第三章 线性系统的时域分析2010-4

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2011-1-14
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3.4 控制系统的稳定性和稳定判据
自 动 控 制 理 论
二、线性定常系统稳定的充要条件: 线性定常系统稳定的充要条件
根据稳定性定义， 根据稳定性定义，系统稳定性应当决定于系 统响应中的暂态分量。 统响应中的暂态分量。而暂态分量与系统的参 结构和初始条件有关，与外作用无关， 数、结构和初始条件有关，与外作用无关，因 分析系统响应中暂态分量的运动形式， 此，分析系统响应中暂态分量的运动形式，即 可找出系统稳定的充分必要条件。 可找出系统稳定的充分必要条件。
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线性定常系统稳定的充分必要条件为：系统特征 线性定常系统稳定的充分必要条件为： 方程的所有根（即闭环传递函数的所有极点） 方程的所有根（即闭环传递函数的所有极点）均具有 负的实部。（或特征方程的所有根均在S平面的 。（或特征方程的所有根均在 平面的左半 负的实部。（或特征方程的所有根均在 平面的左半 部）。
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可知，系统不稳定， 可知，系统不稳定， 但第一列元素未改变符号 所以系统没有位于S右 ，所以系统没有位于 右 半平面的根， 半平面的根，有位于虚轴 上的根。 上的根。 虚轴上根的求取 由辅助方程求得 S4＋3s2＋2=0 则有 （S2＋1）（S2＋2）=0 故S1、2=±j S3、4=± 2 j 、 ± 、 ± 电气工程学院
如题意只要求判别稳定性,则计算至出现符号改变即可结 如题意只要求判别稳定性 则计算至出现符号改变即可结 否则应计算到n+1行。 束。否则应计算到 行 电气工程学院
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例题2 例题
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例2：某系统特征方程为 4＋3S3＋3S2＋2S＋2=O，试用劳斯 ：某系统特征方程为S ＋ ， 判据判断系统的稳定性。 判据判断系统的稳定性。 解 根据特征方程系数计 算劳斯表 因第一列出现负数，系 因第一列出现负数， 统是不稳定的。 统是不稳定的。且第一列系数 符号改变两次， 符号改变两次，故特征方程有 两个正实部根。 两个正实部根。
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例14 判断下图所示两系统的稳定性
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1 s ( s + 1)
图a 系统的特征方程： 解：系统闭环传递函数为
1 1 s ( s + 1) G (s) = = 2 2 s +s+2 1+ s ( s + 1)
s +s+2=0
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四、赫尔维茨（Hurwitz）判据 赫尔维茨（Hurwitz）
自 动 控 制 理 论
由赫尔维茨1895年提出的常用代数判据。 由赫尔维茨1895年提出的常用代数判据。 1895年提出的常用代数判据
设系统特征方程为： 设系统特征方程为：
用特征方程的系数构成赫尔维茨行列式： 用特征方程的系数构成赫尔维茨行列式：
一阶系统 系统的特征方程： 系统的特征根：
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a0 s + a1 = 0
a1 s=− a0
要使系统稳定，必须 a a > 0 0 1
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二阶系统 系统的特征方程： 系统的特征根：
a0 s + a1 s + a2 = 0
2
s1,2 =
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2. 两种特殊情况
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特殊情况一：劳斯表的某一行中，出现第一列为零， 特殊情况一：劳斯表的某一行中，出现第一列为零，而其 余各项不全为零。 余各项不全为零。 这时可用一个足够小的正数ε 代替为零的项， 这时可用一个足够小的正数ε 代替为零的项，然后继续计 足够小的正数 算劳斯表余下系数。 算劳斯表余下系数。 系统的特征方程为S 例3: 系统的特征方程为 4＋ 2S3+s2+2s＋1=0,试判别系统 ＋ 试判别系统 的稳定性。 的稳定性。
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系统稳定的充 分必要条件是： 分必要条件是： 在a0＞ 0的情况 的情况 下，赫尔维茨行 列式的各阶主子 式均大于零，否 式均大于零， 则系统不稳定。 则系统不稳定。
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(林纳德 奇帕特证明的推论：在ai＞ 0的条件下 林纳德----奇帕特证明的推论 林纳德 奇帕特证明的推论： 的条件下 ,系统稳定的充分必要条件是：所有奇数次赫尔维茨 系统稳定的充分必要条件是： 系统稳定的充分必要条件是 行列式均大于零,或者是所有偶数次赫尔维茨行列式 行列式均大于零 或者是所有偶数次赫尔维茨行列式 均大于零。 均大于零。) 对稳定系统来说要求
s −s+2=0
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系统的特征根：
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s1,2
1± j 7 = 2
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系统的特根实部全为正，因此系统不稳定。
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对于高阶系统，手工求解系统的极点非常困难，本节介 绍通过代数运算的方法求得系统极点实部为负的条件， 依此判断系统的稳定性。
根据充要条件，如果能将系统所有极点求出， 根据充要条件，如果能将系统所有极点求出，即可立即判 断稳定性。 断稳定性。 但系统阶次较高时，所有极点不易求出。 但系统阶次较高时，所有极点不易求出。 电气工程学院
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自 动 控 制 理 论
课本上将系统稳定性分为零输入稳定和零状态稳定， 并分别进行了定性的求证，大家可参考。
−a1 ± a − 4a0 a2
2 1
2a0
a1 a1 2 a2 =− ± ( ) − 2a0 2a0 a0
要使系统稳定，必须同时满足：
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a1 / a0 > 0
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a2 / a0 > 0
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三、高阶系统稳定性——劳斯判据 高阶系统稳定性 劳斯判据
1. 系统特征方程如下： 系统特征方程如下：
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例题3 例题
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例3: 系统特征方程为 S5＋S4十3s3十3s2＋2S＋2=0，试判 稳定性。 别系统的稳定性。 解 : 列劳斯表
