河南省林州市林虑中学2019_2020学年高一数学下学期开学检测试题

河南省林州市林虑中学2019-2020学年高一数学下学期开学检测试题
一、选择题.
1.sin(600)-︒的值是（ ）
A.
12 B. 12
-
D. 2.若2sin 43
πθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭，则sin 2θ=（ ）
A.
3
B.
59
C.
19
D. 19
±
3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A. 2
B.
2sin1
C. 2sin1
D. sin 2
4.已知向量()1,sin ,sin ,12a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭
r v ，若a b v P r
，则锐角α为（ ）
A. 30°
B. 60︒
C. 45︒
D. 75︒
5.已知tan 3α=，则22
1cos sin cos sin α
ααα
+=+（ ） A. 38
B.
916
C.
79
D.
1112
6.对于非零向量,,a b c v v v
，下列命题正确的是（ ）
A. 若a b a c ⋅=⋅v v v v ，则b c =v v
B. 若a b c +=v v v ，则a b c +>v v v
C. 若()0a b c ⋅⋅=v v
v v ，则a b ⊥v v D. 若0a b ⋅>v v ，则,a b v v 的夹角为锐角
7.若A 为三角形ABC 的一个内角，且2
sin cos 3
A A +=
，则这个三角形是（ ） A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 正三角形
8.已知向量a v ，b v ，且2AB a b =+u u u v
v v
，56BC a b =-+u u u
v v v
，72CD a b =-u u u
v v
v
，则一定共线的三点是（ ）
A. A ，B ，D
B. A ，B ，C
C. B ，C ，D
D. A ，C ，D
9.若α、β是锐角ABC V 的两个内角，则有（ ）
A. sin sin αβ>
B. cos cos αβ>
C. sin cos αβ>
D. sin cos αβ>
10.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3
x π
=对称；③在,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上是增函数．”的一个函数为（ ）
A. sin 26x y π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
B. cos 26x y π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
C. cos 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
D. sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
11.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，如果0A >，0>ω，2
π
ϕ<
，则（ ）
A. 4A =
B. 1ω=
C. 6
π=
ϕ D. 4B =
12.若()()13
cos ,cos 55
αβαβ+=
-=，则tan tan αβ⋅= （ ） A. 3
B.
3
2
C. 12
-
D.
12
二、填空题。

13.若()()2sin 03f x x πωω⎛⎫
=+> ⎪
⎝
⎭
的最小正周期为4
π，则()tan 28g x x πω⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的最小正周期
为______．
14.已知平面向量,a b r v 满足1,2,3a b a b ==+=r r v v a v 在b r 方向上的投影等于______．
15.已知3cos()5αβ-=
，5sin 13β=-，且(0,)2
πα∈，(,0)2π
β∈-，则sin α=______． 16.已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2＝θ(θ为钝角)．若
3sin 45πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则x 1x 2＋y 1y 2的值为_____．
三、解答题。

17.设12,e e u v u u v
是两个相互垂直的单位向量，且12122,a e e b e e λ=--=-u v u u v u v u u v
v v
（Ⅰ）若a b v v
P ，求λ的值；
（Ⅱ）若a b ⊥v v
，求λ的值．
18.计算下列各式的值：
（1）234cos
cos
cos cos 5
555
π
πππ+++； （2）()()sin 420cos330sin 690cos 660︒︒+-︒-︒．
19.已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛
⎫=->> ⎪⎝
⎭在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐
标分别为511,2,,21212ππ⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． （1）求A 和ω的值； （2）已知0,2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且4
sin 5
α=
，求()f α的值．
20.已知函数()2
2cos cos 2f x x x x =++．
（1）求函数()f x 的单调增区间；
（2）先将函数()y f x =的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的
1
2
，再将所得的图象向右平移12
π
