高考数学一轮复习随机抽样
高考数学一轮复习专题训练—随机抽样
随机抽样考纲要求1.理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题．知识梳理1．简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2．系统抽样(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样． (2)系统抽样的操作步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． ①先将总体的N 个个体编号；②确定分段间隔k ，对编号进行分段，当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝Nn (否则，先剔除一些个体)；③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；④按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，……，依次进行下去，直到获取整个样本． 3．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． (2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．2．系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍．3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．()(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．()(3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．()(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是() A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本答案 A解析由题目条件知，5 000名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民的阅读时间是个体；从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.3．一个公司共有N名员工，下设一些部门，要采用等比例分层抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为n的样本，已知某部门有m名员工，那么从该部门抽取的员工人数是________．答案nm N解析 每个个体被抽到的概率是n N ，设这个部门抽取了x 个员工，则x m ＝n N ，∴x ＝nmN.4．(2020·上饶一模)总体由编号为00,01,02，…，48,49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为( ) 附：第6行至第9行的随机数表如下： 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 A ．3 B ．16 C ．38 D ．20答案 D解析 按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，超出00～49及重复的不选，则编号依次为33,16,20,38,49,32，…，则选出的第3个个体的编号为20，故选D.5．(2021·郑州调研)某校有高中生1 500人，现采用系统抽样法抽取50人作问卷调查，将高一、高二、高三学生(高一、高二、高三分别有学生495人、490人、515人)按1,2,3，…， 1 500编号，若第一组用简单随机抽样的方法抽取的号码为23，则所抽样本中高二学生的人数为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18答案 C解析 采用系统抽样法从1 500人中抽取50人，所以将1 500人平均分成50组，每组30人，并且在第一组抽取的号码为23，所以第n 组抽取的号码为a n ＝23＋(n －1)×30＝30n －7，而高二学生的编号为496到985，所以496≤30n －7≤985，又n ∈N *，所以17≤n ≤33，则共有17人，故选C.6．(2018·全国Ⅲ卷)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________． 答案 分层抽样解析 因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价.考点一 简单随机抽样及其应用1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )A ．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B ．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C ．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D ．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验 答案 D解析 A ，B 不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C 不是简单随机抽样，因为总体中的个体有明显的层次；D 是简单随机抽样．故选D.2．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( ) A.110，110 B ．310，15C.15，310 D ．310，310答案 A解析 在抽样过程中，个体a 每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110，故选A.3．(2021·南昌一模)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B．07 C．02 D．01答案 D解析从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.感悟升华 1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．2．简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．考点二系统抽样及其应用【例1】(1)(2021·太原调研)某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取的最大编号为()A．15 B．18 C．21 D．22(2)(2019·全国Ⅰ卷)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生(3)中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽样间隔为________．答案 (1)C (2)C (3)2 10解析 (1)由已知得间隔数为k ＝244＝6，则抽取的最大编号为3＋(4－1)×6＝21.(2)根据题意，系统抽样是等距抽样， 所以抽样间隔为1 000100＝10.因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.故选C. (3)把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10，余数是2，所以每组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈；再将剩下的500名观众编号为1,2,3，…，500，并均匀分成50段，每段含50050＝10个个体．所以需剔除2个个体，抽样间隔为10.感悟升华 1.如果总体容量N 能被样本容量n 整除，则抽样间隔为k ＝Nn ，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机会均是nN .2．系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．【训练1】 (1)(2021·衡水调研)衡水中学高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________． (2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． 答案 (1)45 (2)4解析 (1)分组间隔为648＝8，∵在第一组中随机抽取的号码为5，∴在第6组中抽取的号码为5＋5×8＝45.(2)依题意，可将编号为1～35号的35个数据分成7组，每组有5个数据，从每组中抽取一人．成绩在区间[139,151]上共有20个数据，分在4个小组内，每组抽取1人，共抽取4人． 考点三 分层抽样及其应用角度1 求某层入样的个体数【例2】 某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有 20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：最喜爱 喜爱 一般 不喜欢 4 8007 2006 4001 600为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为( ) A ．25,25,25,25 B ．48,72,64,16 C ．20,40,30,10 D ．24,36,32,8答案 D解析 法一 因为抽样比为10020 000＝1200，所以每类人中应抽取的人数分别为4 800×1200＝24,7 200×1200＝36，6 400×1200＝32,1 600×1200＝8.法二 最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2，所以每类人中应抽取的人数分别为66＋9＋8＋2×100＝24，96＋9＋8＋2×100＝36，86＋9＋8＋2×100＝32，26＋9＋8＋2×100＝8.角度2 求总体或样本容量【例3】 (1)(2021·东北三省四校联考)某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于( ) A ．12B ．18C ．24D ．36(2)(2020·西安调研)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件． 答案 (1)D (2)1 800解析 (1)根据分层抽样方法知n 960＋480＝24960，解得n ＝36.(2)由题设，抽样比为804 800＝160.