2.1.1 椭圆及其标准方程(同步课件)高二数学(北师大版2019选择性必修第一册)
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b2 a2
两种方法： 定义法；待定系数法.
两种思想： 数形结合的思想；坐标法的思想. 三个意识： 类比意识；求美意识；求简意识.
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
y
P
不
图形
F2 P
同
F1 O F2
x
O
x
F1
点
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
(3)9x2 25 y 2 225 0
(2) x 2 y 2 1 25 16
(4)
x2 m2
y2 m2 1
1
露它一小手
Байду номын сангаас
练习2.
已知椭圆的方程为：
x2 y2 25 16
1，请填空：
(1) a=_5_，b=_4_，c =_3_，焦点坐标为_(_-3_,_0_)_、__(3_,_0_)，焦距等于_6_.
解: ⑵∵椭圆 9x2+4y2=36 的焦点为（0，± 5 ）， 则可设所求椭圆方程为： x2 y2 =1(m＞0)
m m5 将 x=2, y=3 代入上式得： 4 9 1
m m5 解得：m=10 或 m=-2（舍去） ∴所求椭圆的方程为： x 2 y 2 =1.
10 15
注:①这样设不失为一种方法. ②可不可以直接求出 a .
2.1.1 椭圆及其标准方程
实物感知
实物感知
实物感知
实物感知
一、椭圆的定义
请同学们用事先准备好的学习用具小组内共同完成一下 任务，并思考相应问题。
1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点） 画出的轨迹是一个什么图形？笔尖（动点）满足什么几何条 件？
M X
O
F1(0,-c)
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
（1）“椭圆的标准方程”是个专有名词，专指本节介绍的两 个方程，方程形式是固定的。
（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪
一个轴上,即“椭圆的焦点看分母，谁大在谁上” （3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
y o
观察左图， 和同桌讨论你们能从中找 出表示c 、 a 的线段吗？
x a2-c2 有什么几何意义？
则方程可化为
定义
图形
方程 焦点 a,b,c之间的关系
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
x2 16
y2
1
（2）a=4,c= 15 ,焦点在y轴上
y2 16
x2
1
1 （3）a+b=10,c= 2 5 x2 y2 36 16
1 y2 x2
36 16
例3、填空：
x2 y2
已知椭圆的方程为：
25
16
1
，则
a=___5__，b=___4____，c=____3___，焦点坐标
为：__(3_,0_)_、__(-_3_,0_)__焦距等于___6___;若CD为过
无轨迹。
F1
F2
10
一、椭圆的定义
平面内与两定点的距离的和等于常数（2a） （大于|F1F2|） 的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距（2c).
问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？ 线段F1F2
问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？ 轨迹不存在
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
令 b2 a2 c2，得
b2 x2 a2 y2 a2b2
两边同时除以 a2b，2 得
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
YM
F1 O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
椭圆的标准方程的认识：
Y
F2(0 , c)
余弦定理：F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos F1PF2
注意新旧知识的综合运用
巩固训练
1 1.如果椭圆
x2 100
y2 36
上一点P到焦点F1的距离等
于6，那么P到另一个焦点F2的距离是 14
2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a=4,b=1,焦点在x轴上
例1：已知△ABC的周长为10，且｜BC｜, 则△ABC的顶点A的轨迹是什么？并说明理由。 解：因为△ABC的周长为10 且｜AB｜+｜AC｜>｜BC｜
根据椭圆的定义可知，△ABC的顶点A的轨迹是 以B、C为焦点，焦距长为4的椭圆（不含椭圆与 直线BC的交点）
深化研究、构建方程
求曲线方程的步骤是什么？
二、椭圆的标准方程：
y M
F1 O
F2 x
方案一
y
F2 M
O
x
F1
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“简洁”
解：以两定点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的 垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
y
设M(x, y)是椭圆上任意一
M
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
y2 b2
1
a
b
0
ox
F1
y2 a2
x2 b2
1
a
b 0
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆 x2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 y 2项分母较大.
