【冲刺必刷】数学-6月大数据精选模拟卷05(北京卷)(满分冲刺篇)(解析版)

2020年6月高考数学大数据精选模拟卷05
北京卷-满分冲刺篇（数学）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：高中全部内容.
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．设集合{}1,2,5A =，{}
2
50B x x x m =-+=，若{}1A B ⋂=，则B =（ ）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,4
D ．{}1,5
【答案】C
【解析】Q {}1A B ⋂=，∴1B ∈，
∴150m -+=，解得：4m =，
∴{}{}
{}22505401,4B x x x m x x x =-+==-+==，
2．已知复数z 满足(34)12i z i -=-（i 是虚数单位），则其共轭复数在复平面位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】C
【解析】Q (34)12i z i -=-，
∴12(12)(34)346821
34(34)(34)91655
i i i i i z i i i i --+++-=
===-+--+--， 其共轭复数为：2155z i =--，在复平面内对应点的坐标为21
(,)55
--，在第三象限.
3．下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）
A ．21y x =-+
B ．1y x
= C ．2x y -= D ．ln y x =
【答案】B
【解析】对于A 选项，函数21y x =-+为偶函数，且在区间()0,∞+上单调递减； 对于B 选项，函数1y x
=为奇函数，且在区间()0,∞+上单调递减； 对于C 选项，函数2x y -=为非奇非偶函数，且在区间()0,∞+上单调递减； 对于D 选项，函数ln y x =为非奇非偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增.
4．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且倾斜角为60︒的直线l 交抛物线于A 、B 两点，若
||3AF =，则此抛物线方程为（ ）
A ．2
32
y x =
B ．26y x =
C ．23y x =
D ．22y x =
【答案】C
【解析】
过点A 向x 轴作垂线，垂足为E ，因为||3AF =，直线AB 的倾斜角为60︒，
所以sin 60AE AF =︒=
3cos602
EF AF =︒=， 又F 为抛物线2
2(0)y px p =>的焦点，所以,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
因此3,02p E +⎛⎫
⎪⎝⎭
，故32p A +⎛ ⎝，
又点A 在抛物线2
2(0)y px p =>上，所以2
322p p +=⨯
， 即2412270p p +-=，解得：32p =或9
2
p =-（舍）； 故抛物线的方程为23y x =.
5．AD 是ABC ∆的中线，若π
4,3
AD BC B ==，则ABC ∆的面积为（ ）
A B ．2 C ．D ．4
【答案】A
【解析】在ABD ∆中,由正弦定理可得sin sin AD BD B BAD
=∠,2sin sin 3
BAD =
∠,解得sin 1BAD ∠=,
所以π2
BAD ∠=
.
则1AB =,12212
ABC ABD S S ∆∆==⨯⨯6．若0.5
252,log 0.5,log 2a b c ===，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．b a c >>
【答案】B
【解析】Q 0.512a =>，2log 0.50b =<，50log 21c <=<，
∴a c b >>，
7．一个空间几何体的三视图如图所示，则其体积等于（ ）
A ．
B ．13
C ．12
D ．32
【答案】C
∴该三棱锥的体积1111322
V =⨯⨯=，
8．圆22230x y x +--=的圆心到直线y = x 距离为（ ）
A ．
1
2
B ．
2
C D ．2
【答案】B
【解析】由题意可得：圆的一般方程为22230x y x +--=， 转化为标准方程：()2
214x y -+=， 即圆的圆心坐标为()1,0， 因为直线方程为0x y -=，
所以圆心到直线的距离为2
d =
=
9．已知实数x ，y 满足1,0,x y >>则“x y <是log 1x y >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据题意，实数,x y 满足1,0x y >>，
若x y <，即1x y <<，则log log 1x x y x >=，则“x y <”是“log 1x y >”的充分条件， 反之若log 1x y >，即log log 1x x y x >=，由1x >，则必有x y <，则“x y <”是“log 1x y >”的必要条件，
故“x y <”是“log 1x y >”的充要条件；
10．已知函数f （x ）的定义域为R ，且()()()1,02f x f x f '+<=，则不等式()13x f x e +>解集为（ ）
A ．(1,)+∞
B ．(,1)-∞
C ．(0,)+∞
D ．(,0)-∞
【答案】C
【解析】构造函数()()1x
f x
g x e
+=,则()()()1
0x f x f x e g x '--=>',故()g x 在R 上为增函数. 又()()0
0103f g e
+=
=,故()13x
f x e +>即()13x f x e +>,即()()0
g x g >.解得0x >. 第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．
11．已知12,e e →→
是两个单位向量，12212,2a e e b e e →
→
→→
→
→
=+=-．
若a b →→
⊥，则向量12,e e →→
的夹角为_______． 【答案】π
2
【解析】221221112212(2)(2)23230a b a b ⊥⇒⋅=+⋅-=-+⋅+=⋅=r r r r u r u u r u u r u r u r u r u u r u u r u r u u r
e e e e e e e e e e ,
所以120⋅=u r u u r e e ,故12,u r u u r e e 的夹角为π2
.
