第一章静电场2

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当 kn ≠ 0时
1 d 21 kn 2 1 dx 2 1 d 2 2 kn 2 2 dy 2
解为：
1 ( x) An chkn x Bnshkn x 2 ( y ) Cn coskn y Dnsinkn y
电位函数一般解：
1 ( x)2 ( y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
n 1
n n 1
cos n
根据 2 0 0 ， A0 B0 Bn 0
2 ( , )
由分界面 a 的衔接条件，得

n 1
An n cos n

Bn Ea cos n cos n An a n cos n n 1 a n 1
0 当 ，n 1时， A0 B0 An
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1 ( , ) E cos
Bn
n
n 1
cos n
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1 ( , ) E cos
通解

Bn

( , ) ( A0 ln B0 ) ( An n Bn n ) cos n
代入微分方程，

2 dy
1 d 2 2
2
0
1 d 21 1 d 22 2 1 dx 2 dy 2
当 kn =0时
1 d 21 1 d 2 2
2
k
2 n
kn ：分离常数
0
1 dx 2 2 dy
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解为：
0
1 ( x) A0 x B0 2 ( y ) C0 y D0
x 0,0 y b y 0,0 xa 0 xa , y b 0 x a ,0 y b U
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0
a
U
x
图1 接地金属槽的截面
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分离变量
( x, y) 1 ( x) 2 ( y)
1 dx
1 d 21
2
n 1
代入边界条件，确定积分常数
0 故 B (C y D ) A (C
0 0 0 n 1 n
x＝0处，
n
cos kn y Dn sin kn y ) 0
上式对任意y成立，必有 B0 0 An 0 y＝0处， 0 故 D0 0 y＝b处， 0 故

m 等式两端同乘以 sin y ，然后从 0 b 积分 b b b m n m n 0 U sin( b y)dy 0 Bn Dnsh( b a) sin( b y) sin a ydy n 1
Ub (1 cos m ) 左式 m
0 2bU m m 0,2,4........ m 1,3,5........
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1 解题的一般步骤：
1）按给定场域形状选择适当的坐标系，使场域的边界 面能与坐标面相吻合，写出边值问题（微分方程和 边界条件）；
2）分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；
3）解常微分方程，并叠加得到通解；
4）利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。
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a
介质柱内电场均匀，并与外加 电场 E0 平行，且 E2 < E1 。 若问题为：电介质内部有细长
图5 均匀外电场中介质圆柱内 外的电场
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夹杂物，如空气泡，会怎样？
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平板电容器介 质内有气泡时 的电场强度分 布云图
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1.6 有限差分法 Finite Difference Method
3. 拉普拉斯方程的离散
1）场域内离散
对任一点0，有
有限差分法的网格剖分
x

x x0
( x0 h, y0 ) ( x0 h, y0 )
2h
x
1 20 3
h2
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2 x 2
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x x0
x ( x0 h / 2, y0 ) x ( x0 h / 2, y0 )
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2 应用实例 1) 直角坐标系中的分离变量法（二维场）
若讨论的问题边界面和电介质分界面都是平面，且这些 面要么互相平行，要么互相垂直，则选用直角坐标系。 例1 试求长直接地金属槽内电位的分布。 解: 边值问题 y
0
2 2 2 2 2 0 （D 域内） b 0 x y
2 2 0
1 2 2
0
1 2 0 2
0 a
a
0
1

Ex E cos
根据对称性
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( , ) ( , ) 及 ( , ) 0 2
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分离变量, 设 ( , ) R( ) ( )
代入微分方程
2 d2R dR 1 d 2 ＋ 0 2 2 R d R d d
2
d 2 d R dR 2 2 = 常数，令 2 n 2 0 n R 0 取n 2 d 2 d d
在点（x0, y0）的电位可近似取为周围相邻四点电位的平均 值。
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2）边界处离散
2 qh

ph x ( x0 ) 2

1 0
ph
,
h x ( x0 ) 2

0 3
h
3
0
ph
1
4
1 0 0 3
ph h h ph 2 2
基本思想：将场域离散为许多网格 ，应用差分原理，
将求解连续函数 的微分方程问题转换为求解网格节
点上 的代数方程组的问题。 1. 二维静电场边值问题 L
2 2 0 2 2 x y
D

