5x,则f(x)的解析式。
三方法名称：待定系数法适用范围：已知对应法则f(x)的函数模型（如一次函数，二次函数等）方法步骤：1先设出函数解析式（如f（x）=ax+b）2把解析式的左端用这个函数模型表示出来4求出函数模型的系数例：四方法名称：方程组法适用范围：一般等号左边有两个抽象函数（如f(x),f(-x)）。
等号右边也含有变量x。
方法步骤：将左边的两个抽象函数看成两个变量。
变换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求f（x）的解析式例:设f(x)满足关系式 ,求函数的解析式.五：方法名称：赋值法适用范围：一般包含一句话“对任意实数满足”方法步骤：一般的，已知一个关于x,y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数x或者y，得出关于x或者y的解析式。
例：。
抽象函数求解的常用求法
抽象函数求解的几种求法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数。
如函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等。
它是高中数学函数部分的难点，由于抽象函数没有具体的解析式作为载体，因此理解起来比较困难，那么怎样求解抽象函数问题呢？以下介绍几种解抽象函数问题的方法。
一． 特殊化方法1. 在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换”的方法，如将x 换成x -或将x 换成1x等。
2. 在求函数值时，可用特殊值（如0或1或-1）“代入” 例1.已知()f x 满足()123363f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f x 的解析式。
解：先令3u x =，解出3ux =，于是有：()1232f u f u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭-----------①再以1u代替u 得：()1223f f u u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭------------②联立①、②式解方程组，并消去1f u ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得()6455uf u u =-即所求解析式为：()6455x f x x =-例2. 若对一切自然数a 、b 都有()()()f a b f a f b ab +=++且()11f =，求()f x 的解析式。
解：利用特殊值法 令1a =，等式变为：()()()()111f b f f b b f b b +=++=++，即：()()11f b f b b +-=+，注意到上式是一个关于自然数b 的递推关系式，令1b =，有()()2111f f -=+2b =，有()()3221f f -=+1b n =-，有()()()111f n f n n --=-+将以上1n -条等式左右两边分别相加，得：()()()()1123111f n f n n -=++++-+⨯-即：()()()1123111f n n n =+++++-+⨯-()11232n n n -=++++=即所求解析式为：()()12x x f x -=二． 函数性质法函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊点等）反应出来的，抽象函数也是如此。
抽象函数的定义域的求法-解析式的求法-很全面
题型3：复合函数及其定义域的求法一．基本知识(1)函数的概念:设是A,B非空数集,如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:ATB为集合A到集合B的函数，记作：y=f(x),xeA。
其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值.(2)复合函数的定义：一般地：若y=f(u)，又u=g(x)，且g(x)值域与f(u)定义域的交集不空，则函数y=f[g(x)]叫x的复合函数，其中y=f(u)叫外层函数，u=g(x)叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如:f(x)二3x+5,g(x)二x2+1；复合函数f(g(x))即把f(x)里面的x换成g(x)，f(g(x))=3g(x)+5=3(x2+1)+5=3x2+8(3)复合函数的定义域函数f(g(x))的定义域还是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.①已知f(x)的定义域，求复合函数f[g GM的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为xe(a,b)，求出f[g(x)]中a<g(x)<b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域。