设甲设备生产的产品为x 件，则x60＝50，∴x ＝3 000.故乙设备生产的产品总数为4 800－3 000＝1 800.感悟升华 1.求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．2．已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．3．分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量各层个体数量”．【训练2】 (1)(2020·郴州二模)已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )A ．240,18B ．200,20C ．240,20D ．200,18(2)(2021·合肥模拟)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种，10种，30种，20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是________． 答案 (1)A (2)6解析 (1)样本容量n ＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的户主对四居室满意的人数为150×30%×40%＝18.(2)抽样比为2040＋10＋30＋20＝15，则抽取的植物油类种数是10×15＝2，抽取的果蔬类食品种数是20×15＝4，所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是2＋4＝6.A 级 基础巩固一、选择题1．(2020·兰州二模)某学校为响应“平安出行”号召，拟从2 019名学生中选取50名学生加入“交通志愿者”，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法剔除19名学生，剩下的2 000名再按照系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率( ) A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等，且为140D ．都相等，且为502 019答案 D解析 先用简单随机抽样方法剔除19名学生，剩下的2 000名再按照系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率相等，且为p ＝502 019，故选D. 2．(2021·永州模拟)现从已编号(1～50)的50位同学中随机抽取5位以了解他们的数学学习状况，用选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5位同学的编号可能是( ) A ．5,10,15,20,25 B ．3,13,23,33,43 C ．1,2,3,4,5 D ．2,10,18,26,34答案 B解析 抽样间隔为505＝10，只有选项B 符合题意．3．(2020·长春一模)完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是( ) A ．①简单随机抽样，②系统抽样 B ．①分层抽样，②简单随机抽样 C ．①系统抽样，②分层抽样 D ．①②都用分层抽样 答案 B4．在一个容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( ) A ．p 1＝p 2＜p 3 B ．p 2＝p 3＜p 1 C ．p 1＝p 3＜p 2 D ．p 1＝p 2＝p 3 答案 D解析 由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D. 5. (2021·襄阳联考)如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢数学的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢数学的频率．已知该年级男、女生各500名(所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢数学的学生中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为( )A ．16B ．32C ．24D ．8答案 C解析 由题中等高条形图可知喜欢数学的女生和男生的人数比为1∶3，，所以抽取的男生人数为24.故选C.6．某中学400名教师的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名教师作样本，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取( )A ．40人B ．200人C ．20人D ．10人答案 C解析 由图知，40岁以下年龄段的人数为400×50%＝200，若采用分层抽样应抽取200×40400＝20(人)．7．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( ) A ．50 B ．40 C ．25 D ．20答案 C解析 由系统抽样的定义知，分段间隔为1 00040＝25.8．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800双B ．1 000双C ．1 200双D ．1 500双答案 C解析 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的13，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的13，即为1 200双皮靴． 二、填空题9．某单位在岗职工共620人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取62名工人进行调查，若采用系统抽样方法将全体工人编号等距分成62段，再用简单随机抽样法得到第1段的起始编号为4，则第40段应抽取的个体编号为________． 答案 394解析 将620人的编号分成62段，每段10个编号，按系统抽样，所抽取工人编号成等差数列，因此第40段的编号为4＋(40－1)×10＝394.10．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________(下面摘取了随机数表第7行至第9行).答案 068解析 由随机数表知，前4个样本的个体编号分别是331,572,455,068.11．某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是________件． 答案 800解析 设样本容量为x ，则x3 000×1 300＝130，∴x ＝300.∴A 产品和C 产品在样本中共有300－130＝170(件)． 设C 产品的样本容量为y ，则y ＋y ＋10＝170，∴y ＝80. ∴C 产品的数量为3 000300×80＝800(件)．12．某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________． 答案 3解析 系统抽样的抽取间隔为305＝6.设抽到的最小编号为x ，则x ＋(6＋x )＋(12＋x )＋(18＋x )＋(24＋x )＝75，所以x ＝3.B 级 能力提升13．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( ) A ．104人 B ．108人C ．112人D ．120人答案 B解析 由题意知，抽样比为 3008 100＋7 488＋6 912＝175，所以北乡遣175×8 100＝108(人)．14．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( ) ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． ③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 A解析 ①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样．因为不是等可能抽样．故选A.15．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数减少1人，在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除2个个体，则n ＝________. 答案 18解析 总体容量为6＋12＋18＝36，当样本容量为n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n2，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n －1)时，总体容量剔除以后是34人，系统抽样的间隔为34n －1，因为34n －1必须是整数，所以n 只能取18，即样本容量n ＝18.16．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组(k≥2)中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则k的值为________，在第8组中抽取的号码是________．答案876解析由题意知m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.。
新课标2023版高考数学一轮总复习第9章统计与统计案例第1节随机抽样教师用书