个单位()y g x =的图象，求方程()4g x =在区间0,
4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上所有根之和．
21.如图，在平行四边形ABCD 中，3AB =u u u r ，2BC =u u u r ，12,AB AD e e AB
AD
==u u u r
u u u r
u r u
u r u u u r u u u r ，AB u u u r 与AD u u u r 的夹角为
3
π．
（1）若12AC xe ye =+u r u u u r u u r
，求x 、y 的值；
（2）求AC BD ⋅uuu r uu u r
的值；
（3）求AC u u u r 与BD u u u r
的夹角的余弦值．
22.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道
（Rt FHE △，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H
是AB 的中点，,E F 分别落在线段,BC AD 上．已知20AB =米，10
3AD =米，记BHE θ∠=．
（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）若sin cos 2θθ+=
的
长度L ；
（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
林虑中学2019级高一4月调研考试
数学试题参考答案
1.【答案】C
【解析】【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【
详
解
】
解
：
()()(
)sin 600sin 720120sin120sin 18060sin60-︒=-︒+︒=︒=︒-︒=︒=
故选C ．
【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 2.【答案】C
【解析】【分析】利用诱导公式求得 sin 4πθ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值，再利用诱导公式、二倍角公式求得sin2θ的值．
【详解】若2sin 43πθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭，则 2sin 43πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
， 241sin2cos 212sin 122499ππθθθ⎛⎫⎛⎫
∴=-=--=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故选C ．
【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题． 3.【答案】B
【解析】【分析】先由已知条件求出扇形的半径为
1
sin1
，再结合弧长公式求解即可. 【详解】解：设扇形的半径为R ，由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得1
sin1
R =， 由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是2
2sin1
R =， 故选：B.
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题. 4.【答案】C
【解析】∵()1,sin ,sin ,12a b αα⎛⎫== ⎪
⎝⎭
v v ，b v ∥a v ，∴2
1sin 2α=，又α为锐角，
∴sin 452
αα=
=︒．选C ．
5.【答案】D
【解析】【分析】将要求的表达式化为222
sin 2cos sin cos sin αα
ααα
++，再分子、分母同时除以2cos α ，化为关于tan α的式子，代入即可求解．
【详解】根据同角三角函数关系式22sin cos 1αα+=，代入式子中化简可得
222
sin 2cos sin cos sin αα
ααα
++ 分子分母同时除以2
cos α，得22tan 2
tan tan ααα
++
因为tan 3α=，代入可求得22tan 29211
tan tan 3912
ααα++==++
所以选D
【点睛】本题考查了同角三角函数式的应用，“齐次式”化简的方法，属于基础题． 6.【答案】C
【解析】【分析】选项A ：两边不能同时除以a v
，应该移项，逆用向量数量积的运算律，得出结论；
选项B:根据公式a b a b +≥+v v
v v 可以进行判断；
选项C:因为c v 是非零向量，所以0a b ⋅=v v ，可以依据这个进行判断；
选项D ：两个数量积为负，可以得到两个向量的夹角为钝角或者是夹角，依此进行判断.
【详解】解：A ：若a b a c ⋅=⋅v v v v ，则(
)
a b c v v v ⋅-⇒ ()
a b c ⊥-v v
v ，故A 错误；
B ：若a b c +=v v v ，则a b a b c +≥+=
v v v v v
，故B 错误；
C ：非零向量,,a b c v v v
，()
00a b c a b a b v v v v v v v v ⋅⋅=⇒⋅=⇒⊥，故C 正确；
D ：若0a b ⋅>v
v ，则,a b r r
的夹角为锐角或0，故D 错误． 故选C ．
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目． 7.【答案】A
【解析】【分析】利用2sin cos 3A A +=，两边平方可得5
sin cos 18
A A =-，进而判断出A 是钝角．
【详解】解：2sin cos 3A A +=
Q 两边平方可得：22
4sin cos 2sin cos 9
A A A A ++=，
化为5
sin cos 18
A A =-
，()0,A π∈Q ，sin 0,cos 0A A ∴><． A ∴为钝角．∴这个三角形是钝角三角形．故选A ．
【点睛】本题考查了三角函数的平方关系和同角的正弦、余弦值的正负性，属于基础题． 8.【答案】A
【解析】【分析】根据向量共线定理进行判断即可.