②已知复合函数f[g6》的定义域，求f(x)的定义域方法是：若f[gQ的定义域为xe(a,b)，则由a<x<b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域③已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f[g(x》定义域求得fC)的定义域，再由fG)的定义域求得f[hGR的定义域。
④已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
常见抽象函数解析式的求法
常见抽象函数解析式的求法2019-03-07由于函数概念⽐较抽象，学⽣对解有关函数记号的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学⽣对函数概念的理解，使其更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提⾼解题能⼒，优化学⽣数学思维。
现将常见解法及意义总结如下。
⼀、换元法即⽤中间变量表⽰原⾃变量x的代数式，从⽽求出f（x），这也是证某些公式或等式常⽤的⽅法，此法能培养学⽣的灵活性及变形能⼒。
例1 已知f（）=2x+1，求f（x）。
解：设 =u，则x= ，f（u）=2 +1= ，f（x）= 。
⼆、凑合法在已知f（g（x））=h（x）的条件下，把h（x）并凑成以g（u）表⽰的代数式，再利⽤代换即可求f（x）。
此解法简洁，还能进⼀步复习代换法。
例2 已知f（x+ ）=x3+ ，求f（x）。
解：f（x+ ）=（x+ ）=（x2-1+ ）=（x+ ）（（x+ ）2-3），⼜|x+ |=|x|+ ≥1，f（x）=x（x2-3）=x3-3x，（|x|≥1）。
三、待定系数法先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3 已知f（x）⼆次实函数，且f（x+1）+f（x-1）=x2+2x+4，求f（x）。
解：设f（x）=ax2+bx+c，则f（x+1）+f（x-1）=a（x+1）2+b（x+1）c+a（x-1）2+b（x-1）+c=2ax2+2bx+2（a+c）=x2+2x+4，⽐较系数得2（a+c）=42a=12b=2 a= ，b=1，c= ，f（x）= x2+x+ 。
四、利⽤函数性质法主要利⽤函数的奇偶性，求分段函数的解析式。
例4 已知y=f（x）为奇函数，当x>0时，f（x）=lg（x+1），求f（x）。
解：f（x）为奇函数，f（x）的定义域关于原点对称，故先求x-x>0，f（-x）=lg（-x+1）=lg（1-x），f（x）为奇函数，lg（1-x）=f（-x）=-f（x），当x五、构建⽅程组法例5 已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且有f（x）+g（x）= ，求f（x），g（x）。
抽象函数问题常见题型及解法
抽象函数问题常见题型及解法江苏省赣榆县海头高级中学 222111 胡继缙抽象函数是指仅给出函数的某些性质，而不给出函数解析式的函数，解题时可以根据已有的性质，如：周期性、奇偶性、单调性、图象对称性等，采用灵活的方法，如：换元法、赋值法、等价转化法、构造方程（组）或不等式（组）等方法。
本文就这类题型及解法作一简单介绍。
一、求函数解析式求解此类问题，通常利用换元法或利用函数的周期性，构造方程组.例1 已知对非零实数x ，恒有x xf x f 3)1(2)(=-，求)(x f . 解 由题意得，用x 1代换x ，可得xx f x f 3)(2)1(=- 于是有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-x x f xf x x f x f 3)(2)1(3)1(2)( 将)(x f 视作为未知数，解之得xx x f 2)(--=. 例2 已知函数)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且满足11)()(-=+x x g x f ， 求)(x f 、)(x g 的解析式.解 由题意得，用x -代换x ，得11)()(--=-+-x x g x f ∵)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数 于是有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=+11)()(11)()(x x g x f x x g x f将)(x f 视作为未知数，解之得11)(2-=x x f ，1)(2-=x x x g . 二、求函数定义域例3 已知函数)23(+x f 的定义域为（-2，1），求函数)3()(2+-x f x f 的定 义域.求解此类问题，通常利用换元法.解 令23+=x t ，由)1,2(-∈x ，可得54<<-t∴函数)(x f 的定义域为（-4，5）又由⎩⎨⎧<+<-<<-534542x x ， 得25<<-x∴函数)3()(2+-x f x f 的定义域为)2,5(-.三、求函数值求解此类问题，通常利用函数的周期性，将自变量的值化归到给定的区间上.例4 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时， x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ）.