浙江省杭州市2022-2023学年高三上学期期末模拟数学试题(含答案解析)
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平均产卵数 y / 个 7 11 21 24 66 115 325
x
y
z
n
xi x z z
n
2
xi x
i 1
i 1
27.429 81.286 3.612
40.182
147.714
试卷第 4页,共 5页
表中
zi
ln
yi , z
1 7
7 i 1
zi
.
(1)根据散点图判断, y a bx 与 y cedx (其中 e 2.718为自然对数的底数)哪一
43
P x1, y1 , Q x2 , y2 , PA,QA 的斜率分别记为 k1, k2 ,以下各式为定值的是( )
A. x1x2 y1 y2
B. 5 x1 x2 2x1x2
试卷第 2页,共 5页
C. k1 k2
D. k1k2
三、填空题
13.已知随机变量服 X ~ N 4,1 ,且 p( X 2m 1) p( X m) ,则 m __________.
A.4093
B.4094
C.4095
D.4096
7.
f
(x)
(x 1)ex , x1 ax2 x 1 a,
x
的最小值是 1
1 ,则实数
a
的取值范围是(
)
2
A.
2
3
,
B.
,
2
2
3
C. 1
3 2
,
1 2
D.
1 2
,
试卷第 1页,共 5页
8.已知 x (0, ) ,函数 y f (x) 满足:tan xf (x) f '(x) 恒成立,其中 f '(x) 是 f (x) 的导 2
AD 6 (单位:百米),小路 MN 将矩形 ABCD 分成面积分别为 S1 , S2 (单位:平方百
米)的两部分,其中 S1 S2 ,且点 A 在面积为 S1 的区域内,记小路 MN 的长为 l 百米.
(1)若 l = 4 ,求 S1 的最大值; (2)若 S2 2S1 ,求 l 的取值范围. 20.从 2019 年底开始,非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情.目前, 蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚,并向西亚和南亚等地区蔓延.蝗虫危害大,主要危害禾 本科植物,能对农作物造成严重伤害,每只蝗虫的平均产卵数 y 和平均温度 x 有关,现 收集了以往某地的 7 组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值. 平均温度 x / C 21 23 25 27 29 32 35
p 0 p 1 .
①记该地今后 n n 3, n N 年中,恰好需要 2 次人工防治的概率为 f p ,求 f p 取
得最大值时相应的概率 p0 ;
②根据①中的结论,当 f p 取最大值时,记该地今后 6 年中,需要人工防治的次数为 X ,
求 X 的数学期望和方差.
附:对于一组数据 x1, z1 、 x2, z2 、L 、 x7 , z7 ,其回归直线 z a bx 的斜率和截距
试卷第 5页,共 5页
1.B
参考答案:
【分析】根据题意画出Venn 图,由Venn 图即可得到U A ðUB .
【详解】 集合 A, B,U 满足: ðU A ðU B U ,
如图,
U A ðU B .
故选:B.
2.B
【分析】根据 f x 为单调减函数解出 a 的范围,即可判断得结果.
C. B U ðU A
D. 痧U A U B
2.设
aR
,则“
a 1 ”是“函数
f
x
ax 1 x 1
在 1, 为减函数”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.把 4 本不同的书分给 3 名同学,每个同学至少一本,则不同的分发数为( )
A.12 种
B.18 种
7
xi
x
zi
z
的最小二乘法估计分别为: b i1 7
2
xi x
,a z bx .
i 1
21.已知抛物线 C: y2 =2px 经过点 P (1,2).过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线 C 有
两个不同的交点 A,B,且直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N.
(Ⅰ)求直线 l 的斜率的取值范围;
(Ⅱ)设
O
为原点, QM
QO
,
QN
QO
,求证:
1
1
为定值.
22.已知函数 f x x sin x cos x 1 ax2 x , , a R .
2
(1)当 a 0 时,讨论函数 f x 的单调性;
(2)当 a 0 时,探究关于 x 的方程 f x 0 的实数根的个数.
bc
则焦点
F2
到渐近线
y
b a
xHale Waihona Puke 的距离 da bb2 a2
1
又因为 F2P 2PH ,所以 PF2
2 b ,又 3
PF1
PF2
2a ,得
PF1
2a 2 b . 3
则在 ΔPF1F2 中,有
PF2
2b, 3
PF1
2a
2 3
b
,
FF 12
2c .
则由余弦定理得
F1F2 2
PF1 2
PF2 2 2
【详解】由题意可得
f
x
ax 1 x 1
a
a x
1 1
为减函数,
则 a 1 0 ,解得 a 1 .
