北师大版数学高一必修4优化练习2.6平面向量数量积的坐标表示

§6 平面向量数量积的坐标表示
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知向量a =（-4，7），向量b =（5，2），则a ·b 的值是( )
A.34
B.27
C.-43
D.-6 解析：a ·b =-4×5+7×2=-6.
答案：D
2.(高考福建卷,文14)在△ABC 中，∠A=90°，=(k,1),AC =(2,3),则k 的值是______________.
解析：由与垂直，列出关于k 的方程，解方程即可.
∵∠A=90°，∴⊥.∴·=2k+3=0.∴k=23-
. 答案：2
3- 3.已知向量a 与b 同向，b =(1,2),a ·b =10.
(1)求向量a 的坐标； （2）若c =(2,-1)，求(b ·c )a .
解：(1)∵向量a 与b 同向，b =(1,2),∴a =λb =(λ,2λ).
又∵a ·b =10，∴有λ+4λ=10.解得λ=2>0.
符合向量a 与b 同向的条件，∴a =(2,4).
(2)∵b ·c =1×2+2×(-1)=0,
∴(b ·c )a =0.
4.求向量a =(1,2)在向量b =(2,-2)方向上的投影.
解：设a 与b 的夹角为θ，
则cosθ=1010)
2(221)2(221||||2222-=-+•+-⨯+⨯=••b a b a . ∴a 在b 方向上的投影为|a |cosθ=22)1010(5-=-
⨯. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知平面上直线l 的方向向量e =(54-,53)，点O(0,0)和A(1,-2)在l 上的射影分别是O 1、A 1，则11A O =λe ，其中λ等于( ) A.511 B.-5
11 C.2 D.-2 解析：将所给坐标代入公式λ=||cos 〈e ,〉，或利用特殊值.
方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知 λ=||cos 〈e ,〉
256545)2,1()53,54(5-=--=-•-•=.
方法二：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e 过原点，故11A O 与e 方向相反.排除A 、C ，检验B 、D 可知D 正确. 答案：D
2.若向量b 与向量a =(1,-2)的夹角是180°，且|b |=53，则b 等于( )
A.(-3，6)
B.(3，-6)
C.(6，-3)
D.(-6，3)
解析：由题意b 与a 共线，
方法一：设b =λ(-1,2),且λ>0,有(-λ)2+(2λ)2=(53)2⇒b =(-3,6).
方法二：由题意可知，向量a 、b 共线且方向相反，故可由方向相反排除B 、C.由共线可知b =-3a .
答案：A
3.已知向量a =(c osθ,sinθ)，向量b =(3,-1），则|2a -b |的最大值和最小值分别是( )
A.24,0
B.4,22
C.16，0
D.4，0
解析：a ·b =2sin(3
π-θ),|2a -b |=)3sin(884422θπ--=+•-b b a a , ∴|2a -b |的最大值为4，最小值为0.
答案：D
4.A 、B 、C 、D 四点的坐标依次是(-1，0)、(0，2)、(4，3)、(3，1)，则四边形ABCD 为（ ）
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.平行四边形 解析：∵AB =(1,2),DC =(1,2),∴AB =DC .又线段AB 与线段DC 无公共点，
∴AB ∥DC 且|AB|=|DC|.∴四边形ABCD 为平行四边形.
又|AB|=5，|BC|=17，∴|AB|≠|BC|.∴平行四边形ABCD 不是菱形也不是正方形.
又·
=4+2=6≠0，∴AB 与BC 不垂直.∴平行四边形ABCD 不是矩形. 答案：D
5.已知|a |=132,b =(-2,3)且a ⊥b ,则a 的坐标为________________.
解析：设a =(x,y)，则x 2+y 2=52.由a ⊥b 得-2x+3y=0.
由以上两个条件得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==.
4,6,4,6y x y x 答案：(6，4)或(-6，-4)
6.已知A 、B 、C 、D 四点的坐标分别为A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(m,n).当m 、n 满足什么条件时，四边形ABCD 分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形(A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列)?
解：由条件知=(3,3),=(-2,1),=(m-1,n),=(2-m,4-n).
（1）若四边形ABCD 为平行四边形，则AB =DC ， ∴(3,3)=(2-m,4-n),解得m=-1,n=1.
∴当m=-1,n=1时，四边形ABCD 为平行四边形.
（2）当m=-1,n=1时，AB =(3,3),AD =(-2,1).
则|AB |=23,|AD |=5,|AB |≠|AD |.因此，使四边形ABCD 为菱形的m 、n 不存在.
（3）当m=-1,n=1时，AB ·AD =(3,3)·(-2,1)=-3≠0，即AB 、AD 不垂直.因此使四边形ABCD 为矩形的m 、n 不存在.
(4)由(2)(3)知，使四边形ABCD 为正方形的m 、n 不存在.
(5)若四边形ABCD 为梯形，则DC =λAB 或AD =λBC ，其中λ为实数，且λ>0,λ≠1. ∴⎩⎨⎧=-=-λλ34,32n m (λ>0,λ≠1)或⎩⎨⎧=-=-λ
λn m ,21(λ>0,λ≠1). 整理得m 、n 的取值条件为n=m+2(m<2,m≠-1)或n=
221m -(m<1,m≠-1). 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列各向量中，与e =（3，2）垂直的向量是( )
A.a =（3，-2）
B.b =（0，0）
C.c =（-4，6）
D.d =（-3，2） 解析：∵3×（-4）+2×6=0，故选C.
答案：C
2.已知向量a =（2，1），b =（3，x ），若（2a -b ）⊥b ，则x 的值是( )
A.3
B.-1
C.-1或3
D.-3或1 解析：∵（2a -b ）⊥b ，
∴（2a -b ）·b =2a ·b -b 2=2×2×3+2×1×x-32-x 2=0.
