谐振子的能级特性与对称性分析

谐振子的能级特性与对称性分析
陈绍敏（湖北大学物理学与电子技术学院 2002级物理学）
引 言
在经典力学中，谐振子是被约束在一根轴线上运动的粒子，作用在它上的是恢复力，它与粒子的位移成正比，它的解是众所周知的，它的运动是一种正弦运动，它在原点附近振荡，相应的量子力学问题是质量为μ，角频率为ω的一维粒子具有哈密顿量
)(21
2222q P H ωμμ
+=
的问题，位置变量q 和动量p 由对易关系
i p q =],[
联系本文将研究质量为μ的k 维粒子上有哈密顿量
∑=+=k
i i i q p H 12222)(21
ωμμ
的问题，特别是将用群论观点来研究谐振子的能级简并度特性与对称性分析。

§1 二维各向同性谐振子的态函数及能级特性
（1）采用平面极坐标，二维谐振子势能
2221
)(ρμωρ=V
（1）
Schrödinger 方程为
ψ=ψ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂-E 2
222
2221112ρμωϕρρρρρμ （E>0） （2） 令 )(),(ρϕρϕR e im =ψ
（3）
采用自然单位1===ωμ ，自然单位中各特征量如下 谐振子势中的特征量
则径向方程表示为
0)()2(122222=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-+
ρρρρρρR E m d d d d （E>0） （4）
0→ρ时变为
0)(12222=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+
ρρρρρ
R m d d d d （可参看径向方程的解在奇点0=r 邻域的行为） 令s R ρ∝，代入上式，得
022=-m s
所以 ||s m =±
可以证明，0→ρ时渐进行为||m R -∝ρ的解是物理上不能接受的，予以抛弃，故
||)(m R ρρ∝ )0(→ρ
当∞→ρ，得
0)(222=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-ρρρR d d 所以[]
2/exp )(2ρρ±∝R ，而满足束缚态边界条件的解只能取
2()exp 2R ρρ⎡⎤∝-⎣⎦，所以 ||2
()exp 2()m R u ρρρρ⎡⎤=-⎣⎦
代入（11）式，得
()0]1||22[21
||222=+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++u m E d du m d u d ρρρρ （5） 再令 2ρξ=
（6） 得 ()0221||1||22=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡---++u E m d du m d u d ξξξ
ξ
（7）
上式是合流超几何方程，它在0=ξ邻域的解析解表为),,(ξγαF ，相应参数为 2
21||E m -+=α
1||+=m γ
（8）
束缚态边界条件要求
,2
21||ραn E
m -=-+=
,2,1,0=ρn
所以二维各向同性谐振子的能量本征值为
)1||2(++=m n E ρ（自然单位）
或 ,2,1,0||2),1(=+=+=m n n n E n ρ （9）
未归一化的波函数为
),1||,(),(2||ρρϕρψρϕρ+-∝m n F e m im m n
（10）
不难求出能级n E 的简并度为
,3,2,1)1(=+=n f n
（11）
（2）二维各向同性谐振子还可以分解成二个彼此独立的一维谐振子，采用直角坐标，因各向同性，其振子强度0ωωω==y x ，故
()
222021
y x V +=
μω 相应的能量 002121ωω ⎪⎭⎫ ⎝⎛
++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x n n n n E y
x
0)1(ω +=n E n y x n n n +=
,2,1,0,,=n n n y x
对于给定n ，有
n n x ,2,1,0=
相应的 0,2,1, --=n n n n y
所以有)1(+n 个量子态y x n n ψ，能级n E 的简并度为
)1(+=n f n 2,1,0=n
与（11）式同
关于能级简并度与对称性的关系，前人指出过，系统出现简并，往往意味着与
Hamilton 量的对称性相联系。