口答：
，P是椭圆
上一点，且 F1PF2 ，求PF1F2 的周长和面积。
PPFF11FF22通通常常叫叫做做焦焦点点三三角角形形，，其其周周长长为为定定值值22aa
+ +
22cc.，
相关知识： 其面积为
b2 tan F1PF2
b2 tan
1
2
2
S PF1F2 2 PF1 PF2 sin F1PF2
思 1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动 考 的？
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关
系？
注重本质 、理解概念
1. 椭圆定义： |MF1|+|MF2|=2a (|F1F2|=2c, 2a>2c>0)
平面内与两个定点 F1, F2的距离的和等于常数（大于
（1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M的坐标 为(x，y); （2）找出限制条件 p(M); （3）把坐标代入限制条件p(M) ，列出方程 f (x，y)=0; （4）化简方程 f (x，y)=0; （5）检验(可以省略,如有特殊情况，适当说明)
建、 设、限、代、化
结合椭圆的几何特征，你认为怎样选择坐标系才能 使椭圆的方程简单？
(2)
16
m
2
25且m
9
2
③表示焦点在x轴上的椭圆。
析：表示焦点在x轴上的椭圆需要满足的条件：
25 m 0 16 m 0 25 m 16 m
16 m 9 2
小结
一个概念： |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
两个方程：
x2 a2
+
y2 b2
= 1 a
>
b
>
0
x2 + y2 = 1a > b > 0
左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为___2_0____
Y C
O
F1
F2
D
X
x2 y2
1
9 16
变式： 若椭圆的方程为 16 x2 9 y2 144 ,试口答完成（1）.
4.方程25x－2 m
＋ y2 16＋m
＝1
，分别求方程满足
下列条件的m的取值范围：
①表示一个圆； (1)m 9
②表示一个椭圆；
x2 y2 1 49
(2)
x2 y2 1 16
(1)
x 2 cos y 3sin
(2)
x cos y 4 sin
把下列参数方程化为普通方程
(3)
x 3cos
y
5
sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x 8 cos
y
10 sin
(4)
x2 64
y2 100
1
例 4：求经过点 (2, 3) 且与椭圆9x2 4 y2 36 有共 同的焦点的椭圆的标准方程.
2 b2
1
②
F1 O
F2 P x
待定系数法
联立方程①②解得 a2 10, b2 6
因此所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1
10 6
例3：求证：点M(acosθ,bsinθ)(0≤θ<2Π)在椭圆 上。
补充提高： 椭圆的标准方程: 椭圆的参数方程:
【练习】把下列普通方程化为参数方程.
(1)
2.如果把细绳的两端拉 开一段距离，分别固定在图 板的两点处，套上铅笔，拉 紧绳子，移动笔尖，画出的 又是什么图形？这一过程中 ，笔尖（动点）满足什么几 何条件？
数学实验
•(1)取一条细绳， •(2)把它的两端固定在板上 的两个定点F1、F2 •(3)用铅笔尖（M）把细绳 拉紧，在板上慢慢移动看 看画出的 图形
例5：方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的 椭圆，求k的取值范围。
解：由4x2 ky2 1得 x2 y 2 1 11 4k
∵方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
1 1 k4
解之得：0<k<4
∴k的取值范围为0<k<4。
例7.已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1 ，焦点为F1和F2
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
并且CF1=2,则CF2=_8__.
变式： 若椭圆的方程为 16 x2 9 y2 144 ,试口答完成（1）.
x2 y2 1 9 16
例2： 已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，设
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
F1 O
由椭圆的定义知
F2 P x
定义法 2a
5 2
2
2
3 2 2
5 2
2
2
3 2
2
所以 a 10.
又因为 c 2 ， 所以 b2 a2 c2 10 4 6 因此，所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1
1.
x2 52
y2 32
1，则a＝
5
，b＝
3
；
2.
x2 42
y2 62
1，则a＝
6
，b＝ 4
；
3. x2 y2 1 96 x2 y2
4. 1 74
则a＝ 3 ，b＝ 6 ； 则a＝ 7 ，b＝ 2 ．
小菜一碟
练习1.下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？
(1) x 2 y 2 1 16 16
移项，再平方
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2 a2 cx a (x c)2 y2
两边再平方，得
a4 2a2cx c2x2 a2x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
| F1F2 ）| 的点的轨迹叫作椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦
点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 。
M
记焦距为2c，椭圆上的点M与F1， F2的
距离和记为2a。
F1
F2
注重本质、理解概念
思 考 为什么要求 2a 2c?
绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
绳长小于两定点间
距离即2a<2c时，
10 6
例2： 已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，设
由于 c 2，所以 a2 b2 4 ①
x2 a2
y2 b2
1(a
y
b
0)
又点
5 ， 2
3 2
在椭圆上
5 2 3 2
2 a2
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
F1 0
F2 x
由椭圆的定义得，限制条件：| MF1 | | MF2 | 2a
代入坐标 | MF1 | (x c)2 y2 ,| MF2 | (x c)2 y2
得方程 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
（问题：下面怎样化简？）
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
两种方法： 定义法；待定系数法.