第一节 随机抽样考试要求：了解简单随机抽样和分层随机抽样的必要性，掌握分层随机抽样的样本平均数，知道获取数据的基本途径．一、教材概念·结论·性质重现1．简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．(3)应用范围：总体个体数较少．2．分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样．(1)每一个子总体称为层．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．(2)如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，则2层的样本平均数分别为，，2层的总体平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为两种抽样方法的特点、联系及适用范围类别简单随机抽样分层随机抽样共同点抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等各自特点从总体中逐个抽取将总体分成几层，分层进行抽取联系各层抽样时，采用简单随机抽样适用范围总体个数较少总体由差异明显的几部分组成二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)简单随机抽样的每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( × )(2)在抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．( × )(3)在分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( × ) 2．现有以下两项调查：①从10台冰箱中抽取3台进行质量检查；②某社区有600户家庭，其中高收入家庭180户，中等收入家庭360户，低收入家庭60户，为了调查家庭购买力的某项指标，拟抽取一个容量为30的样本．则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是( )A．①②都采用简单随机抽样B．①②都采用分层随机抽样C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样C 解析：对于①，“从10台冰箱中抽取3台进行质量检查”，总体容量比较少，应采用简单随机抽样法；对于②，总体容量较多，且样本差异比较明显，应采用分层随机抽样法．3．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )A．总体B．个体C．样本量D．从总体中抽取的一个样本A 解析：由题目条件知，5 000名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民的阅读时间是个体；从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本量是200．4．某学校高二年级选择“史政地”“史政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210,90和60．若采用分层随机抽样的方法从中随机抽取12名学生，则从“史政生”组合中抽取的学生人数为( )A．7 B．6C．3 D．2C 解析：由题意可知，“史政地”“史政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210,90和60，故“史政生”所占的比例为＝．由于分层随机抽样是按比例抽取，可得“史政生”组合中抽取的学生人数为12×＝3．5．下列情况适合用全面调查的是( )A．了解一批玉米种子的发芽率B．了解某城市居民的食品消费结构C．调查一个县各村的粮食播种面积D．调查一条河的水质C 解析：A．了解一批玉米种子的发芽率适合抽样调查，故不符合题意；B．了解某城市居民的食品消费结构适合抽样调查，故不符合题意；C．调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查，故符合题意；D．调查一条河的水质适合抽样调查，故不符合题意．故选C．6．某班60名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数法抽取样本时，先将60名同学按01,02，…，60进行编号，然后从随机数表第1行的第5列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为( )0347 4373 8636 9647 3661 46986371 62977424 6292 4281 1457 2042 53323732 1676(注：表中的数据为随机数表的第1行和第2行)A．24 B．36C．46 D．47C 解析：由题知从随机数表的第1行的第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43,36,47,46．故选出的第4个同学的编号为46．7．要完成下列三项调查：①某商城从10台同款平板电脑中抽取4台作为商城促销的奖品；②某市从老、中、青三代市民中抽取100人调查他们网络购物的情况．适合采用的抽样方法依次为_______．①抽签法；②分层随机抽样 解析：对于①，所收集的数据没有明显差异，且数量较少，应用抽签法；对于②，所收集的数据差异明显，应用分层随机抽样．考点1 统计中的基本概念、数据获取——基础性1．为了了解某省高考数学考试的情况，抽取2 000名考生的数学试卷进行分析，2 000叫作( )A．个体 B．样本C．样本量 D．总体C 解析：2 000是个数字，没有单位，由样本量的定义可知2 000是样本量．故选C．2．某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1 000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的考试成绩，就这个问题来说，下面说法正确的是( )A．1 000名学生是总体B．每个学生是个体C．1 000名学生的考试成绩是一个个体D．样本量是100D 解析：根据题意得，本题的总体、个体与样本考查的对象都是学生成绩，而不是学生，选项A，B表达的对象都是学生，不是成绩，A，B都错误；C中1 000名学生的成绩是总体，不是个体，所以C错误；D中样本量是100，所以D正确．考点2 简单随机抽样及其应用——综合性(1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；③某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．A．0 B．1C．2 D．3A 解析：①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；③不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样．故选A．简单随机抽样适合总体中个数较少．(2)总体由编号为01,02,03，…，50的50个个体组成，利用随机数表从中抽取5个个体，下面提供随机数表的第5行到第7行：9312 4779 5737 8918 4550 39946111 6098 4965 7350 9847 30309837 2310 4476 9146 0679 2662若从表中第6行的第6列数字开始向右依次读取，则抽取的第3个个体的编号是( )A．09 B．03C．35 D．37B 解析：利用随机数表从第6行第6列开始向右读取，依次为09,84(舍弃)，96(舍弃)，57(舍弃)，35,09(重复，舍弃)，84(舍弃)，73(舍弃)，03，所以抽取的第3个个体的编号是03．在使用随机数法时，如(2021·郑州期末)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，…，599,600，从中抽取60个样本，现提供随机数表的第4行到第6行：第4行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 0644 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42第5行：84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 0732 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04第6行：32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 9483 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第7个样本编号为( )A．522 B．324C．535 D．578B 解析：第6行第6列的数开始的数为808(舍弃)，436,789(舍弃)，535,577,348,994(舍弃)，837(舍弃)，522,535(重复舍弃)，578,324．所以抽取的7个编号为436,535,577,348,522,578,324．即第7个样本编号为324．考点3 分层随机抽样——综合性考向1 求总体或样本量(1)近年来，很多学生因为手机的缘故其视力受到了很大的伤害，中小学生的近视率也呈明显的上升趋势．某区为了了解中小学生的视力健康状况，决定从城区的几所学校随机抽取一个样本进行调查．已知这几所学校的小学生、初中生、高中生的人数比为5∶6∶7，现用分层随机抽样的方法抽取一个样本量为n的样本，样本中初中生的人数比小学生人数多50，则n＝( )A．250 B．300C．800 D．900D 解析：这几所学校的小学生、初中生、高中生的人数比为5∶6∶7，现用分层随机抽样的方法抽取一个样本量为n的样本，样本中初中生的人数比小学生人数多50，则n＝50，解得n＝900．故选D．(2)(2022·宝鸡模拟)我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：今有某地北面若干人，西面有7 488人，南面有6 912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人(用分层随机抽样的方法)，则北面共有( )A．8 000人 B．8 100人C．8 200人 D．8 300人B 解析：设北面人数为x，根据题意知，＝，解得x＝8 100，所以北面共有8 100人．故选B．考向2 分层随机抽样的均值某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5．现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况．(1)试写出抽样过程；(2)若样本中3个区的高中学生的平均视力分别为4.8,4.8,4.6，试估计该市高中学生的平均视力．解：(1)①由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层随机抽样法抽取样本．②确定每层抽取的个体数，在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×＝40,200×＝60,200×＝100．③在各层分别按简单随机抽样法抽取样本．④综合每层抽样，组成容量为200的样本．(2)样本中高中学生的平均视力为×4.8＋×4.8＋×4.6＝4.7．所以估计该市高中学生的平均视力约为4.7．某校高二年级“化生史”组合只有2个班，且每班50人．在一次数学测试中，从两个班抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计得在该次测试中，两班中各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分，则该组合学生的平均成绩约为________分．108 解析：样本中40名学生的平均分为×110＋×106＝108(分)，所以估计该组合学生的平均分为108分．。
高考数学一轮复习随机抽样-教学课件
取 k= N ;当 N 不是整数时,随机从总体中把余数部分 nn
剔除,然后再用随机抽样的方法进行抽样.
