平面向量及其应用经典试题(含答案)百度文库

一、多选题
1．在ABC 中，AB =1AC =，6
B π
=，则角A 的可能取值为（ ）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
2
π 2．下列结论正确的是（ ）
A ．在ABC 中，若A
B >，则sin sin A B >
B ．在锐角三角形AB
C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形
D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =3
3．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB +=
D ．0PA PB PC ++=
4．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=︒，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4.
B ．若4A
C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =
D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC <<
5．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）
A ．
B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解
C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解
D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解
6．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++ D ．AB AC BD CD -+- 7．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
8．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =
B ．a b =
C ．a 与b 的方向相反
D ．a 与b 都是单位向量
9．有下列说法，其中错误的说法为（ ）．
A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c
B ．若PA PB PB P
C PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ= 10．下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ∆中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立
C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形
D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形 11．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A ．00a ⋅= B ．()
()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C ．0a b a b ⋅=⇒⊥
D ．(
)(
)
22
b b a b a a +-=⋅-
12．对于ABC ∆，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >
C ．若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个
D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形
13．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）
A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个
B ．满足10OA OB -=B 共有3个
C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+
D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 14．已知ABC ∆的面积为3
2
,且2,3b c ==,则A =( ) A ．30°
B ．60°
C ．150°
D ．120°
15．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C 处,3km ,那么x 的值为( ) A 3B ．3C ．3
3D ．3
二、平面向量及其应用选择题
16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，
2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ）
A 3
B ．1
C ．
12
D ．
32
17．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且
3
0aGA bGB cGC ++
=.则BAC ∠等于（ ） A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
18．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则
::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）
A ．1∶2∶3
B ．1∶2∶1
C ．2∶1∶1
D ．1∶1∶2
19．已知两不共线的向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．a 与b 的夹角为αβ-
B ．a b ⋅的最大值为1
C ．2a b +≤
D ．(
)()
a b a b +⊥-
20．若O 为
ABC 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=，则
ABC 一定为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．钝角三角形
21．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，42c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）
A ．
441
B ．
45
C ．
425
D 441
22．已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为
1S ，ABC 的面积为2S ，则1
2
S S =
A ．310
B ．38
C ．
25 D ．
421
23．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．
1
()2
a b + B ．
1
()2
a b - C ．
1
2
a b + D ．12
a b +
24．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、
2S 、3S ，记
i
i S S
λ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1
B ．1
C ．32
-
D ．
32
25．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若
()2
2S a b c +=+，则cos A 等于（ ）
A ．
45
B ．45
-
C ．
1517
D ．1517
-
26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2a
B c
=，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
27．已知圆C 的方程为2
2
(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x
上，线段AB 为圆C
的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2
B ．
52
C ．3
D ．
72
28．已知向量()
2
2cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数
()y f x =的性质的描述正确的是( )
A ．关于直线12
x π
=对称
B ．关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．周期为2π
D ．()y f x =在,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上是增函数 29．在ABC 中，()
2
BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．直角三角形
30．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在
OC 方向上的投影相同，则a =（ ）
A ．1
2
-
B ．
12
C ．-2
D ．2
31．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（ ）
A ．13
24
AB AD -+ B ．12
23AB AD + C ．
11
32
AB AD - D ．
13
24
AB AD - 32．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，1AD =，则
BD AC ⋅=（ ）
A ．2-
B ．3-
C ．2
D ．5
33．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（ ）
①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且
()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则
ABC ∆为锐角三角形．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
34．在ABC ∆中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ）
A ．
3
B ．
3
C ．2
D 35．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（ ）． A ．4
B ．3
C ．-4
D ．5
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一、多选题 1．AD 【分析】
由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】 由余弦定理，得， 即，解得或.
当时，此时为等腰三角形，，所以； 当时，，此时为直角三角形，所以. 故选：AD 【点睛】 本题考查余弦 解析：AD
【分析】
由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】
由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，
即21322
BC BC =+-，解得1BC =或2BC =. 当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6
A B π
==
；
当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2
π. 故选：AD 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.
2．AB 【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】
中，，由得，A 正确； 锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，
解析：AB 【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】
ABC 中，A B a b >⇔>，由
sin sin a b A B
=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222
cos 02b c a A bc
+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；
ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；
ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =11
sin 3sin 6022
S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，
a =，
∴2sin sin 603a R A =
==
︒，3
R =，D 错． 故选：AB ． 【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．
3．CD 【分析】
转化为，移项运算即得解 【详解】 由题意： 故 即 , 故选：CD 【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.