【详解】因为(56)(72)242BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r v v v v v v ，且AB u u u r ，BD
u u u r 有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．
故选：A.
【点睛】本题考查了用向量共线定理证明三点共线问题，属于常考题. 9.【答案】C
【解析】【分析】根据锐角三角形角的关系，结合三角函数的单调性进行判断即可． 【详解】解：αQ 、β是锐角ABC V 的两个内角， 90αβ∴+>︒，
90900αβ∴︒>>︒->︒，1sin cos 0αβ∴>>>，
故选C ．
【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，结合锐角三角形的性质、三角函数的单调性是解决本题的关键．
10.【答案】D 【解析】采用排除法.
根据性质: ①:最小正周期为π , 排除选项A 和B; 对于选项C, 当3
x π
=
时,5cos(2)cos
3
6
6y π
π
π=⨯
+
== ,不是最值,所以排除选项C,故选D. 11.【答案】C
【解析】【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A 和B ，然后利用图象求得函数的周期，求得ω，最后根据6
x π
=
时取最大值，求得ϕ．
【详解】解：如图根据函数的最大值和最小值得4
A B A B +=⎧⎨
-=⎩求得2,2A B ==
函数的周期为54126πππ⎛⎫
-⨯= ⎪⎝⎭
，即2,2ππωω== 当6
x π
=
时取最大值，即sin 21,22662k π
ππϕϕπ⎛
⎫
⨯
+=⨯+=+ ⎪⎝
⎭
2
6
π
π
ϕϕ<
∴=
Q
故选C ．
【点睛】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．
12.【答案】D
【解析】试题分析：由()1
cos 5
αβ+=
，得①由()3cos 5
αβ-=
得
②
，
由
①
②
可
求
得
，则sin sin 1
tan tan cos cos 2
αβαβαβ⋅⋅=
=⋅，故本题的正确选项为
D.
考点：三角函数恒等变换.
【思路点睛】本题主要考察三角函数的恒等变换，因为，所以只要求得
即可，而余弦恒等变换中刚好有
这
两项，所以考虑利用和差角的余弦展开式建立一个二元一次方程组，解方程组求得
，进而求得
.
13.【答案】
16
π 【解析】试题分析：本题主要考察三角函数的
周期正弦三角函数周期为
，而正切函数
则为.由三角函数的最小正周期可知
，所以函数
的最小正周
期为.
考点：三角函数的周期. 14.【答案】12
-
【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：
(
)
22221243,1a b a a b b a b a b +=+⋅+=+⋅+=∴⋅=-v v v v v
v v v v v ，据此可得，a v 在b v 方向上的投影等于
11
22a b b
⋅-==-v
v v . 15.【答案】
33
65
【解析】试题分析：由(0)2
πα∈，，(0)2
π
β∈-
，得
，所以
，
从而sin α=
，
故答案为
33
65
考点：三角恒等变形公式． 16.【答案】－
210
【解析】【分析】先利用平面向量数量积的定义和坐标运算得到1212cos x x y y θ+=，再利用两角和的正弦公式和平方关系进行求解.