(3)在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 (l≤k). (4)依据预定的规则确定其他段应抽取的个体,直到获 取整个样本.
3.分层抽样
001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量 为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学 生分住在三个营区,从 001 到 300 在第Ⅰ营区,从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区,三个 营区被抽中的人数依次为( ) (A)26,16,8 (B)25,17,8 (C)25,16,9 (D)24,17,9
从而第Ⅲ营区被抽中的人数是 50-42=8,故选 B.
考点三 分层抽样
【例 3】(1)(2012 年高考福建卷)一支田径队有男女运动员
98 人,其中男运动员有 56 人.按男女比例用分层抽样的方法,
从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,那么应抽取女
运动员人数是
.
(2)(2012 年高考天津卷)某地区有小学 150 所,中学 75 所,
将总体均分成几部 分,按事先确定的规 则在各部分抽取
体被抽取
的机会
分层 相等
将总体分成几层,分
抽样
层进行抽取
相互联系
在起始部 分抽样时 采用简单 随机抽样 各层抽样 时采用简 单随机抽 样或系统 抽样
适用范围 总体中的个 体数较少
总体中的个 体数较多
总体由差异 明显的几部 分组成
双基自测
1.某学校为调查高三年级的 240 名学生完成课后作业所需时 间,采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机 抽取 24 名同学进行调查;第二种由教务处对高三年级的学生 进行编号,从 001 到 240,抽取学号最后一位为 3 的同学进行调 查,则这两种抽样方法依次为( D ) (A)分层抽样,简单随机抽样 (B)简单随机抽样,分层抽样 (C)分层抽样,系统抽样 (D)简单随机抽样,系统抽样
第10章 第1节 随机抽样-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
[巩固演练] 1．下列抽样试验中，适合用抽签法的有( B ) A．从某厂生产的 5000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质 量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件 进行质量检验 D．从某厂生产的 5000 件产品中抽取 10 件进行质量检验
解析 (2)该地区中小学生总人数为 3 500＋2 000＋4 500＝10 000， 则样本容量为 10 000×2%＝200， 其中抽取的高中生近视人数为 2 000×2%×50%＝20.
课时三省
课堂回眸
思维升华
误区防范
1.抽样方法 有哪几种？
1.两种抽样方法的共同点都是等概 率抽样，体现了这两种抽样方法的
►规律方法 应用简单随机抽样应注意以下两点
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽 签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和 样本容量都较小时可用抽签法．
(2)应用随机数表法的两个关键点：一是确定以表中的 哪个数(哪行哪列)为起点，以哪个方向为读数的方向；二是 读数时注意结合编号特点进行读取，若编号为两位数字，则 两位两位地读取，若编号为三位数字，则三位三位地读取．
(2)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从 01，02， 03，…，32，33 这 33 个两位号码中选取，小明利用如下所 示的随机数表选取红色球的 6 个号码，选取方法是从第 1 行 第 9 列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选 中的红色球号码为( C )
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75
[自主解答] 因为高一年级抽取学生的比例为 1224000＝15，所以k＋5k＋3＝15，解得 k＝2， 故高三年级抽取的人数为 1 200×2＋35＋3＝360.
高三数学一轮复习精品课件1：随机抽样
解析：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学 生总人数为 100，抽取的样本容量与总体个数的比值为15000＝12. 所以应从 A，B，C，D 四所中学抽取的学生人数分别为 15,20,10,5.