解析：CD 【分析】
转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解 【详解】
由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=
0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=
故选：CD 【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.
4．ABD 【分析】
根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得，故正确；
对于，，选项：如图
解析：ABD 【分析】
根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得2
24sin sin30AB R ACB =
==∠︒
，故A 正确；
对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数． 易知当
1
22
x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解； 当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；
当AD AB AC <<，即1
22
x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．
故B ，D 正确，C 错误． 故选：ABD ．
【点睛】
本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．
5．ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于，因为为锐角且，所以三角
解析：ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当
sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；
对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.92
c B b c =⨯==<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；
对于C ，因为B 为锐角且 sin 432
c B b =⨯=>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；
对于D ，因为B 为锐角且sin 42c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.
6．BD 【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】
对于选项：，选项不正确； 对于选项： ，选项正确； 对于选项：，选项不正确； 对于选项： 选项正确. 故选：
解析：BD 【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】
对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确； 对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确； 对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；
对于选项D ：()()
0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确. 故选：BD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.
7．ABCD 【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】 根据正弦定理 , 即. , 或. 即或
解析：ABCD 【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2
A B π
+=，进而有
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】
根据正弦定理
sin sin a b A B
= cos cos a A b B =
sin cos sin cos A A B B =, 即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,
22A B =或22A B π+=. 即A B =或2
A B π
+=
,
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形. 故选：ABCD 【点睛】
本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°
8．AC 【分析】
根据共线向量的定义判断即可. 【详解】
对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；
对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若与的方向相反，
解析：AC
【分析】
根据共线向量的定义判断即可.
【详解】
对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；
对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意； 对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意.
故选：AC.
【点睛】
本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.
9．AD
【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可.
【详解】
对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误；
对于选项B ，由，得，所以，，
同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确；
对于选项C ，两个非零向量
解析：AD
【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可.
【详解】
对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；
对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确； 对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD
【点睛】
本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.
10．ABD
【分析】
对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得
解析：ABD
【分析】
对于选项A 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ∆中，由022A B π
π
>>->，可得
sin sin()cos 2A B B π
>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或
222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误.
【详解】
对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π
∈，
2A B π
+>，∴022A B π
π
>>->，
sin sin()cos 2
A B B π
∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确； 对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，
sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，
22A B ∴=或222A B π=-，
A B ∴=或2
A B π+=， ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.
对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，
可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.
故选：ABD .
【点睛】
本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.
11．AB
【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.
【详解】
对于A 选项，，A 选项错误；
对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误；
对于C 选项，
解析：AB
【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.
【详解】
对于A 选项，00a ⋅=，A 选项错误；
对于B 选项，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；
对于C 选项，0a b a b ⋅=⇒⊥，C 选项正确；
对于D 选项，()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-，D 选项正确.
故选：AB.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 12．BD
【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可．
【详解】
在中，
对于A ，若，则或，
当A ＝
解析：BD
【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可．
【详解】
在ABC ∆中，
对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，
当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形；
当2A B π
+=时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，
对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得
sin sin a b A B
=，即sin sin A B >成立．故B 正确；
对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，∴222
cos 02a b c C ab
+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ∆是钝角三角形，故D 正确； 综上，正确的判断为选项B 和D ．
故选：BD ．
【点睛】
本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
13．BCD
【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．
【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，
以为原点建立平面直角坐标系，，
设，若，
所以
解析：BCD
【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．
【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，
设(,)B m n ，若10OA OB -=
(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，
得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．
当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确． 若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，
得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．
故选：BCD ．
【点睛】
本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．
14．BD
【分析】
由三角形的面积公式求出即得解.
【详解】
因为,
所以,
所以,因为,
所以或120°.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：BD
【分析】 由三角形的面积公式求出3sin A =
即得解. 【详解】 因为13sin 22S bc A =
=, 所以132322
A ⨯=, 所以3sin A =
,因为0180A ︒︒<<, 所以60A =或120°.
故选：BD
本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．AB
【分析】
由余弦定理得，化简即得解.
【详解】
由题意得,由余弦定理得,
解得或.
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：AB
【分析】 由余弦定理得293cos306x x
︒
+-=，化简即得解. 【详解】 由题意得30ABC ︒∠=,由余弦定理得293cos306x x ︒
+-=,
解得x =x
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、平面向量及其应用选择题
16．B
【分析】
先根据正弦定理化边得C 为直角，再根据余弦定理得角B ，最后根据直角三角形解得a.
