高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题
高三数学解析式试题答案及解析
高三数学解析式试题答案及解析1.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.【答案】－x(x＋1)【解析】当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，由已知f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1)．2.定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，则，又，∴，∴当时，取到最小值为.【考点】1、函数的解析式；2、二次函数的最值.3.运货卡车以每小时x千米的匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米／小时）.假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（）升，司机的工资是每小时14元.（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） km/h时，最低费用的值为.【解析】（Ⅰ）行车总费用包括两部分：一部分是油耗；另一部分是司机工资，首先表示出行车时间为，故司机工资为（元）,耗油为（元），故行车总费用为二部分的和；（Ⅱ），由基本不等式可求最小值，注意等号成立的条件（时取等号），如果等号取不到，可考虑利用对号函数的图象，通过单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）设所用时间为，.所以，这次行车总费用y关于x的表达式是（或，）（Ⅱ）仅当，即时，上述不等式中等号成立答：当km/h时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元【考点】1、函数的解析式；2、基本不等式.4.已知若则等于（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】.【考点】函数的解析式.5.若定义在R上的函数满足，且当时，，函数，则函数在区间内的零点个数为（）A．9B．7C．5D．4【答案】C【解析】∵，∴，当时，，，∴，∴，通过画图找两个图像的交点个数，即零点个数.【考点】1.求函数解析式；2.分段函数图像.6.若，则的表达式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，所以，所以，选D.【考点】求函数的解析式.7.已知函数，则满足方程的所有的的值为；【答案】0或3【解析】试题分析若，则或，解得a=3或a="0."【考点】1.分段函数；2.对数方程和指数方程.8.对于函数，如果存在锐角使得的图象绕坐标原点逆时针旋转角，所得曲线仍是一函数，则称函数具备角的旋转性，下列函数具有角的旋转性的是A．B．C．D．【答案】C【解析】若函数f （x ）逆时针旋转角后所得曲线仍是一函数，则函数f （x ）的图象与任一斜率为1的直线y=x+b 均不能有两个以上的交点 A 中函数与直线y=x 有两个交点，不满足要求； B 中函数y=lnx 与直线y=x-1有两个交点，不满足要求； C 中函数与直线y=x+b 均有且只有一个交点，满足要求；D 中函数y=x 2与直线y=x 有两个交点，不满足要求；故选C. 【考点】旋转变换点评：本题考查的知识点是函数的定义，其中根据函数的定义分析出函数f （x ）的图象与任一斜率为1的直线y=x+b 均不能有两个以上的交点，是解答本题的关键．9. 已知函数在点处的切线方程为 (1)求函数的解析式；(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值都有求实数c 的最小值．【答案】(1) f(x)＝x 3－3x. (2) c 的最小值为4. 【解析】(1)f′(x)＝3ax 2＋2bx －3. 根据题意，得即解得所以f(x)＝x 3－3x.(2)令f′(x)＝0，即3x 2－3＝0，得x ＝±1.(－2，－，f(1)＝－2，所以当x ∈[－2,2]时，f(x)max ＝2，f(x)min ＝－2. （ 需列表格或者说明单调性，否则扣2分）则对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |＝4， 所以c≥4.即c 的最小值为4.【考点】本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值，待定系数法。
数学抽象函数定义域专项训练
高一数学函数抽象函数定义域专项训练（含解析）一、求定义域（共22题；共41分）1.（2020高一上·南京月考）已知函数的定义域为，则的定义域是（）A. B. C. D.2.（2020高一上·重庆月考）如果函数的定义域为，那么函数的定义域为（）A. B. C. D.3.（2020高一上·利辛期中）已知的定义域是，求函数的定义域（）A. [−1，5]B. [2，5]C. [−7，5]D. [−2，10]4.（2020高一上·定远月考）已知的定义域为，函数的定义域为（）A. B. C. D.5.（2020高一上·亳州月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.6.（2020高一上·蛟河月考）已知的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.7.（2020高一上·福建月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.8.（2020高三上·哈尔滨月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.9.（2020高一上·上海月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A. B. C. D.10.（2020高一上·南阳月考）函数定义域是，则的定义域是（）A. B. C. D.11.（2020高一上·洛阳月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.12.（2020高一上·太原月考）若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.13.（2020高一上·芜湖期中）已知函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）A. B. C. D. [0，2]14.（2020高一上·江西月考）已知函数的定义域为，，那么的定义域是（）A. B. C. D.15.（2020高一上·定远月考）已知函数y＝f(x＋1)的定义域是{x|－2≤x≤3}，则y＝f(2x－1)的定义域是（）A. {x|0≤x≤ }B. {x|－1≤x≤4}C. {x|－5≤x≤5}D. {x|－3≤x≤7}16.（2020高一上·项城月考）已知函数的定义域为，函数的定义域为（）A. B. C. D.17.（2020高一上·贵溪月考）若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A. B. C. D.18.（2020高一上·杭州期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.19.（2020高一上·蚌埠期末）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）A. B. C. D.20.（2020高一上·百色期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为________.21.（2020高一上·四川月考）设的定义域为，则函数的定义域是________.22.（2020高一上·辽宁期中）函数的定义域为，则的定义域为________.答案解析部分一、求定义域1.【答案】C【解析】【解答】对于函数，，可得，因此，函数的定义域是.故答案为：C.【分析】由，计算出，由此可计算出函数的定义域。
高一必修一数学抽象函数定义域求法专题讲解及专项练习
函数定义域求法总结一、定义域是函数)(x f y =中的自变量x 的范围。
（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1。
（5）x y tan =中2ππ+≠k x 。
（6）0x 中0≠x 二、复合函数的定义域题型一、已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出()][x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
例1、已知函数)(x f 的定义域为[]5,2，函数)3(+x f 的定义域为 。
例2、已知函数)(x f 的定义域为[]4,1，函数)2(x f 的定义域为 。
题型二、已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
例3、已知函数)3(x f 的定义域为[]6,3-，函数)(x f 的定义域为 。
例4、已知函数)23(-x f 的定义域为[]7,4，函数)(x f 的定义域为 。
题型三、已知复合函数()][x g f 的定义域，求()][x h f 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得)(x f 的定义域，再由)(x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
例5、已知函数)14(-x f 的定义域为[]3,1-，函数)3(+x f 的定义域为 。
例6、已知函数)32(+x f 的定义域为[]8,3，函数)23(+x f 的定义域为 。
题型四、已知)(x f 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题
1 1、分段函数已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f则 （1）若=)(x f 10，则x= ；（2）)(x f 的值域为 _____.2、画出下列函数的图象（请使用直尺）(1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=23、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。
4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式观察法(1)221)1(xx x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ 换元法（3）13)2(2++=-x x x f待定系数法（4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。
（复合函数的解析式）---代入法（5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。
5、抽象函数的定义域的求解1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为 。
2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为 。
练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。
2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。
3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。
4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ； D P CPA P B。
抽象函数定义域的求法例题.doc
抽象函数的定义域1、已知f ( x)的定义域，求复合函数 f [ g x ] 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若 f (x) 的定义域为x a, b ，求出f [ g( x)] 中 a g (x) b 的解x的范围，即为f [ g( x)] 的定义域。
2、已知复合函数 f [ g x ] 的定义域，求 f (x) 的定义域方法是：若 f [ g x ] 的定义域为 x a, b ，则由a x b 确定 g (x) 的范围即为 f ( x) 的定义域。
3、已知复合函数 f [ g (x)] 的定义域，求 f [h(x)] 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由 f [ g x ] 定义域求得 f x 的定义域，再由 f x 的定义域求得 f [ h x ] 的定义域。
4、已知 f (x) 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例 1、已知函数 f ( x) 的定义域为15，，求f (3 x 5) 的定义域．解： f ( x) 的定义域为15，，1≤ 3x 5≤ 5 ， 4 ≤x≤ 10 ．3 3故函数 f (3 x 5) 的定义域为4 10．3，3练习：若函数y f ( x) 的定义域为1,2 ，则f (log2x)的定义域为。
2解：依题意知：1log 2 x 2 解之，得： 2 x 4 2∴ f (log 2 x) 的定义域为x | 2 x 4例 2、已知函数f (x2 2x 2) 的定义域为0，3 ，求函数 f ( x) 的定义域．分析：若 f g (x) 的定义域为m ≤ x≤ n ，则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g( x) 的范围即为 f (x) 的定义域．这种情况下， f ( x) 的定义域即为复合函数 f g ( x) 的内函数的值域。
函数的定义域与值域求法典型例题(解析版)
专题13：函数的定义域与值域求法典型例题（解析版）函数定义域的常见其一、已知函数解析式型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1、求函数yx 2 2x 15的定义域。
x 3 82 x 5或x3 x 2x 15 0解：要使函数有意义，则必须满足即 x 5且x 11 x 3 8 0解得x 5或x 3且x 11即函数的定义域为x x 5或x 3且x 11 。
二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。
（一）已知f (x )的定义域，求f g (x ) 的定义域。
其解法是：已知f (x )的定义域是[a ,b ]求f g (x ) 的定义域是解a g (x ) b ，即为所求的定义域。
例2、已知f (x )的定义域为[ 2,2]，求f (x 1)的定义域。
2解： 2 x 2， 2 x 1 2，解得 3 x 23即函数f (x 1)的定义域为x 3 x 3（二）已知fg (x ) 的定义域，求f (x )的定义域。
2其解法是：已知f g (x ) 的定义域是[a ,b ]求f (x )的定义域的方法是：a x b ，求g (x )的值域，即所求f (x )的定义域。
例3、已知f (2x 1)的定义域为[1,2]，求f (x )的定义域。
解： 1 x 2， 2 2x 4， 3 2x 1 5。
即函数f (x )的定义域是x |3 x 5 。
三、逆向思维型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例4、已知函数ymx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。
22分析：函数的定义域为R ，表明mx 6mx m 8 0，使一切x R 都成立，由x 项的系数是m ，所以应分m 0或m 0进行讨论。
定义域,抽象函数习题