答案：15,20,10,5
第一课时 随 机 抽 样
1．(2014·冀州中学期末)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分 别有 150,120,180,150 个销售点．公司为了调查产品销售情 况，需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本， 记这项调查为①；在丙地区有 20 个大型销售点，要从中 抽取 7 个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查 为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 ________．
进行下去，直按某种特征将总体分成若干部分； (2)按比例确定每层抽取个体的个数； (3)各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取个体； (4)综合每层抽样，组成样本． 3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数 利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出
1．系统抽样的步骤 (1)先将总体的N个个体编号； (2)确定分段间隔k(k∈N*)，对编号进行分段．当Nn (n是样本
容量)是整数时，取k＝Nn ； (3)在第1段用简单随机抽样确定第1个个体编号l(l≤k)； (4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第
2个个体编号(l＋k)，再加上k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次
(2)确定 分段间隔k，对编号进行 分段 ．当Nn(n是样本容量)是 整数时，取k＝Nn ；
(3)在第1段用 简单随机抽样 确定第一个个体编号l(l≤k)； (4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2 个个体编号 l＋k ，再加k得到第3个个体编号 l＋2k ，依次进行 下去，直到获取整个样本．
2025版高考数学一轮总复习素养提升第9章第1讲随机抽样用样本估计总体(含答案)
高考数学一轮总复习素养提升：几种常见的统计图形一、扇形图(饼状图)——用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图．(多选题)(2024·南京师大附中阶段测试)某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则( AC )A．该次数学史知识测试及格率超过90%B．该次数学史知识测试得满分的同学有15名C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D．若该校共有1 500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名[解析]由图知，及格率为1－8%＝92%>90%，故A正确；该测试满分同学的百分比为1－8%－32%－48%＝12%，即有12%×150＝18名，故B错误；由图知，中位数为80分，平均数为40×8%＋60×32%＋80×48%＋100×12%＝72.8分，故C正确；由题意，1 500名学生成绩能得优秀的同学有1 500×(48%＋12%)＝900，故D错误．故选AC.二、条形图(柱状图)——建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据每个样本(或某个范围内的样本)的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图．(2023·安徽蚌埠质检)已知某地区中小学生人数如图甲所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了10%的学生进行调查，调查数据如图乙所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为( D )A ．50%B ．32%C ．30%D ．27%[解析] 根据题意，抽取的样本容量为(3 500＋4 500＋2 000)×10%＝1 000，其中小学生、初中生、高中生抽取人数分别为：350,450,200，根据图乙知抽取的小学生、初中生、高中生中，近视的人数分别为：35,135,100，所以该地区学生的平均近视率为35＋135＋1001 000×100%＝27%，故选D.三、折线图——建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图．折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势．(多选题)(2024·湖湘名校联合体联考)某学校校医对生病的甲、乙两名同学一周的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有( AC )A ．甲同学的体温的平均值为36.4 ℃B ．甲同学的体温的方差为0.2C ．乙同学的体温的众数、中位数都为36.4 ℃D ．乙同学的体温的极差为0.3 ℃[解析] 甲同学体温的平均值为17×(36.4＋36.2＋36.5＋36.2＋36.6＋36.4＋36.5)＝36.4 ℃，故A 正确；由方差计算公式可知17×(02＋0.22＋0.12＋0.22＋0.22＋02＋0.12)＝0.02，故B 错误；乙同学体温按从小到大排列为：36.3 ℃，36.3 ℃，36.4 ℃，36.4 ℃，36.4 ℃，36.5 ℃，36.5 ℃，故乙同学体温的众数、中位数都为36.4 ℃，故C 正确；由上述排列可知，乙同学体温的极差为0.2 ℃，故D 错误．故选AC.四、雷达图(网络图、蜘蛛图)——一种能够直观地展示多维度的类目数据对比情况的统计图．1.(2024·广东实验中学阶段测试)2025年某省将实行“3＋1＋2”模式的新高考，其中“3”表示语文、数学和英语这三门必考科目，“1”表示必须从物理和历史中选考一门科目，“2”表示要从化学、生物、政治和地理中选考两门科目．为帮助甲、乙两名高一学生应对新高考，合理选择选考科目，将其高一年级的成绩综合指标值(指标值满分为5分，分值越高成绩越优)整理得到如下的雷达图，则下列选择最合理的是( D )A．选考科目甲应选物理、化学、历史B．选考科目甲应选化学、历史、地理C．选考科目乙应选物理、政治、历史D．选考科目乙应选政治、历史、地理[解析]根据雷达图，甲同学按照科目综合指标值从高到低顺序为：物理、历史(化学)、地理、生物、政治，乙同学按照科目综合指标值从高到低顺序为：历史、物理(政治)、地理、生物、化学，根据新高考选科模式规则，选考科目甲应选物理、化学、地理；选考科目乙应选历史、政治、地理．故选D.2．(多选题)(2024·湖南名校联合体联考)如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图：则下列结论正确的是( ABC )A．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加B．2050年亚洲人口将比其他各洲人口的总和还要多C．2050年南美洲及大洋洲人口之和将与欧洲人口基本持平D．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢[解析]从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确；从扇形图中能够明显地看出2050年亚洲人口将比其他各洲人口的总和还要多，故B正确；从条形图中能够明显地看出2050年南美洲及大洋洲人口之和将与欧洲人口基本持平，故C正确；由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误．故选ABC.。
2025高考数学一轮复习-第45讲-随机抽样的方法、用样本估计总体【课件】
举题说法
百分位数的估计
1 (1) 现有一组数据：663，664，665，668，671，664，656，674
，651，653，652，656.则这组数据的第85百分位数是
( C)
A．652
B．668
C．671
D．674
【解析】 由题意，这组数据共12个，则12×85%＝10.2.将这组数据按从小到大的顺序 排列为651，652，653，656，656，663，664，664，665，668，671，674，故这组 数据的第85百分位数为第11个数，即671.