【详解】
因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以222b c 0a +-=, C 为直角，
因为222
0a c b ac +--=，所以2221cosB ,223a c b B ac π+-===, 因此13a ccos
π==选B.
【点睛】 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
17．D
由点G是ABC的重心可得0
GA GB GC
++=,即GA GB GC
=--,代入
3
aGA bGB cGC
++=中可得
3
()0 b a GB c a GC
⎛⎫
-+-
=
⎪
⎪
⎝⎭
,由,
GB GC不共线可得
b a
a
-=
⎧
-=
,即可求得,,
a b c的关系,进而利用余弦定理求解即可
【详解】
因为点G 是ABC的重心,所以0
GA GB GC
++=,
所以GA GB GC
=--,
代入
3
3
aGA bGB cGC
++=可得
3
()0
3
b a GB
c a GC
⎛⎫
-+-
=
⎪
⎪
⎝⎭
,
因为,
GB GC不共线,所以
3
b a
c a
-=
⎧
-=
⎩
,
即
b a
c
=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
,所以
222
cos
2
b c a
BAC
bc
+-
∠==,故30
BAC︒
∠=,
故选:D
【点睛】
本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角
18．B
【分析】
延长PB至D，可得出点P是ADC的重心，再根据重心的性质可得出结论。

【详解】
延长PB至D，使得2
PD PB
=，于是有0
PA PD PC
++=，即点P是ADC的重心，依据重心的性质，有PAD PAC PDC
S S S
==
△△△
.由B是PD的中点，得
::1:2:1
PAB PAC PBC
S S S=
△△△
.
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。

另外本题是奔驰定理直接推导得出。

19．D
【分析】
由向量夹角的范围可判断A选项的正误；计算出a b⋅，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C选项的正误；计算
()()a b a b +⋅-的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则2cos 1a α==，同理可得1b =，
a 与
b 不共线，则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠，则()k k Z αβπ-≠∈. 对于A 选项，由题意知，a 与b 的夹角的范围为()0,π，而()R αβ-∈且()k k Z αβπ-≠∈，A 选项错误；
对于B 选项，设向量a 与b 的夹角为θ，则0θπ<<，所以，
()cos cos 1,1a b a b θθ⋅=⋅=∈-，B 选项错误；
对于C 选项，由于a 与b 不共线，由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=，C 选项错误；
对于D 选项，
()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以，()()a b a b +⊥-，D 选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.
20．C 【分析】
由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案.
【详解】
由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+， 所以()
0BC AB AC ⋅+=，
取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=.
所以0BC AE ⋅=，即BC AD ⊥，
故AB AC =，ABC 是等腰三角形.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
21．B
【分析】
在三角形ABC 中，根据1a =，42c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理
sin sin b c B C
=求解. 【详解】 在三角形ABC 中， 1a =，42c =45B =︒，
由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，
21322142252=+-⨯⨯=， 所以5b =， 由正弦定理得：sin sin b c B C
=， 所以242sin 42sin 55
c B C b ===，
故选：B
【点睛】
本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 22．A
【解析】
∵2350OA OB OC ++=，∴()()
23OA OC OB OC +=-+．
设AC中点为M，BC中点为N，则23
OM ON
=-,
∵MN为ABC 的中位线，且
3
2 OM
ON
=，
∴
3613
22
55410
OAC OMC CMN ABC ABC
S S S S S
⎛⎫
==⨯=⨯=
⎪
⎝⎭
，即1
2
3
10
S
S
=．选A．23．D
【分析】
根据向量的加法的几何意义即可求得结果.
【详解】
在ABC
∆中，M是BC的中点，
又,
AB a BC b
==，
所以
11
22
AM AB BM AB BC a b
=+=+=+，
故选D.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 24．D
【分析】
根据三角形中位线的性质，可得P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，从而
得到
123
1
2
S S S S
==+，由此结合基本不等式求最值，得到当
23
λλ⋅取到最大值时，P为EF的中点，再由平行四边形法则得出
11
22
PA PB PC
++=，根据平面向量基本定理可求得
1
2
x y
==，从而可求得结果.