【详解】根据题意知()()111222121212,,,,OP x y OP x y OP OP x x y y ==⋅=⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r ，
又P 1，P 2在单位圆上，1212121,cos cos OP OP OP OP OP OP θθ==⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
即x 1x 2＋y 1y 2＝cos θ；∵π223
sin cos 4225
θθθ⎛
⎫+=+= ⎪
⎝
⎭① 又sin 2
θ＋cos 2
θ＝1②
且θ为钝角，联立①②求得cos θ＝－
2
10
. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义和坐标运算、两角和的正弦公式，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力，属于中档题．
17.【答案】（Ⅰ）1
2λ=-
（Ⅱ）2λ= 【解析】【分析】（Ⅰ）a b r r P ，则存在唯一的μ使b μ=r
，解得所求参数的值；
（Ⅱ）若a b ⊥r r
，则0a b ⋅=r r ，解得所求参数的值．
【详解】解：（Ⅰ）若a b r r P ，则存在唯一的μ，使b μ=r
，∴1212(2)e e e e λμ-=--u r u u r u r u u r
1212μλμλμ=-⎧∴⇒==-⎨-=-⎩
，∴当12λ=-时a b r r P ，；
（Ⅱ）若a b ⊥r r
，则0a b ⋅=r r ，1212(2)()0e e e e λ--⋅-=u r u u r u r u u r 22
11222(21)0e e e e λλ⇒-+-⋅+=u r u r u u r u u r
因为12,e e u r u u r 是两个相互垂直的单位向量，2λ∴=∴当2λ=时，a b ⊥r r .
【点睛】本题考查两个向量平行、垂直
的
性质，两个向量的数量积公式的应用． 18.【答案】（1）0；（2）1． 【解析】（1）cos
π5+cos 2π5+cos 3π5+cos 4π5=cos π5+cos 2π5+cos （π–2π
5
）+cos （π–
π
5
） =cos
π5+cos 2π5–cos 2π5–cos π5
=0； （2）原式=sin （360°+60°）cos （360°–30°）+sin （–2×360°+30°）•cos （–2×360°+60°）
=sin60°cos30°+sin30°cos60°12×1
2
=1． 19.【答案】（1）2A =.22T πω=
=. (2)()2sin 23f παα⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭2425
+=．
【解析】分析：（1）函数()f x 的图象的最高点的坐标为5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
，可得2A =，依题意得()f x 的周期为1152,1212T πππ⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭
从而可得22T πω==；（2）根据同角的三角函数关系和三角恒等变换，结合二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式可求出()f
α.
详解：（1）∵函数()f x 的图象的最高点的坐标为5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
，2A ∴=， 依题意，得()f x 的周期为11522,21212T T ππππω⎛⎫
=-=∴==
⎪⎝⎭
（2）由（2）得()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
∵0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且4sin 5α=
，3cos 5
α==
2247sin22sin cos ,cos212sin 2525
ααααα∴==
=-=- (
)242sin 22sin2cos cos2sin 33325f πππαααα+⎛
⎫⎛⎫∴=-=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
点睛：三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
20.【答案】（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
（2）3π
【解析】【分析】（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可；
（2）利用三角函数的图象变换关系求出()g x 的解析式，结合方程进行求即可解． 【详解】解：（1）
(
)22cos cos 2f x x x x =+
+1cos2232sin 26x x x π⎛
⎫=+++=++ ⎪⎝
⎭，
由222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
<+
∈得,3
6
k x k k Z π
π
ππ-≤≤+
∈，
即函数的单调递增区间为,,3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
，
（2）将函数()
y f x =的
图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的
1
2
， 得到32sin 46y x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，再将所得的图象向右平移12π个单位()y g x =的图象
即()32sin 432sin 41266g x x x πππ⎡⎤
⎛⎫⎛
⎫=+-
+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦， 由()4g x =得()32sin 446g x x π⎛⎫
=+-= ⎪⎝
⎭，得1sin 462x π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭， 得426
6
x k π
π
π-
=+
或5426
6x k π
ππ-
=+
，得212k x ππ=
+或,24
k x k Z ππ
=+∈，0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
Q ，
0k ∴=时，12
x π
=
或
4π，即方程()4g x =在区间0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上所有根之和为1243πππ+=．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的图象变换求出函数的 解析式是解决本题的关键．
21.【答案】（1）3，2；（2）
；（3）5133
133
-
． 【解析】试题分析：（1）根据向量的运算有1232AC AB BC e e =+=+u u u r u u u r u u u r u r u u r
，可知
，由模长即可求得x 、y 的值；（2）先求得向量
,再根据向量的数
量积及
便可求得AC BD ⋅u u u r u u u r ；（3）由前面的求解可得AC BD ⋅u u u r u u u r
及
，可利用求得向量夹角的余弦值．
试题解析：（1）因为123,2,,AB AD AB BC e e AB AD
====u u u r u u u r u u u r u u u r u u r r
u u u r u u u r ， 所以1232,AC AB BC e e =+=+u u u r u u u r u u u r u r u u r
即3,2x y ==.