【解析】对于 A，设 x2，x3，x4，x5 的平均数为 m，x1，x2，…，x6 的平均数为 n，则 n－m＝x1＋x2＋x3＋6 x4＋x5＋x6－x2＋x3＋4 x4＋x5＝2(x1＋x6)－(x122＋x3＋x4＋x5)，因为无 法确定 2(x1＋x6)，x2＋x3＋x4＋x5 的大小关系，所以无法判断 m，n 的大小，如 1，2， 3，4，5，6，可得 m＝n＝3.5；如 1，1，1，1，1，7，可得 m＝1，n＝2；如 1，2， 2，2，2，2，可得 m＝2，n＝161，故 A 错误． 对于 B，不妨设 x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知 x2，x3，x4，x5 的中位数等于 x1，x2，…， x6 的中位数，均为x3＋2 x4，故 B 正确．
【解答】 x ＝110×(545＋533＋551＋522＋575＋544＋541＋568＋596＋548)＝552.3， y ＝110×(536＋527＋543＋530＋560＋533＋522＋550＋576＋536)＝541.3，z ＝ x － y ＝552.3－541.3＝11，zi＝xi－yi 的值分别为 9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12， 故 s2＝110×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋ (18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.
高考数学一轮总复习课件：随机抽样、用样本估计总体
6．(2020·天津)从一批零件中抽取 80 个，测量其直径(单位： mm)，将所得数据分为 9 组：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45， 5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽 取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为( B )
n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n＝
(D ) A．9
B．10
C．12
D．13
【解析】 由分层抽样可得630＝2n60，解得 n＝13.
【讲评】 进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式 巧解：
①总样体本的容个量数nN＝该层该抽层取的的个个体体数数； ②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个 体数之比．
5.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本 的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( A )
A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53
解析 从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的 平均数，即45＋2 47＝46，众数是 45，极差为 68－12＝56，故选择 A.
状元笔记
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否 方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都 较小时可用抽签法．
(2)在使用随机数表时，如遇到取两位数或三位数，可从选择 的随机数表中的某行某列的数字计起，每两个或每三个作为一个 单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍 去．
个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个
原始评分相比，不变的数字特征是( A )
高考数学一轮复习 随机抽样课件
三种抽样方法的共同点及联系是什么？ 提示：
类别 简单 随机 抽样
系统 抽样
分层 抽样
共同点 各自特点 相互联系 适用范围
从总体中 逐个抽取
总体中的 的个体数 较少
抽样过程 中每个个 体被抽取 的机会均
将总体均匀分 成几部分，按 事先确定的规 则在各部分抽 取
在起始部 分抽样时 采用简单 随机抽样
总体中 的个体数 较多
给出的线性回归方程系数公式建 考查过散点图
立线性回归方程.
的应用，线性
3.了解下列常见的统计方法，并能 回归方程的求
统计案例 应用这些方法解决一些实际问题. 法及独立性检
(1)了解独立性检验(只要求2×2列 验思想的应用，
联表)的基本思想、方法及其简单 预计高考仍将
应用.
以这些点为考
(2)了解假设检验的基本思想、方 查重点.
图、频率折线图、茎叶图，理 1.以实际问题为
解它们各自的特点.
载体，考查用
2.理解样本数据标准差的意义和 样本的频率分
作用，会计算标准差.
布估计总体分
3.能从样本数据中提取基本的数 布.用样本的数
字特征(如平均数、标准差)，并 字特征估计总
给出合理的解释.
体的数字特征，
4.会用样本的频率分布估计总体 多以选择、填空
答案：760
简单随机抽样的特点： (1)抽取的个体数较少； (2)逐个抽取； (3)是不放回抽取； (4)是等可能抽取．
【注意】 抽签法适于总体中个体数较少的情况，随机数 法适用于总体中个体数较多的情况．
某大学为了支持2010年亚运会，从报名的24名 大三的学生中选6人组成志愿小组，请用抽签法和随机数 表法设计抽样方案．
高考数学一轮单元复习：第51讲 随机抽样
│要点探究
【解析】 B 抽取第一次中奖号码时运用了系统抽 解析】 样的方法来确定中奖号码，中奖号码依次为： ， ， 样的方法来确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188， 288，388，488，588，688，788，888，988；抽取第二 ， ， ， ， ， ， ， ； 个号码，总体个数较少， 次中奖号码时总数只有 10 个号码，总体个数较少，采 用简单随机抽样. 用简单随机抽样
│要点探究
【解析】当 x＝24 时，按规则可知所抽取的样本的 解析】 ＝ 10 个号码依次为：24，157，290，323，456，589，622， 个号码依次为： ， ， ， ， ， ， ， 755，888，921；当 k＝0，1，2，…，9 时，33k 的值依 ， ， ； ＝ ， ， ， ， 次为 0，33，66，99，132，165，198，231，264，297； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 又抽取样本的 10 个号码中有一个的后两位数是 87， ， 从而 x 可以为 87，54，21，88，55，22，89，56，23，90， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的取值集合是{21， ， ， ， ， ， ， ， 所以 x 的取值集合是 ，22，23，54，55，56，87，88， 89，90} ，
│要点探究
思路】 按照系统抽样的等距性找第8组抽出的号 【 思路 】 按照系统抽样的等距性找第 组抽出的号 按照分层抽样的比例计算40岁以下年龄段应抽取的 码，按照分层抽样的比例计算 岁以下年龄段应抽取的 人数. 人数 【答案】 37 答案】 20
由分组可知， 【解析】 由分组可知，抽号的间隔为 5，又因为第 5 ， 组抽出的号码为 22，所以第 6 组抽出的号码为 27，第 7 组 ， ， 抽出的号码为 32，第 8 组抽出的号码为 37.40 岁以下年龄 ， 40 段的职工数为 200×0.5＝100，则应抽取的人数为200×100 ＝ ， ＝20 人.