定义域抽象函数一．选择题（共30小题）1．（2011•江西）若，则f（x）的定义域为（）A．B．C．D．（0，+∞）2．（2011•广东）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）3．（2009•陕西）设不等式x2﹣x≤0的解集为M，函数f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N为（）A．[0，1）B．（0，1）C．[0，1] D．（﹣1，0]4．使代数式有意义的x的取值范围为（）A．|x|≥1 B．﹣1＜x＜1 C．|x|＞1 D．x≠±15．设a∈（0，1），则函数y=的定义域是（）A．（1，2] B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，2]6．函数y=的定义域为（）A．[﹣3，4] B．（1，4] C．（1，）∪（，4] D．（﹣3，）∪（，4]7．函数的定义域为（）A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2）D．[1，+∞）8．函数的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，0）∪（0，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，+∞）9．函数的定义域是（）A．B．C．D．10．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则f（2x﹣2）的定义域为（）A．[0，1] B．[log23，2] C．[1，log23] D．[1，2]11．（2011•江西）若，则f（x）的定义域为（）A．B．C．D．12．（2010•湖北）函数的定义域为（）A．（，1）B．（，∞）C．（1，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）13．（2010•广东）函数f（x）=lg（x+1）的定义域为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，+∞）14．函数y=的定义域为（）A．（﹣B．C．D．15．（2005•湖南）函数f（x）=的定义域是（）A．（﹣∞，0] B．[0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，+∞）16．函数的定义域为（）A．∅B．R C．[﹣1，1] D．x=117．函数f（x）=的定义域是（）A．（﹣∞，2log23] B．（3，+∞）C．（3，2log23] D．（2log23，+∞）18．已知，则f（x）的定义域是（）A．[﹣2，2] B．[0，2] C．[0，1）∪（1，2] D．19．函数的定义域为（）A．（，1]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，）D．（，1）20．若两个函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数．那么与函数y=x2，x∈{﹣3，3}为同族函数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个21．已知函数f（x）的定义域是（0，1），那么f（2x）的定义域是（）A．（0，1）B．（，1）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）22．设f（x）=，则f（）+f（2x﹣1）的定义域为（）A．[﹣3，3] B．[﹣3，3）C．[﹣1，]∪[，2] D．[﹣1，]∪（，2）23．（2011•广东）设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g（x），则下列等式恒成立的是（）A．（（f°g）•h）（x）=（（f•h）°（g•h））（x）B．（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C．（（f°g）°h）（x）=（（f°h）°（g°h））（x）D．（（f•g）•h）（x）=（（f•h）•（g•h））（x）24．函数y=f（x）与y=g（x）有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x，有f（x）+f（﹣x）=0，g （x）g（﹣x）=1，且x≠0，g（x）≠1，则F（x）=+f（x）（）A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数25．函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且对于定义域内的任意x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），且f（2）=1，则的值为（）A．B．C．2 D．﹣226．定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围为（）A．（﹣1，﹣1+2）B．（﹣∞，﹣1+2）C．（﹣∞，﹣1）D．[﹣1+2，+∞）27．已知函数y=f（x），对于任意两个不相等的实数x1、x2，都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2）成立，且f（0）≠0，则f（﹣2009）•f（﹣2008）…f（2008）•f（2009）的值是（）A．0 B．1 C．2 D．328．已知f（x+y）=f（x）﹣f（y）对于任意实数x都成立，在区间[0，+∞）单调递增，则满足的x取值范围是（）A．B．C．D．29．函数f（x）的定义域为R+，若f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，则f（2）=（）A．B．C．D．30．定义在R的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），x，y∈R，且f（1）=2，有下面的四个式子：①f（1）+2f（1）+…+nf（1）；②f[]；③n（n+1）；④n（n+1）f（1），则其中与f（1）+f（2）+…+f（n）相等的有（）A．①③B．①②C．①②③D．①②③④答案与评分标准一．选择题（共30小题）1．（2011•江西）若，则f（x）的定义域为（）A．B．C．D．（0，+∞）考点：函数的定义域及其求法。
函数的定义域解析与练习及答案
函数的定义域1、已知函数式求定义域：例1、求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解：（1），即；（2），即；（3）且，即．（4）要使函数有意义，应满足，即．∴函数的定义域为．（5）要使函数有意义，应满足，即．∴函数的定义域为．点拨：要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑用到不等式或不等式组，然后借助于数轴进行求解．2、求抽象函数的定义域讲解：求解抽象函数的定义域时一定要严格遵循原始函数的定义域，不管“”中的“x”被什么代换，它们都得首先遵循这一“规则”，在这一“规则”之下再去求解具体的x的范围．例2、已知的定义域为，求，的定义域．解：∵的定义域为，∴，∴，即的定义域为，由，∴，即的定义域为．点拨：若的定义域为，则的定义域是的解集．例3、已知的定义域为，求，的定义域．解：∵的定义域为，∴即的定义域为．又∵的定义域为，∴，∴即的定义域为．点拨：已知的定义域，则当时，y=kx＋b的函数值的取值集合就是的定义域．例4、已知函数的定义域是[a，b]，其中a<0<b，且|a|>b，求函数的定义域．解答：∵函数的定义域为[a，b]，∴a≤x≤b，若使有意义，必须有a≤－x≤b即有－b≤x≤－a．∵a<0<b，且|a|>b，∴a<－b且b<－a．∴的定义域为．点拨：若的定义域为及的定义域分别为A、B，则有借助于数轴分析可求得．3、函数定义域的逆用讲解：已知函数的定义域求解其中参数的取值范围时，若定义域为R时，可采用判别式法，若定义域为R的一个真子集时，可采用分离变量法．例5、已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围．解答：①当k=0时，函数，显然它的定义域是R；②当k≠0时，由函数y的定义域为R可知，不等式对一切实数x均成立，因此一定有．解得0<k≤1，∴0≤k≤1．点拨：此题是已知函数y的定义域，据此逆向求解函数中参数k的取值，需要将问题准确转化成不等式问题．例6、半径为R的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x的函数关系式，并写出它的定义域．解：如图所示，AB=2R，CD在⊙O在半圆周上．设腰AD=BC=x，作DE⊥AB．垂足为E，连BD．由Rt△ADE∽Rt△ABD，练习：一、选择题1、函数的定义域是A．[－2，2] B．{－2，2} C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．（－2，2）2、若函数的定义域为[－1，2]，则函数的定义域是A． B．[－1，2] C．[－1，5] D．3、已知函数的定义域为A，的定义域为B，若=．则实数m的取值范围是A．（－3，－1） B．（－2，4） C．[－2，4] D．[－1，3]二、填空题4、已知函数的定义域为[－1，2]，那么函数的定义域是__________．5、若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是__________．三、解答题6、求下列函数的定义域：①②③y＝lg(a x－2·3x)(a＞0且a≠1)7、解答下列各题：（1）已知的定义域为[0，1]，求及的定义域．（2）设的定义域是[－2，3），求的定义域．8、已知函数的定义域为[－1，1]，求(a>0)的定义域．9、设f(x)＝lg，如果当x∈(－∞，1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围．答案：一.1.B 2.C 3.D提示：1、得x2=4，x=±2．3、由x2－2x－8≥0得A={x|x≥4或x≤－2}．由1－|x－m|>0得，B={x|m－1<x<1＋m}，∵．二.4.解析：由得≤x≤1．5.解析：当m=0，，定义域为R，当m≠0，由的定义域为R知抛物线y=mx2＋4mx＋3与x轴无交点，即Δ=16m2－12m<0，解得．综上可知m∈．6.解：①.②.③∵a x－2·3x＞0，∴()x＞2.当a＞3时，此函数的定义域为(log2，＋∞)；当0＜a＜3且a≠1时，函数定义域为(－∞，log2).当a＝3时，函数无意义．7.解：（1）设的定义域为[0，1]，∴0≤t≤1．当t=x2，可得0≤x2≤1，∴－1≤x≤1，∴的定义域为[－1，1]．同理，由得，∴的定义域是．（2）∵的定义域是[－2，3），∴－2≤x<3－3≤x－1<2，即的定义域是[－3，2）．由，∴函数的定义域为．8.解：须使和都有意义．使有意义则；使有意义则．当时，，的定义域为；当时，，的定义域为.9.解：由题设可知，不等式1＋2x＋4x·a>0在x∈(－∞，1]上恒成立，即()2x＋()x＋a>0在x∈(－∞，1]上恒成立．设t＝()x，则t≥，又设g(t)＝t2＋t＋a，其对称轴为t＝－.只需g()＝()2＋＋a>0，得a>－，所以a的取值范围是a>－．。
期末复习卷——函数定义域、值域、解析式
嘉兴一中2012学年高一数学期末复习（二）——函数的定义域、值域、解析式组题人：吴献超 审题人：胡刚知识梳理: 【考试说明】1．了解函数、映射的概念，会求一些简单的函数定义域和值域． 2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 【概念梳理】函数定义:一般地，我们有：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 一个数x ，在集合B 中都有 确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作: y =f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 叫做函数的值域（range ）．、 与 统称为函数的三要素．映射定义：一般地，我们有：设A 、B 是非空的集合，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．区间的概念:设,a b 是两个实数，而且.a b <我们规定：(1)满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为 (2)满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为 (3)满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点，其中实数a 叫做区间的左端点，实数b 叫做区间的右端点，b a -叫做区间的长度. 区间意义与使用规则：区间是集合的另外一种表示方法，在用区间表示集合时应注意区的使用规则: (1)区间的左端点必须小于其右端点;(2)区间中的元素都表示数轴上的点,可以用数字表示出来; (3)任何区间均可在数轴上表示出来;(4)以“-∞”或“+∞”为区间的一端点时，这一端必须是小括号.函数的表示方法: 、 、分段函数： 已知函数定义域被分成有限个区间，若在各个区间上表示对应规则的数学表达式一样，但单独定义各个区间公共端点处的函数值；或者在各个区间上表示对应规则的数学表达式不完全一样，则称这样的函数为分段函数. 分段函数是一个函数，而不是几个函数；分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应将几种不同的表达式用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 【题型与方法】1．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：定义域是自变量x 的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x 的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题．忽视函数的定义域，我们将“寸步难行”，由此，我们也往往将函数的定义域称之为函数的“灵魂”．函数的定义域，就是使给出的解析式有意义的自变量的取值集合，具体来说有以下几种情况：(1)若()f x 是整式，则其定义域为全体实数集R ；(2)若()f x 是分式,则其定义域是使分母不为零的全体实数组成的集合；(3)若()f x 是偶次根式,则其定义域是使被开方数非负(即不小于零)的实数的取值集合； (4)如果函数是由一些基本初等函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本初等函数定义域的交集； (5)复合函数定义域求法：①若()f x 定义域为[,]a b ,复合函数[()]f g x 定义域由()a g x b ≤≤解出； ②若[()]f g x 定义域为[,]a b ,则()f x 定义域相当于[,]x a b ∈时()g x 的值域. (6)由实际问题列出的函数式的定义域问题,由自变量的实际意义给出.(7)分段函数定义域是各段函数定义域的并集，对数函数底数大于零不等1，真数大于零. 2．相等函数的判断:两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数），而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．求函数值域的常用方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的.具体方法： (1)直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y =ax +b (a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为 ，值域为 ； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为 ， 当a >0时，值域为 ；当a <0时，值域为 .(2)配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；(3)分式转化法（或改为“分离常数法”），如求函数3243x y x +=-的值域(4)换元法(特别注意新元的范围)：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；如y ax b =+±a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解.(5)判别式法（可转化为双钩函数形式）如求函数22122+-+=x x x y 的值域 (6)单调性法(7)数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域. (8)分段函数的值域是各段函数值域的并集. 3．求函数解析式的常用方法⑴待定系数法(已知所求函数的类型)；⑵代换(配凑)法；⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组； (4)已知函数的奇偶性和部分解析式，求函数的完整解析式；(5)赋值法（抽象函数）基础练习：1．下列对应关系是集合P 上的函数是有 ．（1）*,PZ Q N ==，对应关系:f “对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应”； （2）{1,1,2,2},{1,4}P Q =--=，对应关系：:f x →2,,y x x P y Q =∈∈；（3）{P=三角形},{|0}Q x x =>，对应关系:f “对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．” 2．下列说法中正确的有 ．A.()y f x =与()y f t =表示同一个函数 B. ()y f x =与(1)y f x =+不可能是同一函数 C.()1f x =与0()f x x =表示同一函数 D.定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数3. (1)函数y ＝16－4x 的值域是 ．(2)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x ＜g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x ).