上海市16区县2017届高三数学上学期期末考试试题分类汇编 .

上海市各区县2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编
立体几何
一、填空、选择题 1、（宝山区2017届高三上学期期末） 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长
为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为
2、（崇明县2017届高三第一次模拟）已知圆锥的母线10l =，母线与旋转轴的夹角30α=︒，则圆锥的表面积为
3、（虹口区2017届高三一模）一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60︒的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于 ．
4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）关于直线,l m 及平面,αβ，下列命题中正确的是
（ ）
A ．若//,l m ααβ⋂=，则//l m
B ．若//,//l m αα，则//l m
C ．若,//l m αα⊥，则l m ⊥
D ．若//,l m l α⊥，则m α⊥
5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）若空间三条直线a 、b 、c 满足c b b a ⊥⊥,，则直线a 与c 【 】
A ．一定平行；
B ．一定相交；
C ．一定是异面直线；
D ．平行、相交、是异面直线都有可能． 6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）如右图，已知正方体1111ABCD A B C D -，12AA =，
E 为棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为________________．
7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）已知一个球的表面积为16π，则它的体积为____________．
8、（普陀区2017届高三上学期质量调研）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，
︒=∠90ABC ，1==BC AB ， 若C A 1与平面11BCC B 所成的角为
6
π
，则三棱锥ABC A -1的体积 为 .
9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成角为4
arccos
5
，则该圆锥的体积为 ． 10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在截面
1A DB 上，则线段AP 的最小值等于
.A 1
3
.B 1
2
.C .D 2
11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）在长方体1111ABCD A B C D -中，若
11,AB BC AA ==1BD 与1CC 所成角的大小为____________． 12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）过半径为2的球O 表面上一点A 作球
O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60︒，则该截面的面积是__________．
13、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）如图，已知正三棱柱的底面边长为
2cm ，高为5cm ，
一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点 的最短路线的长为__________cm ．
14、（奉贤区2017届高三上学期期末）如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积____________.
15、（金山区2017届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） A. 283π-
B. 83
π
- C. 82π- D. 23
π
二、解答题
1、（宝山区2017届高三上学期期末）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为4
，侧面积为36；
（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）求异面直线1A C 与AB 所成的角的大小；
2、（崇明县2017届高三第一次模拟）在正三棱柱111ABC A B C -中，11,2AB BB ==，求： （1）异面直线11B C 与1A C 所成角的大小； （2）四棱锥111A B BCC -的体积．
3、（虹口区2017届高三一模）在正三棱锥P ABC -中，已知底面等边三角形的边长为6，
侧棱长为4． （1）求证：PA BC ⊥；
（2）求此三棱锥的全面积和体积．
C
B
A
P
4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为6的正三角形，PA ⊥ 底面ABC ，且PB 与底面ABC 所成的角为π
6
． （1）求三棱锥P ABC -的体积；
（2）若M 是BC 的中点，求异面直线PM 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
M
P
C
B
A
5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，
a AA a AB 2,1==,,E F 分别是棱,AD CD 的中点．
(1) 求异面直线1BC EF 与所成角的大小； (2) 求四面体EF CA 1的体积．
6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）如图，在AOB Rt △中，π
6
OAB ∠=
，斜边4AB =，D 是AB 的中点．现将AOB Rt △以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且90BOC ∠=︒， 求：
（1）圆锥的侧面积；
（2）直线CD 与平面BOC 所成的角的大小．（用反三角函数表示）
7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）在长方体1111ABCD A B C D -中（如图）,
11,2AD AA AB ===，点E 是棱AB 的中点.
（1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；
（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由.
