2025届湖北武汉部分高中高三起点考试数学试卷+答案

2024年武汉市部分高中高三起点考试
数学试卷
考试时间：2024年7月24日下午14：00-16：00 试卷满分：150分
一､单选题
1.若全集U =R ，集合{03},{14}A x x B x x =<=<<∣∣ ，则U A B ∩= （ ）
A.[)0,1
B.[]0,1
C.(),1∞−
D.(],1∞−
2.复数34i 2i
z +=−（其中i 为虚数单位）的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
3.已知向量,a b ，满足()
2,44a a b b =+⋅= ，则2a b += （ ）
A.4.若()4
sin π,5
αα−=为第二象限角，则sin2α=（ ） A.725− B.2425− C.725 D.2425
5.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
−=>>的右顶点为A ，若以点A 为圆心，以b 为半径的圆与C 的一条渐近线交于,M N 两点，且3OM ON =− ，则C 的离心率为（ ）
6.若曲线
ln(2y x a =+）的一条切线为e 2y x b =−（e 为自然对数的底数），其中,a b 为正实数，则11e a b
+的取值范围是（ ） A.[)2,e B.(]e,4 C.[)4,∞+ D.[)e,∞+
7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）
A.若{}n a 为等差数列，且98910,S S S S >>，则17180,0S S ><
B.若{}n a 为等差数列，且17180,0S S ><，则17180,0a a ><
C.若{}n a 为等比数列，且40a >，则2024S 0>
D.若{}n a 为等比数列，且50a >，则2023S 0>
8.已知奇函数()f x 的定义域为R ，对任意的x 满足()
()2f x f x −=+，且()f x 在区间()1,0−上单调
递增，若4π
1log 3,log 2,4
a b c ==，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ） A.()()()f c f a f b >> B.()()()f c f b f a >>
C.()()()f a f b f c >>
D.()()()f a f c f b >>
二､多选题
9.下列论述正确的有（ ）
A.若,A B 两组成对数据的样本相关系数分别为0.97,0.99A B r r ==−，则A 组数据比B 组数据的相关性较强
B.数据49,21,32,29,38,65,30,50的第60百分位数为38
C.若随机变量()27,X N σ∼，且(9)0.12P X >=
，则(57)0.38P X <<= D.若样本数据126,,,x x x 的方差为1，则数据12621,21,,21x x x −−− 的方差为4
10.已知函数(){}min sin ,cos f x x x =，则（ ）
A.()f x 关于直线π4
x =−对称
B.()f x
C.()f x 在ππ,22 −
上不单调 D.在()0,2π，方程()f x m =（m 为常数）最多有4个解
11.已知圆222:(0)O x y r r +=>，斜率为k 的直线l 经过圆O 内不在坐标轴上的一个定点P ，且与圆O 相交于A B ､两点，下列选项中正确的是（ ）
A.若r 为定值，则存在k ，使得OP AB ⊥
B.若k 为定值，则存在r ，使得OP AB ⊥
C.若r 为定值，则存在k ，使得圆O 上恰有三个点到l 的距离均为k
D.若k 为定值，则存在r ，使得圆O 上恰有三个点到l 的距离均为2
r 三､填空题
12.设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ∠⊥= ，则C 的离心率为__________.
13.已知正三棱锥P ABC −，点,,,P A B C 的球面上，若,,PA PB PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为__________.
14.ABC 为锐角三角形，其三个内角A B C ､､
的对边分别为a b c ､､，且1,2b C B ==，则ABC 周长的取值范围为__________.
四､解答题
15.如图，四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面,ABCD AB ∥,,120CD AD CD a BAD ==∠= ，
90ACB ∠=
.
（1）求证：BC ⊥平面PAC ；
（2）若PA =，求二面角D PC A −−的余弦值.
16.第33届夏季奥林匹克运动会运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，共设置射击､游泳､田径､篮球等32个大项，329个小项.共有来自120多个国家的近万名运动健儿同台竞技.我国也将派出强大的阵容在多个项目上参与奖牌的争夺.武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解奥运会的相关知识.武汉市体育局为了解广大民众对奥运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下： 组别 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 [)90,100
频数 5 30 40 50 45 20 10
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设,µσ分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求,µσ的值（,µσ的值四舍五入取整数）并计算(5193)P X <<；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于µ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于µ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A 的概率为23
，抽中价值为30元的纪念品B 的概率为13.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望. （参考数据：()0.6827P X µσµσ−<+≈ ，(22)0.9545P X µσµσ−<+≈ ，
(33)0.9973P X µσµσ−<+≈ ）
17.已知曲线C 上的点到点()1,0F −的距离比到直线3x =的距离小2,O 为坐标原点.直线l 过定点()0,1A . （1）直线l 与曲线C 仅有一个公共点，求直线l 的方程；
（2）曲线C 与直线l 交于,M N 两点，试分别判断直线,OM ON 的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由.