则f (x )的值域是 ．4.函数lg 3y x =-____________5. 设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且()1()1f xg x x +=-,则()f x =____________，()g x = ． 典型例题例1．(1)已知f (x )＝e(x ∈R)，则f (e 2)等于( )A ．e 2B ．e C. eD ．不确定(2) 如下图（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量,x y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有 ．(3)函数)2()21()1(22)(2≥<<--≤⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x x f ，则3()____2f -=，若21)(<a f ，则实数a 的取值范围是____ 例2．（1）若3311()f x x xx +=+，则()f x = ．（2）若2(1)lg f x x+=，则()f x = ． （3）若()f x 满足12()()3f x f x x+=，则()f x = ．（4）已知二次函数()f x 同时满足条件:①(1)(1)f x f x +=-; ②()f x 的最大值为15;③()0f x =的两根的立方和等于17.求函数()f x 的解析式.例3． （1）求函数f (x )＝12－|x |＋x 2－1＋(x －4)0的定义域． （2）若函数y ＝f (x )的定义域是[0,4]，求函数g (x )＝f (12x )x －1的定义域．例4．求下列函数的值域：⑴函数22211xx y +-= ⑵函数3log 3log 2x y x =++ ⑶xx y +-=112⑷y x =嘉兴一中2012学年高一数学期末练习（二）——函数的定义域、值域、解析式组题人：吴献超 审题人：胡刚班级：___________ 姓名：__________ 学号：____________一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴ 3)5)(3()(+-+=x x x x f ，5)(-=x x g ；⑵ 11)(-+=x x x f ，)1)(1()(-+=x x x g ；⑶ x x f =)(，2)(x x g =； ⑷0)(x x f =，xx x g =)(； ⑸ 2)52()(-=x x f ，52)(-=x x gA. ⑴、⑵B. ⑵、⑶ C ． ⑷ D. ⑶、⑸ 2．函数2()lg(31)f x x =+的定义域是（ ）A. 1(,)3-∞-B.11(,)33- C ．1(,1)3- D.1(,)3-+∞3．若函数[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=1,0,40,1,41)(x x x f x x）（，则=)3(log 4f （ ） A.31 B. 3 C. 41D. 4 4．如果函数|)|1()1()(x x x f -⋅+=的图象在x 轴上方，那么此函数的定义域为（ ）A. ()1,1- B. ()(),11,-∞-⋃+∞ C . ()(),11,1-∞-⋃- D. ()()1,11,-⋃+∞ 5．函数}3,2,1{}3,2,1{:→f 满足)())((x f x f f =，则这样的函数个数共有（ ）A. 1个B.4个 C ．8个 D.10个 6．函数344)(23++-=ax ax x x f 的定义域为R ，那么实数a 的取值范围是（ ）A. (－∞，+∞)B. (0，43) C ．(－43，+∞) D.)43,0[ 7．设函数2()272f x x x =-+-，对于实数(03)m m <<，若()f x 的定义域和值域分别为[,3]m 和[1，3]，则m 的值为（ ）A. 1B.5/2 C ．611 D.8118．函数()31log f x x =+的定义域是(]1,9，则函数()()()22g x f x f x =+的值域是（ ） A ．(]2,14 B.[)2,-+∞ C ．(]2,7 D.[]2,79．设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（ ）A ．(][)11--+ ∞，，∞B ．(][)10--+ ∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞ 二、填空题10．若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数,x y ，总有2()()(21),f x f x y x y y+=+++则()f x = . 11．如果函数f （x ）=ax -1的定义域为[－21，+)∞，那么实数a 的取值范围是 .12．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)1f x x x =-+，则()f x = 13．函数xax y 213-+=的值域为()(),22,-∞-⋃-+∞，则实数a = .14．函数x a a x y -+-=的定义域为 .15．函数)(x f =x 2＋x ＋21的定义域是[n ，n ＋1]（n 是自然数），则此函数值域中的整数的个数为 .16．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是 三、解答题17．对定义域分别是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定：函数()()()()()f g f g f gf xg x x D x Dh x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩当且当且当且．（1）若函数1()1f x x =-，2()g x x =，写出函数()h x 的解析式；（2）求问题（1）中函数()h x 的值域.18．求函数3512+-+=x x x y 的值域（至少两种方法）.19．已知函数ϕ(x)=f(x)＋g(x)，其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x 的反比例函数，且ϕ(31)=16，ϕ(1)=8． （1）求ϕ(x)的解析式，并指出定义域；（2）求ϕ(x)的值域.20．已知函数()2x f x ax b=+（a ，b 为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.（1）求函数f(x)的解析式；（2）设k>1，解关于x 的不等式()()12k x k f x x+-<-.21．已知二次函数()2f x ax bx =+ (),0a b a ≠是常数，且满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根． (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．答案：任意，唯一，函数值的集合{f (x )| x ∈A }，定义域、值域与对应关系[],;a b (,);a b [,),(,].a b a b解析法、图象法、列表法 {x |x ≠0}，{y |y ≠0}； Rab ac y y 4)4(|2-≥，{ ab ac y y 4)4(|2-≤}. 基础练习：1．【研析】由于（1）中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，并且（3）中集合P 不是数集，从而知只有（2）正确．2．【研析】A 两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关,判断两个函数是否相同,主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同. 2．(]0,3 3．()9,02,4⎛⎤-⋃+∞ ⎥⎝⎦4．[)()()0,22,33,4⋃⋃ 5．221,11xx x -- 典型例题 例1 （1）B（2）【研析】由函数定义可知，任意作一条直线x a =，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当11a -≤≤时，直线x a =与函数的图象仅有一个交点，当1a >或1a <-时，直线x a =与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有（2）（3）．（3）12，3(,)(2-∞- 例2 【研析】（1）∵3331111()()3()f x x x x xx x x+=+=+-+， 又1(,2][2,)x x+∈-∞-+∞ ∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-， ∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg (1)1f x x x =>-（3）12()()3f x f x x+= ①，把①中的x 换成1x，得132()()ff x x x += ②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-(4) 【研析】从所给条件知()f x 的图象关于1x =对称,且最大值为15,故设二次函数的顶点式,利用韦达定理得到关于系数a 的方程.依条件可设2()(1)15(0)f x a x a =-+<,即2()215f x ax ax a =-++,令()0f x =即22150ax ax a -++=,并设12,x x 为该方程的两个根,由韦达定理知:12122151x x x x a +=⎧⎪⎨⋅=+⎪⎩,从而3333121212121590()3()232(1)2.x x x x x x x x a a +=+-⋅+=-⨯⨯+=-90217a∴-=,故 6.a =- 所以函数()f x 的解析式为2()6129.f x x x =-++例3 (1) 解：(1)要使f (x )有意义， 则只需⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |≠0，x 2－1≥0，x －4≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±2，x ≥1或x ≤－1，x ≠4，∴x ≥1且x ≠2且x ≠4或x ≤－1且x ≠－2.故函数的定义域为{x |x <－2或－2<x ≤－1或1≤x <2或2<x <4或x >4}． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤4，x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，x ≠1，∴0≤x ≤8且x ≠1.故定义域为[0,1)∪(1,8]． 例4 （1）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦ (2) (][),04,-∞⋃+∞ (3) 110,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4) 5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭练习卷：1-9：CCBCD DCCC10. ()21, 0421,0x f x x x x=⎧⎪=⎨++≠⎪⎩11.-212. ()221,00, 01,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++>⎩13.4 14. {}a 15.2n+1 16. ]310,2[ 17. 解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+∞⋃-∞∈-=11),1()1,(1)(2x x x x x h（2）当.21111)(,12+-+-=-=≠x x x x x h x 时若,4)(,1≥>x h x 则其中等号当x =2时成立，若,4)(,1≤<x h x 则其中等号当x =0时成立，∴函数),4[}1{]0,()(+∞⋃⋃-∞的值域x h 18. (]1,1,13⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭19. 解析： (1)设f(x)=ax ，g(x)=x b ，a 、b 为比例常数，则ϕ(x)=f(x)＋g(x)=ax ＋xb由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧==8163318)1(,16)31(b a b a 得ϕϕ，解得⎩⎨⎧==53b a ∴ϕ(x)=3x ＋x 5，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) (2)由y =3x ＋x5， 得3x 2－yx ＋5=0(x ≠0)∵x ∈R 且x ≠0， ∴Δ=y 2－60≥0，∴y ≥215或y ≤－215[来源:学&科&网] ∴ϕ(x) 的值域为(－∞，－215]∪［215，＋∞)20.解析：（1）将得（2）不等式即为即[来源:][来源:学#科#网Z#X#X#K]①当②当③.21. 解：(1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ， 亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.① 由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0②由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故f (x )＝－12x 2＋x .(2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知， f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，则2n ≤12，即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1，∴当n ≤14时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎨⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m <n ≤14，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0..故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．。
考点01 定义域——2021年高考数学专题复习真题练习
考点1：定义域【题组一 已知解析式求定义域】1．函数()11f x x =+-的定义域为 . 2．函数f(x)的定义域为 .3．函数01()()2f x x =-+的定义域为 .4．已知0()(2)f x x =-的定义域是 .5．函数f （x ）=15x +-的定义域为 . 6．函数()1f x x =-的定义域为__________.7．函数0y =的定义域是 ．8．函数21log 1y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的定义域为 .9．函数y =________10．函数0(2)()1x f x x +=-的定义域___________11．函数y =的定义域是________12.若()f x =，则()f x 的定义域为____________.【题组二 抽象函数求定义域】1．已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的定义域为 .2．已知()21f x -定义域为[]0,3，则()21f x -的定义域为 .3.已知函数()y f x =的定义域为[]8,1-，则函数()()212f x g x x +=+的定义域是 .4.若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()g x =的定义域是__________．【题组三---根据定义域求参数】1．函数2()lg(43)f x x x a =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 .2．若函数y =R ，则a 的取值范围为 .3.函数24()43x f x mx mx -=++的定义域是R ，则m 的取值范围是 .4已知函数()f x =的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 .5.若函数R ，则a 的取值范围为_______.6.若函数()f x =R ，则实数a 取值范围是___________.7．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是__________.8.函数21x y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围为________．9.已知函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是__________.10已知函数2()lg 1f x x ax 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.已知22()ln[(1)(1)1]g x m x m x =---+的定义域为R ，求实数m 的取值范围 .．13.函数()f x =若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. 如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。