【详解】
如图所示：
因为EF是△ABC的中位线，
所以P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，
所以
123
1
2
S S S S
==+，
由此可得2
2232322322(
)
1216
S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立， 所以0PE PF +=，
由平行四边形法则可得2PA PB PE +=，2PA PC PF +=， 将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=， 所以11
022
PA PB PC +
+=， 又已知0PA xPB yPC ++=， 根据平面向量基本定理可得1
2
x y ==， 从而132122
x y +=+=. 故选：D 【点睛】
本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题. 25．D 【分析】
由2
2
()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：
1
sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可． 【详解】
解：22()S a b c +=+，
2222S b c a bc ∴=+-+， ∴
1
sin 2cos 22
bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=， 因为22sin cos 1A A +=． 解得15
cos 17
A =-
或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．
15cos 17
A ∴=-
． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 26．A 【分析】
利用余弦定理化角为边，得出c b ABC =， 是等腰三角形． 【详解】
ABC ∆中，c cos 2a B c =，由余弦定理得，222
2a c b cosB ac
+-=
， ∴222
22a a c b c ac +-= 220c b ∴-= ，
∴c b ABC =，是等腰三角形． 【点睛】
本题考查余弦定理的应用问题，是基础题． 27．B 【分析】
将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值. 【详解】
()()()()
PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2
222||||||22
PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】
本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 28．D 【详解】
()
22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12
x π
=
时,sin(2)sin
163x π
π
+
=≠±,∴f (x )不关于直线12
x π
=
对称；
当512x π=时,2sin(2)116x π
++= ,∴f (x )关于点5(
,1)12
π对称； f (x )得周期22
T π
π==， 当(,0)3
x π
∈-
时,2(,)6
26x π
ππ
+
∈-
,∴f (x )在(,0)3
π
-上是增函数． 本题选择D 选项.
29．D 【分析】
先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状. 【详解】
因为()()()
2
22BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以
222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.
【点睛】
判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．
30．A 【分析】
根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解. 【详解】
由题意，点(),1A a ，()2,1B -，()4,5C ， O 为坐标原点， 根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则
OA OC OB OC OC
OC
⋅⋅=
,
即OA OC OB OC ⋅=⋅，可得4152415a +⨯=⨯-⨯，解得12
a =-. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 31．D 【分析】
利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：
DF AF AD =-，1=
2AF AE ，=AE AB BE +，1
=2
BE BC ，=BC AD ，即可得出答案. 【详解】
利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =-，=AE AB BE +，
E 为BC 的中点，
F 为AE 的中点，则1=2AF AE ，1
=2
BE BC 1111
=
=()=+2224
DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+--
又
=BC AD
13
24
DF AB AD ∴=
-. 故选D.
【点睛】
本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：
一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；
二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）． 32．A 【解析】
分析：根据向量加法、减法法则将BD AC ⋅转化为()()AD AB AB BC -+即可求解. 详解：由题可得：
BD AC ⋅=()()AD AB AB BC -+=
2211
()()24222
BC AB AB BC BC AB -+=-=-=-,故选A. 点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息()()AD AB AB BC -+是解题关键. 33．B 【解析】 【分析】
利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数. 【详解】
逐一考查所给的命题：
①由向量的减法法则可知：AB AC CB -=，题中的说法错误； ②由向量加法的三角形法则可得：0AB BC CA ++=，题中的说法正确； ③因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=， 即()0CB AB AC ⋅+=； 又因为AB AC CB -=， 所以()()0AB AC AB AC -⋅+=， 即||||AB AC =，
所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确；
④若0AC AB ⋅>，则cos 0AC AB A ⨯⨯>，据此可知A ∠为锐角，无法确定ABC ∆为锐角三角形，题中的说法错误．
综上可得，正确的命题个数为2. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 34．C 【分析】 化简得到2
2
AM AB AC λ
μ
=+
，根据1AM =得到221λμλμ+-=，得到λμ+的最大
值. 【详解】
()
1222
AM AE AF AB AC λμ
=
+=+， 故2
2
22224cos1201222AM
AB AC λμ
λμλμλμλμ⎛⎫
=+=++⨯︒=+-= ⎪⎝⎭
故()()()2
2
2
2
2
3134
λμλμλμλμλμλμ=+-=+-≥+-
+，故2λμ+≤. 当1λμ==时等号成立. 故选：C . 【点睛】
本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力. 35．C 【分析】
先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ⋅，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影． 【详解】
对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，
2222
22AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，整理得，0AB AC ⋅=，则AB AC ⊥，
()
2
16BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，
设向量BC 与CA 的夹角为θ，
所以，BC 在CA 方向上的投影为16
cos 44
BC CA BC CA BC BC BC CA
CA
θ⋅⋅-⋅=⋅=
=
=-⋅， 故选C ． 【点睛】
本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题．。