高中数学 第一章 三角函数 1.2 角的概念的推广学案 北师大版必修4

1.2 角的概念的推广
1．角的概念
角可以看成平面内________绕着______从一个位置______到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类
(1)
(2)
预习交流1
(1)终边和始边重合的角一定是零角吗？ (2)45°是第______象限角；216°是第__________象限角；－70°是第__________象限角．
3．终边相同的角的表示
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：________________________，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角
的______倍的和．
注意：(1)k是整数，这个条件不能漏掉；
(2)α是任意角；
(3)k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)；
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
预习交流2
(1)下列各角中与330°角终边相同的角是( )．
A．510°B．150°C．－150°D．－390°
(2)在－360°到360°的范围内，与412°角终边相同的角是______．
答案：1．一条射线端点旋转
2．(1)逆时针顺时针没有作任何旋转(2)原点终边(除端点外)
预习交流1：(1)提示：不一定．零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°、360°、720°等角的终边和始边也重合．
(2)一三四
3．S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z} 整数
预习交流2：(1)D (2)52°，－308°
1．角的概念的辨析问题
判断下列说法是否正确，并说明理由：
(1)集合P＝{钝角}，集合Q＝{第二象限角}，则有P＝Q；
(2)角α和角2α的终边不可能相同；
(3)若α是第二象限角，则2α一定是第四象限角；
(4)不相等的角其终边位置必不相同．
思路分析：解答本题首先要明确角的范围不再局限于0°～360°，角的度数已经扩大到(－∞，＋∞)，其次要紧扣象限角、终边相同的角的概念．
已知A＝{锐角}，B＝{α|0°≤α＜90°}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°的角}，求A∩B，A∪C，C∩D，A∪D.
对推广后角的概念的理解．
(1)紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看角．
(2)结合实际意义明确角的概念经过推广后，角的范围不再局限于0°～360°，而是包括正角、负角和零角．
(3)正确理解正角、负角和零角的概念，既要注意始边位置和旋转量，又要注意旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．
2．终边相同的角及象限角
已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限的角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.
思路分析：利用终边相同的角的关系β＝α＋k×360°，k∈Z来解决．
将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)－1 840°；(2)1 690°.
终边相同的角相差360°的整数倍．判定一个角在第几象限，只要找与
它终边相同的0°～360°范围内的角，这个0°～360°范围内的角所在象限即为所求．3．区域角的表示
如图所示，写出终边落在阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．
思路分析：观察图形，找出边界上的角，用不等式形式表示出阴影部分内的角的集合．
如图所示，写出终边落在图中阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．
区域角及其表示方法
区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}；
(3)根据旋转的观点把起始、终止边界对应角α、β加上k·360°(k∈Z)．
特别地，如“活动与探究3”中，若是对顶区域，如图②可用一个表达式表示：先在一个阴影中找出区间角[45°，90°]，然后再在两边加上n×180°(n∈Z)即可；若区域包括了x轴非负半轴，则可由负角到正角，如图③，两边再加上k×360°(k∈Z)．
4．已知α角所在的象限，判断角α
2
的终边所在的位置
已知角α是第二象限角，试判断角α
2
是第几象限角．
已知角α是第三象限角，试判断角α
2
是第几象限角．
(1)各象限角的集合如下 象限角 集合表示
第一象限角 {α|0°＋k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k ∈Z } 第二象限角 {α|90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°，k ∈Z } 第三象限角 {α|180°＋k ·360°＜α＜270°＋k ·360°，k ∈Z } 第四象限角
{α|270°＋k ·360°＜α＜360°＋k ·360°，k ∈Z }
答案：活动与探究1：解：(1)不正确．实际上P ＝{α|90°＜α＜180°}，应有P Q . (2)不正确．如α＝0°时，α与2α终边相同．
(3)不正确．由90°＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°(k ∈Z )知180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z ，故2α是第三或第四象限的角，也可能终边在y 轴的非正半轴上．
(4)不正确．不相等的角其终边位置也可能相同，如30°与390°. 迁移与应用：解：A ∩B ＝{α|0°＜α＜90°}，
A ∪C ＝{α|k ×360°＜α＜90°＋k ×360°，k ∈Z }，
C ∩
D ＝{α|k ×360°＜α＜90°＋k ×360°，k ∈Z ，k ≤0}， A ∪D ＝{α|α＜90°}． 活动与探究2：解：(1)－1 910°＝－6×360°＋250°，其中β＝250°，k ＝－6，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角．
(2)令θ＝250°＋k ×360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.