高考数学一轮总复习 第九章 随机抽样优秀PPT
• 2．(2021·中山模拟)为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要 从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取 的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是
()
• A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32
• C．1,2,3,4,5
量)是整数时，取 k＝Nn；
当Nn 不是整数时，可随机地从总体中剔除余数，再确定分
段间隔；
• (3)在第1段用_____简___单__随__机__抽确样定第一个个体编号s(s≤k)；
• (4)按照一定的规则抽取样本，通常是将s加上间隔k得到第2个个体编号
_______，再加k得到第3个个体编号_________，依次进行下去，直到
[解析] 抽样比为150＋1504＋0400＋300＝1400，
因此从丙专业应抽取1400×400＝16(人)． [答案] 16
• [典例透析] • 考向一 简单随机抽样 • 例1 (1)下列说法正确的个数是( ) • ①总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法 • ②在总体均分后的每一部分进行抽样时，可采用简单随机抽样 • ③百货商场的抓奖活动是抽签法 • ④整个抽样过程中，每个个体被抽取的可能性相等(有剔除时例外)
• A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样
• C．按学段分层抽样 D．系统抽样
(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数表法适用于总体中个体数较多的情况． (1)分层抽样的定义： [解析] 5个个体编号依次是14,07,02,01,04，
成入功家破 庭•障中以[解某简单地析随有机居] 抽民样1由0方0 0式于00抽户该取，1其地00中户区普进通行的家调庭中查9，9小发00现0学户共，生有高1收2人0入户数家家庭庭比拥1 0有较003户套多．或从，3套普以不通上家能住庭房中采，以其用简中单简普随通机单家抽庭随样5方0机户式，抽抽高取收样99入0户，家，庭从70高户收 ．依据这些排数据除并选结合项所掌A握；的由统计于知识小，学你认、为该初地中拥有、3套高或3中套以三上住个房学的家段庭所的占学比例生的合视理力估计差是_异___性____比． 较大， 所以第5个可个体采编号取是按04. 照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异性不大，不能按 抽样过程中照每个性个别体被进抽到行的分可能层性相抽等样，排除B和D.故选C. • [答案] C [解析] (1)①②③显然正确，简单随机抽样无论有无剔除都是等可能性抽样；
2022年高考数学一轮复习热点难点精讲精析101随机抽样
2022年高考一轮复习热点难点精讲精析：10.1随机抽样(一)简单随机抽样※相关链接※1．简单随机抽样的特点:(1)抽取的个体数较少;(2)逐个抽取;(3)是不放回抽取;(4)是等可能抽取.注:抽签法适于总体中个体数较少的情况,随机数表法适用于总体中个体数较多的情况.2．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀.一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.3．利用随机数表法抽取样本的步骤(2)选起始号码：任取某行、某组的某数为起始号码.(3)确定读数方向：一般从左到右读取.※例题解析※〖例〗某大学为了支持2022年亚运会,从报名的24名大三的学生中选6人组成志愿小组,请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.思想解析:(1)总体的个体数较少,利用抽签法或随机数表法可容易获取样本;解答:抽签法第二步:将24个号码分别写在24张外形完全相同的纸条上,并揉成团,制成号签;第三步:将24个号签放入一个不透明的盒子中,充分搅匀;第五步:所得号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员.随机数表法第二步:在随机数表中任选一数开始,按某一确定方向读数;第三步:凡不在01～24中的数或已读过的数,都跳过去不作记录,依次记录下得数; 第四步:找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组.(二)系统抽样※相关链接※系统抽样的特点(1)适用于元素个数很多且均衡的总体;(2)各个个体被抽到的时机均等;(3)总体分组后,在起始局部采用的是简单随机抽样;(4)如果总体容量N能被样本容量n整除,那么抽样间隔为Nkn,如果总体容量N不能被样本容量n整除,可随机地从总体中剔除余数,然后再按系统抽样的方法抽样.※例题解析※(三)分层抽样〖例〗某政府机关有在编有员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人.上级机关为了了解政府机构改革意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施抽取.思路解析:(1)机构改革关系到名种人不同的利益;(2)不同层次的人员情况有明显差异,故采用分层抽样.解答:用分层抽样方法抽取.具体实施抽取如下:(1)∵20:100=1:5,∴10/5=2,70/5=14,20/5=4,∴从副处级以上干部中抽取2人,从一般干部中抽取14人,从工人中抽取4人.注:分层抽样的操作步骤及特点(1)操作步骤①将总体按一定标准进行分层;②计算各层的个体数与总体数的比,按各层个体数点总体数的比确定各层应抽取的样本容量;③在每层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样).(2)特点①适用于总体由差异明显的几局部组成的情况;②更充分地反映了总体的情况;③等可能地抽样,每个个体被抽下马看花可能性都是nN.〔3〕分层抽样是一种实用性、操作性强，应用比较广泛的抽样方法，但必须保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.。
高考数学一轮复习---随机抽样知识点与题型复习
随机抽样知识点与题型复习一、基础知识1．简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．(2)常用方法：抽签法和随机数法． 2．分层抽样(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 3．系统抽样(1)定义：当总体中的个体数较多时，可以将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．(2)系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． ①先将总体的N 个个体编号；②确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝Nn ；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可先用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按系统抽样进行.这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的可能性仍然相等.③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；④按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号l ＋k ，再加k 得到第3个个体编号l ＋2k ，依次进行下去，直到获取整个样本．二、常用结论(1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的． (2)系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k 的整数倍． (3)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．(4)三种抽样方法的特点、联系及适用范围三、考点解析考点一简单随机抽样例、下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数有()①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验；④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．A．0个B．1个C．2个D．3个[解题技法]应用简单随机抽样应注意的问题(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．跟踪训练1．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A.08 2．利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )A.14B.13C.514D.1027 考点二 系统抽样例、(1)某校为了解1 000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1 000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( )A ．16B ．17C ．18D ．19(2)中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽样间隔为________．变式练习1.(变结论)若本例(1)的条件不变，则编号落入区间[501,750]的人数为________．2．某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________．[解题技法]系统抽样中所抽取编号的特点系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．[提醒] 系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．考点三 分层抽样例、某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：最喜爱 喜爱 一般 不喜欢 4 8007 2006 4001 600电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100人进行详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为( )A ．25,25,25,25B ．48,72,64,16C ．20,40,30,10D ．24,36,32,8[解题技法]分层抽样问题的类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． (3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量各层个体数量”．跟踪训练1．某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n 人中抽取81人进行问卷调查，若高二被抽取的人数为30，则n ＝( )A ．