两种思想： 数形结合的思想；坐标法的思想. 三个意识： 类比意识；求美意识；求简意识.
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
y
P
不
图形
F2 P
同
F1 O F2
x
O
x
F1
点
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
(3)9x2 25 y 2 225 0
(2) x 2 y 2 1 25 16
(4)
x2 m2
y2 m2 1
1
露它一小手
Байду номын сангаас
练习2.
已知椭圆的方程为：
x2 y2 25 16
1，请填空：
(1) a=_5_，b=_4_，c =_3_，焦点坐标为_(_-3_,_0_)_、__(3_,_0_)，焦距等于_6_.
解: ⑵∵椭圆 9x2+4y2=36 的焦点为（0，± 5 ）， 则可设所求椭圆方程为： x2 y2 =1(m＞0)
m m5 将 x=2, y=3 代入上式得： 4 9 1
m m5 解得：m=10 或 m=-2（舍去） ∴所求椭圆的方程为： x 2 y 2 =1.
10 15
注:①这样设不失为一种方法. ②可不可以直接求出 a .
2.1.1 椭圆及其标准方程
实物感知
实物感知
实物感知
实物感知
一、椭圆的定义
请同学们用事先准备好的学习用具小组内共同完成一下 任务，并思考相应问题。
1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点） 画出的轨迹是一个什么图形？笔尖（动点）满足什么几何条 件？
M X
O
F1(0,-c)
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
（1）“椭圆的标准方程”是个专有名词，专指本节介绍的两 个方程，方程形式是固定的。
（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪
一个轴上,即“椭圆的焦点看分母，谁大在谁上” （3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
y o
观察左图， 和同桌讨论你们能从中找 出表示c 、 a 的线段吗？
x a2-c2 有什么几何意义？
则方程可化为
定义
图形
方程 焦点 a,b,c之间的关系
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
x2 16
y2
1
（2）a=4,c= 15 ,焦点在y轴上
y2 16
x2
1
1 （3）a+b=10,c= 2 5 x2 y2 36 16
1 y2 x2
36 16
例3、填空：
x2 y2
已知椭圆的方程为：
25
16
1
，则
a=___5__，b=___4____，c=____3___，焦点坐标
为：__(3_,0_)_、__(-_3_,0_)__焦距等于___6___;若CD为过
无轨迹。
F1
F2
10
一、椭圆的定义
平面内与两定点的距离的和等于常数（2a） （大于|F1F2|） 的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距（2c).
问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？ 线段F1F2
问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？ 轨迹不存在
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
令 b2 a2 c2，得
b2 x2 a2 y2 a2b2
两边同时除以 a2b，2 得
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
YM
F1 O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
椭圆的标准方程的认识：
Y
F2(0 , c)
余弦定理：F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos F1PF2
注意新旧知识的综合运用
巩固训练
1 1.如果椭圆
x2 100
y2 36
上一点P到焦点F1的距离等
于6，那么P到另一个焦点F2的距离是 14
2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a=4,b=1,焦点在x轴上
例1：已知△ABC的周长为10，且｜BC｜, 则△ABC的顶点A的轨迹是什么？并说明理由。 解：因为△ABC的周长为10 且｜AB｜+｜AC｜>｜BC｜
根据椭圆的定义可知，△ABC的顶点A的轨迹是 以B、C为焦点，焦距长为4的椭圆（不含椭圆与 直线BC的交点）
深化研究、构建方程
求曲线方程的步骤是什么？
二、椭圆的标准方程：
y M
F1 O
F2 x
方案一
y
F2 M
O
x
F1
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“简洁”
解：以两定点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的 垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
y
设M(x, y)是椭圆上任意一
M
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
y2 b2
1
a
b
0
ox
F1
y2 a2
x2 b2
1
a
b 0
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆 x2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 y 2项分母较大.