因为 a 1推不出 a 1 , a 1 a 1 ,
所以“
a 1 ”是“函数
f
x
ax 1 x 1
在 1, 为减函数”的必要不充分条件,
故选:B
3.D
【分析】根据题意可知一名同学分得两本书,其余两名同学各分得一本书,利用排列组合数
2
(1)若
D
为
BC
边上一点,
DB
4,
AB
5
,且
AB
BD
12
,求
AC
;
(2)若 CA
3, CB
4,
M
为平面上一点,
2CM
tCA
1
t
CB
,其中 t
R
,求
MA
MB
的最
小值.
18.已知数列 an 满足
a1
2, an1
a
2 n
an
0
,记 bn
log2an
,在 bn 中每相邻两项之
间都插入 3 个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列cn ,若数列bn
2n1 2n
3 2n an 2n1 an 2n
2n an
an 2n
1,又 a1
2
1,
所以 an 2n 是首项为 1,公比为 1的等比数列,所以 an (1)n 2n ,
则
S11
a1
a2
a11
1
21
1
22
1
211
1
2 1 211 1 2
4093
故选:A
答案第 2页,共 16页
OP
xe1
ye2
,则记向量
OP
的坐标为
x,
y
,给出下
列四个命题,正确的选项是( )
A.若
OP
x1,
y1
,
OQ
x2 ,
y2
,则
OP
OQ
x1x2
y1 y2
B.若 60 ,以 O 为圆心、半径为 1 的圆的斜坐标方程为 x2 y2 xy 1 0
C.若 P x1, y1 ,Q x2, y2 ,则 PQ x2 x1 2 y2 y1 2
A.当 z1 z2 z1 z2 时, OZ1 OZ2 0
B.当 z1 z2 z1 z2 时, z1 z2 0
C.若 z1 z2 z1 z2 ,则存在实数 t ,使得 z2 tz1
D.若 z1 1 z2 1 ,则 z1 z2 12.已知椭圆 x2 y2 1 的右顶点为 A ,过右焦点 F 的直线交椭圆于 P,Q 两点,设
14.已知公差为d 且各项均为正数的等差数列an 的前 n 项和为 Sn ,且 a2n 2an1 1 ,
则
1 a1
4 d
的最小值为__________.
15.已知圆 C1 : x2 y2 9 ,圆 C2 : x2 y2 4 ,定点 M (1, 0) ,动点 A ,B 分别在圆 C2 和圆 C1
y
1 3
x
C. y 3 x
2
5.在 ABC 中 acosB 9 ,bcosA 15
A. 1 5
B. 1 5
6 ,c 15
D. y 2 x 3
15
sin B A
,则
的值为(
)
sinC
C. 15 15
D. 15 15
6.已知数列an 的前 n 项和为 Sn ,首项 a1 1,且满足 an1 an 3 2n ,则 S11 的值为( )
PF1
PF2 cos120
4c2
4a2
4 b2 3
4ab
8 b2 4ab b 3
3
a2
则渐近线方程 y 3 x .
2
故选:C
5.B
【详解】先利用两角差的正弦公式将原式变形,再利用正弦定理化角为边,代入后即可得答
案.
【解答】解:因为 acosB
9 , bcosA 15
6 15 , c
上,满足 AMB 90 ,则线段 AB 的取值范围_______.
16.已知实数 a1 , a2 , a3 , a4 满足 a1 a2 a3 0 , a1a42 a2a4 a2 0 ,且 a1 a2 a3 , 则 a4 的取值范围是_______.
四、解答题
17. ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,已知 a ccosB 1 b ,
进行计算. 【详解】根据题意可知一名同学分得两本书,其余两名同学各分得一本书,不同的分发数为
C42 A33 36 种.
故选:D 【点睛】本题考查简单的排列组合问题,属于基础题. 4.C 【分析】利用双曲线的定义建立 a,b,c 的关系即可解得答案.
答案第 1页,共 16页
【详解】设 F2 c, 0 ,其中 c2 a 2 b2 ,
15 ,
则 sin B A sinBcosA cosBsinA bcosA acosB
sinC
sinC
c
6 15
15
9 15
3 15
1 1. 15 5
故选:B.
6.A
【详解】由递推公式确定通项公式 an (1)n 2n ,再求 S11 即可.
【解答】 an1
an
3 2n ,故
an1 an
中的第 n 项是数列cn中的第 dn 项.
(1)求数列bn 及dn 的通项公式.
试卷第 3页,共 5页
(2)求数列
dn bn
的前
n
项和
S
n
.