整理，得x 2-2x-3=0，解得x=-1或3.
答案：C
3.A 、B 、C 为平面内不共线的三点，若向量=（1，1），n=（1，-1）且n·AC =2，则n·
BC 等于( )
A.-2
B.2
C.-2或2
D.0
解析：∵=-，
∴n ·=n ·（-）=n ·-n ·=2-（1×1-1×1）=2.
答案：B
4.已知a =（λ，2），b =（-3，5），且a 和b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )
A .λ＜310
B .λ≤310
C .λ＞310
D .λ≥3
10
解析：∵a 和b 的夹角为钝角，∴a ·b ＜0，即-3λ+10＜0，λ＞3
10. 答案：C
5.已知O 为原点，点A 、B 的坐标分别为（a ，0）、（0，a ）.其中常数a ＞0，点P 在线段
AB 上，且=t （0≤t≤1），则·
的最大值为( ) A.a B.2a C.3a D.a 2
解析：由=t ，可得-=t -t ， 故=t +(1-t) =t(0,a )+(1-t)(a ,0)=(0,a t)+(a -a t,0)=(a -a t,a t). ∴OP ·
OA =-a 2t+a 2,故当t=0时，OP ·OA 的最大值为a 2. 答案：D
6.若将向量=（3，1）绕原点按逆时针方向旋转
6π，得到向量，则向量的坐标为______________.
解析：设出的坐标，然后用||=||和、的夹角为6π，即cos 6π建立坐标的方程组，但较麻烦.注意到OA 与x 轴的正方向所成的角为
6π，再逆时针旋转6π，故与x 轴正方向所成的角为3
π，故可采用几何法求点B 的坐标.另外若注意到A 、B 关于直线y=x 对称，则得到B 点坐标.由分析易知的坐标为（1，3）.
答案：（1，3）
7.直角三角形ABC 中，AB =（2，3），AC =（1，k ），求实数k 的值.
解：（1）当∠A=90°时，易知AB ·AC =0，即2+3k=0，k=3
2-. （2）当∠B=90°时，=-AB =（-1，k-3），易知AB ·
=0，即k=311. （3）当∠C=90°时，·=-1+k 2-3k=0，k=2
133±. 综上可知，k 的值为32-或3
11或2133±. 8.设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1与e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
解：∵e 12=4，e 22=1，e 1·e 2=2×1×cos60°，
∴（2t e 1+7e 2）·（e 1+t e 2）=2t e 12+（2t 2+7）
e 1·e 2+7t e 22=2t 2+15t+7.
∴2t 2+15t+7＜0.
∴-7<t<2
1-.设2te 1+7e 2=λ（e 1+te 2）（λ<0）， 则2t=λ，且7=tλ，∴2t 2=7.
∴t=2
14-，λ=14-. ∴t=214-
时，2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为π，t 的取值范围是（-7，214-）∪（214-，2
1-）. 9.已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）.
（1）若|c |=52，且c ∥a ，求c 的坐标；
（2）若|b |=2
5，且a +2b 与2a -b 垂直，求a 与b 的夹角θ. （1）解法一：设c =（x ，y ）.
∵|c |=52，∴5222=+y x ，即x 2+y 2=20. ① 又c ∥a ，∴2x-y=0. ② 由①②可得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==.
4,24,2y x y x 或 解法二：∵c ∥a ，故可设c =λa ，则|λ|=
552||||=a c =2. ∴λ=±2.故向量c 的坐标为（2，4）或（-2，-4）.
（2）解：∵a =（1，2），∴|a |=5.又|b |=25，故|a ||b |=2
5. 又∵（a +2b ）⊥（2a -b ），
∴（a +2b ）·（2a -b ）=0，即2a 2+3a ·b -2b 2=0.
∴2×5+3a ·b -2×45
=0，a ·b =2
5-. ∴cosθ=2525
|
|||-
=•b a b a =-1. 又θ∈［0，π］，∴θ=π，即a 与b 的夹角为π.
10.求与向量a =（3，-1）和b =（1，3）的夹角相等且模为2的向量c 的坐标.
解法一：设c =（x ，y ）.
∵|c |=2，∴x 2+y 2=2. ① 又a 与c 的夹角与b 与c 的夹角相等， ∴|
|||||||c b c b c a c a •=•， 即（3-1）x=（3+1）y. ② 联立①②解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.213,213213,213y x y x 或 解法二：∵|a |=|b |=2，由向量加法的平行四边形法则，知a +b 就与a 、b 夹角相等，故（a +b ）∥c .
又|a +b |=22，故c =±2
1（a +b ）=±2
1（3+1，3-1）.
∴向量c 的坐标为（3+21,321-）或(3-+21,3-21-). 11.已知a =（cosα，sinα），b =（cosβ，sinβ），且a 与b 之间满足|k a +b |=3|a -k b |，其中k ＞0.
（1）用k 表示a ·b ；
（2）若a 与b 的夹角为60°，求k 的值.
解：（1）∵|k a +b |=3|a -k b |，两边平方，得|k a +b |2=3|a -k b |2，
∴k 2a 2+b 2+2k a ·b =3（a 2-2k a ·b +k 2b 2）， 即a ·b =k
b k a k 8)13()3(2
222--. 又a =（cosα，sinα），b =（cosβ，sinβ），
∴a 2=b 2=1.∴a ·b =k
k 412+k （2）∵a 与b 的夹角为60°，
∴a ·b =|a ||b |cos60°=2
1. 由（1）知2
1412=+k k ，即k 2-2k+1=0，解得k=1.。