（2）由向量的
运算法则知，2123BD AD AB e e =-=-u u u r u u u r u u u r u u r u r
,
所以()()
22
2121212323495AC BD e e e e e e ⋅=+-=-=-u u u r u u u r u u r u r u u r u r u u r u r .
(3) 因为AB u u u r 与AD u u u r 的夹角为3π，所以1e u r 与2e u u r 的夹角为3
π
,
又121e e ==u r u u r
,所以
2123AC AD AB e e =+=+u u u r u u u r u u u r u u r u r 22212149124912cos 193e e e e π=++⋅=++⨯=u u r u r u u r u r .
222111212349124912cos 73
BD AD AB e e e e e e π
=-=-=+-⋅=+-⨯=u u u r u u u r u u u r u u r u r u r u r u u r u r .
设AC u u u r 与BD u u u r
的夹角为θ，可得
2221212123235133
cos 197133e e e e AC BD AC BD
θ+-⋅====⨯⋅u u r u r u u r u r u u r u r u u u r u u u r
u u u r u u u r .
所以AC u u u r 与BD u u u r 的夹角的余弦值为5133
考点：向量的运算．
【思路点睛】本题主要考查向量的运算及单位向量，平面任一向量都可用两个不共线的单位向量来表示，其对应坐标就是沿单位向量方向上向量的模长；而对于向量的数量积，在得知模长及夹角的情况下，可以用两向量模长与夹角余弦三者的乘积来计算，也可转化为单位向量的数量积进行求解；而向量夹角的余弦值则经常通过向量的数量积与向量模长的比值来求得．
22.【答案】(1)101010 cos sin sin cos L θθθθ=++，,63ππθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
．(2) )
201L =米
(3) 6
π
θ
=或3
π
θ=
时，污水净化效果最好，此时管道的长度为)
20
1米.
【解析】【分析】()1根据直角三角形表示EH ，FH ，EF ，即得结果，() 2根据同角三角函数关系求得sin cos θθ，即得结果，() 3利用同角三角函数关系，将函数转化为一元函数，根据单调性得结果.
【
详
解
】
解
：
()101cos EH θ
=
，
10sin FH θ
=
，
10(0)sin cos 2
EF π
θθθ==
<<．
由于10tan BE θ=≤10
tan AF θ
=
≤
所以
tan 3
θ≤≤，所以,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．所以101010cos sin sin cos L θθθθ=
++，,63ππθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
．
()
2
当sin cos θθ+=
时，
1
sin cos 2θθ=，())
10sin cos 1201(sin cos L θθθθ
++==米
)．
()()
10sin cos 13sin cos L θθθθ
++=
，设sin cos t θθ+=，则21
sin cos 2
t θθ-=，
所以201L t =
-．由于,63ππθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以
sin cos 4t πθθθ⎛
⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭⎣．
由于20
1L t =-在⎣上单调递减，
所以当1
2t =，即6πθ=或3πθ=时，L 取得最大值)
20
1+米.
答：当6
π
θ=
或3
π
θ=
时，污水净化效果最好，此时管道的长度为)
20
1米.
【点睛】本题考查函数应用以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属中档题.。