抽象函数题型全归纳及答案
抽象函数题型全归纳及答案抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知的定义域，求的定义域，解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域.例题1：设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为（2）由已知，得，解得，故的定义域为(二)已知的定义域，求的定义域.解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域.例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____. 解析：由，得，所以，故填(三)已知的定义域，求的定义域.解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域. 例题3：函数定义域是，则的定义域是_______ 解析：先求的定义域，的定义域是，，即的定义域是再求的定义域，，的定义域是(四)运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集.例题4： 函数的定义域是，求的定义域.解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】 已知函数的定义域是［1，2］，求f (x )的定义域.解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f (x )的定义域是［1，4］ 【巩固2】 已知函数的定义域是，求函数的定义域. 解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12定义域是__.解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x aa x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1 二、解析式问题1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力.例题5： 已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解析：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=-2. 凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法.例题6： 已知3311()f x x xx +=+，求()f x 解析：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥，∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数.例题7： 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解析：设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++4. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例题8： 已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解析：∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式.∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩例题9： ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-， 求()f x ,()g x . 解析：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x , ∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1xg x x =-5. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式 例题10：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x解析：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈【巩固4】 设函数f x ()存在反函数，g x fx h x ()()()=-1，与g x ()的图象关于直线x y +=0对称，则函数h x ()=A. -f x ()B. --f x ()C. --fx 1() D. ---fx 1()解析：要求y h x =()的解析式，实质上就是求y h x =()图象上任一点P x y ()00，的横、纵坐标之间的关系. 点P x y ()00，关于直线y x =-的对称点()--y x 00，适合y f x =-1()，即-=-x g y 00().又g x fx ()()=-1，∴-=-⇒-=-⇒=---x fy y f x y f x 0100000()()()，即h x f x ()()=--，选B.【巩固5】 设对满足的所有实数x ，函数满足，求f(x)的解析式.解析：在中以代换其中x ，得：再在(1)中以代换x ，得化简得：评析：如果把x 和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键.通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略.三、求值问题这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值.其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化.或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解.例题11： 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f (3)，f (9)的值. 解析：取，得因为，所以又取，得例题12：定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值.解析：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=，又由f x f x ()[()]+=--44()()(8)(4)()f x f x f x f x f x =-=-∴+=-+=，f x ()是周期为8的周期函数， ∴==f f ()()200000【巩固6】 已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______.解析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得f f f f ()()()()844244=+==，∴=f ()42又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1【巩固7】 已知f x ()是定义在R 上的函数，且满足：f x f x f x ()[()]()+-=+211，f ()11997=，求f (2001)的值.解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f x ()是周期函数，显然f x ()≠1，于是f x f x f x ()()()+=+-211，f x f x f x f x f x f x f x f x ()()()()()()()()+=++-+=++--+-=-412121111111所以f x f x f x ()()()+=-+=814，故f x ()是以8为周期的周期函数，从而f f f (2001)()()=⨯+==8250111997 四、值域问题例题13： 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，总成立，且存在，使得，求函数的值域.解析：令，得，即有或.若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有.由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段.【巩固8】 已知函数f x ()对任意实数x y ，有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域.解析：设x x 12<，且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0 ，∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111，∴f x ()为增函数， 令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0 ，得f ()00= ，∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，五、求参数范围或解不等式这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用.例题14：已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围.解析： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数，∴f x ()在()-10，上是减函数，由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a .（1）当a =2时，f a f a f ()()()-=-=2402，不等式不成立. （2）当32<<a 时，2222120(2)(4)(4)140224a f a f a f a a a a a -<-<⎧⎪-<-=-⇔-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩（3）当25<<a 时，2(2)(4)f a f a -<-222021(4)041224a f a a a a a <-<⎧⎪=-⇔<-<⇒<<⎨⎪-<-⎩综上所述，所求a 的取值范围是()()3225，， . 例题15：f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.解析：： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪sin cos sin cos对x R ∈恒成立⇔-≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪m x m x m x22231sin sin cos对x R ∈恒成立⇔m x m m x x x 2222311254-≤--≥+=--+⎧⎨⎪⎩⎪sin sin cos (sin ) 对x R ∈恒成立，223115214m m m m ⎧-≤-⎪∴≤≤⎨--≥⎪⎩， 【巩固9】 已知函数f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式f k x f k x (sin )(sin )-≥-22恒成立，求k 的值.解析：由单调性，脱去函数记号，得k x k x k xk x k k x 222222221111412-≤-≤-⎧⎨⎪⎩⎪⇔≤+-+≥-⎧⎨⎪⎩⎪sin sin sin sin ()(sin )(2)由题意知(1)(2)两式对一切x R ∈恒成立，则有k x k k x k 2222111412941≤+=-+≥-=⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪⇒=-(sin )(sin )min max【巩固10】 已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集.解析：设x x R 12、∈且x x 12<，则x x 210->，∴->f x x ()212，即f x x ()2120-->2211211121()[()]()()2()()()f x f x x x f x x f x f x f x f x ∴=-+=-+->∴>，故f x ()为增函数，又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=，22(1)3(22)3(1)22113f f a a f a a a ∴=∴--<=--<∴-<<，，，即因此不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13.六、单调性问题例题16： 设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x 、y ，有，求证：在R 上为增函数.证明：在中取，得若，令，则，与矛盾所以，即有当时，；当时，而，所以又当时，，所以对任意，恒有设，则∴，∴在R 上为增函数例题17：已知偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函是减函数，并证明你的结论.证明：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：任取x x x x 121200<<⇒->->因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12. 又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数.【巩固11】 如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5解析：画出满足题意的示意图1，易知选B.七、 奇偶性问题例题18： 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性. 解析：取得：，所以 又取得：，所以 再取则，即 因为为非零函数，所以为偶函数. 【巩固12】 若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，求证：函数y f x =()是偶函数.证明：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，0000()()y f x y f x ∴-=--∴=-，又y f x 00=()，∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数.八、 周期性问题几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,1. ，则是以为周期的周期函数；2. ，则是以为周期的周期函数；()y f x =x a ()()f x f x a =+()y f x =T a =()()f x a f x +=-()x f 2T a =3. ，则是以为周期的周期函数；4. ，则是以为周期的周期函数；5. ，则是以为周期的周期函数.6. ，则是以为周期的周期函数.7. ，则是以为周期的周期函数.8. 函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.9.函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；10.函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；11.函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；例题19： 设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证：f x ()是周期函数，并找出它的一个周期.解析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出f x T f x ()()+=（T 为非零常数）则f x ()为周期函数，且周期为T.