12．双曲线224160x y -+=的渐近线方程为_________. 【答案】2y x =±
【解析】因为224160x y -+=，
所以22
1164
y x -=
所以22
0164
y x -
=，解得2y x =± 故双曲线的渐近线方程为2y x =±
13．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其
中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为2
4
a ．类比到空间，有
两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．
【答案】3
8
a
【解析】面积是边长的平方，类比体积是边长的立方．
14．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE 、EF 、AF 把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为G .若四面体A EFG -外接球的表面积为6π，则正方形ABCD 的边长为___________.
【答案】2
【解析】依题意折叠后的四面体如图1，设正方形边长为a ，外接球半径为R ，则AG a =，
2
a EG FG ==
， 在正方形ABCD 中，AB BE ⊥，AD DF ⊥，
在图1中，则有AG EG ⊥，AG FG ⊥，EG FG G =Q I ，AG ∴⊥平面EFG ， 将四面体A EFG -补成如图2所示的长方体，它们具有共同的外接球.
由246R ππ=得246R =.而224R AG =+22
2
32
EG FG a +=
， 所以2
362
a =，解得2a =.
15．将函数sin 2()y x x x R =+∈的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为______，此时函数的最大值为______. 【答案】
12
π
2
【解析】sin 22sin 23y x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
其函数图象向左平移m 个单位长度后得到的函数图象的解析式为
2sin 2()3y x m π⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦2sin 223x m π⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭，
因为其图象关于y 轴对称，所以2,3
2
m k k Z π
π
π+=
+∈，解得,12
2
k Z m k π
π
=
+
∈. 又因为0m >，所以m 的最小值为
12
π
， 此时函数2sin 22123y x ππ⎛
⎫=+⨯+= ⎪⎝
⎭2cos2x ，数的最大值为2.
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）
如图，已知平面BCE ⊥平面ABC ，直线DA ⊥平面ABC ，且DA AB AC ==.
（1）求证：//DA 平面EBC ；
（2）若3
BAC π
∠=
，PE ⊥平面BCE ，求二面角A BD E --的余弦值.
【解析】（1）证明：过点E 作EH BC ⊥于点H ，
因为平面BCE ⊥平面ABC ，又平面BCE I 平面ABC BC =，EH ⊂平面BCE ， 所以EH ⊥平面ABC ，
又因为DA ⊥平面ABC ，所以//AD EH ，
因为EH ⊂平面BCE ，DA ⊄平面BCE ，所以//DA 平面EBC ； （2）因为DE ⊥平面BEC ，所以2
DEB DEC π
∠=∠=
，
由AB AC =可知DB DC =，DE DE =，DEB DEC ≅△△，则BE CE =， 所以点H 是BC 的中点，连接AH ，则AH BC ⊥，
所以AH ⊥平面EBC ，则//DE AH ，AH EH ⊥，所以四边形DAHE 是矩形.
以H 为坐标原点，分别以HB 、HA 、HE 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，
设2DA a =，则()0,0,2E a
、(),0A 、(),0,0B a
、()
,2D a .
设平面ABD 的一个法向量为()111,,m x y z =u r
，
又()
,,0AB a =u u u r ，()0,0,2AD a =u u u r
.