待求场域
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L
f (L)
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2. 网格剖分
节点、步距h、单元
* *
A0 0
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y
0
b 0
Cn 0
0
a
U
图1 接地金属槽的截面
C0 0
sin knb 0
n kn b
x
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n n ( x, y ) Bn Dn s h( x) sin y b b n 1

x＝a处，
U
故
n n Bn Dnsh( b a)sin( b y) U n 1
n 1
利用给定边界条件确定积分常数 根据 通解
( , ) ( , ) 得到 C0 0, Dn 0
( , ) ( A0 ln B0 ) ( An n Bn n ) cos n
n 1

根据 1 E0 cos ， 比较系数得到 当 ，n 1 时， A0 B0 0， A1 E
当 n 0 时， R0 ( ) A0 ln B0 ， 0 ( ) C0 D0 当 n 0 时， Rn ( ) An n Bn n， n ( ) Cn cos n Dn sin n 通解 ( , ) ( A0 ln B0 )(C0 D0 )

nAn a n 1 cos n
n 1

比较系数 当n=1时，
B1 B1 Ea A1a 和 0 ( E 2 ) 2 A1 a a
当 n 1 时，An=Bn= 0， 则最终解
( 2 0 )a 2 a 1 ( , ) E cos E cos ( 2 0 ) 2 0 2 0 2 ( , ) (1 ) E cos E cos 0 a 2 0 0 2
( An Bn )(Cn cos n Dn sin n )
n n n 1
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通解 ( , ) ( A0 ln B0 )(C0 D0 )
( An n Bn n )(Cn cos n Dn sin n )
右式 ＝
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0
mn mn
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b
0
n b Bn Dn sin ( y )dy Bn Dn b 2
2
4U n Bn Dn s h( a) n b 0
n＝奇数
n＝偶数

最终得
4U n n n ( x, y) sh x sin( y) / sh( a) b b b n 1,3,5, n
( An chkn x Bnshkn x)(Cn cos kn y Dn sin kn y )
n 1
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电位函数为y的周期函数，x的双曲函数。
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1 d 21 kn 2 1 dx 2 1 d 2 2 kn 2 2 dy 2
1 ( x)2 ( y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
( An cos kn x Bn sin kn x)(Cn chkn y Dn s hkn y )
n 1
电位函数为x的周期函数， y 的双曲函数。
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( A0 x B0 )(C0 y D0 )
( An chkn x Bnshkn x)(Cn cos kn y Dn sin kn y )
1.5 分离变量法 Separation Variable Method
分离变量法基本思想：把电位函数 用两个或三个仅含一 个坐标变量的函数的乘积表示，代入偏微分方程后，借助 “分离”常数使原来的偏微分方程转化为几个常微分方程， 然后分别求解这些常微分方程，并以给定的边界条件确定 其中待定常数和函数，最终得到电位函数的解。 采用的坐标系：正交坐标系，常用的有直角坐标系、圆柱 坐标系和球面坐标系。 关键： 能否选择出可分离变量的坐标系，使场域的边界面 和电介质的分界面与所选坐标系的坐标面重合或平行。
h

x 2
2

x x0
1 20 3
h
2
2 同理, 2 y

y y0
2 20 4
h
2
二维拉普拉斯方程的离散格式，或称差分方程
1 2 3 4 40 0
即
五点差分格式
1 0 (1 2 3 4 ) 4
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2 0 2 E2 2 ex Ee x x 2 0
0 a
( 2 0 )a 2 E1 1 (1 ) E cos e 2 ( 2 0 )
( 2 0 )a 2 (1 ) E sin e 2 ( 2 0 )
图2 接地金属槽内的等位线分布 图3 接地金属槽内的电场强度云图 2013-8-1 9/62
2) 圆柱坐标系中的分离变量法（二维场） 例2 垂直于均匀电场 E 放置一根无限 长均匀介质圆柱棒 ， 试求 为简化分析，可以结合物理问题固有 特征，对有关特解作出判断，从而得 圆柱内外 和 E 的分布。 出更简洁的一般解。 解： 取圆柱坐标系，边值问题 图4 均匀电场中的介质圆柱棒 2 1 1 1 1 2 1 ( ) 2 0 a 2
Bn 0 ( E cos n 1 cos n ) n 1 a
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nAn a n 1 cos n
n 1

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Bn Ea cos n cos n An a n cos n n 1 a n 1

Bn 0 ( E cos n 1 cos n ) n 1 a