证明： f x f x f x ()()()()=+-+121∴+=+-+f x f x f x ()()()()1232()()12+得f x f x ()()()=-+33()()1f x a f x +=±()x f 2T a =()()f x a f x a +=-()x f 2T a =1()()1()f x f x a f x -+=+()x f 2T a =1()()1()f x f x a f x -+=-+()x f 4T a =1()()1()f x f x a f x ++=-()x f 4T a =()y f x =()()f a x f a x +=-0a >()f x 4T a =()f x 2T a =()y f x =()x R ∈x a =x b =()a b <()f x ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y ()0,B b y ()a b <()f x ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y x b =()a b <()f x ()4b a -由（3）得f x f x ()()()+=-+364由（3）和（4）得f x f x ()()=+6.上式对任意x R ∈都成立，因此f x ()是周期函数，且周期为6.例题20： 设函数f x ()的定义域为R ，且对任意的x ，y 有f x y f x y f x f y ()()()()++-=⋅2，并存在正实数c ，使f c ()20=.试问f x ()是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由.解析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y x =cos 满足题设条件，且cosπ20=，猜测f x ()是以2c 为周期的周期函数. f x c c f x c c f x c f c f x c f x f x c f x c f x [()][()]()()()()()()()++++-=+=∴+=-∴+=-+=222222202故f x ()是周期函数，2c 是它的一个周期.【巩固13】 设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称.对任意x x 12012，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=⋅.证明f (x )是周期函数. 证明：依题设y f x =()关于直线x =1对称,故f x f x x R ()()=-∈2，又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，∴-=-∈f x f x x R ()()2，,将上式中-x 以x 代换，得f x f x x R ()()=+∈2，这表明f x ()是R 上的周期函数，且2是它的一个周期f x ()是偶函数的实质是f x ()的图象关于直线x =0对称又f x ()的图象关于x =1对称，可得f x ()是周期函数,且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x a a =≠()0对称，证明f x ()是周期函数，且2a 是它的一个周期.证明： f x ()关于直线x a =对称.∴=-∈f x f a x x R ()()2，又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，,∴-=-∈f x f a x x R ()()2，将上式中-x 以x 代换，得f x f a x x R ()()=+∈2，∴f x ()是R 上的周期函数,且2a 是它的一个周期思考二：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和x b a b =≠()对称.证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期.证明： f x ()关于直线x a x b ==和对称()(2)()(2)(2)(2)f x f a x x R f x f b x x R f a x f b x x R ∴=-∈=-∈∴-=-∈，，，，，将上式的-x 以x 代换得f a x f b x x R ()()22+=+∈，∴+-=-+=-+=∈f x b a f x a b f x a a f x x R [()][()][()]()22222，∴f x ()是R 上的周期函数,且2()b a -是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，f x ()还是不是周期函数？我们得到思考三：设f x ()是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x =1对称.证明f x ()是周期函数，且4是它的一个周期.，证明： f x ()关于x =1对称,∴=-∈f x f x x R ()()2，又由f x ()是奇函数知()()(2)()f x f x x R f x f x x R -=-∈∴-=--∈，，，将上式的-x 以x 代换，得(2)()f x f x x R +=-∈，(4)[2(2)](2)[()]()f x f x f x f x f x x R ∴+=++=-+=--=∈，∴f x ()是R 上的周期函数,且4是它的一个周期f x ()是奇函数的实质是f x ()的图象关于原点（0，0）中心对称，又f x ()的图象关于直线x =1对称，可得f x ()是周期函数，且4是它的一个周期.由此进行一般化推广，我们得到思考四：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0中心对称，且其图象关于直线x b b a =≠()对称.证明f x ()是周期函数，且4()b a -是它的一个周期.证明： f x ()关于点M a ()，0对称，∴-=-∈f a x f x x R ()()2，f x ()关于直线x b =对称，()(2)(2)(2)f x f b x x R f b x f a x x R ∴=-∈∴-=--∈，，，将上式中的-x 以x 代换，得(2)(2)[4()][2(24)][2(24)][2(2)][2(2)]()f b x f a x x Rf x b a f b x b a f a x b a f b x a f a x a f x x R+=-+∈∴+-=++-=-++-=-+-=+-=∈，，∴f x ()是R 上的周期函数，且4()b a -是它的一个周期由上我们发现，定义在R 上的函数f x ()，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则f x ()是R 上的周期函数.进一步我们想到，定义在R 上的函数f x ()，其图象如果有两个对称中心，那么f x ()是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思考五：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0和N b a b ()()，0≠对称.证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期.证明： f x ()关于M a N b ()()，，，00对称(2)()(2)()(2)(2)f a x f x x R f b x f x x R f a x f b x x R∴-=-∈-=-∈∴-=-∈，，，， 将上式中的-x 以x 代换，得(2)(2)[2()][2(2)][2(2)]()f a x f b x x R f x b a f b x a f a x a f x x R+=+∈∴+-=+-=+-=∈，， ∴f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期九、 对称性问题（1）对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心.2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;⑨正弦型函数既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异.⒁绝对值函数：这里主要说的是和两类.前者显然是偶函数，它会关于轴对称;后者是把轴下方的图像对称到轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如就没有对称性，而却仍然是轴对称. ⒂形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线 (由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点.（2）抽像函数的对称性1、函数图像本身的对称性（自对称问题）（1）轴对称①的图像关于直线对称② 的图像关于直线对称. 特别地，函数的图像关于轴对称的充要条件是.sin()y A x ωϕ=+(||)y f x =|()|y f x =y x x |ln |y x =|sin |y x =(0,)ax b y c ad bc cx d+=≠≠+d x c =-a y c =x (,)d a c c-)(x f y =)(x f y =a x =⇔)()(x a f x a f -=+⇔)2()(x a f x f -=⇔)2()(x a f x f +=-)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =22)()(b a x b x a x +=-++=)(x f y =y ()()f x f x =-（2）中心对称①的图像关于点对称.② 的图像关于点对称. 特别地，函数的图像关于原点对称的充要条件是.（3）对称性与周期性之间的联系①若函数既关于直线对称，又关于直线对称，则函数关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为；且函数为周期函数，周期；特别地：若是偶函数，图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数；②若函数既关于点对称，又关于点对称，则函数关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为；且函数为周期函数，周期； ③若函数既关于直线对称，又关于点对称，则函数关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为，相邻对称轴或中心的距离为；且函数为周期函数，周期.特别地：若是奇函数，图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数.2、两个函数图像的对称性（互对称问题）（1）函数与图像关于直线对称.（2）函数与图像关于直线对称)(x f y =),(b a ⇔b x a f x a f 2)()(=-++⇔b x a f x f 2)2()(=-+⇔b x a f x f 2)2()(=++-c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =),2(c b a +)(x f y =(0,0)()()0f x f x +-=()f x x a =x b =()a b ≠()f x b a -()f x 2T b a =-)(x f y =x a =()f x 2a ()f x (,0)a (,0)b ()a b ≠()f x b a -()f x 2T b a =-()f x x a =(,0)b ()a b ≠()f x b a -2b a -()f x 4T b a =-)(x f y =x a =()f x a 4)(x a f y +=)(x a f y -=0=x )(x f y =)2(x a f y -=a x =（3）函数与图像关于直线对称（4）函数与图像关于直线对称即直线对称（5）函数与图像关于轴对称. （6）函数与图像关于轴对称.（7）函数与图像关于直线成轴对称.（8）函数与图像关于直线成轴对称.（9）函数与的图像关于直线对称.（10）函数与的图像关于直线对称.（11）函数有反函数，则和的图像关于直线对称.（12）函数与的图像关于点成中心对称.特别地，函数与图像关于原点对称.例题21： 函数满足，求值. 解析：已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2002）对称.根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称.所以将上式中的x 用代换，得评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a 、b 均为常数，函数对一切实数x 都满足，则函数的图象关于点（a ，b ）成中心对称图形.十、 综合问题1) 比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解.)(x f y -=)2(x a f y +=a x -=)(x a f y +=)(x b f y -=0)()(=--+x b x a 2a b x -=)(x f y =)(x f y -=x )(x f y =)(x f y -=y )(x f y =()a x f a y -=-x y a +=)(x f y =()x a f y a -=+x y a -=()y f x =()1y f x -=y x =()y f x =()1y f x -=--y x =-()y f x =()y f a x =+()1y f a x -=+y x a =+)(x f y =)2(2x a f b y --=),(b a )(x f y =)(x f y --=例题22： 已知函数f x ()是定义域为R 的偶函数，x <0时，f x ()是增函数，若x 10<，x 20>，且||||x x 12<，则f x f x ()()--12，的大小关系是_______.解析： x x 1200<>，且||||x x 12<，∴<-<⇒-<<001221x x x x又x <0时，f x ()是增函数，∴-<f x f x ()()21f x ()是偶函数，∴-=f x f x ()()11，故f x f x ()()->-122) 讨论方程根的问题例题23： 已知函数f x ()对一切实数x 都满足f x f x ()()11+=-，并且f x ()=0有三个实根，则这三个实根之和是_______.分析：由f x f x ()()11+=-知直线x =1是函数f x ()图象的对称轴.又f x ()=0有三个实根，由对称性知x 11=必是方程的一个根，其余两根x x 23，关于直线x =1对称，所以x x 23212+=⨯=，故x x x 1233++=.3) 研究函数的图象这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解.例题24： 若函数y f x =+()2是偶函数，则y f x =()的图象关于直线_______对称解析：y f x =()的图象右移个单位左移个单位22y f x =+()2的图象，而y f x =+()2是偶函数，对称轴是x =0，故y f x =()的对称轴是x =2.例题25： 若函数f x ()的图象过点（0，1），则f x ()+4的反函数图象必过定点__ 解析：f x ()的图象过点（0，1），从而f x ()+4的图象过点()-41，，由原函数与其反函数图象间的关系易知，f x ()+4的反函数的图象必过定点()14，-.【巩固14】 定义在R 上的函数f(x)满足：对任意实数m ，n ，总有，且当x >0时，0<f (x )<1.（1）判断f (x )的单调性；（2）设， ，若，试确定a 的取值范围. 解析：（1）在中，令，得，因为，所以.在中，令因为当时，，所以当时 而，所以又当x =0时，，所以，综上可知，对于任意，均有. 设，则 所以，∴在R 上为减函数.（2）由于函数y =f (x )在R 上为减函数，所以即有，又，由单调性，有由，所以直线与圆面无公共点. 因此有，解得. 【巩固15】 设函数y f x =()定义在R 上，当x >0时，f x ()>1，且对任意m n ，，有f m n f m f n ()()()+=⋅，当m n ≠时f m f n ()()≠.（1）证明f ()01=；（2）证明：f x ()在R 上是增函数；（3）设{}A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221，B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10，若A B =∅，求a b c ，，满足的条件.解析：（1）令m n ==0得f f f ()()()000=⋅，∴=f ()00或f ()01=.若f ()00=，当m ≠0时，有f m f m f ()()()+=⋅00，与当m n ≠时，f m f n ()()≠矛盾，∴=f ()01.（2）设x x 12<，则x x 210->，由已知得f x x ()211->，因为x 10≥，f x ()11>，若x 10<时，->->x f x 1101，()，由f f x f x ()()()011=⋅-12211111()0()()()()()()f x f x f x x f x f x f x R f x ∴=>=-⋅>∴-，，在上为增函数。
13用抽象函数的定义域和值域
1 x ） ⑧则函数f (( ) ) 的定义域为 [-1，+∞ ； 1 2 ⑨则函数f(log x)的定义域为 ；[ , 2]
2
2
⑩则函数
f (log 1
2
x)的定义域为
.