由上式可看出二维各向同性谐振子比一般二维中
心势阱)(ρV 能维简并度（二重简并）高一些。

这反映出二维向同性谐振子势2U 高于一般二维中心势)(22O U >，这种对称性是各向同性谐振子势2U 高于一般二维中心势)(22O U >，这种对称性是各向同性谐振子所特有的一种动力学对称性，即幺正对称性
§2 产生算符湮灭算符能量子数算符
上一节，我们是用波动力学理论解Schodinger 方程及应用波函数边界条件研究谐振子。

在这一节及下面几节我们将用矩阵力学来研究谐振子。

这节我们以一维谐振动引起升降算符，作为以后研究k 维谐振子的理论基础。

一维谐振子的哈密顿算符
222ˆ2
12ˆx
w P
H μμ+= （12） 显然[]1ˆˆ=p
x （13）
引入算符
)ˆˆ(21ˆp i x w m a
+=μμ )ˆˆ(21
ˆp i x
w m
a +=+μμ （14）
由（13）得
[]1ˆ,ˆ=+
a a
（15）
（由14）得
)ˆˆ(2ˆ++=a a
w
x
μ
)ˆˆ(2++=a a i w p μ （16）
代入（12）及应用（15）得
w a a
w a a a a H )2
1ˆˆ(2)ˆˆˆˆ(ˆ+=+=++ （17）
由（15）和（17）得
a w H a a H
ˆˆˆˆˆ -=- +++=-a w H a a H ˆˆˆˆˆ （18）
设>E |的H
ˆ本征态，本征值为E ，由（18）可得 E a w E E w H a E a H
ˆ)()ˆ(ˆˆˆ -=-= E a w E E w H a E a H
ˆ)()ˆ(ˆˆˆ +=+=++ 这表明算符a
ˆ的作用使能量减少w ，+a ˆ使能量增加w 。

在能量的一个给定的本征成上不断用a
ˆ作用，即可得到能量本征态的一个序列，后一个态的能量恒比前一个态少w 。

右这个序列无穷，那么会在某个态以后的各态具有负能量。

然而由（17）知，任一归一化态矢量>1表示的态中必有平均能量
0)ˆˆ(ˆ>=+w a a H
本征值就是本征态中的平均值，平均能量恒大于零表明全部本征能量均大于零。

上述能量序述列不是无穷的，必须在某处结束，设其最后一个能量本征态为0E 。

则为保证序列不再继续下去，必须也只须
0ˆ0=E a
两边用+a
ˆ作用得 0ˆˆ0=+E a a
由（17）得
00ˆE E E H =，故w E 2
10= （19）
0E 为基态，即零点振动态；0E 为最低能量，即零点能，谐振动的本征能量与零点能之差恒为w 的整数倍，则
w n E n ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=21 ,3,2,1,0=n
（20）
与n E 相应的能量本征态可记作n E ，也可记为n ，即
n E n H n
=ˆ （21）
由（17）又得
n n n a a =+ˆˆ （22）
ω 为谐振子能量变化的单位，称为它的能量子。

又由于n 是一个能量本征
态中除常数零点能外所含能量子的数目。

则
a a n
ˆˆˆ+= 为谐振动的能量子数算符或称为粒子数算符，而a
ˆ的作用是将能量子减1，称为能量子的湮灭算符，+a
ˆ刚好相反，称为能量子的产生算符，即 1ˆ-=n C n a
n 1ˆ-=n C n a n （23）
两式分别左乘1-n ，1+n 有
n a
n C n ˆ1-= n a n C n ++='ˆ1 a
ˆ与+a ˆ互为伴随*ˆ11ˆn a n n a n ++-=- 因而
n n C C =-*1
（24）
对（23）第一式两边用+a
ˆ作用，利用（24）得
n C n C C n a C n a a n
n n n 2
1
111ˆˆˆ=-=-=+-+ 与（22）比较得
n C n =2
n i n e n C δ=
n δ为一实常数相角，则1=n i e δ，则n i e δ乘在1-n 上态不变且仍为归一化，
故仍可记为1-n
n C n = 11
+=n C n
即有
1ˆ-=n n n a
11ˆ++=+n n n a （25）
则第n 态可表为
0ˆ!
1n
a n n +=
（26）
§3 k 维各向同性谐振子势的幺正对称性
采用正则坐标，k 维各向同性谐振子的Hamilton 量可表示为
()
∑∑==+==k i i i k
i i p x H H 122
1
21
（27）
利用正则对易式
ij i i i p x δ=],[ k j i ,,2,1, =
（28）
可将H 改写成
()()∑=++-=k j j j j j k
ip x ip x H 12
21
∑=++=k j j j k ip x 122
21 （29）
因此，除了一个常数项2
k 外，H 可视为k 维（复）空间的一个“矢量”)(j j ip x +),,2,1(k j =的模方。