由00m AB m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v
，得111
020ax az ⎧=⎪⎨=⎪⎩，取11y =
，得)
m =
u r .
设平面BDE 的一个法向量为()222,,n x y z =r
，
因为()
,2BD a a =-u u u r ，(),0,2BE a a =-u u u r
.
由00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v
，得222222020
ax az ax az ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取21z =，得()2,0,1n =r ；
设二面角A BD E --的平面角为θ
，则cos cos ,5m n m n m n θ⋅=<>==⋅u r r u r r u r r ，
由题知二面角A BD E --是钝角，则二面角A BD E --
的余弦值为. 17．（本小题14分）
已知ABC V 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ． （1）证明：cos cos a B b A c +=； （2）在①
2cos cos c b a B A -=，②cos 2cos cos A b A a C =-，③cos cos 2cos b C c B
a A osA
-=这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答
若7a =，5b =，________，求ABC V 的周长．
【解析】（1）根据余弦定理：222222
cos cos 22a c b b c a a B b A a b ac bc +-+-+=⋅+⋅
222222
2a c b b c a c c
+-++-==，所以cos cos a B b A c +=.
（2）选①：因为
2cos cos c b a
B A
-=，所以2cos cos cos c A b A a B ⋅=+， 所以由（1）中所证结论可知，2cos c A c =，即1
cos 2A =，
因为(0,)A π∈，所以3
A π
=
；
选②：因为cos 2cos cos c A b A a C =-，所以2cos cos cos b A a C c A =+， 由（1）中的证明过程同理可得，cos cos a C c A b +=， 所以2cos b A b =，即1cos 2A =，因为(0,)A π∈，所以3
A π
=； 选③：因为cos cos 2cos cos C B a b c A A
-⋅
=⋅，所以2cos cos cos a A b C c B =+， 由（1）中的证明过程同理可得，cos cos b C c B a +=， 所以2cos a A a =，即1cos 2A =
，因为(0,)A π∈，所以3
A π
=．
在ABC V 中，由余弦定理知，2222
1
2cos 2510492
a b c bc A c c =+-=+-⋅
=， 即25240c c --=，解得8c =或3c =-（舍），所以75820a b c ++=++=，
即ABC V 的周长为20． 18．（本小题14分）
成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在[]80,100评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在[)60,80评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[)40,60评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[)20,40评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如下图：
（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数； （2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级，再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为X ，求X 的分布列与数学期望()E X . 【解析】（1）得分[)20,40的频率为0.005200.1⨯=； 得分[)40,60的频率为0.010200.2⨯=； 得分[]80,100的频率为0.015200.3⨯=；
所以得分[)60,80的频率为()10.10.20.30.4-++=. 设班级得分的中位数为x 分，于是60
0.10.20.40.520
x -++
⨯=，解得70x =. 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分.
（2）由（1）知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3，0.4，0.2，0.1.又班级总数为40.于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12，16，8，4. 分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3，4，2，1. 由题意可得X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，6.
11122102(1)45C C P X C ===，211
2142101
(2)9C C C P X C +===，111113244
1011(3)45C C C C P X C +===， 2114232
104(4)15C C C P X C +===，11432104(5)15C C P X C ===，232101
(6)15
C P X C ===. 所以X 的分布列为
()
12345645945151515455
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. 所以X 的数学期望()19
5
E X =. 19．（本小题14分）
已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>与圆22
243x y
b +=相交于M ，N ，P ，Q 四点，四边形MNPQ
为正方形，△PF 1F 2的周长为)
21.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点(),0,1,D -若直线AD 与直线BD 的斜率之积为1
6
，证
明：直线恒过定点. 【解析】（1）
如图所示，设点()00,N x y ，
由题意四边形MNPQ 为正方形，所以00x y =，即()00,N x x ，
因为点()00,N x x 在圆22243x y b +=上，所以22
200
43
x x b +=， 即2
2023x b =，又点()00,N x x 在椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上，
所以2200221x x a b +=，即2222
133b a +=，
所以221
2
b a =①，
又△PF 1F 2
的周长为)21，
即)2221a c +=②，
由①②解得22a =，21b =，
所以椭圆C 的方程为：2
212
x y +=.