1 [ , 2] 4
练习
2.①已知函数f(x+1)的定义域是[-1,3]，则函数f(x)的定义域为[0，4] ；
1 2.若函数y=f(x+1)的定义域为[-2,3]，求函数 y f ( x 2) 的定义域。 解析：∵y=f(x+1)的定义域为[-2,3]， 1 2 x 2x 1 0 0 x x ∴-2≤x≤3， , , 1 3x 1 3x 0 0 ∴-1≤x+1≤4， x x
2
练习
3.已知 f(x)的定义域是[0,4]，求： (1)f(x )的定义域； (2)f(x＋1)＋f(x－1)的定义域．
解 ∵f(x)的定义域为[0,4]，
2
2
(1)有 0≤x ≤4，∴－2≤x≤2. 故 f(x2)的定义域为[－2,2]． 0≤x＋1≤4， (2)有 ∴1≤x≤3. 0≤x－1≤4， 故 f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．
练习
1 1 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求 y f ( x ) f ( x ) 定义域。 3 3
1 2 , 3 3
典型例题 例2 若函数y=f(2x)的定义域为 [1, 2]，则函数f(log2x)的定义域为 解：∵函数y=f(2x)的定义域为[1, 2]， 。
(2)已知函数f(x2-2x+2)的定义域为[0,3]，求函数f(x)的定义域．
函数的解析式练习题
函数的解析式练习题一．选择题（共15小题）1．已知函数f（2x﹣1）=4x+3，且f（t）=6，则t=（）A． B．C．D．2．已知，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=x2﹣1 B．f（x）=x2+1C．f（x）=x2﹣1（x≥0）D．f（x）=x2+1（x≥0）3．已知f（x﹣1）=x2+4x﹣5，则f（x）的表达式是（）《A．x2+6x B．x2+8x+7 C．x2+2x﹣3 D．x2+6x﹣104．如果f（）=，则当x≠0时，f（x）等于（）A． B． C． D．﹣15．已知函数f（x）=3x+4，则f（x+1）﹣f（x﹣1）等于（）A．6 B．4 C．3 D．26．下列函数中，不满足f（3x）=3f（x）的是（）A．f（x）=|x| B．f（x）=﹣x C．f（x）=x﹣|x| D．f（x）=x+3 7．设f（x）=2x+3，g（x）=f（x﹣2），则g（x）等于（）！A．2x+1 B．2x﹣1 C．2x﹣3 D．2x+78．设，则等于（）A．f（x）B．﹣f（x） C． D．9．已知f（）=，则f（x）的解析式可取为（）A． B．﹣C．D．﹣10．已知f（x）是一次函数，且f（﹣2）=﹣1，f（0）+f（2）=10，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=3x+5 B．f（x）=3x+2 C．f（x）=2x+3 D．f（x）=2x﹣3 11．已知f（）=x2﹣1，则f（）=（）【A．﹣ B．﹣C．8 D．﹣812．已知，则f（x）的解析式为（）A．f（x）= B．f（x）= C．f（x）=1+x D．f（x）=（x≠0）13．已知函数f（x）满足f（）+f（﹣x）=2x（x≠0），则f（﹣2）=（）A． B．C． D．14．已知f（）=2x+3，f（m）=6，则m等于（）A． B．C． D．15．若函数f（x）满足关系式f（x）+2f（）=4x﹣，则f（）=（）·A．﹣ B．﹣2 C．3 D．二．填空题（共12小题）16．若f（2x）=3x2+1，则函数f（x）的解析式是．17．函数 f （ x ）=，g （ x ）=，则 f （ x）g （ x ）= ．18．已知f（2x+1）=3x﹣4，f（a）=4，则a= ．19．已知函数f（x）是二次函数且f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=x﹣1，则函数f（x）= ．20．若函数，，则f（x）+g（x）= ．21．已知f（x）=x2﹣1，则f（2x）= ．\22．已知y=f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=16x﹣15，则f（x）的解析式为．23．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是．24．已知f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，则函数f（x）的解析式为．25．已知函数满足2f（x）﹣f（﹣x）=3x，则f（x）的解析式为．26．已知，则函数f（x）的解析式为．27．已知函数f（x）满足f（+1）=x+3，则f（3）= ．三．解答题（共3小题）28．（1）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）．&（2）已知二次函数f（x）满足f（1+x）+f（2+x）=2x2+4x+3，求f（x）的解析式．29．已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域．（2）若f（a）=2，求a的值；（3）求证：f（）=﹣f（x）30．已知函数f（x）满足f（2x﹣1）=4x，求f（﹣1）值和f（x﹣1）解析式．$2018年09月11日郁金香的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【分析】由换元法求出函数f（x）的解析式，令函数值为6，解出t值即可．【解答】解：令2x﹣1=u，则x=，由f（2x﹣1）=4x+3，?可得f（u）=4×+3=2u+5，则f（t）=2t+5=6，解得t=，故选：A．【点评】本题考查函数解析式的求法，属于基础题．2．【分析】根据已知中f（）=x+1，令t=，则x=t2，进而利用换元法，可得答案．—【解答】解：令t=，则t≥0，则=t，x=t2，则由f（）=x+1可得f（t）=t2+1，故函数f（x）的解析式为：f（x）=x2+1，（x≥0），故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣换元法，解答时一定要注意中间元的范围，对函数定义域的影响．%3．【分析】令x﹣1=t，得x=t+1，将已知表达式写成关于t的表达式，再将t换回x即可得到f（x）的表达式．【解答】解：令x﹣1=t，得x=t+1∵f（x﹣1）=x2+4x﹣5，∴f（t）=（t+1）2+4（t+1）﹣5=t2+6t，由此可得f（x）=x2+6x故选：A．【点评】本题给出函数f（x﹣1）的表达式，求f（x）的表达式．考查了函数的定义和解析式的求法等知识，属于基础题．/4．【分析】由题意利用配凑法即可得到函数的解析式．【解答】解：函数的解析式：，∴．故选：B．【点评】本题考查函数解析式的求解，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．5．！【分析】直接利用解析式计算即可．【解答】解：f（x+1）=3（x+1）+4=3x+7，f（x﹣1）=3（x﹣1）+4=3x+1，∴f（x+1）﹣f（x﹣1）=6．故选：A．【点评】本题考查了函数解析式的意义，属于基础题．6．【分析】逐一检验各个选项中的函数是否满足f（3x）=3f（x），从而得出结论．—【解答】解：对于A，∵f（3x）=|3x|，3f（x）=3|x|，满足f（3x）=3f（x）；对于B，f（3x）=﹣3x，3f（x）=3（﹣x）=﹣3x，满足 f（3x）=3f（x）；对于C，f（3x）=3x﹣|3x|，3f（x）=3（x﹣|x|），满足f（3x）=3f（x）；对于D，f（3x）=3x+3，3f（x）=3（x+3）=3x+9，显然不满足f（3x）=3f（x），故选：D．【点评】本题主要考查求函数的解析式，属于基础题．7．《【分析】先由f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x）求得g（x+2）再利用换元法将x+2=t求得g（t），再令x=t即得g（x）．【解答】解：根据题意：f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），∴g（x+2）=2x+3，令x+2=t，则x=t﹣2∴g（t）=2t﹣1令x=t∴g（x）=2x﹣1故选：B．}【点评】本题主要考查求函数的解析式，这里用到了换元法，常用方法还有配方法，待定系数法，方程法等等．8．【分析】根据已知中，求出的解析式，可得答案．【解答】解：∵，∴===﹣f（x），故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求解方法﹣﹣代入法，难度不大，属于基础题．.9．【分析】利用换元法，设，则x=，代入从而化简可得．【解答】解：已知f（）=，设，则x=，那么：f（）=转化为g（t）==，∴f（x）的解析式可取为f（x）=，故选：C．$【点评】本题考查了函数解析式的求法，利用了换元法，属于基础题．10．【分析】设出函数的解析式，待定系数法求解即可．【解答】解：设f（x）=ax+b，由f（﹣2）=﹣1，f（0）+f（2）=10，得，解得：a=2，b=3，故f（x）=2x+3，—故选：C．【点评】本题考查了求一次函数的解析式问题，考查代入求值，是一道基础题．11．【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：f（）=x2﹣1，则f（）=f（）==．故选：B．【点评】本题考查函数的值的求法，函数的解析式的应用，考查计算能力．$12．【分析】令（t≠0），得x=，代入原函数即可求得f（x）的解析式．【解答】解：令（t≠0），得x=，∴原函数化为f（t）=，（t≠0）．∴f（x）的解析式为f（x）=（x≠0）．故选：D．~【点评】本题考查利用换元法求函数解析式，关键是注意函数定义域，是中档题．13．【分析】根据题意，将x=2和x=﹣代入f（）+f（﹣x）=2x可得f（）+f（﹣2）=4①，f（﹣2）﹣2f（）=﹣1②，联立两式解可得f（﹣2）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（）+f（﹣x）=2x（x≠0），令x=2可得：f（）+f（﹣2）=4，①令x=﹣可得：f（﹣2）﹣2f（）=﹣1，②联立①②解可得：f（﹣2）=，）故选：C．【点评】本题考查函数的值的计算，注意利用特殊值法分析，关键是分析与（﹣x）的关系，确定x 的特殊值．14．【分析】设x﹣1=t，求出f（t）=4t+7，进而得到f（m）=4m+7，由此能够求出m【解答】解：设x﹣1=t，则x=2t+2，∴f（t）=4t+7，∴f（m）=4m+7=6，解得m=﹣．》故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的灵活运用；运用了换元的思想．15．【分析】由函数f（x）满足关系式f（x）+2f（）=4x﹣，分别令x=2和x=，利用加减消元法，可得答案【解答】解：∵f（x）+2f（）=4x﹣，∴f（2）+2f（）=4×=7，…①；f（）+2f（2）==﹣2，…②；|①×2﹣②得：3f（）=16，故f（）=，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数求值，难度中档．二．填空题（共12小题）16．【分析】直接利用配凑法求解函数的解析式即可．)【解答】解：f（2x）=3x2+1=，可得．故答案为：．【点评】本题考查函数的解析式的求法，转化思想的应用，考查计算能力．17．