18.已知函数()1ln f x x x a
=−与函数()e ax g x x =−，其中0a > （1）求()f x 的单调区间；
（2）若()0g x >，求a 的取值范围；
（3）若曲线()y f x =与x 轴有两个不同的交点，求证：曲线()y f x =与曲线()y g x =共有三个不同的交点.
19.定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1,2,3经过第一次“和扩充”后得到数列1,3,2,5,3；第二次“和扩充”后得到数列1,4,3,5,2,7,5,8,3.设数列,,a b c 经过n 次“和扩充”后得到的数列的项数为n P ，所有项的和为n S .
（1）若
2,3,4a b c ===，求22,P S ； （2）若2024n P ≥，求正整数n 的最小值；
（3）是否存在数列(),,,,a b c a b c ∈R ，使得数列{}n S 为等比数列？请说明理由.
硚口区2024年高三年级起点考数学参考答案
1.B
2.A
3.A
4.B
5.B
6.C
7.D
8.D
9.BCD 10.BCD 11.AC
(2 15.（1）PA ⊥ 底面,ABCD BC ⊂平面,ABCD PA BC ∴⊥.
90,ACB BC AC ∠=∴⊥ .
又,,PA AC A PA AC ∩
=⊂平面,PAC BC ⊥平面PAC . （2）令1a =取CD 的中点E ，易得三角形ADC 是正三角形，,AE CD AE AB ⊥∴⊥ . 又PA ⊥ 底面,,ABCD AE AB ⊂平面,,ABCD PA AE PA AB ∴⊥⊥.
在Rt ACB 中，60,1BAC AC ∠== ，所以2AB =，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则(
)(
()110,0,0,,,0,,0,0,2,022A P C D B − ，设平面PAC 的一个法向量 为()1,,n x y z =，则110,0,AP n AC n ⋅= ⋅=
即0102y =+=
令x =
)
13,0n =− ， 设平面PDC 的一个法向量为()2,,n a b c =，则220,0,DC n PC n ⋅= ⋅=
即0102b b = +=，
令a =
2n =
所以121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅ . 16.（1）由已知频数表得：
()53040504520103545556575859565200200200200200200200E X =×+×+×+×+×+×+×=
()22222(3565)0.025(4565)0.15(5565)0.2(6565)0.25(7565)0.225D X =−×+−×+−×+−×+−× 由2196225σ<<，则1415,σ<<
而22214.5210.5210(8565)0.1(9565)0.05210=>+−×+−×=
所以14σ≈
则X 服从正态分布()65,14N ，所以；
(22)()(5193)
(2)2
P X P X P X P X µσµσµσµσµσµσ−<<++−<<+<<=−<<+= 0.95450.68270.81862
+= （2）显然()()
0.5P X P X µµ<=≥=， 所以所有Y 的取值为15,30,45,60, ()12115233
P Y ==×= ()111227302323318P Y ==
×+××= ()121112
45233239P Y ==
××+× ()11116023318
P Y ==××= 所以Y 的分布列为：
所以，()17211530456030318918
E Y =×+×+×+×= 17.（1）曲线C 上的点到点()
F 1,0−的距离比到直线x 3=的距离小2.所以曲线2:4C y x =−， 过点()0,1A 的直线l 与抛物线C 仅有一个公共点，若直线l 可能与抛物线C 的对称轴平行时，则有：1y =，若直线l 与抛物线C 相切时，易知：0x =是其中一条直线，另一条直线与抛物线C 上方相切时，
不妨设直线l 的斜率为k ，设为1y kx =+，联立214y kx y x
=+ =− 可得：()222410k x k x +++=则有：22Δ(24)40k k =+−=解得：1k =−，
故此时的直线l 的方程为：1y x =
−+， 综上，直线l 的方程为：1y =或0x =或1y x =
−+. （2）若l 与C 交于,M N 两点，分别设其坐标为()()1122,,,M x y N x y ，且12x x <由（1）可知直线l 要与抛物线C 有两个交点，则直线l 的斜率存在且不为0，不妨设直线l 的斜率为k ，则有：
1y kx =+，联立直线l 与抛物线C 可得：214y kx y x =+ =−
可得：()22222410Δ(24)416160k x k x k k k +++==+−=+>，即有：1k >−根据韦达定理可得：
121222241,,k x x x x k k ++=−=则有：112212112
211,y kx y kx k k x x x x ++====（1212121212
1124kx kx x x k k k x x x x ++++=+=+=−，故为定值；()2121212121212
1114,k x x k x x kx kx k k k x x x x +++++=⋅==−故不为定值； 综上：12k k +为定值124,k k −不为定值.