8、（普陀区2017届高三上学期质量调研）现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为8.73
/cm g ，总重量为8.5kg .其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位:毫米）. （1）这堆螺帽至少有多少个；
（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克， 共需要多少千克防腐材料（结果精确到01.0）
9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）如图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧面
11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点．
（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点C 是弧AB 的中点时，求异面直线1A C 与AB 的所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．
10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）如图，在正四棱锥P ABCD -中，
PA AB a ==，E 是棱PC 的中点．
（1）求证：PC BD ⊥；
（2）求直线BE 与PA 所成角的余弦值．
11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，
2==BC AP ，
︒=∠30CBA ，D 是AB 的中点．
（1）求PD 与平面PAC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求PDB ∆绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的体积（结果保留π）．
12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）如图所示，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。

点A 、B 在1l 上，且位于M 点的两侧，C 在2l 上，AM BM NM CN
===． （1）求证：异面直线AC 与BN 垂直；
（2）若四面体ABCN 的体积9ABCN V =，求异面直线1l 、2l 之间的距离．
l 2
l 1
N
M
C
B
A
13、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）如图：已知⊥AB 平面BCD ，CD BC ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为︒30，且2==BC AB ． （1）求三棱锥BCD A -的体积；
（2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
14、（奉贤区2017届高三上学期期末）已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点．
P 的体积；
（1）求三棱锥ACO
（2）求异面直线MC与PO所成的角．
参考答案：
一、填空、选择题
1、解析：由题意，得：底面直径和母线长均为6， S 侧＝
1
2362
π⨯⨯⨯＝18π
2、75π
3、
4、C
5、D
6、
43 7、323
π 8、【解析】如图，
在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵∠ABC=90°，
A 1
B 1⊥平面BB 1
C 1C ，连接B 1C ，则∠A 1CB 1为A 1C 与平面B 1BCC 1所成的角为，
∵A 1B 1=AB=1，∴，
又BC=1，∴．
∴．
故答案为：
．
9、16π 10、C 11、
4
π
12、π 13、【解析】将正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，
在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．
由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13
故答案为：13． 14、
2
3
3+ 15、A
二、解答题 1、
2、解：（1）
11//B C BC ，
1BCA ∴∠是异面直线11B C 与1A C 所成角............................2分 在1BCA
中，11
1,BC A B AC ===
2221111cos 210
BC CA BA BCA BC CA +-∴∠==
⋅,........................5分
1arccos
10
BCA ∴∠=
O
M
C
B
A
P
∴异面直线11B C 与1A C
所成角大小为分 （2）
111ABC A B C ABC V S
AA -=⋅=
分
1113
6
A ABC ABC V S AA -=
⋅=
.........................................13分
所以111111A B BCC ABC A B C A ABC V V V ---=-分 3、解：（1）取BC 的中点M ，连AM 、BM ．
ABC ∆是等边三角形，∴AM BC ⊥．又
P B P =，
∴PM BC ⊥．AM PM M ⋂=
∴BC ⊥平面PAM ，∴PA BC ⊥．…………5分
（2）记O 是等边三角形的中心．则PO ABC ⊥平面．
ABC
∆是边长为6的等边三角形，
∴22633AO AM =
=⨯⨯=．
∴2PO ==
，PM ==…………8分
26ABC S ∆=
=
∴1
3
P ABC ABC V S PO -∆=⋅=
1
=+362
S S S =⨯⨯=全侧底12分
4、解：（1）因为PA ⊥平面ABC ，所以PBA ∠为PB 与平面ABC 所成的角， 由PB 与平面ABC 所成的角为
π6，可得π
6
PBA ∠=， ……………………………2分 因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥，又6AB =
，可知PA =
故2
1161833P ABC ABC V S PA -∆=⋅=⋅． ……………………………6分
（2）设N 为棱AC 的中点，连,MN NP ，由M N ， 分别是 棱BC AC ,的中点，可得MN ∥BA ，所以PM 与MN 的夹 角为异面直线PM 与AB 所成的角． ………………8分 因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AM ⊥，PA AN ⊥， 又1
32
MN AB =
=
，PN =
PM ==
所以222cos 226
MP MN PN PMN MP MN -∠==
⋅+， ……………………………12分 故异面直线PM 与AB
所成的角为 ……………………………14分 5、解：（1）连接11C A ，……………………………….1分 则B C A 11∠为异面直线1BC EF 与所成角 …………….1分 在B C A 11∆中，可求得a B A B C 511=