19.如图,矩形 ABCD 是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图,现欲修一条笔直的 小路 MN(宽度不计)经过该矩形区域,其中 MN 都在矩形 ABCD 的边界上.已知 AB 8 ,
7.A 【分析】先求出 x1的最小值为 1,再将 x 1时转化为恒成立问题即可求解.
【详解】当 x1 时,f x x ex ,令 f x 0 ,得 x 0 ,则 f x 在 , 0 上单调递减,0,1
上单调递增,即函数 f x 在 x 0 处取得最小值 1,
所以问题转化为 ax2 x 1 a 1 在 1, 上恒成立,
个更适宜作为平均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说 明理由)并由判断结果及表中数据,求出 y 关于 x 的回归方程.(结果精确到小数点后第 三位) (2)根据以往统计,该地每年平均温度达到 28o C 以上时蝗虫会造成严重伤害,需要人 工防治,其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到 28o C 以上的概率为
令 g x ax 2 x 2 a ,则 g x 0 在 1, 上恒成立
当 a0 时,不符合.
当 a 0 时,对称轴 x
浙江省杭州市 2022-2023 学年高三上学期期末模拟数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题 1.若集合 A, B,U 满足: ðU A ðU B U ,则U ( )
A. A B
B. A U ðU B
C.24 种
D.36 种
4.在平面直角坐标系中,F1,F2 分别是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)的左、右焦点,
过 F2 作渐近线的垂线,垂足为 H ,与双曲线的右支交于点 P ,且 F2P 2PH ,
F1PF2 120 ,则双曲线的渐近线方程为( )
A. y 3x
B.
函数,则下列不等式中成立的是
A.
3f
(
)
f
(
)
6
3
B. 2 f
(1) cos1
f
(
)
3
C.
2
f
(
)
4
3f( )
6
D.
2 f ( )
f(
)
4
3
9.定义平面斜坐标系 xOy ,记 xOy , e1, e2 分别为 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量-若
平面上任意一点
P
的坐标满足:
D.若 45 ,记斜平面内直线 l 的方程为 x y 1 0 ,则在平面直角坐标系下点 O 到 直线的距离为 2 5
5
二、多选题
10.已知 x
y
0
,且
x
1 x
1
yy
,则(
)
A. x e
B. 0 x 1
C. 0 y 1
D.1 y e
11.已知非零复数 z1, z2 在复平面内对应的点分别为 Z1, Z2 , O 为坐标原点,则( )
x
y
z
n
xi x z z
n
2
xi x
i 1
i 1
27.429 81.286 3.612
40.182
147.714
试卷第 4页,共 5页
表中
zi
ln
yi , z
1 7
7 i 1
zi
.
(1)根据散点图判断, y a bx 与 y cedx (其中 e 2.718为自然对数的底数)哪一
43
P x1, y1 , Q x2 , y2 , PA,QA 的斜率分别记为 k1, k2 ,以下各式为定值的是( )
A. x1x2 y1 y2
B. 5 x1 x2 2x1x2
试卷第 2页,共 5页
C. k1 k2
D. k1k2
三、填空题
13.已知随机变量服 X ~ N 4,1 ,且 p( X 2m 1) p( X m) ,则 m __________.
A.4093
B.4094
C.4095
D.4096
7.
f
(x)
(x 1)ex , x1 ax2 x 1 a,
x
的最小值是 1
1 ,则实数
a
的取值范围是(
)
2
A.
2
3
,
B.
,
2
2
3
C. 1
3 2
,
1 2
D.
1 2
,
试卷第 1页,共 5页
8.已知 x (0, ) ,函数 y f (x) 满足:tan xf (x) f '(x) 恒成立,其中 f '(x) 是 f (x) 的导 2
AD 6 (单位:百米),小路 MN 将矩形 ABCD 分成面积分别为 S1 , S2 (单位:平方百
米)的两部分,其中 S1 S2 ,且点 A 在面积为 S1 的区域内,记小路 MN 的长为 l 百米.
(1)若 l = 4 ,求 S1 的最大值; (2)若 S2 2S1 ,求 l 的取值范围. 20.从 2019 年底开始,非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情.目前, 蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚,并向西亚和南亚等地区蔓延.蝗虫危害大,主要危害禾 本科植物,能对农作物造成严重伤害,每只蝗虫的平均产卵数 y 和平均温度 x 有关,现 收集了以往某地的 7 组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值. 平均温度 x / C 21 23 25 27 29 32 35
p 0 p 1 .
①记该地今后 n n 3, n N 年中,恰好需要 2 次人工防治的概率为 f p ,求 f p 取
得最大值时相应的概率 p0 ;
②根据①中的结论,当 f p 取最大值时,记该地今后 6 年中,需要人工防治的次数为 X ,
求 X 的数学期望和方差.