（2）①当直线l 斜率不存在时，设l ：x m =，(),A A m y ，(),A B m y -，
因为点(),A A m y 在椭圆2
212x y +=上，
所以2212A y m +=，即22
12
A y m =-，
所以22111A A A
AD BD
y y y k k m m m
+-+-⋅=⋅=2
211226
m m ==≠不满足题意. ②当直线l 斜率存在时，设l ：()1y kx b b =+≠-，
()11,A x y ，()22,B x y ，联立22
220y kx b
x y =+⎧⎨+-=⎩
， 整理得()
222
124220k x kbx b +++-=，
所以122412kb x x k -+=+，2122
22
12b x x k
-⋅=+， 则1212
11
AD BD y y k k x x ++⋅=
⋅ ()()()122112
21
kx b kx b k x x b x x ++++++⎡⎤⎣⎦=
()22121212
()21k x x kb k x x b b x x ++++++=，
将122412kb x x k -+=+，212222
12b x x k -⋅=+代入上式化简得：
121211AD BD
y y k k x x ++⋅=⋅2(1)12(1)(1)6
b b b +==+-.
即
11
13
b b +=-，解得，2b =-， 所以直线l 恒过定点()0,2-. 20．（本小题15分）
已知函数()()21ln 2f x a x x a R ⎛
⎫=-+∈ ⎪⎝
⎭
（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值和最小值； （2）若()0f x >有解,求a 的取值范围.
【解析】（1）由题可知()f x 的定义域为()0,+∞， 当1a =时，函数()()211
ln ,'02f x x x f x x x
=
+=+> 所以函数()f x 在区间[]1,e 上是增函数.
()f x 在区间[]1,e 上的最大值为()2112f e e =+，最小值为()1
12f =
（2）()()1
'21f x a x x
=-+ 当12a ≥
时，()()1
'0,102
f x f a >=-≥ 显然()0f x >有解 当12a <
时，由()()1'210f x a x x =-+=
得x =
当x ⎛∈ ⎝时，()'0f x >
当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭
时，()'0f x <
故()f x 在x =()11ln 1222f a =--- 若使()0f x >有解，只需()11
ln 12022
a --->
解得1122a e >
-结合12
a < 此时a 的取值范围为111,222e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
综上所述，a 的取值范围为11,22e ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
21．（本小题14分）
已知集合{}123,,,,n A a a a a =L ，其中i a ∈R ，1i n ≤≤，2n >．()l A 表示(1)i j a a i j n +≤<≤中所有不同值的个数．
（1）设集合{}2,4,6,8P =，{}2,4,8,16Q =，分别求()l P 和()l Q ．
（2）若集合{}
2,4,8,,2n
A =L ，求证：(1)
()2
n n l A -=
． （3）()l A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由246+=，268+=，2810+=，4610+=，4812+=，6814+=得()5l P =， 由246+=，2810+=，21618+=，4812+=，41620+=，81624+=得()6l Q =． （2）证明：∵(1)i j a a i j n +≤<≤最多有()21C 2
n n n -=个值，
∴()()
12
n n l A -≤
， 又集合{}
2,4,8,,2n
A =L ，任取i j a a +，(1,1)k l a a i j n k l n +≤<≤≤<≤，
当j l ≠时，不妨设j l <，则22j i
i j j l k l a a a a a a ++<=≤<+，
即i j k l a a a a +≠+，
当j l =，i k ≠时，i j k l a a a a +≠+， ∴当且仅当i k =，j l =时，i j l k a a a a +=+，
即所有(1)i j a a i j n +≤<≤的值两两不同， ∴()()
12
n n l A -=
． （3）()l A 存在最小值，且最小值为23n -，
不妨设123n a a a a <<<<L ，可得1213121n n n n a a a a a a a a a a -+<+<<+<+<<+L L ， ∴(1)i j a a i j n +≤<≤中至少有23n -个不同的数，即()23l A n ≥-，
取{}1,2,3A n =L ，则{}3,4,5,21i j a a n +∈-L ，即i j a a +的不同值共有23n -个， 故()l A 的最小值为23n -．。