在故在k 维（复）空间的幺正变换)(-+=U U U 之下
1)(-+='+'→+U ip x U p i x ip x j j j j j j
H 具有不变性
H UHU H H ==→-1'
即 0],[=H U （30）
这种幺正变换下的对称性即k 维各向同性谐振子的动力学对称性，记为k U ，是由Hamilton 量（12）式的特点所决定的
与一维谐振子类似有产生算符和湮灭算符，令
()j j j ip x a +=21
()j j j ip x a -=+2
1 k j ,,2,1 =
（31）
其逆表示式为
()j j j a a x +=
+
21 ()j j j a a p -=+2
1 （32）
容易证明
[]0,=j
i
a a []0,=++j
i a a []ij
j
i
a a δ=+, k j i ,2,1,=
（33）
H 可写成
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=2ˆˆk N H
（34） ∑∑=+===k
i
j j
j k j j a a N N 1
ˆ （35）
对应有
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=2k N E n （自然单位）
（36）
,2,1,0=N
描叙谐振子所取基矢为i H 的本征态记为i n ，则H 的本征态为
k k n n n n n n 2121= ,2,1,021=++=k n n n N
对于给定n E ，其简并度为k n n n 21的可能状态数
(
))!
1(!)!1(1
--+==
-+k N k N f k N N
n
（37）
利用产生算符和湮灭算符，可以构成2k 个下列形式的算符
j i a a + k j i ,,2,1, =
可证 [][]
0ˆ,ˆ,==++H a a N a a j
i j i 这2k 个算符构成群k U 的Lie 代数，可使它们适当线性组合成为厄密算符即可作
为体系的守恒量。

§4 三维各向同性谐振动
对于三维各向同性谐振子来说
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=23N E n （自然单位）
321n n n N ++= 2
)2)(1(++=n n f n
（38）
引入湮灭算符和产生算符
)ˆˆ(2
1
ˆj j j p i x a
+= )ˆˆ(2
1
ˆj j j p i x a -=
+ 3,2,1=j 矢量r
ˆ和p ˆ之间反演反号，则 j j a a ˆˆˆˆ1-=∏∏
- +-+-=∏∏j j a a ˆˆˆˆ1 即
>∏->∏∏∏>=∏
--j j j a a a ˆˆˆˆˆˆˆˆ11 >∏->∏∏∏>=∏+--++j j j a a a ˆˆˆˆˆˆˆˆ11 若将态0的宇称定为1+，则n 的态宇称为n )1(-，给定一个能级n ，它的n 个能量子可以三个自由主上随意分布，不同的分布对应不同的态，这些不同的态又可以各种方式叠加起来，组成各种能量一定但能量在各自由度间分配方式不定的态，轨道量子数1和磁量子数m 一定的态就是这种态。

三维各向同性谐振动的一个能级可以包含1不同的成，即它的能级对轨道量子数1有简并，但能级有一定宇称n )1(-，其中包含的1必须与n 同奇偶，这使得能级对1的简并不完全，由（38）知2=n ，6=n f ，包括一个01=的态和5个21=的态，3=n ，10=n f ，包括3个11=的成和7个31=的态。