迁移与应用：解：(1)－1 840°＝－6×360°＋320°， 故－1 840°是第四象限角．
(2)1 690°＝4×360°＋250°，故1 690°是第三象限角．
活动与探究3：解：(1)由图①可知，按逆时针方向旋转，应由l 1旋转至l 2，与l 1终边相同的角有60°角，与l 2终边相同的角有310°角．
∴图①阴影部分中角的集合为
S ＝{α|60°＋k ×360°≤α≤310°＋k ×360°，k ∈Z }． (2)由图②知，第一象限内阴影部分中角的集合为
S 1＝{α|45°＋k ×360°≤α≤90°＋k ×360°，k ∈Z }． 第三象限内阴影部分中角的集合为
S 2＝{α|225°＋k ×360°≤α≤270°＋k ×360°，k ∈Z }． ∴所求阴影部分中角的集合为S ＝S 1∪S 2
＝{α|45°＋2k ×180°≤α≤90°＋2k ×180°，k ∈Z }∪{α|45°＋(2k ＋1)×180°≤α≤90°＋(2k ＋1)×180°，k ∈Z }
＝{α|45°＋n ×180°≤α≤90°＋n ×180°，n ∈Z }．
(3)由图③知，逆时针方向旋转，应由l 2旋转至l 1，与l 2终边相同的角有－30°角，与l 1终边相同的角有30°角．
∴图③阴影部分中角的集合为
S ＝{α|－30°＋k ×360°＜α＜30°＋k ×360°，k ∈Z }．
迁移与应用：解：终边落在第二象限内阴影部分中的角的集合可表示为{x |k ×360°＋135°＜x ≤k ×360°＋180°，k ∈Z }，终边落在第四象限内阴影部分中的角的集合可表示为{x |k ×360°－15°≤x ≤k ×360°，k ∈Z }，
∴终边落在阴影部分的角的集合可表示为
{x |k ×360°＋135°＜x ≤k ×360°＋180°或－15°＋k ×360°≤x ≤k ×360°，k ∈Z }．
活动与探究4：解法一：(分类讨论法) ∵角α是第二象限角，
∴k ×360°＋90°＜α＜k ×360°＋180°，k ∈Z.
∵k ×180°＋45°＜α
2
＜k ×180°＋90°，k ∈Z ，
∴当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ×360°＋45°＜α
2＜n ×360°＋90°，
即角α
2
是第一象限角；
当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，
n ×360°＋225°＜α
2
＜n ×360°＋270°，
即角α2
是第三象限角．
∴角α
2
的终边落在第一或第三象限．
解法二：(几何法)
先将各象限二等分，从x 轴非负半轴起，按逆时针方向依次将各区域标上1,2,3,4，标有2的区域即为角
2α的终边所在区域，如图所示，故角2
α
是第一、三象限角．
迁移与应用：解法一：(分类讨论法)
∵α是第三象限角，
∴k ×360°+180°＜α＜k ×360°+270°，k ∈Z ，
∴k ×180°+90°＜
2
α
＜k ×180°+135°，k ∈Z. ∴当k=2n ，n ∈Z 时，n ×360°+90°＜2α＜n ×360°+135°，即角 2α
是第二象限角；
当k =2n +1，n ∈Z 时，n ×360°+270°＜2α＜n ×360°+315°，即角2
α
是第四象限角．
∴角2
α
是第二或第四象限角．
解法二：(几何法)
仿照“活动与探究4”的“解法二”即可知角 是第二或第四象限角．
1．下列命题中正确的是( )． A ．三角形的内角必是第一、二象限角 B ．第一象限角必是锐角
C ．不相等的角终边一定不相同
D ．若β＝α＋k ·360°(k ∈Z )，则α和β终边相同
2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－615°是第一象限角．其中正确的命题有( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 3．与405°角终边相同的角是( )．
A ．k ·360°－45°，k ∈Z
B ．k ·360°－405°，k ∈Z
C ．k ·360°＋45°，k ∈Z
D ．k ·180°＋45°，k ∈Z
4．(1)一个30°的角，将其终边按逆时针方向旋转三周，则旋转后的角是________． (2)若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．
5．终边在第一、三象限角平分线上的角的集合为________；终边在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．
答案：1．D 解析：90°的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角，故A 错；390°的角是第一象限角，但它不是锐角，故B 错；390°角和30°角不相等，但终边相同，故C 不正确；对于D ，由终边相同的角的概念可知正确．
2．C 解析：①②③正确，④错误． 3．C
4．(1)1 110° (2)－960° 解析：(1)终边按逆时针方向旋转三周，转过的角度为360°×3＝1 080°.再加上原来的角度30°，所以旋转后的角是1 110°.
(2)∵2小时40分＝223小时，∴－360°×22
3
＝－960°.
5．{α|α＝k ×180°＋45°，k ∈Z } {α|α＝k ×180°＋135°，k ∈Z }。