860B ．720C ．1 020D ．1 0402.已知某地区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的学生人数为________．课后作业1．从2 019名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从2 019名学生中剔除19名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率()A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为502 019D．都相等，且为1 402．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为()A.123．某班共有学生52人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知5号、18号、44号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是()A．23 B．27 C．31 D．334．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为()A．800双B．1 000双C．1 200双D．1 500双解析：选C因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．5．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．100,20 B．200,20 C．200,10 D．100,106．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，如果在第一组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是()A．63 B．64 C．65 D．667．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间(450,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为()A．7 B．9 C．10 D．158．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A，C A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是________件．9．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．10．将参加冬季越野跑的600名选手编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，把编号分为50组后，在第一组的001到012这12个编号中随机抽得的号码为004，这600名选手穿着三种颜色的衣服，从001到301穿红色衣服，从302到496穿白色衣服，从497到600穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为________．11．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？。
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1．简单随机抽样 (1)抽取方式：逐个 不放回抽取 ； (2)每个个体被抽到的概率 相等 ； (3)常用方法： 抽签法 和 随机数法 .
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2．分层抽样 (1) 在 抽 样 时 ， 将 总 体 分 成 互不交叉 的 层 ， 然 后 按 照 一 定 的 比例 ，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出
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[小题纠偏] 1．从2 017名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用 以下方法选取：先用简单随机抽样法从2 017名学生中剔除17 名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每 名学生入选的概率( A．不全相等 50 C．都相等，且为 2 017 ) B．均不相等 1 D．都相等，且为 40
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13 1 解析：由已知条件，抽样比为 ＝ ， 780 60 35 1 从而 ＝ ，解得n＝720. 600＋780＋n 60
答案：B
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1．系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当 N n 不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的 个体编号成等差数列． 2．分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即 样本容量n . 总体个数N
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，依
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[小题诊断] 1． (2018· 唐山模拟)用简单随机抽样的方法从含有 100 个个体的 总体中抽取一个容量为 5 的样本，则个体 M 被抽到的概率为 ( ) 1 B. 99 1 D． 50
1 A. 100 1 C. 20
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2．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法， 抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号学生在样本 中，那么样本中还有一个学生的学号是( A．10 C．12 B．11 D．16 )
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第十章 算法初步、统计、统计案例 第二节 随机抽样
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1．理解随机抽样的必要性和重要性． 2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样 和系统抽样．
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A．3,23,63,102 C．103,133,153,193
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解析：用系统抽样抽出的客车的编号从小到大成等差数列， 对照四个选项，只需选项中的四个数是公差为10的等差数列 中的部分项，故选C.
答案：C
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5．(2018· 邯郸模拟)某校数学教研组为了解学生学习数学的情 况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人 中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13， 则 n＝ ( A．660 C．780 ) B．720 D．800
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解析：从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13， 所以样本中还有一个学生的学号是16，选D.
答案：D
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3．某客运公司为了了解客车的耗油情况，将200辆客车依次 编号为1,2，…，200，现采用系统抽样的方法按1∶10的比例 抽取一个样本进行检测，则其中抽取的4辆客车的编号可能是 ( ) B．31,61,87,127 D．57,68,98,108
的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样． (2)分层抽样的应用范围 当总体是由 差异明显 抽样． 的几个部分组成时，往往选用分层
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3．系统抽样的步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本． (1)先将总体的N个个体 编号 ； N 分段间隔 k 分段 (2)确定 ，对编号进行 当 n (n是样本容量)是整 N 数时，取k＝ n ； (3)在第1段用 简单随机抽样 确定第一个个体编号l(l≤k)； (4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个 个体编号 (l＋k) ，再加k得到第3个个体编号 (l＋2k) 次进行下去，直到获取整个样本．
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解析：从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率 M 都等于 . N
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4．从一个容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取 简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本 时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则 ( ) B．p2＝p3<p1 D．p1＝p2＝p3
A．p1＝p2<p3 C．p1＝p3<p2
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解析：一个总体含有100个个体，每个个体被抽到的概率为 1 ，用简单随机抽样方法从该总体中抽取容量为5的样本， 100 1 1 则每个个体被抽到的概率为 ×5＝ . 100 20
答案：C
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解析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可 知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，所 以p1＝p2＝p3，故选D.
答案：D
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