附:对于一组数据 x1, z1 、 x2, z2 、L 、 x7 , z7 ,其回归直线 z a bx 的斜率和截距
试卷第 5页,共 5页
1.B
参考答案:
【分析】根据题意画出Venn 图,由Venn 图即可得到U A ðUB .
【详解】 集合 A, B,U 满足: ðU A ðU B U ,
如图,
U A ðU B .
故选:B.
2.B
【分析】根据 f x 为单调减函数解出 a 的范围,即可判断得结果.
C. B U ðU A
D. 痧U A U B
2.设
aR
,则“
a 1 ”是“函数
f
x
ax 1 x 1
在 1, 为减函数”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.把 4 本不同的书分给 3 名同学,每个同学至少一本,则不同的分发数为( )
A.12 种
B.18 种
7
xi
x
zi
z
的最小二乘法估计分别为: b i1 7
2
xi x
,a z bx .
i 1
21.已知抛物线 C: y2 =2px 经过点 P (1,2).过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线 C 有
两个不同的交点 A,B,且直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N.
(Ⅰ)求直线 l 的斜率的取值范围;
(Ⅱ)设
O
为原点, QM
QO
,
QN
QO
,求证:
1
1
为定值.
22.已知函数 f x x sin x cos x 1 ax2 x , , a R .
2
(1)当 a 0 时,讨论函数 f x 的单调性;
(2)当 a 0 时,探究关于 x 的方程 f x 0 的实数根的个数.
bc
则焦点
F2
到渐近线
y
b a
xHale Waihona Puke 的距离 da bb2 a2
1
又因为 F2P 2PH ,所以 PF2
2 b ,又 3
PF1
PF2
2a ,得
PF1
2a 2 b . 3
则在 ΔPF1F2 中,有
PF2
2b, 3
PF1
2a
2 3
b
,
FF 12
2c .
则由余弦定理得
F1F2 2
PF1 2
PF2 2 2
【详解】由题意可得
f
x
ax 1 x 1
a
a x
1 1
为减函数,
则 a 1 0 ,解得 a 1 .
因为 a 1推不出 a 1 , a 1 a 1 ,
所以“
a 1 ”是“函数
f
x
ax 1 x 1
在 1, 为减函数”的必要不充分条件,
故选:B
3.D
【分析】根据题意可知一名同学分得两本书,其余两名同学各分得一本书,利用排列组合数
2
(1)若
D
为
BC
边上一点,
DB
4,
AB
5
,且
AB
BD
12
,求
AC
;
(2)若 CA
3, CB
4,
M
为平面上一点,
2CM
tCA
1
t
CB
,其中 t
R
,求
MA
MB
的最
小值.
18.已知数列 an 满足
a1
2, an1
a
2 n
an
0
,记 bn
log2an
,在 bn 中每相邻两项之
间都插入 3 个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列cn ,若数列bn
2n1 2n
3 2n an 2n1 an 2n
2n an
an 2n
1,又 a1
2
1,
所以 an 2n 是首项为 1,公比为 1的等比数列,所以 an (1)n 2n ,
则
S11
a1
a2
a11
1
21
1
22
1
211
1
2 1 211 1 2
4093
故选:A
答案第 2页,共 16页
OP
xe1
ye2
,则记向量
OP
的坐标为
x,
y
,给出下
列四个命题,正确的选项是( )
A.若
OP
x1,
y1
,
OQ
x2 ,
y2
,则
OP
OQ
x1x2
y1 y2
B.若 60 ,以 O 为圆心、半径为 1 的圆的斜坐标方程为 x2 y2 xy 1 0
C.若 P x1, y1 ,Q x2, y2 ,则 PQ x2 x1 2 y2 y1 2
A.当 z1 z2 z1 z2 时, OZ1 OZ2 0
B.当 z1 z2 z1 z2 时, z1 z2 0
C.若 z1 z2 z1 z2 ,则存在实数 t ,使得 z2 tz1
D.若 z1 1 z2 1 ,则 z1 z2 12.已知椭圆 x2 y2 1 的右顶点为 A ,过右焦点 F 的直线交椭圆于 P,Q 两点,设
14.已知公差为d 且各项均为正数的等差数列an 的前 n 项和为 Sn ,且 a2n 2an1 1 ,
则
1 a1
4 d
的最小值为__________.
