多项式的乘法法则与向量的数量积复数的乘法二项式定理的衔接

多项式的乘法与向量的数量积复数的乘法
及二项式定理的衔接
知识点对比
初中多项式的乘法〔1〕.多项式乘法的法则的探索与推导（a+b）(m+n)运用整体思想把（m+n）当作一个整体，即当作一个单项式，运用单项式与多项式的乘法法则进行计算得（a+b）（m+n）＝a（m+n）+b（m+n）＝am+an+bm+bn
〔2〕.多项式乘法的法则
文字表达：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所有的乘积相加．
字母表达：（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn （注意：两个多项式中不一定是两项，还可以为多项．）
〔3〕.多项式的乘法满足乘法运算律：乘法交换律：a*b=b*a 乘法结合律：a*b*c=a*（b*c）乘法分配律：（a+b）*c=a*c+b*
高中1.向量的数量积
向量的引入有利于发展学生的运算能力，向量作为代数研究对象，它可以像数、字母、多项式一样进行运算。

但是，向量的运算与它们的运算形式并不完全相同，既有区别又有联系。

高中数学教材中给出了向量的两大类运算：向量的线性运算和数量积运算。

其中，向量的数量积运算是向量自身独特的运算方式，其结果是一个数量而不是一个向量。

向量多项式的乘法是按照代数多项式的乘法法则展开的，然后合并同类项，但要注意交叉项是向量的数量积。

字母表达：（a+b）·（m a+ n b）=m a2+n a·b+m a·b+n b2。

两个向量的数量积运算满足交换律，但是三个向量进行数量积运算却不满足结合律，这也是向量不同于数的运算、多项式的运算的一个例子。

对于3个向量a、b、c不成立“结合律”,即(a·b)c一般不等于a(b·c)。

事实上，a·b是数而不是向量，它与c相乘是实数与向量相乘而不是数量积，它表示与c平行的向量。

假如将a(b·c)也看成向量a与实数b·c的乘法，当c与a不平行时(a·b)c与a(b·c)肯定不相等(即使当c与a平行也未必相等)。

数量积对向量加减法运算满足结合律；数乘向量的数量积，可以与任一个向量结合；但是数量积不满足消去律。

综上，向量运算的线性运算与多项式的运算相类似，教学中可以与此进行类比。

向量的运算与数的运算、多项式的运算既有联系又有区别，向量的运算形式比较多，比较全面。

在高中教材中学习向量知识可以发展学生的运算能力，增强学生对代数运算本质的认识。

2.复数的乘法
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得:ac+adi+bci+bdi2，因为i2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i。

两个复数的积仍然是一个复数。

举例如下：
3.二项式定理二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式――二项式的乘方的展开式。

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 ，…….
()011222n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++ 。

在利用二项展开式的通项公式解决指定项的系数是多用多项式的乘法法则，例如【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( ) 二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。

掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。

所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。

衔接方法：初中对于多项式乘法的教学重点应该是教会学生运算法则，通过强化训练使其熟练掌握并进行简单归类，对于学习水平高的学生还可以让其把二项式的乘方延伸到4次5次 6次，并告知学生杨辉三角的样子，让学生验证总结，这有利于高中学习二项式定理。

高中在教学过程中，应多复习多项式的乘法法则，并进行适当应用，同时还要注意向量数量积和复数乘法自身运算的特殊性，通过比较让学生更加清楚地学习和理解新知识，并对旧知识进行了再次巩固。