（A ）0.5 （B ）-0.5 （C ）1.5 （D ）-1.5解 由 )()2(x f x f -=+，可得)()4(x f x f =+∴函数)(x f 是周期函数，且函数最小正周期4=T结合函数是奇函数，则)5.0()5.0()85.0()5.7(f f f f -=-=+-= 又∵10≤≤x 时，x x f =)(∴5.0)5.0(=f ， ∴5.0)5.7(-=f ， 故选（B ）.四、求函数最值问题求解此类问题，通常要确定函数在给定的区间上的单调性，利用单调性求最值.例5 设函数)(x f 为奇函数，对任意R y x ∈,，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，0)(<x f ，2)1(-=f ，求)(x f 在[-3，3]的最大值和最小值.解 设3321≤<≤-x x ，则012>-x x∵)(x f 为奇函数，且当0>x 时，0)(<x f∴0)()()()()(121212<-=-+=-x x f x f x f x f x f∴)()(12x f x f <，∴)(x f 在[-3，3]上是减函数故6)]1()1()1([)]2()1([)3()3(max =++-=+-=-=-=f f f f f f f y 6)3()3(min -=--==f f y .五、求解函数不等式求解此类不等式，通常利用函数的单调性将抽象的函数不等式等价的转化成一般的不等式（组），有时也可借助数形结合的方法.例 6 若)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且对一切0>x ，满足)()()(y f x f yx f -=.)1(求)1(f 的值. )2(若,1)6(=f 解不等式2)1()3(<-+af a f . 解 )1(令x y =，则0)()()()1(=-==x f x f xx f f . )2(∵对一切0>x ，满足)()()(y f x f yx f -=，且1)6(=f ∴2)1()3(<-+af a f )6(2)()3(f a f a f <++⇔ )6()63()()6()6()3(af a f a f f f a f <+⇔-<-+⇔ 2173300663+-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧><+⇔a a a a . 例7 若)(x f 是奇函数，且在),0(+∞内是增函数，又0)3(=-f ，则不等式 0)(<⋅x f x 的解集是 .解 根据题意，可以作出函数)(x f 的大致图象，如图1. ∵)(x f 是奇函数，且在),0(+∞内是增函数 ∴)3(0)3(f f -==-，∴0)3(=f∴0)(<⋅x f x 03300)(00)(0<<-<<⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>⇔x x x f x x f x 或或 ∴不等式0)(<⋅x f x 的解集为），（），（3003⋃-.。
抽象函数常见题型和解法
抽象函数的常见题型及解法一、 抽象函数的定义域1. 已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是： 由a<g(x)<b,求得x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。
即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。
例1.已知f(x)的定义域为[1，4]，求f()的定义域. 解: 由1≤≤4，得 -1≤≤2 即 -1≤<0 或 0<≤2 解得 X ≤-1 或x ≥∴函数的定义域为:2. 已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域若已知f[g(x)]的定义域x (a,b)，求f(x)的定义域，其方法是： 由a<x<b,求得g(x)的范围，即为f(x)的定义域。
即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。
例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2，2]，求函数f(x)的定义域. 解：∵f(x+2)的定义域为[-2，2]， ∴-2≤x ≤2， ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0，4]3. 已知f[ (x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域先由f[ (x)]的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。
即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第∈21+x21+x x1x 1x121()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,211,∈ϕϕ二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。