由j i a a
ˆˆ+；3,2,1,=j i 构成9个算符： ∑=++=3
1ˆˆˆj j j a a n
xy
y x Q p p y x a a a a ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ12211≡+=+++=λ
z x y L p y p x a a a a i ˆˆˆˆ)ˆˆˆ(ˆ12212=-=--=++
λ
1
222222113ˆ)ˆˆ(2
1)ˆˆ(21
)ˆˆˆˆ(ˆQ p p y x a a a a i y x ≡-+-=--=++λ xz
z x Q p p z x a a a a ˆ)ˆˆˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆ13314≡+=-=++λ y L p z p x a a a a i x z ˆˆˆˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆ13315
-=-=--=++λ yz
x y Q p p z y a a a a ˆˆˆˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆ23326≡+=+=++λ x L p z
p y a a a a i y z ˆˆˆˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆ23327=-=--=++λ 0
2222223322118
ˆ)ˆˆˆ(3
21)2ˆˆ(321)ˆˆ2ˆˆˆˆ(31ˆQ p p p z y x a a a a a a z y x ≡-++-+=-+=+++λ 它们均与H
ˆ对易，为守恒量，具体找到能量和角动量以外的守恒量表明了具有高于三维转动对称的动力学对称。

由于
[][]
0ˆ,ˆˆ,ˆ==+
+k j
k
j
a
a a a
[]ik
k
j
a a δ
=+ˆ,ˆ 3,2,1,=k j
故有
[
]
∑==8
1
ˆ2ˆ,ˆc c abc b
a f λλλ （39）
其中abc f 对下标a 、b 和c 全反对称，它的不为零的分量为
1123=f 21367345257246156147=-====-=f f f f f f 2
3
678458==f f 以及由此按全反对称得到的其他分量。

（39）表明入算符的线性集合相对于量子泊松括号的运算是封闭的，构成一个李代数，称为)3(SU 李代数，三维各向同性谐振动的动力学对称就称为)3(SU 对称。

容易验证
12022222ˆˆˆˆˆˆQ Q Q Q Q Q
yz xz xy ++++= 为一标量，即
[]0ˆ,ˆ2
=Q L
因而2Z 和z L 可同时确定，利用abc f 的全反对称性，由（39）可验证
∑=+==8
1222)ˆˆ(ˆˆa a
Q L C λ
与每一λˆ-算符对易，因而是)3(SU 李代数的开西米尔算符，将a
λˆ-具体形式代入3ˆ3
4ˆ2-=H C
上面三式表明三维各向同性谐振动能量只与C 有关，因而它的2L 和2Q 间分配无关，这就是)3(SU 对称性。

§5 二维各向同性谐振子
参照上面一些结论，对于二维各向同性谐振子来说
)1(+=N E n （自然单位）
y x n n N += 2,1,0,,=N n n y x
本征态 ()()
0!
!1y x
n y
n x
y x y x a a n n n n ++
=
简并度 1+=N f n 与（11）式同。

由于二维各向同性谐振子的y x ,轴地位等当，Hamilton 量中坐标与动量的地位等当（自然单位），除能量与角动量外还存在一些守恒量。

用Cartesian 坐标表示出来（自然单位）
()()
2
2222
121y x y x p y p x H H H +++=
+= x y z yp xp L -=
y x xy p p xy Q +=
()()y x y
x H H p p y x Q -=-+-=2
22212121 利用 )(21x x ip x a += )(21x x ip x a -=+
)(21y y ip y a += ()y y ip y a -=
+
21 诸守恒量可表示为
)1(++=+
+y y x x a a a a H )(y x x y z a a a a i L ++-= )(1y y x x a a a a Q ++-=
11 x y y x xy a a a a Q +++=
它们正好构成群2U 的Lie 代数，把H 除外，则z L ，1Q ，xy Q 构成群2SU 的Lie 代数，按照群表示论，若体系有一个对称性群是非Abel 群如lie 群，则一般会出现简并。

参考文献
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