口答：
，P是椭圆
上一点，且 F1PF2 ，求PF1F2 的周长和面积。
PPFF11FF22通通常常叫叫做做焦焦点点三三角角形形，，其其周周长长为为定定值值22aa
+ +
22cc.，
相关知识： 其面积为
b2 tan F1PF2
b2 tan
1
2
2
S PF1F2 2 PF1 PF2 sin F1PF2
思 1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动 考 的？
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关
系？
注重本质 、理解概念
1. 椭圆定义： |MF1|+|MF2|=2a (|F1F2|=2c, 2a>2c>0)
平面内与两个定点 F1, F2的距离的和等于常数（大于
（1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M的坐标 为(x，y); （2）找出限制条件 p(M); （3）把坐标代入限制条件p(M) ，列出方程 f (x，y)=0; （4）化简方程 f (x，y)=0; （5）检验(可以省略,如有特殊情况，适当说明)
建、 设、限、代、化
结合椭圆的几何特征，你认为怎样选择坐标系才能 使椭圆的方程简单？
(2)
16
m
2
25且m
9
2
③表示焦点在x轴上的椭圆。
析：表示焦点在x轴上的椭圆需要满足的条件：
25 m 0 16 m 0 25 m 16 m
16 m 9 2
小结
一个概念： |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
两个方程：
x2 a2
+
y2 b2
= 1 a
>
b
>
0
x2 + y2 = 1a > b > 0
左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为___2_0____
Y C
O
F1
F2
D
X
x2 y2
1
9 16
变式： 若椭圆的方程为 16 x2 9 y2 144 ,试口答完成（1）.
4.方程25x－2 m
＋ y2 16＋m
＝1
，分别求方程满足
下列条件的m的取值范围：
①表示一个圆； (1)m 9
②表示一个椭圆；
x2 y2 1 49
(2)
x2 y2 1 16
(1)
x 2 cos y 3sin
(2)
x cos y 4 sin
把下列参数方程化为普通方程
(3)
x 3cos
y
5
sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x 8 cos
y
10 sin
(4)
x2 64
y2 100
1
例 4：求经过点 (2, 3) 且与椭圆9x2 4 y2 36 有共 同的焦点的椭圆的标准方程.
2 b2
1
②
F1 O
F2 P x
待定系数法
联立方程①②解得 a2 10, b2 6
因此所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1
10 6
例3：求证：点M(acosθ,bsinθ)(0≤θ<2Π)在椭圆 上。
补充提高： 椭圆的标准方程: 椭圆的参数方程:
【练习】把下列普通方程化为参数方程.
(1)
2.如果把细绳的两端拉 开一段距离，分别固定在图 板的两点处，套上铅笔，拉 紧绳子，移动笔尖，画出的 又是什么图形？这一过程中 ，笔尖（动点）满足什么几 何条件？
数学实验
•(1)取一条细绳， •(2)把它的两端固定在板上 的两个定点F1、F2 •(3)用铅笔尖（M）把细绳 拉紧，在板上慢慢移动看 看画出的 图形
例5：方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的 椭圆，求k的取值范围。
解：由4x2 ky2 1得 x2 y 2 1 11 4k
∵方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
1 1 k4
解之得：0<k<4
∴k的取值范围为0<k<4。
例7.已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1 ，焦点为F1和F2
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
并且CF1=2,则CF2=_8__.
变式： 若椭圆的方程为 16 x2 9 y2 144 ,试口答完成（1）.
x2 y2 1 9 16
例2： 已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，设
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
F1 O
由椭圆的定义知
F2 P x
定义法 2a
5 2
2
2
3 2 2
5 2
2
2
3 2
2
所以 a 10.
又因为 c 2 ， 所以 b2 a2 c2 10 4 6 因此，所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1
1.
x2 52
y2 32
1，则a＝
5
，b＝
3
；
2.
x2 42
y2 62
1，则a＝
6
，b＝ 4
；
3. x2 y2 1 96 x2 y2
4. 1 74
则a＝ 3 ，b＝ 6 ； 则a＝ 7 ，b＝ 2 ．
小菜一碟
练习1.下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？
(1) x 2 y 2 1 16 16
移项，再平方
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2 a2 cx a (x c)2 y2
两边再平方，得
a4 2a2cx c2x2 a2x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
| F1F2 ）| 的点的轨迹叫作椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦
点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 。
M
记焦距为2c，椭圆上的点M与F1， F2的
距离和记为2a。
F1
F2
注重本质、理解概念
思 考 为什么要求 2a 2c?
绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
绳长小于两定点间
距离即2a<2c时，
10 6
例2： 已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，设
由于 c 2，所以 a2 b2 4 ①
x2 a2
y2 b2
1(a
y
b
0)
又点
5 ， 2
3 2
在椭圆上
5 2 3 2
2 a2
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
F1 0
F2 x
由椭圆的定义得，限制条件：| MF1 | | MF2 | 2a
代入坐标 | MF1 | (x c)2 y2 ,| MF2 | (x c)2 y2
得方程 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
（问题：下面怎样化简？）
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a