例3.若已知f(x+1)的定义域为，求函数f ()的定义域. 解：∵f(x+1)的定义域为， ∴-2≤x 3， ∴ -1≤x+1 4 即f(x)的定义域为.∴ -1≤<4，∴ -3≤<2 即 -3≤<0 或 0<<2 解得 X ≤-或 x> ∴函数的定义域为:3. 已知f(x)的定义域，求f[ (x)] + f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域，其方法是：由,求得x 的范围，即为f[ (x)] + f[g(x)]的定义域。
抽象函数和函数的解析式
抽象函数和函数的解析式一、解析式的求法1.代入法f (x ) =2x +1，求f (x +1)f (x ) 满足f (x +3) =f (1-x ) ，且f (x ) =0的两实根平方和为10，图像过点2. 待定系数法二次函数(0,3); 已知f (x ) 二次实函数，且f (x +1) +f (x -1) =x 2+2x +43.换元法f (3x +1) =9x 2-6x +5， f (f (3x +1) =9x 2-6x +5，f (x ) +f (-x ) =x -1，33224. 配凑法x) =2x +1, x +111f (x +) =x 3+3x x5. 6.消元法（构造方程组法）利用函数的性质求解析式例1. 已知函数y =f (x ) 是定义在区间[-, ]上的偶函数，且x ∈[0,]时，f (x ) =-x 2-x +5 32f (x ) 解析式答案：3⎧2-x -x +5(0≤x ≤) ⎧⎧2f (x ) =⎧⎧-x 2+x +5(-3≤xy =f (x ) 为奇函数, 当 x >0时, f (x ) =lg(x +1) , 求f (x )例2. 已知解:∵f (x ) 为奇函数，∴f (x ) 的定义域关于原点对称，故先求x 0,∴f (-x ) =lg(-x +1) =lg(1-x ) ,∵f (x ) 为奇函数，∴lg(1-x ) =f (-x ) =-f (x ) ∴当x⎧lg(1+x ), x ≥0f (x ) =⎧-lg(1-x ), x例3．一已知f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，且有f (x ) +g (x ) =1，求f (x ) , g (x ) . x -1解：∵f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，∴f (-x ) =f (x ) , g (-x ) =-g (x ) ,不妨用-x 代换f (x ) +g (x ) =………①中的x ,x -1∴f (-x ) +g (-x ) =11即f (x ) －g (x ) =-……②-x -1x +1显见①+②即可消去g (x ) , 求出函数f (x ) =1x再代入①求出g (x ) =x 2-1x 2-17. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f (x ) 的表达式例：设解：∵f (x ) 的定义域为自然数集，且满足条件f (x +1) =f (x ) +f (y ) +xy , 及f(1)=1,求f (x )f (x ) 的定义域为N ，取y =1,则有f (x +1) =f (x ) +x +1∵f (1)=1,∴f (2)=f (1)+2,f (3)=f (2)+3……f (n ) =f (n -1) +nn (n +1) 1x (x +1), x ∈N 以上各式相加，有f (n ) =1+2+3+……+n =∴f (x ) =22f (x ) 的有关问题二、利用函数性质，解1. 判断函数的奇偶性：例：已知数。
求解抽象函数解析式六法
厂 （ ） 一 一 寺 一 ２ ．
（ 责任 编辑 金 铃）
【 例６ 】 已知 一厂 （ ｚ ） 为奇 函数 ， 当ｘ ＞Ｏ时 ， 厂 （ ｚ ） ｌ ｇ （ ｚ ＋１ ） ， 求－ 厂 （ ） ．
解： 。 ． ‘ － 厂 （ ） 为奇 函数 ， ． 。 ． － 厂 （ ｚ ） 的定义 域关 于原 点对 称， 故先求 ｘ ＜Ｏ时的表达式．
【 例９ 】 函数 ， （ ） 对 一切 实数 ｚ ， Ｙ均有 厂（ ｚ ＋ ） ｆ （ ｙ ） 一（ ｚ ＋２ ＋１ ） ｚ成立 ， 且厂 （ １ ） 一０ ． 求厂 （ ） 的解 解： 令 ： ＝ ： １ ， 一０ ， 代 入得 Ｌ 厂 （ １ ＋０ ） 一厂（ ０ ） ＝ ＝ ： （ １ ＋
（ ２ ｚ — ＋１ ） 恒成立 ，
【 例３ 】已 知厂 （ ＋ ÷） 一 ＋ 专， 求厂 （ ｚ ） ．
解： ‘ ． ‘ ｚ ＋ ） 一（ ｚ ＋ ） （ 一１ ＋ ） 一（ ｚ ＋ ）・
一
不妨令 ｘ ＝Ｏ ， 则有 厂 （ －ｙ ） 一厂 （ Ｏ ） －ｙ （ 一 ＋１ ） 一
＋１ ，
再令 一 ＝ ＝ ＝ 得 函数解析式 （ ｚ ） 一ｚ ＋ ＋１ ．
［ （ ＋ ） ２ ｍ ３ ］ ． 又 。 ． ‘ Ｉ ｘ ＋ ￣ Ｉ — Ｉ ｚ ｌ ＋ 酉 １ ≥ １ ，
－
。
．
．
－ 厂 （ ｚ ） 一 （ 一３ ） 一ｚ 。 －３ ｘ （ １ ｚｌ ≥１ ） ．
厂 （ ￡ ） 一下 ４ ｔ ＋５， （ ｚ ） 一４ ｘ ＋Ｓ
，
二、 凑合法 ： 在 已知 ｆ ｛ ｇ （ ｘ ） ） 的条件下 ， 把ｈ （ ｘ ） 拼凑
成以ｇ （ ） 表示的代数式 。 再 利 用代 换 即可 求 ｆ （ ｘ ）