15.已知圆 C1 : x2 y2 9 ,圆 C2 : x2 y2 4 ,定点 M (1, 0) ,动点 A ,B 分别在圆 C2 和圆 C1
y
1 3
x
C. y 3 x
2
5.在 ABC 中 acosB 9 ,bcosA 15
A. 1 5
B. 1 5
6 ,c 15
D. y 2 x 3
15
sin B A
,则
的值为(
)
sinC
C. 15 15
D. 15 15
6.已知数列an 的前 n 项和为 Sn ,首项 a1 1,且满足 an1 an 3 2n ,则 S11 的值为( )
PF1
PF2 cos120
4c2
4a2
4 b2 3
4ab
8 b2 4ab b 3
3
a2
则渐近线方程 y 3 x .
2
故选:C
5.B
【详解】先利用两角差的正弦公式将原式变形,再利用正弦定理化角为边,代入后即可得答
案.
【解答】解:因为 acosB
9 , bcosA 15
6 15 , c
上,满足 AMB 90 ,则线段 AB 的取值范围_______.
16.已知实数 a1 , a2 , a3 , a4 满足 a1 a2 a3 0 , a1a42 a2a4 a2 0 ,且 a1 a2 a3 , 则 a4 的取值范围是_______.
四、解答题
17. ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,已知 a ccosB 1 b ,
进行计算. 【详解】根据题意可知一名同学分得两本书,其余两名同学各分得一本书,不同的分发数为
C42 A33 36 种.
故选:D 【点睛】本题考查简单的排列组合问题,属于基础题. 4.C 【分析】利用双曲线的定义建立 a,b,c 的关系即可解得答案.
答案第 1页,共 16页
【详解】设 F2 c, 0 ,其中 c2 a 2 b2 ,
15 ,
则 sin B A sinBcosA cosBsinA bcosA acosB
sinC
sinC
c
6 15
15
9 15
3 15
1 1. 15 5
故选:B.
6.A
【详解】由递推公式确定通项公式 an (1)n 2n ,再求 S11 即可.
【解答】 an1
an
3 2n ,故
an1 an
中的第 n 项是数列cn中的第 dn 项.
(1)求数列bn 及dn 的通项公式.
试卷第 3页,共 5页
(2)求数列
dn bn
的前
n
项和
S
n
.
19.如图,矩形 ABCD 是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图,现欲修一条笔直的 小路 MN(宽度不计)经过该矩形区域,其中 MN 都在矩形 ABCD 的边界上.已知 AB 8 ,
7.A 【分析】先求出 x1的最小值为 1,再将 x 1时转化为恒成立问题即可求解.
【详解】当 x1 时,f x x ex ,令 f x 0 ,得 x 0 ,则 f x 在 , 0 上单调递减,0,1
上单调递增,即函数 f x 在 x 0 处取得最小值 1,
所以问题转化为 ax2 x 1 a 1 在 1, 上恒成立,
个更适宜作为平均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说 明理由)并由判断结果及表中数据,求出 y 关于 x 的回归方程.(结果精确到小数点后第 三位) (2)根据以往统计,该地每年平均温度达到 28o C 以上时蝗虫会造成严重伤害,需要人 工防治,其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到 28o C 以上的概率为
令 g x ax 2 x 2 a ,则 g x 0 在 1, 上恒成立
当 a0 时,不符合.
当 a 0 时,对称轴 x
浙江省杭州市 2022-2023 学年高三上学期期末模拟数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题 1.若集合 A, B,U 满足: ðU A ðU B U ,则U ( )
A. A B
B. A U ðU B
C.24 种
D.36 种
4.在平面直角坐标系中,F1,F2 分别是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)的左、右焦点,
过 F2 作渐近线的垂线,垂足为 H ,与双曲线的右支交于点 P ,且 F2P 2PH ,
F1PF2 120 ,则双曲线的渐近线方程为( )
A. y 3x
B.
函数,则下列不等式中成立的是
A.
3f
(
)
f
(
)
6
3
B. 2 f
(1) cos1
f
(
)
3
C.
2
f
(
)
4
3f( )
6
D.
2 f ( )
f(
)
4
3
9.定义平面斜坐标系 xOy ,记 xOy , e1, e2 分别为 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量-若
平面上任意一点
P
的坐标满足:
D.若 45 ,记斜平面内直线 l 的方程为 x y 1 0 ,则在平面直角坐标系下点 O 到 直线的距离为 2 5
5
二、多选题
10.已知 x
y
0
,且
x
1 x
1
yy
,则(
)
A. x e
B. 0 x 1
C. 0 y 1
D.1 y e
11.已知非零复数 z1, z2 在复平面内对应的点分别为 Z1, Z2 , O 为坐标原点,则( )