=，a C A 211=
11cos AC B ∠=
=∴异面直线所成角的大小…………………….4分 （2）113
112322212
C A EF A EFC
a a a V V a --==⋅⋅⋅⋅= ……………………………….5分 6、．[解] （1）=S rl π侧 …………………………2分
248ππ=⨯⨯= …………………………6分
（2）取OB 的中点E ，连接DE 、CE ， ………………8分 则//DE AO ，所以DE BOC ⊥平面，
所以DCE ∠是直线CD 与平面BOC 所成的角， …………10分 在DEC Rt △
中，CE DE ==
tan DCE ∠=
=…………12分
所以arctan
5
DCE ∠= 所以直线CD 与平面BOC
所成的角的大小为arctan
（14分
7、解：
（1）作//AE CE '交CD 于E '，因为11AD AA DE '===
，所以1AE D E ''==1AD E '∆为正三角形，异面直线1AD 与EC 所成角为60°……………………………6分
（2）E 是棱AB 上的中点，则ADE CBE ∆∆、均为等腰直角三角形，
而显然11DD E DD C ∆∆、均为直角三角形，故四面体1D CDE 四个面均为直角三角形，．．．．．．． 14分
8、【解】设正六棱柱的底边边长为a ，高为h ，圆孔的半径为r ，并设螺帽的表面积为表S ，根据三视图可知，12=a ，10=h ，5=r ，则（1）设螺帽的体积为V ,则h S V ⋅=底，其中
=底S 2260sin 2
1
6r a π-⨯⨯⨯︒=π253216-
高10=h ，螺帽的体积()
10253216⋅-=πV ，
()
25210
253216100
8.710008.5≈⋅-⨯÷⨯π个
（2）⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅-⨯⨯⨯
⨯+=︒2260sin 21626r a ah S π表h a ⋅⋅+π2 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯⨯
⨯+⨯⨯=22523
12216210126π1052⋅⋅+π
()
05.011.025210
10025321627206
≈⨯⨯+-⨯+π
π（千克） 答：这堆零件至少有252个，防腐共需要材料05.0千克。

当点C 是弧AB 的中点时，AC BC ==
，且11A C ⊥平面11C CBB ，
111212
))33
A BCC
B V h r h -=⋅⋅⋅=,
2=V r h π圆柱，
∴111=2:3A BCC B V V π-
圆柱：．
10、 解: （1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，且PA AB a ==
∴,PBC PDC ∆∆都是等边三角形
………………2分 ∵E 是棱PC 的中点，
∴,BE PC
DE PC ⊥⊥，又 BE DE E = ∴PC ⊥平面BDE ………………5分
又BD ⊂平面BDE ∴PC BD ⊥ ………………6分 （2）连接AC ，交BD 于点O ，连OE ．
四边形ABCD 为正方形，∴O 是AC 的中点………………8分 又E 是PC 的中点
∴OE 为△ACP 的中位线，∴//AP OE
∴∠BOE 即为BE 与PA 所成的角 ……………………10分
在Rt △BOE 中，BE =
，1
2EO PA a ==
……12分 ∴cos 3OE BOE BE ∠=
=
……………………14分
l 2l 1
N
M
C
B
A
11、解：（1） ⊥PA 平面ABC ，AB PA ⊥，又 AB AC ⊥，
⊥∴AB 平面PAC ，
所以DPA ∠就是PD 与平面PAC 所成的角.………4分
在PAD Rt ∆中，2
3
,2==AD PA ，………………………………………6分 所以4
3arctan
=∠DPA ， 即PD 与平面PAC 所成的角的大小为4
3
arctan
.………………………8分 （2）PDB ∆绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体，是以AB 为底面半径、AP 为高
的圆锥中挖去一个以AD 为底面半径、AP 为高的小圆锥. ………10分
所以体积πππ2
3
2)23(312)3(3122=⋅⋅-⋅⋅=V . ……………14分.
12、解：（1）因为AB CN ⊥，MN CN ⊥，AB MN M =
所以CN ABN ⊥平面 （2分）
因为BN ABN ⊂≠
平面，所以CN BN ⊥ （4分）
又因为AM BM NM ==，根据平面几何知识，知AN BN ⊥ 所以BN ACN ⊥平面（6分）
因为AC ACN ⊂≠
平面，所以AC BN ⊥（8分）
（2）MN 就是异面直线1l 、2l 之间的距离（10分） 设d AM BM NM CN ====
所以3111
((2)9323
ABCN V d d d d =⋅⋅==（12分）
所以3d =，即异面直线1l 、2l 之间的距离为3 （14分）
13、（1）因为⊥AB 平面B CD ，所以ADB ∠就是AD 与平面BCD 所成的角，即
︒=∠30ADB ，且AB 为三棱锥BCD A -的高． …………………………（2分） 由2==BC AB ，得32=BD ，又由CD BC ⊥，得22=CD ． …………（3分）
所以，3
24213131=⋅⋅⋅⋅=⋅=
∆AB CD BC h S V BCD ． ……………………（5分） （2）取AB 中点E ，连结EM ，EC ，
则EM ∥AD ，所以EMC ∠就是异面直线AD 与CM 所成的角（或其补角）， ……………………………………（1分） 在△EMC 中，2=EM ，3=CM ，5=
EC ， …………………………（3分）
所以，633
225342cos 222=
⋅⋅-+=⋅-+=∠CM EM EC CM EM EMC ， ……………………（6分）
D O
C
B
A
M
P
即6
3arccos
=∠EMC ． 所以异面直线AD 与CM 所成角的大小为6
3
arccos
． ……………………（7分） 14、（1）点C 是弧AB 的中点，OC AB ⊥， 2分
PO ⊥面AOC 4分
三棱锥ACO P -的体积11
443832
V =
⨯⨯⨯⨯= 7分 （2）如图，建立空间直角坐标系，
()
0,4,0A -，()0,4,0B ，()4,0,0C ，()0,0,3P 9分
30,2,2M ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭ 10分 34,2,2MC ⎧⎫⎪⎪
=-⎨⎬
⎪⎪⎩⎭
{}0,0,3PO =-
3
3cos 3MC PO MC PO
θ⨯⋅
===
13分
所以异面直线所出的角是arccos
14分
也可以用平移法:
连MO ，过M
作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ． 又3PO ==，32MD ∴=．又542
OC OM ==，．
//MD PO
，∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角．
可知
MD DC ⊥
,DC =tan 3
32
DC DMC MD ∠=
==
异面直线MC 与PO 所成的角arctan
3
A。