【分析】根据f（x），g（x）的解析式，化简约分即可．【解答】解：f （ x ）=，g （ x ）=，*∴f （ x）⋅g （ x ）=•=2（x﹣1），故答案为：2（x﹣1）．，（x≠﹣3，x≠0）．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，注意定义域的取值．18．【分析】由题意可得函数的解析式为f（x）=x﹣，可得关于a的方程，解方程可得．【解答】解：∵f（2x+1）=3x﹣4，∴f（2x+1）=3x﹣4=（2x+1）﹣，]∴f（x）=x﹣，∵f（a）=4，∴a﹣=4，解得a=故答案为：【点评】本题考查函数解析式的求解，属基础题．19．【分析】设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，且f（0）=c=2，从而f（x）=ax2+bx+2，a≠0，进而f（x+1）﹣f（x）=2ax+a+b=x﹣1，由此能求出函数f（x）．,【解答】解：∵函数f（x）是二次函数且f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=x﹣1，∴设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，且f（0）=c=2，∴f（x）=ax2+bx+2，a≠0，f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+2﹣（ax2+bx+2）=2ax+a+b=x﹣1，∴，解得a=，b=﹣，∴f（x）=．故答案为：．【点评】本题考查查函数的表达式的求法，考查二次函数等基础知识，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．]20．【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）+g（x）的解析式即可．【解答】解：函数，，则f（x）+g（x）=+x﹣=x，x≥0，故答案为：x，x≥0．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查x的范围，是一道基础题．$21．【分析】直接将f（x）=x2﹣1中x替换成2x即可．【解答】解：由题意：f（x）=x2﹣1则f（2x）=（2x）2﹣1=4x2﹣1故答案为：4x2﹣1．【点评】本题考查了函数带值计算问题，比较基本，属于基础题．!【分析】由题意设f（x）=ax+b，代入f（f（x））=16x﹣15，化简后列出方程组，解出a，b的值即可．【解答】解：由题意设f（x）=ax+b，∴f（f（x））=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=16x﹣15，则，解得或，∴f（x）=4x﹣3或f（x）=﹣4x+5，故答案为：f（x）=4x﹣3或f（x）=﹣4x+5．【点评】本题考查了求函数的解析式方法：待定系数法，以及方程思想，属于基础题．@23．【分析】利用换元法即可得出．【解答】解：令x+1=t，则x=t﹣1，∴f（t）=3（t﹣1）+2=3t﹣1，∴f（x）=3x﹣1．故答案为f（x）=3x﹣1．【点评】熟练掌握换元法是解题的关键．"24．【分析】设x﹣1=t，则x=t+1，由此能求出函数f（x）的解析式．【解答】解：f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，设x﹣1=t，则x=t+1，∴f（t）=2（t+1）2﹣8（t+1）+11=2t2﹣4t+5，∴f（x）=2x2﹣4x+5．故答案为：f（x）=2x2﹣4x+5．【点评】本题考查函数的解析式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用．{【分析】构造方程组，然后求出函数的解析式即可．【解答】解：根据题意2f（x）﹣f（﹣x）=3x，①用﹣x代替x可得2f（﹣x）﹣f（x）=﹣3x，②①②消去f（﹣x）可得：3f（x）=3x，∴f（x）=x，故答案为：f（x）=x．￥【点评】本题考查函数解析式的应用问题，解题时应值域x的任意性，方程组的思想的应用．26．【分析】换元法：令+1=t，可得=t﹣1，代入已知化简可得f（t），进而可得f（x）【解答】解：令+1=t，t≥1，可得=t﹣1，代入已知解析式可得f（t）=（t﹣1）2+2（t﹣1），化简可得f（t）=t2﹣1，t≥1故可得所求函数的解析式为：f（x）=x2﹣1，（x≥1）-故答案为：f（x）=x2﹣1，（x≥1）【点评】本题考查函数解析式的求解方法，换元是解决问题的关键，属基础题．27．【分析】由已知中函数的解析式，令x=4，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）满足f（+1）=x+3，令x=4，则f（3）=7，故答案为：7（【点评】本题考查的知识点是函数求值，难度不大，属于基础题．三．解答题（共3小题）28．【分析】（1）构造方程组法，可得f（x）的解析式．（2）已知f（x）是二次函数，利用待定系数法求解即可【解答】解：（1）∵2f（x）+f（）=3x，…①把①中的x换成，得2f（）+f（x）=，…②①×2﹣②得3f（x）=6x﹣，∴f（x）=2x﹣（x≠0）．（2）设f（x）=ax2+bx+c，∴f（1+x）+f（2+x）=a（1+x）2+b（1+x）+c+a（2+x）2+b（2+x）+c=2ax2+（6a+2b）x+5a++3b+2c=2x2+4x+3，∴，解得：，∴f（x）=x2﹣x；【点评】本题考查了利用构造方程组法，待定系数法求解函数解析式的问题，比较基础29．【分析】（1）根据分母不是0，求出函数的定义域即可；（2）令2=，解出即可；（3）令x=，带入f（x）的解析式，整理即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=，故1﹣x2≠0，解得：x≠±1，故函数的定义域是{x|x≠±1}；（2）若f（a）=2=，即1+a2=2﹣2a2，解得：a=±；（3）f（）===﹣f（x）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查函数求值问题，考查等式的证明，是一道基础题．30．【分析】由已知的f（2x﹣1）=4x，令2x﹣1=t换元，求得f（t），则函数f（x）的解析式可求，则f （﹣1）值和f（x﹣1）解析式可求．【解答】解：由f（2x﹣1）=4x，令2x﹣1=t，得，∴f（t）=4×=2t+2．故f（x）=2x+2．则f（﹣1）=2×（﹣1）+2=0；f（x﹣1）=2（x﹣1）+2=2x．【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了换元法求函数解析式，是基础题．。
专题 定义域 值域 解析式练习
函数定义域 值域 解析式定义域一、常规型例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。
解： }5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。
例2 求函数2x161x sin y -+=的定义域。
解： ]0(]4(ππ--，， 二、抽象函数型例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。
解： }3x 3|x {≤≤-。
例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解： }5x 3|x {≤≤。
三、逆向型例5 已知函数8m mx 6mx y 2++-=的定义域为R 求m 的取值范围。
解：1m 0≤≤。
例6 已知函数3kx 4kx 7kx )x (f 2+++=的定义域是R ，求实数k 的取值范围。
解：43k 0<≤。
四、实际问题型例7 将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函数的定义域。
解：（0，2a ）。
例8 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并求定义域。
解：（0，2L +π）。
五、参数型例9 已知)x (f 的定义域为［0，1］，求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域。
解：（1）0a 21≤≤-，}a 1x a |x {+≤≤-；（2）21a 0≤≤，}a 1x a |x {-≤≤； （3）21a >或21a -<， F （x ）不能构成函数。
六、隐含型例10 求函数)3x 2x (log y 22++-=的单调区间。
解：]11(，-是增函数，)31[，是减函数。
值 域1、求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x x y ④xx y += 解：①[-1，5] ② { y| y ≥2} ③ { y| y ∈R 且y ≠1} ④ ]2,(--∞[2，+∞) 2、求下列函数的值域：（1）232y x x =-+； （2）y =； （3）312x y x +=-；（4）y x =+（5）y x =+ （6）|1||4|y x x =-++；（7）22221x x y x x -+=++； （8）2211()212x x y x x -+=>-；（9）y=122++-x x x x ; 解：（1）23[,)12+∞（2）[0,2]（3）（{|3}y R y ∈≠（4）(,5]-∞（5）[1- （6）[5,)+∞（7）[1,5]（8）1,)2+∞ （9）（-1/3≤y<1) ;3、求下列函数的值域：1、13+--=x x y {}44≤≤-y y2、[]5,0,522∈+-=x x x y [ 4,20]3、x x y -+=12 y<=44、[])1,0(239∈+-=x y x x [2,8]5、x x y -+-=53[]2,2 6、 )0(2≤=x y x (]1,0 7、x x y 2231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛= ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31 8、21+-=x x y {}1≠y y 9、133+=x xy (0,1) 10、21x x y -+= )21(- 11、1122+-=x x y }11|{<≤-y y 12、34252+-=x x y }50|{≤<y y 13、11++=x x y (][)∞+-∞-,31, 14、)1(1222->+++=x x x x y [)∞+,2 15、)221(1222≤≤-+++=x x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡310,2 16、66522-++-=x x x x y { y| y ≠1且 y ≠51-} 17、y=|x+1|+|x-2| [3，+∞] 18、x x y -+=142 y ≤420、y=x x 21-- y ≤1/2解析式1：若f （sin x ）=2－cos2x ，则f （cos x ）等于（ ） DA.2－sin2xB.2+sin2xC.2－cos2xD.2+cos2x2：已知f （x x +-11）=2211xx +-，则f （x ）的解析式可取为（ ） C A.21x x + B.－212x x + C.212x x + D.－21xx + 3：设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f . ]0,2[,)1()(2-∈+=x x x f4：已知2)(21+=-x a f x ，求)(x f . 3log 2log )(2++=∴x x x f a a5：已知)(x f 是二次函数，且满足)(,2)]([24x f x x x f f 求-= 1)(2-=x x f6：设)0,,()1()()(b a ，c b a cx x bf x af x f ±≠=+且均不为其中满足，求)(x f . xb a bc acx x f )()(222--= 7：已知f(x –y)=f(x) –y(2x –y+1),且f(0)=1, 求f(x)的表达式. (提示：令x=0，解方程组法) f(x)=x 2+x+1. 8 设f(x)是定义在实数集R 上的函数，且对任意实数x,y 满足f(x-y)=f(x)+f(y)+xy-1恒成，求函数f(x)的解析式。