18.（1）()y f x =的定义域为：0x >，
又已知()1101a x a a f x ax ax
−
>′=−= 所以10,x a
∈
时，()()0,f x f x ′<单调递减； 1,x a ∞ ∈+
时，()()0,f x f x ′>单调递增. （2）由题意：()e 0ax
g x x =−>，即e ax x > 若0x ，不等式恒成立，若0x >，即ln x a x >
令()ln (0)x h x x x
=> ()21ln x h x x −=
′ 当()0,e x ∈时，()()0,h x h x ′>单调递增；当()e,x ∞∈+时，()0h x ′<， ()h x 单调递减；max 1()e
h x =. 故a 的取值范围为1,e ∞ + ..
（3）曲线()y f x =与x 轴有两个不同的交点，即函数()y f x =有两个不同的零点12,x x 不妨令120x x <<，由（2）知，a 的取值范围为10,e
且由11e ax x =得111ln x x a
=，同理得曲线()y f x =与曲线()y g x =共有两个 不同的交点()()12,0,0x x
下面证明这两条曲线还有一个交点.
令()1e 2ln ax H x x x a
=−+ ()1e 21e 2ax ax
a ax ax H x a ax ax ax ⋅−=+−=−′ 令t ax =，则()e 21,0t
m t at t t =−+> ()()1e 2t m t a t =+−′
()()2e 0t m t a t +′=
>′恒成立，则()m t ′单调递增， 又()
12e 20m a =−<′ 令()()1e 20t m t a t =+−=′，得()22e 1t a t a
=<+ 故存在021ln t a <<，使得()y m t =在()00,t 上单调递减，在()0,t ∞+单调递增，
()()2010,1e 10,ln 10m m a m a =>=−<=>
故()e 21t m t at t =−+有两个零点12122,,01ln t t t t a
<<<<， 令132
4,t ax t ax =，即()y H x =有且只有两个极值点34,x x 所以()y H x =在()30,x 上单调增，在()34,x x 上单调减，在()4,x ∞+上单调增. 又()111
120H x ax ax =+−≥′，若()110,1H x ax == 由11e ax x =得11e,e
x a ==与题设矛盾.所以()10H x ′> 同理()2120,,H x x x >′不可能在同一单调区间，13420,x x x x <<< 故有()()()()13420,0H x H x H x H x =<<=
所以在()34,x x 间存在唯一的0x 使得()00H x =，即两条曲线还有一个交点0x 故曲线()y f x =与曲线()y g x =共有三个不同的交点.
19.（1）
2,3,4a b c ===，第一次“和扩充”后得到数列2,5,3,7,4，第二次“和扩充” 后得到数列2,7,5,8,3,10,7,11,4，
229,2758310711457;P S ==++++++++=
（2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，数列,,a b c 经过n 次“和扩充”后得到的数列的项数为n P ，则经第()1n +次“和扩充”后增加的项数为1n P −，
所以()1121n n n n P P P P +=+−=−，所以()11
2221n n n P P P +−=−=−，其中数列,,a b c 经过1次“和扩充”后，得到,,,,a a b b b c c ++，故115,14P P =−=
，故{}1n P −是首项为4，公比为2的等比数列，所以111422n n n P −+−=×=，故121n n P +=+，则1212024n ++≥，即122023n +≥， 又*n ∈N ，解得10n ，最小值为10.
（3）因为()121222,32S a a b b b c c a b S S a b c =++++++=++=+++， ()23232S S a b c =+++，依次类推，()1132n n n S S a b c −−+++，
故()()()12112323232n n n n n n S S a b c S a b c a b c −−−−−+++++++++ ()()2112333n S a b c −==++++++ ， ()()1
313232231322n a c a c a b c a b c b −−++ =+++++=+⋅+ −
， 若使{}n S 为等比数列，则0202a c a c b + = + +≠ 或0202a c a c b + ≠ + += .。