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构成辅助方程： 构成辅助方程： Q（s）=S4＋3S2＋2=0 求导后得 （） 6S=0，用其系数构成全为零的行， 4S3十 6S=0，用其系数构成全为零的行，继续计算余下各行 电气工程学院
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例题4 例题
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例4: 系统特征方程为 S4＋2S3＋8S2十4s十2=0，试判别系 十 ， 统是否稳定 故可使用林纳德---奇帕特证明的推论进行 解 因ai＞ 0 ，故可使用林纳德 奇帕特证明的推论进行 判断。 判断。因为
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利用特征方程的系数构成劳斯表（ 利用特征方程的系数构成劳斯表（n+1行）： 行
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三、劳斯判据
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表中，除第一、 表中，除第一、二行外需 要按照下列规律进行计算。 要按照下列规律进行计算。
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系统的特征根：
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s1, 2
−1 ± j 7 = 2
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系统的特根实部全为负，因此系统稳定。
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例14 ： 判断下图所示两系统的稳定性
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1 s ( s − 1)
图b 系统的特征方程： 解：系统闭环传递函数为
1 1 s ( s − 1) G(s) = = 2 2 s −s+2 1+ s ( s − 1)
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故系统稳定 电气工程学院
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注意： 注意： 劳斯表总行数应为 劳斯表总行数应为n+1; 总行数应为 劳斯表的每一行右边要计算到出现零为止； 劳斯表的每一行右边要计算到出现零为止； 如果计算过程无误，最后一行应只有一个数， 如果计算过程无误，最后一行应只有一个数， 且等于a 且等于 n；
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列劳斯表， 解 : 列劳斯表，因第三行符号 变为负，系统不稳定， 变为负，系统不稳定，且有两 个正实部根。 个正实部根。
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特殊情况二：计算劳斯表时 某一行各项全为零 某一行各项全为零。 特殊情况二：计算劳斯表时,某一行各项全为零。 这表明 特征方程具有对称于原点的根。 特征方程具有对称于原点的根。 这时可将不为零的最后一行(即全为零行的前一行 的各项构 这时可将不为零的最后一行 即全为零行的前一行)的各项构 即全为零行的前一行 成一个辅助多项式 并用辅助多项式各项对s求导后所得的系 辅助多项式。 成一个辅助多项式。并用辅助多项式各项对 求导后所得的系 数代替全部为零行的各项，继续计算余下各行。 数代替全部为零行的各项，继续计算余下各行。 这些对称于原点的根可由令辅助多项式等于零构成的辅 这些对称于原点的根可由令辅助多项式等于零构成的辅 辅助多项式等于零构成的 助方程求得 助方程求得
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例题1 例题
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解 根据特征方程系数计算劳斯表
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因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次， 因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次， 故特征方程有两个正实部根。 故特征方程有两个正实部根。
3.4 控制系统的稳定性和稳定判据
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一、系统稳定性的定义 稳定是一个控制系统能否在实际中投入使用的首要条件。 稳定是一个控制系统能否在实际中投入使用的首要条件。
系统稳定性：如系统处于初始平衡状态， 系统稳定性：如系统处于初始平衡状态，在受到 外界扰动作用后，将会偏离该平衡状态。 外界扰动作用后，将会偏离该平衡状态。如果该扰 动作用消失后， 动作用消失后，若系统在有限时间内能恢复到原平 衡状态或达到另一个平衡状态 则系统稳定； 达到另一个平衡状态， 衡状态或达到另一个平衡状态，则系统稳定；否则 系统不稳定。 ，系统不稳定。 系统不稳定情况：离初始状态越来越远。 系统不稳定情况：离初始状态越来越远。
注：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。 传递函数的极点是产生系统响应的暂态分量。
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设线性定常系统闭环传递函数为： 设线性定常系统闭环传递函数为：
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特征方程为： 特征方程为：
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为阐述简单起见，设前述特征方程不存在重极点（ 为阐述简单起见，设前述特征方程不存在重极点（对有重极 点的情况，以下结论也是成立的）， ），则在扰动作用下系统响 点的情况，以下结论也是成立的），则在扰动作用下系统响 应的暂态分量为： 应的暂态分量为：
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2011-1-143 Nhomakorabea自 动 控 制 理 论
的表达式可知， 所有根（ 从c1(t)的表达式可知，只有当特征方程的所有根（闭环极 的表达式可知 只有当特征方程的所有根 都具有负的实部 负的实部时 随着时间的推移， 才能趋于零， 点）都具有负的实部时，随着时间的推移， c1(t)才能趋于零， 才能趋于零 即回到初始状态。 即回到初始状态。
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可用一个正整数去乘或除劳斯表中的任意一行 不改变判断结果。 ，不改变判断结果。
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劳斯判据： 劳斯判据： 系统特征方程的系数同号(假设 系统特征方程的系数同号 假设ai>0) ，且劳斯表 假设 中第一列的所有计算值均大于零，则系统稳定。 中第一列的所有计算值均大于零，则系统稳定。 反之，如果第一列中出现小于或等于零的数， 反之，如果第一列中出现小于或等于零的数，系统不 稳定。 稳定。 而且第一列各系数符号的改变次数，等于特征方程正 而且第一列各系数符号的改变次数，等于特征方程正 实部根的数目。 实部根的数目。