2018年高考数学文科江苏专版二轮专题复习与策略训练：

专题十三 空间几何体
题型一| 空间几何体的表面积与体积
(1)(2014·江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积
分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2
的值是________． (2)(2016·南京盐城二模)如图13-1，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A -A 1EF 的体积是________．
图13-1
(1)32 (2)83 [(1)设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2
＝32.由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，则h 1h 2＝23，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2
＝32， (2)极限法，取E ，F 分别与B 1，C 1重合，则
S 三棱锥A -A 1EF ＝13S △A 1B 1C 1·AA 1＝13×12AB 2sin 60°·AA 1
＝16×16×32×6＝8 3.]
【名师点评】 求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在.求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是
其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.
1．已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为223π，则该圆锥的侧面积为
________．
【导学号：91632040】
3π [设圆锥的母线长为l ，高为h ，
则由V ＝13πr 2·h ，
得h ＝3V πr 2＝22ππ＝2 2.
∴母线l ＝h 2＋r 2＝3，故圆锥的侧面积为S ＝12(2πr )l ＝πrl ＝π×1×3＝3π.]
2．(2016·泰州期末)如图13-2，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为BD 1的中点，
三棱锥O -ABD 的体积为V 1，四棱锥O -ADD 1A 1的体积为V 2，则V 1V 2
的值为________．
图13-2
1
2 [设AB ＝a ，AD ＝b ，A 1A ＝c ，则
V 1＝13S △ABD ·12A 1A ＝13×12ab ×12c ＝abc 12.
V 2＝13S 矩形ADD 1A 1·12
AB ＝13×bc ×12a ＝abc 6. ∴V 1V 2
＝12.] 3．如图13-3，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，侧棱P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，E 为AB 的中点，则四面体P -BCE 的体积为________．
图13-3 33 [显然P A ⊥平面BCE ，底面BCE 的面积为12×1×2×sin 120°＝32，所
以V P -BCE ＝13×2×32＝33.]
题型二| 线、面位置关系的判断
(1)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是________(填序号)．
①l 1⊥l 4；
②l 1∥l 4；
③l 1与l 4既不垂直也不平行；
④l 1与l 4的位置关系不确定．
(2)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：
①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β.
其中正确命题的序号是________．
(1)④ (2)①③ [(1)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ，若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除①和③.若l 4＝DC 1，也满足条件，可以排除②，故填④.
(2)直线l ⊥平面α，α∥β⇒l ⊥β⇒l ⊥m ，①对；α⊥β，l ⊥α时，直线l 与平面β可能平行，也可能在β内，直线l 与直线m 关系不确定，②错；l ∥m ，l ⊥α⇒m ⊥α⇒α⊥β，③对；由l ⊥m ，不能得出l ⊥β，故也不能有α∥β，④错．]
【名师点评】空间线面位置关系的判断方法
1.公理法：借助空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；
2.模型法：借助空间几何模型，如在长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，结合有关定理作出选择.
1．给出下列命题：
①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
③若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，所有真命题的序号为________．
①③④[根据定理和一些常用结论知①③④正确．
②中没有强调两条直线一定相交，否则就不一定平行．]
2．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是________(填序号)．
【导学号：91632041】
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
④若m∥α，m⊥n，则n⊥α.
②[若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，①错；
若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，②正确；
若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，③错；
若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，④错．]
题型三| 多面体与球
(1)如图13-4，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为________cm 3.
图13-4
(2)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．
(1)500π3 (2)132 [(1)如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6
＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2
＋MB 2＝(R －2)2＋42，
所以R ＝5，
所以V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)．
(2)因为直三棱柱中AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝122＋52＝13，
即R ＝132.]
【名师点评】 多面体与球切、接问题的求解策略
1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解；
2.若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，得4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解.
已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．
4π3 [正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，所以球的半径r ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1，球的体积V ＝4π3r 3＝4π3.]。