高中数学中抽象函数的解法及练习
抽象函数问题有关解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑配法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 拼凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
高中高一人教版本必修一数学函数定义域、值域、解析式题型
高一函数定义域、值域、分析式题型一、 详细函数的定义域问题1 求以下函数的定义域1（ 1） yx 1 ；（2） yx 12 5x 6x xx （ 2）（ 3）若函数 f ( x) mx 2 mx 1 的定义域为 R ，则实数 m 的取值范围是（ ）(A) 0 m 4 (B) 0 m 4 (C) m 4 (D) 0 m 4二、抽象函数的定义问题（一）已知函数 f (x) 的定义域，求函数 f [ g( x)] 的定义域2. 已知函数 f ( x) 的定义域为 [0,1] ，求函数 f (2 x 2 ) 的定义域。
（二）已知函数 f [ g( x)] 的定义域，求函数 f (x) 的定义域3. 已知函数 f (2 x 1) 的定义域为 [1,2] ，求函数 f ( x) 的定义域。
（三）已知函数 f [ g( x)] 的定义域，求函数 f [ h(x)] 的定义域4. 已知函数 f ( x 21) 的定义域为 (2,5) ，求函数 f ( 1) 的定义域。
x5.已知函数 f (x) 的定义域为 [ 1, 1] ，且函数存在，务实数 m 的取值范围。
F ( x)f (xm)f ( xm) 的定义域（一）配凑法5 .已知f (11) x2 13，求 f (x) 的分析式。
x x2 x（二）换元法6.已知f (1 2 x) 2x x ，求 f ( x) 的分析式。
（三）特别值法7 .已知对全部x, y R ，关系式 f (x y) f ( x) (2 x y 1) y 且 f (0) 1 ，求 f ( x) 。
待定系数法8.已知f (x)是二次函数，且 f ( x 1) f ( x 1) 2x2 4x 4 ，求 f ( x) 。
（四）转变法9. 设f ( x)是定义在( , ) 上的函数，对全部x R ，均有f ( x) f (x 2) 0 ，当 1 x 1 时，f ( x) 2x 1 ，求当1 x 3 时，函数 f (x)的分析式。
《抽象函数的定义域》【高中数学人教版同步测试】
抽象函数的定义域类型一. 已知函数y =f (x )的定义域是（a ，b ），求f [g (x )]的定义域.1. 已知函数y =f （x ）定义域是[-2，3]，则y =f （2x -1）的定义域是（ ）.A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5]2. 如果函数f(x)的定义域为，那么函数f(2x +3)的定义域为( )A. [−2,0]B. [1,9]C. [−1,3]D. [−2,9]3. 函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （x 2）的定义域是 （ ）A. [−2,2]B. [−√2,√2]C. [0,2]D. [0,4]4. 已知函数f （x ）的定义域为（0，2]，函数f （√x +1）的定义域为（ ）A. [−1,+∞)B. (−1,3]C. [√5,3)D. (0,√5)类型二. 已知函数y =f [g (x )]的定义域是（a ，b ），求f(x )的定义域.1.若函数f （2x -1）的定义域为[-3，3]，则函数f （x ）的定义域为______ ．2.已知f (2x ＋5)的定义域为[－1，4]，求函数f (x )的定义域．3.若(2)y f x =+的定义域是(1,3]，求()y f x =的定义域．4.已知的定义域为，则的定义域是 .5.已知函数32f x 的定义域为1,2，求函数f x 的定义域.)2(2-x f []2,3-)(x f类型三、 已知函数y =f (h (x ))的定义域是（a ，b ），求f [g (x )]的定义域.1. 已知函数(21)f x -的定义域为[0,1]，求函数(13)f x -的定义域.2.已知函数(1)y f x =+定义域是[2,3]-，则(21)y f x =-的定义域是（ ）A ．5[0]2， B ．[14]-，C ．[55]-，D ．[37]-，3.已知f （x 2-1）定义域为[0，3]，则f （2x -1）的定义域为（ ）A. (0,92)B. [0,92]C. (−∞,92)D. (−∞,92]4.若函数f （x 2-1）的定义域为[-1，2]，则函数f （x +1）的定义域为______．类型四、运算型的抽象函数1.若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域2.若函数y =f （x ）的定义域是（0，4]，则函数g （x ）=f （x ）+f （x 2）的定义域是（ ）A. (0,2]B. (0,4]C. (0,16]D. [−16,0)∪(0,16]3.若函数f （x ）的定义域是[0，1]，则函数f （2x ）+f （x +13）的定义域为（ ）A. [−13,23]B. [−13,12]C. [0,12]D. [0,13]4.若函数y=f（x）的定义域[0，3]，则函数g（x）=f(3x)x−1的定义域是______ ．5.若函数y=f（x）的定义域是[0，3]，则函数g（x）=f(x+1)x−2的定义域是（）A. [−1,2)B. [0,2)C. [−1,2]D. [0,2)∪(2,3]6.已知函数y=f（x）的定义域[-8，1]，则函数g（x）=f(2x+1)x+2的定义域是（）A. (−∞,−2)∪(−2,3]B. [−8,−2)∪(−2,1]C. [−92,−2)∪(−2,0] D. [−92,−2]参考答案:类型一答案1.【答案】C【解析】本题考查复合函数定义域的求解,是基础题.根据复合函数定义域之间的关系得-2≤2x-1≤3,计算得结论．【解答】解：因为函数y=f（x）定义域是[-2，3]，所以-2≤2x-1≤3，解得-≤x≤2，因此函数y=f（2x-1）的定义域为[-，2].故选C．2.【答案】A【解析】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中熟练掌握抽象函数定义域求解时“一不变（括号里整体的取值范围不变），应万变”的原则是解答此类问题的关键．根据函数f（x）的定义域为[-1，3]，进而求出函数f（2x+3）的定义域即可．【解答】解：∵-1≤x≤3，∴-1≤2x+3≤3，∴-2≤x≤0，故选：A．3.【答案】B【解析】解：∵f（x）的定义域为[0，2]，∴在f（x2）中0≤x2≤2，∴故选：B．要求函数的定义域，就是求函数式中x的取值范围．本题考查函数的定义域并且是抽象函数的定义域，本题解题的关键是不管所给的是函数是什么形式只要使得括号中的部分范围一致即可．4.【答案】B【解析】定义域是自变量x的取值范围所组成的集合，所以，我们要求出中x的取值范围．首先考虑要满足的条件即x+1≥0．其次x和的范围一致，即，进而求出x 的范围.复合函数的定义域是经常被考查的，所以要理解其解题时要注意的问题． 【解答】解：由函数的定义域得， 又∵要满足x+1≥0 综合得-1＜x≤3 故选B ．类型二答案1.【答案】[-7，5] 【解析】解：∵-3≤x≤3， ∴-7≤2x -1≤5，故答案为：[-7，5]．函数f （2x-1）的定义域为[-3，3]，从而求出2x-1的范围，进而得出答案． 本题考查了函数的定义域问题，是一道基础题．2.解:∵函数f （2x +5）的定义域为[-1，4]， ∴x ∈[-1，4]， ∴2x +5∈[3，13]，故函数f （x ）的定义域为：[3，13]． 【解析】由x ∈[-1，4]，可得2x+5∈[3，13]，可得答案．本题考查了函数的定义域的求法，求复合函数的定义域时，注意自变量的范围的变化，本题属于基础题3.解:(2)y f x =+的定义域是(1,3]，即13x <≤，故325x <+≤，从而()y f x =的定义域为(3,5]．4.解：∵≤≤，∴≤≤，从而≤≤，故的定义域是。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题
1、分段函数已知⎩⎨⎧>-≤+=)
0(2)0(1)(2x x x x x f
则 （1）若=)(x f 10，则x= ；（2）)(x f 的值域为 _____.
2、画出下列函数的图象（请使用直尺）
(1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x
x y -=2
3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，
试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x
4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式
观察法(1)221)1(x
x x x f +=+
方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+
换元法（3）13)2(2++=-x x x f
A P B
待定系数法
（4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。
（复合函数的解析式）---代入法
（5）已知1)(2
-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。
5、抽象函数的定义域的求解
1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为 。
2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为 。
练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。
2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。
3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。
4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式
5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；。